Simularea națională oficială — Evaluarea Națională 2017

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $9-36:(4+5)$ este egal cu: a) $5$ b) $-3$ c) $0$ d) $13$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $x$ și $y$ sunt numere reale nenule astfel încât $\frac{x}{3}=\frac{4}{y}$, atunci $\frac{xy}{12}$ este egal cu: a) $4$ b) $1$ c) $\frac{1}{4}$ d) $3$

Exercițiul 3 · 5 puncte Produsul numerelor întregi din intervalul $[-3,2]$ este egal cu: a) $-12$ b) $6$ c) $0$ d) $12$

Exercițiul 4 · 5 puncte Lungimea unui cerc este egală cu $100\pi$ cm. Raza acestui cerc este egală cu: a) $100$ cm b) $25$ cm c) $200$ cm d) $50$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=6$ cm. Perimetrul triunghiului $AC{D}^{\prime }$ este egal cu:

a) $18\sqrt{2}$ cm b) $18$ cm c) $6\sqrt{2}$ cm d) $18\sqrt{3}$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos sunt prezentate valorile temperaturilor înregistrate la o stație meteo, din două în două ore pe parcursul unei zile, între ora $7$ și ora $19$:

Conform tabelului, diferența dintre temperatura înregistrată la ora $17$ și temperatura înregistrată la ora $7$ este egală cu: a) $8{}^{\circ }$C b) $12{}^{\circ }$C c) $40{}^{\circ }$C d) $10{}^{\circ }$C

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă triunghiulară regulată cu vârful $V$ și baza triunghiul $ABC$.

Numărul vârfurilor piramidei triunghiulare regulate $VABC$ este egal cu: a) $3$ b) $4$ c) $6$ d) $8$

Exercițiul 2 · 5 puncte Determinați numerele întregi $x$ pentru care numărul $\frac{13}{x-7}$ este natural. Mulțimea acestor numere este egală cu: a) $\{1,13\}$ b) $\{-6,6\}$ c) $\{8,20\}$ d) $\{6,20\}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Suma a două numere naturale este egală cu $280$. Se știe că o treime din primul număr este egală cu o pătrime din al doilea număr. Primul număr este egal cu: a) $160$ b) $140$ c) $100$ d) $120$

Exercițiul 4 · 5 puncte Valoarea expresiei $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}+\frac{2(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}}$ este egală cu: a) $4$ b) $2$ c) $\sqrt{2}$ d) $2\sqrt{2}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră numerele $a=(\sqrt{5}+\sqrt{3}{)}^2$ și $b=(\sqrt{5}-\sqrt{3}{)}^2$. Media geometrică a numerelor $a$ și $b$ este egală cu: a) $8$ b) $16$ c) $2$ d) $4$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră $E=x^2+y^2-2xy-3x-3y+2(2xy+3)$, unde $x$ și $y$ sunt numere reale. Știind că $x+y=5$, valoarea lui $E$ este egală cu: a) $10$ b) $16$ c) $25$ d) $6$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un triunghi dreptunghic $ABC$ cu $m(\angle BAC)=90°$, $AB=9$ cm și $AC=12$ cm. Punctele $M$ și $N$ aparțin laturii $BC$, punctul $Q$ aparține laturii $AB$ și punctul $P$ aparține laturii $AC$, astfel încât $BM=MN=NC=MQ=NP$.

Arătați că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $36$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou triunghiul dreptunghic $ABC$ cu $m(\angle BAC)=90°$, $AB=9$ cm și $AC=12$ cm, ca în figura alăturată. Punctele $M$ și $N$ aparțin laturii $BC$, punctul $Q$ aparține laturii $AB$ și punctul $P$ aparține laturii $AC$, astfel încât $BM=MN=NC=MQ=NP$.

Arătați că aria triunghiului $PMC$ este egală cu $24{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou triunghiul dreptunghic $ABC$ cu $m(\angle BAC)=90°$, $AB=9$ cm și $AC=12$ cm, ca în figura alăturată. Punctele $M$ și $N$ aparțin laturii $BC$, punctul $Q$ aparține laturii $AB$ și punctul $P$ aparține laturii $AC$, astfel încât $BM=MN=NC=MQ=NP$.

Demonstrați că patrulaterul $MNPQ$ este romb.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un pătrat $ABCD$ cu $AB=4$ cm. Pe planul pătratului $ABCD$ se construiesc perpendicularele $AE$ și $CF$ astfel încât $AE=2\sqrt{6}$ cm și $CF=2\sqrt{2}$ cm.

Arătați că $AC=4\sqrt{2}$ cm.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou pătratul $ABCD$ cu $AB=4$ cm, ca în figura alăturată. Pe planul pătratului $ABCD$ se construiesc perpendicularele $AE$ și $CF$ astfel încât $AE=2\sqrt{6}$ cm și $CF=2\sqrt{2}$ cm.

Arătați că aria triunghiului $FBD$ este egală cu $8\sqrt{2}{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou pătratul $ABCD$ cu $AB=4$ cm, ca în figura alăturată. Pe planul pătratului $ABCD$ se construiesc perpendicularele $AE$ și $CF$ astfel încât $AE=2\sqrt{6}$ cm și $CF=2\sqrt{2}$ cm.

Demonstrați că unghiul dintre planele $(EBD)$ și $(FBD)$ are măsura egală cu $75°$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. a) $9-36:(4+5)=9-36:9=9-4=5$ (întâi paranteza și împărțirea, apoi scăderea).
2. b) Din $\frac{x}{3}=\frac{4}{y}$, prin înmulțire încrucișată: $xy=3\cdot 4=12$, deci $\frac{xy}{12}=\frac{12}{12}=1$.
3. c) Numerele întregi din intervalul $[-3,2]$ sunt $-3,-2,-1,0,1,2$; produsul lor este $0$, deoarece conține factorul $0$.
4. d) Din $2\pi r=100\pi$, rezultă $r=50$ cm.
5. a) $AC$, $C{D}^{\prime }$ și $A{D}^{\prime }$ sunt diagonale ale unor fețe ale cubului, fiecare egală cu $6\sqrt{2}$ cm; triunghiul $AC{D}^{\prime }$ este echilateral, deci perimetrul este $3\cdot 6\sqrt{2}=18\sqrt{2}$ cm.
6. b) Din tabel: temperatura la ora $17$ este $26{}^{\circ }$C, iar la ora $7$ este $14{}^{\circ }$C; diferența este $26-14=12{}^{\circ }$C.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) O piramidă triunghiulară regulată $VABC$ are exact $4$ vârfuri: $V$, $A$, $B$, $C$.
2. c) Cum $\frac{13}{x-7}\in \mathbb{N}$, numărul $x-7$ trebuie să fie un divizor natural al lui $13$, adică $x-7=1$ sau $x-7=13$ (singurii divizori naturali ai numărului prim $13$). Rezultă $x=8$ sau $x=20$, deci mulțimea căutată este $\{8,20\}$.
3. d) Fie $a$ primul număr și $b$ al doilea, cu $a+b=280$ și $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}$. Notând $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=k$, obținem $a=3k$, $b=4k$, deci $7k=280$, adică $k=40$. Rezultă $a=120$ și $b=160$; primul număr este $120$.
4. a) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{2+\sqrt{2}}{1}=2+\sqrt{2}$; $\frac{2(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}}=\frac{2(\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{2}=(\sqrt{2}-1)\sqrt{2}=2-\sqrt{2}$. Suma este $(2+\sqrt{2})+(2-\sqrt{2})=4$.
5. c) $ab=(\sqrt{5}+\sqrt{3}{)}^2(\sqrt{5}-\sqrt{3}{)}^2=[(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3}){]}^2=(5-3{)}^2=4$. Media geometrică este $\sqrt{ab}=\sqrt{4}=2$.
6. b) $E=x^2+y^2-2xy-3x-3y+4xy+6=x^2+y^2+2xy-3(x+y)+6=(x+y{)}^2-3(x+y)+6=5^2-3\cdot 5+6=25-15+6=16$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte În triunghiul dreptunghic $ABC$ (drept în $A$), cu teorema lui Pitagora: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=9^2+12^2=81+144=225$ (3 p), deci $BC=15$ cm. Perimetrul este $P_{ABC}=AB+AC+BC=9+12+15=36$ cm (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Cum $BC=15$ cm și $BM=MN=NC$, rezultă $BM=MN=NC=\frac{15}{3}=5$ cm, deci $MC=MN+NC=10$ cm (1 p). În triunghiul $PMC$, $N$ este mijlocul lui $MC$ (deoarece $MN=NC=5$) și $PN=NP=5=\frac{MC}{2}$; cum mediana dintr-un vârf este egală cu jumătate din latura opusă doar atunci când unghiul din acel vârf este drept, rezultă că triunghiul $PMC$ este dreptunghic în $P$ (2 p). Din asemănarea $△PMC\sim △ABC$ (unghi drept în $P$, respectiv $A$, și unghiul $C$ comun), cu raportul $\frac{MC}{BC}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$, obținem $PM=AB\cdot \frac{2}{3}=9\cdot \frac{2}{3}=6$ cm și $PC=AC\cdot \frac{2}{3}=12\cdot \frac{2}{3}=8$ cm, deci ${\mathcal{A}}_{PMC}=\frac{PM\cdot PC}{2}=\frac{6\cdot 8}{2}=24{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Analog cu itemul anterior, în triunghiul $QBN$, $M$ este mijlocul lui $BN$ (deoarece $BM=MN=5$, deci $BN=10$) și $QM=MQ=5=\frac{BN}{2}$, deci triunghiul $QBN$ este dreptunghic în $Q$, de unde $NQ\perp AB$; cum $AB\perp AC$ (unghiul $BAC=90°$) și, din itemul anterior, $MP\perp AC$ (căci unghiul $MPC=90°$), rezultă $MP\perp NQ$ (2 p). Triunghiul $QMN$ este isoscel ($QM=MN=5$ cm) și $MP\perp NQ$, deci, fie $\{O\}=MP\cap NQ$, punctul $O$ este mijlocul lui $NQ$ (înălțimea din vârful unui triunghi isoscel cade pe mijlocul bazei); analog, triunghiul $MNP$ este isoscel ($MN=NP=5$ cm) și $NO\perp MP$, deci $O$ este și mijlocul lui $MP$. Cum diagonalele $MP$ și $NQ$ ale patrulaterului $MNPQ$ se înjumătățesc reciproc (au același mijloc $O$) și sunt perpendiculare, rezultă că $MNPQ$ este romb (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ (cu $B$ vârf al pătratului) este dreptunghic în $B$, cu $AB=BC=4$ cm și ipotenuza $AC$. Cu teorema lui Pitagora: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=16+16=32$ (3 p), deci $AC=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}$ cm (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $CF\perp (ABC)$, iar $CB,CD\subset (ABC)$, deci $CF\perp CB$ și $CF\perp CD$; cum $CB=CD=4$ cm și $CF$ este comună, rezultă $△FCB\equiv △FCD$ (catetă–catetă), deci $FB=FD$, adică triunghiul $FBD$ este isoscel, de unde $FO\perp BD$, unde $\{O\}=AC\cap BD$ (2 p). Triunghiul $FCO$ este dreptunghic în $C$, cu $CO=\frac{AC}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$ cm și $FC=2\sqrt{2}$ cm, deci $FO=\sqrt{F{C}^2+C{O}^2}=\sqrt{8+8}=\sqrt{16}=4$ cm. Rezultă ${\mathcal{A}}_{FBD}=\frac{BD\cdot FO}{2}=\frac{4\sqrt{2}\cdot 4}{2}=8\sqrt{2}{\text{cm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $EA\perp (ABC)$, $AO\perp BD$ (căci $AO$ face parte din diagonala $AC\perp BD$ a pătratului), iar $AO\subset (ABC)$, deci, prin teorema celor trei perpendiculare, $EO\perp BD$ (1 p). Cum $(EBD)\cap (FBD)=BD$, $EO\perp BD$ cu $EO\subset (EBD)$, iar $FO\perp BD$ cu $FO\subset (FBD)$ (din itemul anterior), rezultă $m(\angle ((EBD),(FBD)))=m(\angle EOF)$ (1 p). Triunghiul $FCO$ este dreptunghic isoscel ($FC=CO=2\sqrt{2}$ cm), deci $m(\angle FOC)=45°$; triunghiul $EAO$ este dreptunghic în $A$, cu $AO=2\sqrt{2}$ cm și $EA=2\sqrt{6}$ cm, iar $OE=\sqrt{E{A}^2+A{O}^2}=\sqrt{24+8}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}=2\cdot AO$, adică $AO=\frac{1}{2}OE$, de unde $\tan (\angle EOA)=\frac{EA}{AO}=\frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\sqrt{3}$, deci $m(\angle EOA)=60°$ (2 p). Cum $E$, $A$ și $F$, $C$ sunt de o parte și de alta a dreptei $AC$ (pe care se află $O$), $m(\angle EOF)=180°-m(\angle EOA)-m(\angle FOC)=180°-60°-45°=75°$ (1 p).

Simulare națională oficială de matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, anul școlar 2016-2017, publicată de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen/construcție grafică originală, și Exercițiul 6 de la Subiectul I, cu diagrama originală redată aici ca tabel cu aceleași valori). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este testul de simulare OFICIAL la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare (CNEE), pentru anul școlar 2016–2017. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2017, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns), Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă), iar Subiectul al III-lea avea subpuncte a), b), c) cu rezolvare completă. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2017, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată cu vârful $V$ și baza triunghiul $ABC$" — o sarcină de construcție grafică, incompatibilă cu formatul grilă; a fost reformulat ca întrebare cu răspuns unic (numărul vârfurilor piramidei), păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. De asemenea, diagrama de temperaturi din original (Exercițiul 6 de la Subiectul I) este redată aici ca tabel, cu exact aceleași valori numerice ca în documentul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, o proporție, produsul numerelor întregi dintr-un interval, lungimea cercului și raza, un triunghi format din diagonale de fețe ale unui cub, citirea unui tabel de temperaturi; numărul vârfurilor unei piramide triunghiulare regulate, numere întregi pentru care o fracție este naturală, o sumă de numere naturale cu raport dat, o identitate cu radicali, media geometrică a unor radicali conjugați, o expresie algebrică cunoscând suma a două variabile; geometrie plană (triunghi dreptunghic cu segmente congruente — perimetru, arie, patrulater romb) și geometrie în spațiu (pătrat cu perpendiculare pe planul său — diagonală, arie triunghi, unghi diedru).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.