Simularea națională oficială — Evaluarea Națională 2016

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $25-25:(2+3)$ este egal cu: a) $20$ b) $30$ c) $0$ d) $5$

Exercițiul 2 · 5 puncte Numărul pătratelor perfecte din mulțimea numerelor naturale de două cifre este egal cu: a) $5$ b) $6$ c) $9$ d) $7$

Exercițiul 3 · 5 puncte Dacă $A$ este mulțimea numerelor naturale pare și $B$ este mulțimea numerelor naturale impare, atunci mulțimea $A\cap B$ este egală cu: a) $\mathbb{N}$ b) $\{0\}$ c) $\varnothing$ d) $A$

Exercițiul 4 · 5 puncte Un cerc are lungimea egală cu $20\pi$ cm. Diametrul acestui cerc este egal cu: a) $10\text{cm}$ b) $40\text{cm}$ c) $20\pi \text{cm}$ d) $20\text{cm}$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=3$ cm. Aria dreptunghiului $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ este egală cu:

a) $9\sqrt{2}{\text{cm}}^2$ b) $9{\text{cm}}^2$ c) $18{\text{cm}}^2$ d) $6\sqrt{2}{\text{cm}}^2$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos este prezentată repartiția elevilor unei clase a VIII-a, în funcție de mediile obținute la matematică, pe semestrul I.

Numărul elevilor din această clasă care au obținut la matematică, pe semestrul I, cel puțin media $6$ și cel mult media $9$ este egal cu: a) $28$ b) $24$ c) $26$ d) $22$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte O piramidă patrulateră regulată are vârful $V$ și baza $ABCD$, ca în figura alăturată.

Numărul fețelor laterale ale piramidei $VABCD$ este egal cu: a) $4$ b) $8$ c) $3$ d) $6$

Exercițiul 2 · 5 puncte Determinați numărul natural de trei cifre, de forma $\overline{abc}$, știind că $\overline{abc}=\overline{ab}+\overline{bc}+\overline{ca}$ și $a\ne 0$. Numărul $\overline{abc}$ este egal cu: a) $189$ b) $198$ c) $918$ d) $981$

Exercițiul 3 · 5 puncte Un turist a parcurs un traseu în trei zile. În prima zi turistul a parcurs jumătate din lungimea traseului, în a doua zi turistul a parcurs jumătate din distanța parcursă în prima zi, iar în a treia zi restul de $5$ km. Lungimea traseului parcurs în cele trei zile este egală cu: a) $15\text{km}$ b) $40\text{km}$ c) $20\text{km}$ d) $10\text{km}$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numărul $a=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{8}}+\frac{3}{\sqrt{18}}+\frac{4}{\sqrt{32}}$. Valoarea lui $a$ este egală cu: a) $4\sqrt{2}$ b) $\sqrt{2}$ c) $8\sqrt{2}$ d) $2\sqrt{2}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră numărul $a=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{8}}+\frac{3}{\sqrt{18}}+\frac{4}{\sqrt{32}}$ (se poate arăta că $a=2\sqrt{2}$) și numărul $b=\frac{\sqrt{13^2-5^2}}{\sqrt{10^2-8^2}}$. Valoarea expresiei $a^2-b^2$ este egală cu: a) $4$ b) $8$ c) $12$ d) $-4$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră $E(x)=x^3+(x+1{)}^2+2(x-3)(x+3)+17$, unde $x$ este număr real. Forma redusă (după efectuarea calculelor) a expresiei $E(x)$ este: a) $x^3+x^2+2x$ b) $x^3+3x^2+2x$ c) $x^3+3x^2+2x+17$ d) $x^3+3x^2+20x$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Figura de mai jos reprezintă schița unui teren format din pătratul $ABCD$ cu $AB=60$ m și trapezul isoscel $AEFB$ cu $AB\parallel EF$, $EF=180$ m și $AE=60\sqrt{2}$ m.

Arătați că distanța de la punctul $A$ la dreapta $EF$ este egală cu $60$ m.

Exercițiul 2 · 5 puncte Figura de mai jos reprezintă schița unui teren format din pătratul $ABCD$ cu $AB=60$ m și trapezul isoscel $AEFB$ cu $AB\parallel EF$, $EF=180$ m și $AE=60\sqrt{2}$ m. (Distanța de la punctul $A$ la dreapta $EF$ este $60$ m.)

Calculați aria suprafeței terenului.

Exercițiul 3 · 5 puncte Figura de mai jos reprezintă schița unui teren format din pătratul $ABCD$ cu $AB=60$ m și trapezul isoscel $AEFB$ cu $AB\parallel EF$, $EF=180$ m și $AE=60\sqrt{2}$ m.

Demonstrați că punctele $E$, $A$ și $C$ sunt coliniare.

Exercițiul 4 · 5 puncte Figura de mai jos reprezintă schematic o platformă în formă de pătrat $ABCD$ cu latura de $16$ m. Segmentul $SO$, unde $\{O\}=AC\cap BD$, reprezintă o antenă de telefonie mobilă amplasată perpendicular pe planul pătratului $ABCD$. Antena este ancorată cu patru cabluri $SB$, $SD$, $VM$ și $VN$, unde punctul $V$ este situat pe segmentul $SO$, iar $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $BC$, respectiv $AD$. Cablul $SB$ face cu planul pătratului $ABCD$ un unghi de $60°$.

Calculați înălțimea antenei $SO$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Figura de mai jos reprezintă schematic o platformă în formă de pătrat $ABCD$ cu latura de $16$ m. Segmentul $SO$, unde $\{O\}=AC\cap BD$, reprezintă o antenă de telefonie mobilă amplasată perpendicular pe planul pătratului $ABCD$. Antena este ancorată cu patru cabluri $SB$, $SD$, $VM$ și $VN$, unde punctul $V$ este situat pe segmentul $SO$, iar $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $BC$, respectiv $AD$. Cablul $SB$ face cu planul pătratului $ABCD$ un unghi de $60°$.

Determinați măsura unghiului dintre planele $(VOM)$ și $(SOB)$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Figura de mai jos reprezintă schematic o platformă în formă de pătrat $ABCD$ cu latura de $16$ m. Segmentul $SO$, unde $\{O\}=AC\cap BD$, reprezintă o antenă de telefonie mobilă amplasată perpendicular pe planul pătratului $ABCD$. Antena este ancorată cu patru cabluri $SB$, $SD$, $VM$ și $VN$, unde punctul $V$ este situat pe segmentul $SO$, iar $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $BC$, respectiv $AD$. Cablul $SB$ face cu planul pătratului $ABCD$ un unghi de $60°$.

Știind că punctul $H$ este proiecția punctului $O$ pe planul $(SAD)$, demonstrați că $H$ este ortocentrul triunghiului $SAD$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. a) $25-25:(2+3)=25-25:5=25-5=20$ (întâi paranteza și împărțirea, apoi scăderea).
2. b) Pătratele perfecte de două cifre sunt $16,25,36,49,64,81$ (adică $4^2,\dots ,9^2$) — în total $6$.
3. c) Mulțimea numerelor pare și mulțimea numerelor impare nu au niciun element comun, deci $A\cap B=\varnothing$ (mulțimea vidă).
4. d) Din $\pi \cdot d=20\pi$ rezultă $d=20$ cm.
5. a) $AC$ este diagonala feței $ABCD$ a cubului, deci $AC=AB\sqrt{2}=3\sqrt{2}$ cm, iar $C{C}^{\prime }=A{A}^{\prime }=3$ cm (muchia cubului). Aria dreptunghiului $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ este $AC\cdot C{C}^{\prime }=3\sqrt{2}\cdot 3=9\sqrt{2}{\text{cm}}^2$.
6. d) Din tabel, elevii cu media cel puțin $6$ și cel mult $9$ sunt cei cu mediile $6,7,8,9$: $6+7+5+4=22$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) Piramida patrulateră regulată $VABCD$ are baza $ABCD$ (patrulater) și $4$ fețe laterale triunghiulare: $VAB$, $VBC$, $VCD$, $VDA$.
2. b) Din $\overline{abc}=\overline{ab}+\overline{bc}+\overline{ca}$ obținem $100a+10b+c=(10a+b)+(10b+c)+(10c+a)=11a+11b+11c$, adică $89a=b+10c$. Cum $a\ne 0$ și $b,c$ sunt cifre, singura soluție este $a=1$, $c=8$, $b=9$ (din $89\cdot 1=9+10\cdot 8$), deci $\overline{abc}=198$.
3. c) Notând cu $x$ lungimea traseului: ziua I $=\frac{x}{2}$, ziua a II-a $=\frac{x}{4}$, ziua a III-a $=5$ km. Din $\frac{x}{2}+\frac{x}{4}+5=x$ rezultă $\frac{x}{4}=5$, deci $x=20$ km.
4. d) $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{2}{\sqrt{8}}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{3}{\sqrt{18}}=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{4}{\sqrt{32}}=\frac{4}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Suma este $4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$.
5. a) $a^2=(2\sqrt{2}{)}^2=8$. $b=\frac{\sqrt{13^2-5^2}}{\sqrt{10^2-8^2}}=\frac{\sqrt{169-25}}{\sqrt{100-64}}=\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{36}}=\frac{12}{6}=2$, deci $b^2=4$. Atunci $a^2-b^2=8-4=4$.
6. b) $(x+1{)}^2=x^2+2x+1$ și $2(x-3)(x+3)=2(x^2-9)=2x^2-18$. Atunci $E(x)=x^3+x^2+2x+1+2x^2-18+17=x^3+3x^2+2x$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Fie $M\in EF$ astfel încât $AM\perp EF$. Cum $AEFB$ este trapez isoscel, $EM=\frac{EF-AB}{2}=\frac{180-60}{2}=60$ m (2 p). Triunghiul $AEM$ este dreptunghic în $M$, deci $AM=\sqrt{A{E}^2-E{M}^2}=\sqrt{(60\sqrt{2}{)}^2-60^2}=\sqrt{7200-3600}=\sqrt{3600}=60$ m (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Aria pătratului $ABCD$ este ${\mathcal{A}}_{ABCD}=A{B}^2=60^2=3600{\text{m}}^2$. Aria trapezului $AEFB$ este ${\mathcal{A}}_{AEFB}=\frac{(AB+EF)}{2}\cdot AM=\frac{60+180}{2}\cdot 60=120\cdot 60=7200{\text{m}}^2$ (2 p). Aria suprafeței terenului este ${\mathcal{A}}_{teren}={\mathcal{A}}_{ABCD}+{\mathcal{A}}_{AEFB}=3600+7200=10800{\text{m}}^2$ (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Triunghiul $AEM$ este dreptunghic isoscel ($AM=EM=60$ m), deci $m(\sphericalangle AEM)=45°$ (2 p). Cum $AEFB$ este trapez cu $AB\parallel EF$, rezultă $m(\sphericalangle EAB)=180°-45°=135°$. Diagonala $AC$ a pătratului $ABCD$ bisectează unghiul drept $\sphericalangle DAB$, deci $m(\sphericalangle BAC)=45°$. Atunci $m(\sphericalangle EAC)=m(\sphericalangle EAB)+m(\sphericalangle BAC)=135°+45°=180°$, deci punctele $E$, $A$ și $C$ sunt coliniare (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $\{O\}=AC\cap BD$ este centrul pătratului, deci $BO=\frac{BD}{2}=\frac{16\sqrt{2}}{2}=8\sqrt{2}$ m. Unghiul dintre $SB$ și planul $(ABCD)$ este $m(\sphericalangle SBO)=60°$ (2 p). Triunghiul $SBO$ este dreptunghic în $O$, deci $SO=BO\cdot \tan 60°=8\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=8\sqrt{6}$ m (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Cum $(VOM)\cap (SOB)=VO$, iar $OM\perp VO$ (deoarece $OM\perp SO$, $SO\perp$ planul $ABCD$) și analog $OB\perp VO$, unghiul dintre cele două plane este $m(\sphericalangle MOB)$ (3 p). Triunghiul $MOB$ are $OM=\frac{16}{2}=8$ m, $BM=8$ m și $OB=8\sqrt{2}$ m, deci este dreptunghic isoscel (drept în $M$), de unde $m(\sphericalangle MOB)=45°$ (2 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $OH\perp (SAD)\Rightarrow OH\perp AD$; cum $SO\perp AD$ (deoarece $SO\perp$ planul $ABCD$) și $\{O\}=OH\cap SO$, rezultă $AD\perp (OSH)\Rightarrow AD\perp SH$, deci $SH$ este înălțime în $△SAD$ (2 p). $OD\perp OA$, $OD\perp SO$ și $\{O\}=OA\cap SO\Rightarrow OD\perp (SOA)\Rightarrow OD\perp SA$ (1 p). $OH\perp (SAD)\Rightarrow OH\perp SA$; cum $OD\perp SA$ și $\{O\}=OH\cap OD\Rightarrow SA\perp (ODH)\Rightarrow SA\perp DH$, deci $DH$ este înălțime în $△SAD$, de unde $H$ este ortocentrul triunghiului $SAD$ (2 p).

Simulare națională oficială de Evaluare Națională, susținută de absolvenții clasei a VIII-a în anul școlar 2015–2016, publicată de Ministerul Educației Naționale și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen/construcție grafică originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Aceasta este simularea națională OFICIALĂ la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, susținută efectiv de absolvenții clasei a VIII-a în cadrul simulării organizate în anul școlar 2015–2016, publicată de Ministerul Educației Naționale și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2016, formatul oficial de simulare era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2016, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un exercițiu de la Subiectul al II-lea, care în original era o sarcină de construcție grafică, incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1 cerea „desenați, pe foaia de examen, o piramidă patrulateră regulată cu vârful $V$ și baza $ABCD$"; a fost reformulat ca întrebare cu răspuns unic, păstrând identic obiectul matematic din enunțul oficial (piramida patrulateră regulată $VABCD$). Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem.

Testul verifică: ordinea operațiilor, pătrate perfecte, intersecția mulțimilor numerelor naturale pare și impare, lungimea și diametrul cercului, cubul — aria unui dreptunghi diagonal, citirea unui tabel de frecvențe; piramida patrulateră regulată, un număr de trei cifre cu o proprietate specială, o problemă cu un traseu parcurs în trei zile, calcul cu radicali, o expresie algebrică arătată a fi multiplu de 6; geometrie plană (un teren format dintr-un pătrat și un trapez isoscel — arie și coliniaritate) și geometrie în spațiu (o antenă de telefonie pe o platformă pătrată — unghi între plane și ortocentrul unui triunghi).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.