Modelul oficial CNEE — Evaluarea Națională 2017

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $10+(3+7):10$ este egal cu: a) $20$ b) $11$ c) $2$ d) $110$

Exercițiul 2 · 5 puncte Șase caiete de același fel costă în total $18$ lei. Trei dintre aceste caiete costă în total: a) $9$ lei b) $6$ lei c) $12$ lei d) $36$ lei

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mare număr natural de două cifre este egal cu: a) $100$ b) $98$ c) $89$ d) $99$

Exercițiul 4 · 5 puncte În triunghiul echilateral $ABC$, măsura unghiului $ABC$ este egală cu: a) $90°$ b) $45°$ c) $60°$ d) $30°$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un tetraedru regulat $ABCD$, cu $BC=5\text{cm}$.

Suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului $ABCD$ este egală cu: a) $20\text{cm}$ b) $30\text{cm}$ c) $25\text{cm}$ d) $15\text{cm}$

Exercițiul 6 · 5 puncte O clasă a VIII-a are $30$ de elevi. În tabelul de mai jos este prezentată repartiția celor $30$ de elevi, după opțiunile lor referitoare la continuarea studiilor:

Numărul elevilor din clasă care au optat pentru filiera teoretică este egal cu: a) $15$ b) $12$ c) $3$ d) $18$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Numărul muchiilor cubului $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este egal cu: a) $8$ b) $6$ c) $12$ d) $24$

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră numerele $a=3^{100}:3^{98}$ și $b=3\cdot 2-2$. Media geometrică a numerelor $a$ și $b$ este egală cu: a) $36$ b) $6,5$ c) $5$ d) $6$

Exercițiul 3 · 5 puncte Numerele $x$ și $y$ sunt direct proporționale cu numerele $5$ și $4$, știind că suma lor este egală cu $54$. Numărul $y$ este egal cu: a) $24$ b) $30$ c) $6$ d) $20$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-4$. Graficul funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul de coordonate:

a) $(0,-4)$ b) $(2,0)$ c) $(-2,0)$ d) $(0,4)$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-4$.

În triunghiul determinat de graficul funcției $f$ și axele sistemului de coordonate $xOy$, lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este egală cu: a) $2\sqrt{5}$ b) $5$ c) $3$ d) $\sqrt{5}$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{(x-2{)}^2-2(x-2)+1}{x^2-9}\cdot \frac{x+3}{x-3}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -3$ și $x\ne 3$. Valoarea expresiei $E(x)$ este egală cu: a) $-1$ b) $x$ c) $1$ d) depinde de $x$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Figura alăturată este schița unui teren în formă de trapez dreptunghic $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, $AD\perp AB$, $AB=100\text{m}$, $CD=60\text{m}$ și $AD=40\sqrt{3}\text{m}$. Segmentul $CE$, unde $E\in (AB)$, împarte suprafața trapezului $ABCD$ în două suprafețe cu arii egale.

Arătați că aria trapezului $ABCD$ este egală cu $3200\sqrt{3}{\text{m}}^2$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou terenul în formă de trapez dreptunghic $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, $AD\perp AB$, $AB=100\text{m}$, $CD=60\text{m}$ și $AD=40\sqrt{3}\text{m}$, ca în figura alăturată. Segmentul $CE$, unde $E\in (AB)$, împarte suprafața trapezului $ABCD$ în două suprafețe cu arii egale.

Calculați măsura unghiului $BCD$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou terenul în formă de trapez dreptunghic $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, $AD\perp AB$, $AB=100\text{m}$, $CD=60\text{m}$ și $AD=40\sqrt{3}\text{m}$, ca în figura alăturată. Segmentul $CE$, unde $E\in (AB)$, împarte suprafața trapezului $ABCD$ în două suprafețe cu arii egale, iar $m(\angle BCD)=120°$ (arătat mai sus).

Demonstrați că triunghiul $CEB$ este echilateral.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un con circular drept, cu secțiunea axială $VAB$, raza bazei $OA=3\text{cm}$ și înălțimea $VO=4\text{cm}$.

Arătați că aria bazei conului este egală cu $9\pi {\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou conul circular drept, cu secțiunea axială $VAB$, raza bazei $OA=3\text{cm}$ și înălțimea $VO=4\text{cm}$, ca în figura alăturată.

Calculați aria laterală a conului.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou conul circular drept, cu secțiunea axială $VAB$, raza bazei $OA=3\text{cm}$ și înălțimea $VO=4\text{cm}$. Pe cercul de centru $O$ și rază $OA$ se consideră un punct $C$, astfel încât $m(\angle BOC)=90°$.

Demonstrați că distanța de la punctul $O$ la planul $(VBC)$ este egală cu $\frac{12\sqrt{41}}{41}\text{cm}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $10+(3+7):10=10+10:10=10+1=11$ (întâi paranteza, apoi împărțirea, apoi adunarea).
2. a) Un caiet costă $18:6=3$ lei; trei caiete costă $3\cdot 3=9$ lei.
3. d) Numerele naturale de două cifre sunt $10,11,\dots ,99$; cel mai mare este $99$.
4. c) Într-un triunghi echilateral toate unghiurile au $60°$.
5. b) Tetraedrul regulat $ABCD$ are $6$ muchii congruente, toate egale cu $BC=5$ cm; suma lor este $6\cdot 5=30$ cm.
6. a) Filiera teoretică reprezintă $50\%$ din cei $30$ de elevi: $50\%\cdot 30=15$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) Cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ are $6$ fețe pătrate; numărul muchiilor unui cub este întotdeauna $12$ (se pot număra: $4$ muchii pe fața $ABCD$, $4$ pe fața $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ și $4$ muchii verticale $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $D{D}^{\prime }$).
2. d) $a=3^{100}:3^{98}=3^{100-98}=3^2=9$ și $b=3\cdot 2-2=6-2=4$. Media geometrică a numerelor $a$ și $b$ este $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{9\cdot 4}=\sqrt{36}=6$.
3. a) Din $\frac{x}{5}=\frac{y}{4}=\frac{x+y}{5+4}=\frac{54}{9}=6$, rezultă $x=5\cdot 6=30$ și $y=4\cdot 6=24$.
4. b) Graficul intersectează axa $Ox$ acolo unde $f(x)=0$: $2x-4=0\Rightarrow x=2$, deci punctul este $(2,0)$.
5. d) Graficul intersectează $Ox$ în $M(2,0)$ și $Oy$ în $N(0,-4)$ (căci $f(0)=-4$). Triunghiul $OMN$ este dreptunghic în $O$, cu $OM=2$ și $ON=4$, deci $MN=\sqrt{O{M}^2+O{N}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. Lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză: $\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$.
6. c) $(x-2{)}^2-2(x-2)+1=((x-2)-1{)}^2=(x-3{)}^2$. Deci $E(x)=\frac{(x-3{)}^2}{(x-3)(x+3)}\cdot \frac{x+3}{x-3}=\frac{(x-3{)}^2\cdot (x+3)}{(x-3)(x+3)\cdot (x-3)}=1$, pentru orice $x$ real, $x\ne -3$ și $x\ne 3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Aria trapezului $ABCD$ este ${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{(AB+CD)\cdot AD}{2}$ (2 p). Înlocuind, ${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{(100+60)\cdot 40\sqrt{3}}{2}=\frac{160\cdot 40\sqrt{3}}{2}=80\cdot 40\sqrt{3}=3200\sqrt{3}{\text{m}}^2$ (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Fie $M$ piciorul perpendicularei din $C$ pe $AB$, adică $CM\perp AB$, $M\in AB$. Cum $AD\perp AB$ și $CM\perp AB$, rezultă $AD\parallel CM$; cum și $DC\parallel AM$ ($AB\parallel CD$), patrulaterul $ADCM$ este dreptunghi, deci $CM=AD=40\sqrt{3}\text{m}$ și $AM=DC=60\text{m}$, de unde $MB=AB-AM=100-60=40\text{m}$ (1 p). Triunghiul $BCM$ este dreptunghic în $M$: $B{C}^2=C{M}^2+M{B}^2=(40\sqrt{3}{)}^2+40^2=4800+1600=6400$, deci $BC=80\text{m}$; laturile $MB=40$, $CM=40\sqrt{3}$, $BC=80$ sunt în raportul $1:\sqrt{3}:2$ (triunghi dreptunghic cu unghiurile $30°$-$60°$-$90°$), deci $m(\angle BCM)=30°$ (3 p). Cum $m(\angle MCD)=90°$ (unghi al dreptunghiului $ADCM$), rezultă $m(\angle BCD)=m(\angle BCM)+m(\angle MCD)=30°+90°=120°$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $ABCD$ este trapez cu $AB\parallel CD$, deci unghiurile $\angle ABC$ și $\angle BCD$ sunt suplementare (unghiuri co-interne): $m(\angle ABC)=180°-m(\angle BCD)=180°-120°=60°$ (1 p). Cum $CE$ împarte trapezul în două suprafețe egale, ${\mathcal{A}}_{CEB}=\frac{1}{2}{\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot 3200\sqrt{3}=1600\sqrt{3}{\text{m}}^2$. Pe de altă parte, ${\mathcal{A}}_{CEB}=\frac{EB\cdot CM}{2}=\frac{EB\cdot 40\sqrt{3}}{2}=EB\cdot 20\sqrt{3}$. Din $EB\cdot 20\sqrt{3}=1600\sqrt{3}$ rezultă $EB=80\text{m}$ (2 p). Cum $EB=BC=80\text{m}$ (arătat mai sus) și $m(\angle EBC)=m(\angle ABC)=60°$, triunghiul $CEB$ este isoscel cu un unghi de $60°$, deci este echilateral (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Baza conului este un cerc de rază $OA=3\text{cm}$, deci ${\mathcal{A}}_{bazei}=\pi \cdot O{A}^2$ (2 p). Înlocuind, ${\mathcal{A}}_{bazei}=\pi \cdot 3^2=9\pi {\text{cm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Generatoarea conului este $VA$; triunghiul $VOA$ este dreptunghic în $O$ ($VO\perp$ planul bazei), deci $V{A}^2=V{O}^2+O{A}^2=4^2+3^2=16+9=25$, de unde $VA=5\text{cm}$ (2 p). Aria laterală a conului este ${\mathcal{A}}_{lateral\breve{a}}=\pi \cdot OA\cdot VA=\pi \cdot 3\cdot 5=15\pi {\text{cm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Cum $VO\perp$ planul bazei și $BC$ este conținut în planul bazei, rezultă $VO\perp BC$ (1 p). Fie $M$ mijlocul segmentului $BC$; cum $OB=OC=3\text{cm}$ și $m(\angle BOC)=90°$, triunghiul $OBC$ este dreptunghic isoscel în $O$, deci mediana $OM$ este și înălțime: $OM\perp BC$. Din $BC\perp VO$ și $BC\perp OM$ rezultă $BC\perp$ planul $(VOM)$, deci $BC\perp VM$ (1 p). Din $OB=OC=3$ și $m(\angle BOC)=90°$, $B{C}^2=O{B}^2+O{C}^2=9+9=18$, deci $BC=3\sqrt{2}\text{cm}$, iar $OM=\frac{BC}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\text{cm}$ (mediana din unghiul drept al unui triunghi dreptunghic isoscel este jumătate din ipotenuză). Generatoarele $VB=VC=VA=5\text{cm}$ (calculat mai sus); în triunghiul isoscel $VBC$, $VM$ este mediană și înălțime: $V{M}^2=V{B}^2-{\left(\frac{BC}{2}\right)}^2=25-{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)}^2=25-4,5=20,5$, deci $VM=\sqrt{20,5}=\frac{\sqrt{82}}{2}\text{cm}$. Triunghiul $VOM$ este dreptunghic în $O$ (căci $VO\perp$ planul bazei, deci $VO\perp OM$); distanța de la $O$ la planul $(VBC)$ este înălțimea din $O$ pe ipotenuza $VM$: $d(O,(VBC))=\frac{VO\cdot OM}{VM}=\frac{4\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{82}}{2}}=\frac{6\sqrt{2}\cdot 2}{\sqrt{82}}=\frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{82}}=\frac{12}{\sqrt{41}}=\frac{12\sqrt{41}}{41}\text{cm}$ (3 p).

Model oficial de subiect de Evaluare Națională, anul școlar 2016-2017, publicat de Ministerul Educației Naționale și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 și Exercițiul 4 de la Subiectul al II-lea, reformulate din sarcinile de desen/reprezentare grafică originale). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este modelul oficial de subiect la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, publicat de Ministerul Educației Naționale și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare (CNEE) pentru anul școlar 2016-2017. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2017, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2017, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Fac excepție două exerciții de la Subiectul al II-lea: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$" — o sarcină de construcție grafică, incompatibilă cu formatul grilă; a fost reformulat ca întrebare cu răspuns unic (numărul muchiilor), păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. La fel, Exercițiul 4 (partea a) a exercițiului original 4, „reprezentați grafic funcția $f$") a fost reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre punctul de intersecție cu axa $Ox$, păstrând identică funcția $f(x)=2x-4$ din enunțul oficial. De asemenea, diagrama circulară din original (Exercițiul 6 de la Subiectul I) este redată aici ca tabel, cu exact aceleași procente ca în documentul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, o proporție (preț pe unitate), cel mai mare număr natural de două cifre, unghiul într-un triunghi echilateral, suma muchiilor unui tetraedru regulat, citirea unei diagrame de procente; numărul muchiilor unui cub, media geometrică a două numere, numere direct proporționale, funcția liniară $f(x)=2x-4$ (intersecția cu axele), lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei, o expresie algebrică cu fracții; geometrie plană (trapez dreptunghic — arie, unghi, triunghi echilateral) și geometrie în spațiu (con circular drept — aria bazei, aria laterală, distanța de la un punct la un plan).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.