Modelul oficial CNEE — Evaluarea Națională 2019

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $18+18:6$ este egal cu: a) $6$ b) $21$ c) $3$ d) $42$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{4}=\frac{5}{2}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $20$ b) $8$ c) $10$ d) $2,5$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mare număr par din mulțimea $M=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ este egal cu: a) $7$ b) $4$ c) $2$ d) $6$

Exercițiul 4 · 5 puncte Punctele $D$, $E$ și $F$ sunt mijloacele laturilor triunghiului $ABC$. Dacă $AB=6$ cm, $BC=8$ cm și $AC=10$ cm, atunci perimetrul triunghiului $DEF$ este egal cu: a) $12$ cm b) $24$ cm c) $18$ cm d) $10$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Măsura unghiului determinat de dreptele $A{D}^{\prime }$ și $B{B}^{\prime }$ este egală cu:

a) $60°$ b) $30°$ c) $45°$ d) $90°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul următor sunt prezentate informații referitoare la țările reprezentate într-un proiect internațional și la numărul de participanți din fiecare țară.

Conform tabelului, procentul reprezentat de numărul de participanți din Franța, din numărul total de participanți, este egal cu: a) $15\%$ b) $20\%$ c) $16\%$ d) $10\%$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se consideră o piramidă patrulateră regulată de vârf $V$ și bază $ABCD$, ca în figura alăturată.

Numărul muchiilor piramidei patrulatere regulate $VABCD$ este egal cu: a) $5$ b) $4$ c) $8$ d) $6$

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră numerele $a={\left(2+\sqrt{3}\right)}^2$ și $b=7-\frac{12}{\sqrt{3}}$. Media aritmetică a numerelor $a$ și $b$ este egală cu: a) $7$ b) $14$ c) $4\sqrt{3}$ d) $7+4\sqrt{3}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Dacă elevii unei clase se așază câte trei în bancă, rămân patru bănci libere, iar dacă se așază câte doi în bancă, un elev rămâne singur în bancă și nu rămân bănci libere. Numărul de bănci din această clasă este egal cu: a) $9$ b) $21$ c) $12$ d) $11$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+6$, unde $a$ este număr real nenul. Pentru $a=-2$, funcția este $f(x)=-2x+6$. Graficul funcției $f$ intersectează axa $Oy$ în punctul de coordonate: a) $(6,0)$ b) $(0,6)$ c) $(0,-6)$ d) $(3,0)$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+6$, unde $a$ este număr real nenul. În sistemul de coordonate $xOy$ se consideră $A$ și $B$, punctele de intersecție a graficului funcției $f$ cu axele $Ox$, respectiv $Oy$. Numerele reale $a$, știind că $\text{tg}(\sphericalangle OAB)=2$, sunt egale cu: a) $-2$ și $2$ b) doar $2$ c) doar $-2$ d) $-3$ și $3$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{x+1}{x-3}-\frac{x^2+3x+2}{x^2+4x+3}-\frac{1}{9-x^2}\right):\frac{x+2}{x^2-9}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -3$, $x\ne -2$, $x\ne -1$ și $x\ne 3$. Numărul real $m$, știind că $E(m)=2m+1$, este egal cu: a) $5$ b) $-2$ c) $2$ d) $1$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un trapez $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $BC=CD=AD=6$ cm și $AB=12$ cm. Punctul $E$ este simetricul punctului $D$ față de dreapta $AB$, iar $F$ și $G$ sunt punctele de intersecție a dreptei $CD$ cu dreptele $EA$, respectiv $EB$.

Arătați că perimetrul trapezului $ABCD$ este egal cu $30$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $BC=CD=AD=6$ cm și $AB=12$ cm, ca în figura alăturată. Punctul $E$ este simetricul punctului $D$ față de dreapta $AB$, iar $F$ și $G$ sunt punctele de intersecție a dreptei $CD$ cu dreptele $EA$, respectiv $EB$.

Demonstrați că triunghiul $ADF$ este echilateral.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $BC=CD=AD=6$ cm și $AB=12$ cm, ca în figura alăturată. Punctul $E$ este simetricul punctului $D$ față de dreapta $AB$, iar $F$ și $G$ sunt punctele de intersecție a dreptei $CD$ cu dreptele $EA$, respectiv $EB$.

Demonstrați că dreptele $EF$ și $EG$ sunt perpendiculare.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o prismă dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$, $AB=10$ cm și $A{A}^{\prime }=12$ cm. Punctul $M$ este situat pe muchia $A{A}^{\prime }$ astfel încât $AM=9$ cm și punctul $P$ este mijlocul muchiei $A{A}^{\prime }$.

Arătați că aria laterală a prismei $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ este egală cu $360{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou prisma dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$, $AB=10$ cm și $A{A}^{\prime }=12$ cm, ca în figura alăturată. Punctul $M$ este situat pe muchia $A{A}^{\prime }$ astfel încât $AM=9$ cm și punctul $P$ este mijlocul muchiei $A{A}^{\prime }$.

Arătați că distanța de la punctul $M$ la dreapta $BC$ este egală cu $2\sqrt{39}$ cm.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou prisma dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$, $AB=10$ cm și $A{A}^{\prime }=12$ cm, ca în figura alăturată. Punctul $M$ este situat pe muchia $A{A}^{\prime }$ astfel încât $AM=9$ cm și punctul $P$ este mijlocul muchiei $A{A}^{\prime }$.

Demonstrați că dreapta $PO$ este paralelă cu planul $(MBC)$, unde punctul $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului $ABC$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) Se efectuează întâi împărțirea, apoi adunarea: $18+18:6=18+3=21$.
2. c) Din $\frac{x}{4}=\frac{5}{2}$ rezultă $x=\frac{4\cdot 5}{2}=10$.
3. d) Numerele pare din $M=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ sunt $2,4,6$; cel mai mare este $6$.
4. a) Triunghiul $DEF$ (cu $D$, $E$, $F$ mijloacele laturilor lui $ABC$) are perimetrul egal cu jumătate din perimetrul triunghiului $ABC$: $P_{DEF}=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{6+8+10}{2}=12$ cm.
5. c) $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ este o față pătrată a cubului; $A{A}^{\prime }\perp AD$, deci diagonala $A{D}^{\prime }$ formează cu latura $A{A}^{\prime }$ (paralelă cu $B{B}^{\prime }$) un unghi de $45°$ (diagonala unui pătrat înjumătățește unghiul drept).
6. b) Numărul total de participanți este $15+8+10+5+3+9=50$; procentul din Franța este $\frac{10}{50}=20\%$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) Piramida patrulateră regulată $VABCD$ are $4$ muchii ale bazei ($AB$, $BC$, $CD$, $DA$) și $4$ muchii laterale ($VA$, $VB$, $VC$, $VD$), în total $8$ muchii.
2. a) $a=(2+\sqrt{3}{)}^2=4+4\sqrt{3}+3=7+4\sqrt{3}$; $b=7-\frac{12}{\sqrt{3}}=7-\frac{12\sqrt{3}}{3}=7-4\sqrt{3}$. Media aritmetică este $\frac{a+b}{2}=\frac{(7+4\sqrt{3})+(7-4\sqrt{3})}{2}=\frac{14}{2}=7$.
3. d) Fie $b$ numărul de bănci și $n$ numărul de elevi. Așezați câte $3$ în bancă, rămân $4$ bănci libere: $n=3(b-4)$. Așezați câte $2$ în bancă, un elev rămâne singur și nu rămân bănci libere: $n=2(b-1)+1$. Din $3(b-4)=2(b-1)+1$ rezultă $3b-12=2b-1$, deci $b=11$.
4. b) Pentru $a=-2$, $f(x)=-2x+6$; $f(0)=6$, deci graficul intersectează axa $Oy$ în punctul $(0,6)$.
5. a) Fie $A(-\frac{6}{a},0)$ și $B(0,6)$ punctele de intersecție cu axele; $OA=\frac{6}{|a|}$ și $OB=6$. Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$, deci $\text{tg}(\sphericalangle OAB)=\frac{OB}{OA}=|a|$. Din $|a|=2$ rezultă $a=-2$ sau $a=2$.
6. c) Se arată că $E(x)=5$ pentru orice $x$ real din domeniu (expresie constantă). Din $E(m)=2m+1$ obținem $5=2m+1$, deci $m=2$ (care convine, fiind diferit de $-3$, $-2$, $-1$ și $3$).

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD$ (3 p). Înlocuind, $P_{ABCD}=12+6+6+6=30$ cm (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Fie $M=AB\cap DE$; triunghiul $AMD$ este dreptunghic în $M$, cu $AD=6$ cm și, cum $ABCD$ este trapez isoscel, $AM=\frac{AB-CD}{2}=\frac{12-6}{2}=3$ cm, de unde $\cos (\sphericalangle DAM)=\frac{AM}{AD}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$, deci $m(\sphericalangle DAM)=60°$ (2 p). $E$ este simetricul lui $D$ față de dreapta $AB$, deci $\sphericalangle EAM\equiv \sphericalangle DAM$, deci $m(\sphericalangle DAE)=m(\sphericalangle DAM)+m(\sphericalangle MAE)=120°$; cum punctele $E$, $A$ și $F$ sunt coliniare, obținem $m(\sphericalangle DAF)=180°-120°=60°$ (1 p). $AB\parallel DC$, iar unghiurile $\sphericalangle ADF$ și $\sphericalangle DAM$ sunt alterne interne, deci $m(\sphericalangle ADF)=m(\sphericalangle DAM)=60°$, de unde obținem că triunghiul $ADF$ are unghiurile din $A$ și din $D$ egale cu $60°$, deci și al treilea unghi este $60°$: triunghiul $ADF$ este echilateral (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Triunghiul $BCD$ este isoscel ($BC=CD=6$ cm); cum unghiul trapezului $\sphericalangle BCD=180°-m(\sphericalangle ADF)=180°-60°=120°$ (unghi suplementar cu $\sphericalangle ADC$, calculat similar la itemul anterior pentru vârful $C$), rezultă $m(\sphericalangle CBD)=m(\sphericalangle CDB)=\frac{180°-120°}{2}=30°$ (2 p). Cum $AB\parallel CD$, unghiurile $\sphericalangle ABD$ și $\sphericalangle BDC$ sunt alterne interne (transversala $BD$), deci $m(\sphericalangle ABD)=m(\sphericalangle BDC)=30°$; cum $E$ este simetricul lui $D$ față de dreapta $AB$, obținem $m(\sphericalangle ABE)=m(\sphericalangle ABD)=30°$ și $m(\sphericalangle EAB)=m(\sphericalangle DAB)=m(\sphericalangle DAM)=60°$ (2 p). În triunghiul $ABE$, $m(\sphericalangle AEB)=180°-60°-30°=90°$; cum $F\in$ semidreapta $AE$ (dincolo de $A$) și $G\in$ semidreapta $BE$ (dincolo de $B$), unghiul $\sphericalangle FEG$ coincide cu unghiul $\sphericalangle AEB=90°$, deci dreptele $EF$ și $EG$ sunt perpendiculare (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Aria laterală a prismei drepte este ${\mathcal{A}}_{lateral\breve{a}}=P_{△ABC}\cdot A{A}^{\prime }$, unde $P_{△ABC}$ este perimetrul bazei (2 p). Triunghiul $ABC$ este echilateral cu latura $10$ cm, deci $P_{△ABC}=3\cdot 10=30$ cm, iar $A{A}^{\prime }=12$ cm, deci ${\mathcal{A}}_{lateral\breve{a}}=30\cdot 12=360{\text{cm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $MA\perp (ABC)$, deoarece prisma este dreaptă (deci $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$ și $M\in A{A}^{\prime }$); fie $N\in BC$ astfel încât $AN\perp BC$ ($AN$ este înălțimea din $A$ a triunghiului echilateral $ABC$); din teorema celor trei perpendiculare, $MN\perp BC$ (2 p). $AN$ este înălțime în triunghiul echilateral cu latura $10$ cm: $AN=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$ cm (1 p). $d(M,BC)=MN=\sqrt{A{M}^2+A{N}^2}=\sqrt{9^2+(5\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{81+75}=\sqrt{156}=2\sqrt{39}$ cm (2 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $P$ este mijlocul muchiei $A{A}^{\prime }$, deci $AP=\frac{A{A}^{\prime }}{2}=\frac{12}{2}=6$ cm, deci $\frac{AP}{AM}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$ (2 p). $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului echilateral $ABC$, care coincide cu centrul de greutate al triunghiului (deci cu punctul de intersecție al medianelor); cum centrul de greutate împarte fiecare mediană (aici, înălțimea-mediană $AN$) în raportul $2:1$ față de vârf, obținem $\frac{AO}{AN}=\frac{2}{3}$ (2 p). Cum $\frac{AP}{AM}=\frac{AO}{AN}=\frac{2}{3}$, din reciproca teoremei lui Thales rezultă $PO\parallel MN$; cum $MN\subset (MBC)$ ($M$ și $N\in BC$ aparțin planului $(MBC)$) și $PO\not\subset (MBC)$, obținem $PO\parallel (MBC)$ (1 p).

Model oficial de subiect pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, anul școlar 2018-2019, publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 și partea a) a itemului 4 de la Subiectul al II-lea, reformulate din sarcinile de desen/construcție și reprezentare grafică originale). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este Modelul OFICIAL de subiect la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare (CNEE) pentru anul școlar 2018-2019. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în modelul din 2018-2019, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2018-2019, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Fac excepție două exerciții de la Subiectul al II-lea, sarcini de desen/reprezentare grafică incompatibile cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, o piramidă patrulateră regulată de vârf $V$ și bază $ABCD$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre numărul muchiilor piramidei, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial; și Exercițiul 4 (partea a) a exercițiului original 4), care cerea „reprezentați grafic funcția $f$ într-un sistem de coordonate $xOy$" pentru $a=-2$ — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre punctul de intersecție a graficului cu axa $Oy$, păstrând identică funcția $f(x)=ax+6$ din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, rezolvarea unei proporții, cel mai mare număr par dintr-o mulțime dată, linia mijlocie într-un triunghi (perimetrul triunghiului median), unghiul dintre două drepte într-un cub, citirea unui tabel cu numărul de participanți la un proiect internațional și calculul unui procent; numărul muchiilor unei piramide patrulatere regulate, media aritmetică a două numere cu radicali, o problemă cu așezarea elevilor în bănci (ecuație de gradul I), funcția liniară $f(x)=ax+6$ (intersecția cu axele și tangenta unui unghi), o expresie algebrică cu fracții arătată a fi constantă; geometrie plană (un trapez isoscel cu un punct simetric față de o latură — perimetru, triunghi echilateral și drepte perpendiculare) și geometrie în spațiu (o prismă dreaptă cu baza triunghi echilateral — arie laterală, distanța de la un punct la o dreaptă și paralelismul unei drepte cu un plan, folosind centrul de greutate al triunghiului echilateral).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.