Examenul oficial de rezervă — Evaluarea Națională 2017

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $18-12:3$ este egal cu: a) $-6$ b) $2$ c) $14$ d) $6$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dintre cei $30$ de elevi ai unei clase, o treime sunt fete. Numărul fetelor din clasă este egal cu: a) $20$ b) $10$ c) $3$ d) $15$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mare număr întreg din intervalul $(-4,2]$ este egal cu: a) $-4$ b) $3$ c) $1$ d) $2$

Exercițiul 4 · 5 puncte Dacă un dreptunghi are lungimea de $12$ cm și lățimea de $5$ cm, atunci aria acestui dreptunghi este egală cu: a) $60{\text{cm}}^2$ b) $34{\text{cm}}^2$ c) $17{\text{cm}}^2$ d) $30{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un tetraedru regulat $ABCD$ cu $AB=6$ cm. Suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului este egală cu:

a) $18\text{cm}$ b) $36\text{cm}$ c) $24\text{cm}$ d) $30\text{cm}$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos este prezentată repartiția procentuală a celor $400$ de elevi ai unei școli, în funcție de modul lor de deplasare spre școală (conform diagramei din documentul oficial):

Conform tabelului, numărul elevilor care se deplasează spre școală cu bicicleta este egal cu: a) $80$ b) $120$ c) $100$ d) $300$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se consideră o prismă dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$. Numărul vârfurilor prismei $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ este egal cu: a) $6$ b) $9$ c) $5$ d) $8$

Exercițiul 2 · 5 puncte Media geometrică a numerelor $a=0,36$ și $b=0,25$ este egală cu: a) $0,61$ b) $0,09$ c) $0,3$ d) $0,6$

Exercițiul 3 · 5 puncte Un turist a parcurs un traseu în două zile. În prima zi a parcurs $\frac{3}{5}$ din lungimea traseului, iar a doua zi restul de $12$ km. Lungimea traseului parcurs de turist în cele două zile este egală cu: a) $18$ km b) $30$ km c) $20$ km d) $15$ km

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-3$. Graficul funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul de coordonate: a) $(0,3)$ b) $(0,-3)$ c) $(-3,0)$ d) $(3,0)$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-3$. În triunghiul determinat de graficul funcției $f$ și axele sistemului de coordonate $xOy$, lungimea bisectoarei unghiului drept este egală cu: a) $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ b) $3\sqrt{2}$ c) $\frac{3}{2}$ d) $3$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{2x^2-18}{x^2+6x+9}:\frac{10(x-3)}{5x+15}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -3$ și $x\ne 3$. Valoarea expresiei $E(x)$ este egală cu: a) depinde de $x$ b) $1$ c) $-1$ d) $x$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schița unui teren. Patrulaterul $ABCD$ este paralelogram cu $AB=12\sqrt{2}$ m, $BC=12$ m, $m(\angle DAB)=45°$, iar triunghiul $DCF$ este dreptunghic isoscel cu $m(\angle DFC)=90°$.

Arătați că perimetrul triunghiului $DCF$ este egal cu $12(\sqrt{2}+2)$ m.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou terenul din figura alăturată. Patrulaterul $ABCD$ este paralelogram cu $AB=12\sqrt{2}$ m, $BC=12$ m, $m(\angle DAB)=45°$, iar triunghiul $DCF$ este dreptunghic isoscel cu $m(\angle DFC)=90°$.

Arătați că aria terenului este egală cu $216{\text{m}}^2$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou terenul din figura alăturată. Patrulaterul $ABCD$ este paralelogram cu $AB=12\sqrt{2}$ m, $BC=12$ m, $m(\angle DAB)=45°$, iar triunghiul $DCF$ este dreptunghic isoscel cu $m(\angle DFC)=90°$.

Demonstrați că dreptele $CD$ și $BF$ sunt perpendiculare.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=6$ cm. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $A{A}^{\prime }$, respectiv $B{B}^{\prime }$.

Arătați că volumul cubului $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este egal cu $216{\text{cm}}^3$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=6$ cm, din figura alăturată. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $A{A}^{\prime }$, respectiv $B{B}^{\prime }$.

Demonstrați că dreptele $BM$ și $CO$ sunt coplanare, unde punctul $O$ este mijlocul segmentului $A{D}^{\prime }$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=6$ cm, din figura alăturată. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $A{A}^{\prime }$, respectiv $B{B}^{\prime }$.

Calculați valoarea tangentei unghiului determinat de dreptele $B{D}^{\prime }$ și $C^{\prime }N$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $18-12:3=18-4=14$ (întâi împărțirea, apoi scăderea).
2. b) O treime din $30$ este $30:3=10$; deci $10$ fete.
3. d) Intervalul $(-4,2]$ conține numerele reale strict mai mari decât $-4$ și mai mici sau egale cu $2$; cel mai mare număr întreg din interval este $2$ (capătul din dreapta este inclus).
4. a) Aria dreptunghiului $=$ lungime $\times$ lățime $=12\cdot 5=60{\text{cm}}^2$.
5. b) Tetraedrul regulat $ABCD$ are $6$ muchii, toate egale cu $6$ cm (regulat înseamnă toate muchiile egale); suma lungimilor este $6\cdot 6=36$ cm.
6. c) Din tabel: elevii care se deplasează cu bicicleta reprezintă $25\%$ din $400$, adică $\frac{25}{100}\cdot 400=100$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) Prisma dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghi $ABC$ are exact $6$ vârfuri: $A$, $B$, $C$, $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$.
2. c) Media geometrică a lui $a=0,36$ și $b=0,25$ este $\sqrt{0,36\cdot 0,25}=\sqrt{0,36}\cdot \sqrt{0,25}=0,6\cdot 0,5=0,3$.
3. b) Fie $x$ lungimea traseului. A doua zi turistul a parcurs restul, adică $\frac{2}{5}\cdot x=12$, de unde $x=12\cdot \frac{5}{2}=30$ km.
4. d) Graficul intersectează axa $Ox$ acolo unde $f(x)=0$: $x-3=0\Rightarrow x=3$, deci punctul este $(3,0)$.
5. a) Notând $A(3,0)$ intersecția cu $Ox$ și $B(0,-3)$ intersecția cu $Oy$, avem $OA=3$, $OB=3$, deci $AB=3\sqrt{2}$; triunghiul $AOB$ este dreptunghic isoscel, iar bisectoarea unghiului drept este și mediană, deci are lungimea $\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
6. b) $2x^2-18=2(x-3)(x+3)$ și $x^2+6x+9=(x+3{)}^2$, deci $E(x)=\frac{2(x-3)(x+3)}{(x+3{)}^2}\cdot \frac{5(x+3)}{10(x-3)}=\frac{10(x-3)(x+3{)}^2}{10(x+3{)}^2(x-3)}=1$, pentru orice $x$ real, $x\ne -3$ și $x\ne 3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Cum $ABCD$ este paralelogram, laturile opuse sunt egale, deci $DC=AB=12\sqrt{2}$ m. Triunghiul $DCF$ este dreptunghic isoscel cu ipotenuza $DC$, deci catetele sunt $DF=CF=\frac{DC}{\sqrt{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=12$ m (3 p). Perimetrul triunghiului este $P_{DCF}=DC+DF+CF=12\sqrt{2}+12+12=12(\sqrt{2}+2)$ m (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Aria triunghiului $DCF$ este ${\mathcal{A}}_{DCF}=\frac{DF\cdot CF}{2}=\frac{12\cdot 12}{2}=72{\text{m}}^2$ (2 p). Cum $m(\angle DAB)=45°$ și $AD=BC=12$ m, distanța de la $D$ la $AB$ este $d(D,AB)=AD\cdot \sin 45°=12\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$ m, deci ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot d(D,AB)=12\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}=144{\text{m}}^2$ (2 p). Aria terenului este ${\mathcal{A}}_{\text{teren}}={\mathcal{A}}_{DCF}+{\mathcal{A}}_{ABCD}=72+144=216{\text{m}}^2$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Triunghiul $DCF$ este dreptunghic isoscel cu unghiul drept în $F$, deci $m(\angle FDC)=m(\angle FCD)=45°$. $ABCD$ este paralelogram, deci unghiurile opuse sunt egale: $m(\angle BCD)=m(\angle DAB)=45°$. Cum $m(\angle FDC)=m(\angle BCD)=45°$ sunt unghiuri alterne interne (transversala $DC$ intersectează $DF$ și $CB$), rezultă $DF\parallel BC$; cum și $DF=BC=12$ m, patrulaterul $BCFD$ este paralelogram (3 p). Cum $DF=FC$ (catetele triunghiului isoscel), $BCFD$ este romb, iar diagonalele unui romb sunt perpendiculare, deci $BF\perp DC$ (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Volumul cubului $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia $AB=6$ cm este $V_{ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}=A{B}^3=6^3=6\cdot 6\cdot 6=216{\text{cm}}^3$ (5 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $M$ este mijlocul lui $A{A}^{\prime }$ și $O$ este mijlocul lui $A{D}^{\prime }$, deci $MO$ este linie mijlocie în triunghiul $A{A}^{\prime }{D}^{\prime }$, de unde $MO\parallel A^{\prime }{D}^{\prime }$ (2 p). Cum $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel AD$ (muchii opuse ale feței $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$) și $AD\parallel BC$ (laturi opuse ale pătratului $ABCD$), rezultă $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BC$, deci $MO\parallel BC$ (2 p). Fiind paralele, dreptele $MO$ și $BC$ sunt coplanare; cum $M\in BM$ și $O\in CO$, rezultă că dreptele $BM$ și $CO$ sunt coplanare (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Se arată (prin simetria/translația cubului) că $C^{\prime }N\parallel D^{\prime }M$, deci $m(\angle (B{D}^{\prime },C^{\prime }N))=m(\angle (B{D}^{\prime },D^{\prime }M))$ (2 p). Diagonala cubului este $B{D}^{\prime }=AB\sqrt{3}=6\sqrt{3}$ cm. $M$ este mijlocul lui $A{A}^{\prime }=6$ cm, deci $AM=3$ cm; în triunghiul dreptunghic $ABM$ (drept în $A$), $BM=\sqrt{A{B}^2+A{M}^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$ cm, iar prin simetrie $D^{\prime }M=BM=3\sqrt{5}$ cm (2 p). Dacă $P$ este mijlocul lui $B{D}^{\prime }$, atunci $D^{\prime }P=\frac{B{D}^{\prime }}{2}=3\sqrt{3}$ cm, iar triunghiul $M{D}^{\prime }P$ este dreptunghic în $P$, cu $MP=3\sqrt{2}$ cm; deci $\text{tg}(\angle (B{D}^{\prime },D^{\prime }M))=\frac{MP}{D^{\prime }P}=\frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ (1 p).

Examen oficial de rezervă de Evaluare Națională, Varianta 2, destinat absolvenților clasei a VIII-a care au susținut proba în sesiunea de rezervă a anului școlar 2016–2017, publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen/construcție grafică originală, și partea a) a itemului original 4, reformulată din sarcina de reprezentare grafică). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este examenul OFICIAL de REZERVĂ la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Varianta 2, destinat absolvenților clasei a VIII-a care au susținut proba în sesiunea de rezervă a anului școlar 2016–2017, publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial. Acest test este un document diferit de examenul principal al aceleiași sesiuni de examene — conține alte subiecte, alte date numerice și alte figuri.

Notă de transparență privind formatul: în 2017, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2017, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Fac excepție două exerciții de la Subiectul al II-lea, care în original erau sarcini de construcție grafică, incompatibile cu formatul grilă: Exercițiul 1 cerea „desenați, pe foaia de examen, o prismă dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre numărul vârfurilor prismei, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial; și partea a) a exercițiului original 4 cerea „reprezentați grafic funcția $f$" — reformulată (ca Exercițiul 4 al testului nostru) ca întrebare despre punctul de intersecție al graficului cu axa $Ox$, păstrând identică funcția $f(x)=x-3$ din enunțul oficial. De asemenea, diagrama circulară de procente din original (Exercițiul 6 de la Subiectul I) este redată aici ca tabel, cu exact aceleași valori numerice ca în documentul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; cele două probleme cu subpuncte a), b), c) au fost transformate în 6 exerciții independente, fiecare reluând integral enunțul și figura, pentru a putea fi rezolvate separat.

Testul verifică: ordinea operațiilor, o proporție (o treime dintr-un număr), cel mai mare număr întreg dintr-un interval, aria dreptunghiului, un tetraedru regulat (suma tuturor muchiilor), citirea unei diagrame de procente; o prismă dreaptă cu bază triunghiulară (numărul vârfurilor), media geometrică a două numere zecimale, o problemă cu fracții (traseul parcurs de un turist în două zile), funcția liniară $f(x)=x-3$, o expresie algebrică cu fracții; geometrie plană (un teren în formă de paralelogram cu un triunghi dreptunghic isoscel atașat — perimetru, arie, perpendicularitatea a două drepte) și geometrie în spațiu (un cub — volum, coplanaritatea a două drepte, tangenta unghiului dintre două drepte).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.