Examenul oficial de rezervă — Evaluarea Națională 2018

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $12-12:2$ este egal cu: a) $-6$ b) $0$ c) $6$ d) $12$

Exercițiul 2 · 5 puncte Patru manuale de același fel costă $40$ de lei. Două dintre acestea costă: a) $20$ lei b) $10$ lei c) $80$ lei d) $5$ lei

Exercițiul 3 · 5 puncte Scrisă sub formă de interval, mulțimea $A=\{x\in \mathbb{R}\mid -3\le x\le 4\}$ este egală cu: a) $(-3,4)$ b) $[3,4]$ c) $[-3,4)$ d) $[-3,4]$

Exercițiul 4 · 5 puncte Un cerc are lungimea de $6\pi$ cm. Raza acestui cerc este egală cu: a) $6$ cm b) $3$ cm c) $12$ cm d) $9$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCDEFGH$ cu $AB=4$ cm. Distanța dintre planul $(ABC)$ și planul $(EFH)$ este egală cu:

a) $8$ cm b) $2$ cm c) $4$ cm d) $4\sqrt{2}$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos sunt prezentate, în procente, rezultatele obținute la aplicarea unui chestionar. La chestionar au răspuns $2000$ de persoane:

Conform tabelului, numărul de persoane care au ales la chestionar răspunsul „Da" este egal cu: a) $400$ b) $500$ c) $900$ d) $200$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o prismă dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghi echilateral.

Numărul vârfurilor prismei drepte $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ este egal cu: a) $9$ b) $6$ c) $8$ d) $5$

Exercițiul 2 · 5 puncte Produsul a două numere naturale este egal cu $108$. Știind că $6$ este cel mai mare divizor comun al lor, suma celor două numere este egală cu: a) $24$ b) $30$ c) $42$ d) $15$

Exercițiul 3 · 5 puncte Un turist a parcurs un traseu în trei zile. În prima zi turistul a parcurs două cincimi din lungimea traseului, a doua zi jumătate din rest și încă $2$ km, iar a treia zi turistul a parcurs $7$ km. Lungimea traseului parcurs în cele trei zile este egală cu: a) $20$ km b) $35$ km c) $30$ km d) $25$ km

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+2$. Graficul funcției $f$ intersectează axa $Oy$ în punctul de coordonate: a) $(0,2)$ b) $(2,0)$ c) $(0,-2)$ d) $(-2,0)$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+2$. În sistemul de coordonate $xOy$, punctul $C(a,b)$ este situat pe graficul funcției $f$. Știind că distanța de la punctul $C$ la axa $Ox$ este egală cu $7$, numerele întregi $a$ și $b$ sunt egale cu: a) $(3,-7)$ b) $(-3,7)$ c) $(-3,-7)$ d) $(-7,-3)$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{7x+7}{x^2+3x+2}-\frac{5}{x-2}+\frac{6}{x^2-4}\right):\frac{x-9}{x^2-4}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -2$, $x\ne -1$, $x\ne 2$ și $x\ne 9$. Valoarea expresiei $E(x)$ este egală cu: a) $x+2$ b) depinde de $x$ c) $-2$ d) $2$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Figura alăturată este schița unui teren format din pătratul $ABCD$ cu $AB=30$ m și din triunghiul echilateral $ADE$.

Arătați că perimetrul pătratului $ABCD$ este egal cu $120$ m.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou terenul format din pătratul $ABCD$ cu $AB=30$ m și din triunghiul echilateral $ADE$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că triunghiul $EBC$ este isoscel.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou terenul format din pătratul $ABCD$ cu $AB=30$ m și din triunghiul echilateral $ADE$. Se consideră punctul $M$ mijlocul laturii $AD$, punctul $N$ mijlocul laturii $BC$ și $O$ punctul de intersecție a diagonalelor pătratului $ABCD$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că punctele $E$, $M$, $N$ și $O$ sunt coliniare.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată $VABCD$ cu $AB=12$ cm și $VO=6\sqrt{3}$ cm, unde $\{O\}=AC\cap BD$. Punctul $M$ este situat pe înălțimea $VO$ astfel încât $OM=\frac{1}{3}VO$.

Arătați că volumul piramidei $VABCD$ este egal cu $288\sqrt{3}{\text{cm}}^3$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou piramida patrulateră regulată $VABCD$ cu $AB=12$ cm și $VO=6\sqrt{3}$ cm, unde $\{O\}=AC\cap BD$, ca în figura alăturată. Punctul $M$ este situat pe înălțimea $VO$ astfel încât $OM=\frac{1}{3}VO$.

Determinați aria triunghiului $MBC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou piramida patrulateră regulată $VABCD$ cu $AB=12$ cm și $VO=6\sqrt{3}$ cm, unde $\{O\}=AC\cap BD$, ca în figura alăturată. Punctul $M$ este situat pe înălțimea $VO$ astfel încât $OM=\frac{1}{3}VO$.

Calculați măsura unghiului determinat de planele $(MBC)$ și $(VBC)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $12-12:2=12-6=6$ (întâi împărțirea, apoi scăderea).
2. a) Un manual costă $40:4=10$ lei, deci două manuale costă $2\cdot 10=20$ lei.
3. d) Mulțimea $A=\{x\in \mathbb{R}\mid -3\le x\le 4\}$ conține toate numerele reale dintre $-3$ și $4$, inclusiv capetele, deci $A=[-3,4]$.
4. b) Din $2\pi r=6\pi$, rezultă $r=3$ cm.
5. c) Planul $(ABC)$ este planul feței $ABCD$ (baza cubului), iar planul $(EFH)$ este planul feței $EFGH$ (fața opusă); distanța dintre aceste două plane paralele este chiar muchia cubului, $AB=4$ cm.
6. b) Numărul persoanelor care au răspuns „Da" este $25\%\cdot 2000=500$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) Prisma dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghi echilateral are exact $6$ vârfuri: $A$, $B$, $C$, $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$.
2. a) Fie $x=6m$, $y=6n$, cu $(m,n)=1$. Din $xy=108$ rezultă $36mn=108$, deci $mn=3$, de unde $\{m,n\}=\{1,3\}$, adică $\{x,y\}=\{6,18\}$. Suma este $6+18=24$.
3. c) Fie $x$ lungimea traseului. În prima zi s-au parcurs $\frac{2}{5}x$, rămân $\frac{3}{5}x$; a doua zi s-a parcurs $\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}x+2=\frac{3}{10}x+2$; a treia zi $7$ km. Din $\frac{2}{5}x+\frac{3}{10}x+2+7=x$ rezultă $x-\frac{7}{10}x=9$, deci $\frac{3}{10}x=9$, adică $x=30$ km.
4. a) Graficul intersectează axa $Oy$ acolo unde $x=0$: $f(0)=3\cdot 0+2=2$, deci punctul este $(0,2)$.
5. c) $C(a,b)$ este pe grafic, deci $b=f(a)=3a+2$. Distanța de la $C$ la axa $Ox$ este $7$, deci $b=7$ sau $b=-7$. Din $b=-7$: $3a+2=-7\Rightarrow a=-3$ (întreg, convine). Din $b=7$: $3a+2=7\Rightarrow a=\frac{5}{3}$ (nu convine, nu e întreg). Deci $(a,b)=(-3,-7)$.
6. d) $E(x)=\left(\frac{7(x+1)}{(x+1)(x+2)}-\frac{5}{x-2}+\frac{6}{(x-2)(x+2)}\right)\cdot \frac{x^2-4}{x-9}=\left(\frac{7}{x+2}-\frac{5}{x-2}+\frac{6}{(x-2)(x+2)}\right)\cdot \frac{(x-2)(x+2)}{x-9}=\frac{7(x-2)-5(x+2)+6}{x-9}=\frac{7x-14-5x-10+6}{x-9}=\frac{2x-18}{x-9}=\frac{2(x-9)}{x-9}=2$, pentru orice $x$ real, $x\ne -2$, $x\ne -1$, $x\ne 2$ și $x\ne 9$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $P_{ABCD}=4\cdot AB$ (2 p) $=4\cdot 30=120$ m (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $m(\angle BAE)=m(\angle BAD)+m(\angle DAE)=90°+60°=150°$ și $m(\angle CDE)=m(\angle CDA)+m(\angle ADE)=90°+60°=150°$, deci $\angle BAE\equiv \angle CDE$ (2 p). Cum $AB=DC$ (laturi ale pătratului) și $AE=DE$ (laturi ale triunghiului echilateral $ADE$), rezultă $△ABE\equiv △DCE$ (LUL), deci $BE=CE$, adică triunghiul $EBC$ este isoscel (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Punctul $M$ este mijlocul laturii $AD$ în triunghiul echilateral $ADE$, deci $EM$ este mediană și, într-un triunghi echilateral, mediana este și înălțime, adică $EM\perp AD$. Punctul $N$ este mijlocul laturii $BC$, iar segmentul $MN$ (linia mijlocie dintre laturile opuse $AD$ și $BC$ ale pătratului $ABCD$) este perpendicular pe $AD$. Cum $EM\perp AD$ și $MN\perp AD$ trec prin același punct $M$ (există o singură perpendiculară pe $AD$ dusă prin $M$), rezultă că $E$, $M$, $N$ sunt coliniare (3 p). Punctul $O$, intersecția diagonalelor pătratului $ABCD$, este centrul pătratului, iar centrul unui pătrat se află pe linia mijlocie $MN$ dintre laturile opuse; deci punctele $E$, $M$, $O$ și $N$ sunt coliniare (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte ${\mathcal{A}}_{ABCD}=A{B}^2=12^2=144{\text{cm}}^2$ (2 p). $V_{VABCD}=\frac{{\mathcal{A}}_{ABCD}\cdot VO}{3}=\frac{144\cdot 6\sqrt{3}}{3}=288\sqrt{3}{\text{cm}}^3$ (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $OM=\frac{1}{3}VO=\frac{1}{3}\cdot 6\sqrt{3}=2\sqrt{3}$ cm; $ON=\frac{AB}{2}=6$ cm (distanța de la centrul pătratului la o latură a pătratului). Cum $MO\perp (ABC)$ și $ON\perp BC$, rezultă $MN\perp BC$ (teorema celor trei perpendiculare), unde $MN=\sqrt{O{M}^2+O{N}^2}=\sqrt{12+36}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$ cm (3 p). ${\mathcal{A}}_{△MBC}=\frac{BC\cdot MN}{2}=\frac{12\cdot 4\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Cum $(MBC)\cap (VBC)=BC$, $MN\perp BC$ cu $MN\subset (MBC)$, și $VN\perp BC$ cu $VN\subset (VBC)$ (căci $N$, mijlocul lui $BC$, dă apotema $VN$ a feței $VBC$), rezultă $m(\angle ((MBC),(VBC)))=m(\angle MNV)$ (2 p). În triunghiul $VON$, dreptunghic în $O$ (căci $VO\perp (ABC)$), cu $VO=6\sqrt{3}$ cm și $ON=6$ cm: $\mathrm{tg}(\angle VNO)=\frac{VO}{ON}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}$, deci $m(\angle VNO)=60°$. În triunghiul $MON$, dreptunghic în $O$, cu $OM=2\sqrt{3}$ cm: $\mathrm{tg}(\angle MNO)=\frac{OM}{ON}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, deci $m(\angle MNO)=30°$. Cum punctul $M$ se află pe segmentul $OV$, rezultă $m(\angle MNV)=m(\angle VNO)-m(\angle MNO)=60°-30°=30°$ (3 p).

Examen oficial de rezervă la Evaluarea Națională, Varianta 4, susținut de absolvenții clasei a VIII-a care au avut nevoie de sesiunea specială a anului școlar 2017–2018, publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen/construcție grafică originală, și partea a) a itemului original 4, reformulată din sarcina de reprezentare grafică). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este examenul OFICIAL de rezervă la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Varianta 4, susținut de absolvenții clasei a VIII-a care au avut nevoie de sesiunea specială (de rezervă) a anului școlar 2017–2018, publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Este un document diferit de subiectul principal al sesiunii 2017–2018 (o altă variantă, cu alte numere și alte figuri). Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial de rezervă.

Notă de transparență privind formatul: în 2018, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2018, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Fac excepție două exerciții de la Subiectul al II-lea: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, o prismă dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghi echilateral" — o sarcină de construcție grafică, incompatibilă cu formatul grilă; a fost reformulat ca întrebare cu răspuns unic (numărul vârfurilor prismei), păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. La fel, sarcina originală „reprezentați grafic funcția $f$" (partea a) a exercițiului 4 din original) a fost reformulată ca întrebare cu răspuns unic despre punctul de intersecție a graficului cu axa $Oy$, păstrând identică funcția $f(x)=3x+2$ din enunțul oficial. De asemenea, diagrama circulară din original (Exercițiul 6 de la Subiectul I) este redată aici ca tabel, cu exact aceleași procente ca în documentul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, o proporție de tip preț, un interval de numere reale, raza unui cerc din lungimea sa, distanța dintre două plane paralele ale unui cub, citirea unei diagrame de procente; numărul vârfurilor unei prisme drepte cu baza triunghi echilateral, cel mai mare divizor comun aplicat la un produs de numere naturale, o problemă cu fracții (traseu parcurs în trei zile), funcția liniară $f(x)=3x+2$, o expresie algebrică cu fracții; geometrie plană (pătrat cu triunghi echilateral alăturat — perimetru, triunghi isoscel, puncte coliniare) și geometrie în spațiu (piramidă patrulateră regulată — volum, aria unui triunghi secțiune, unghiul diedru dintre două plane).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.