Simularea națională oficială — Evaluarea Națională 2019

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $3\cdot 10-60:3$ este egal cu: a) $-10$ b) $10$ c) $50$ d) $30$

Exercițiul 2 · 5 puncte Prețul unui obiect este de $100$ de lei. După o ieftinire cu $25\%$, prețul obiectului va fi de: a) $125$ lei b) $25$ lei c) $75$ lei d) $80$ lei

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mare număr natural par, de trei cifre, scris cu cifre distincte, este egal cu: a) $998$ b) $986$ c) $984$ d) $996$

Exercițiul 4 · 5 puncte Aria unui cerc este egală cu $100\pi {\text{cm}}^2$. Raza acestui cerc este egală cu: a) $10$ cm b) $50$ cm c) $100$ cm d) $20$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu baza pătrat.

Măsura unghiului determinat de dreptele $BC$ și $A^{\prime }{C}^{\prime }$ este egală cu: a) $30°$ b) $60°$ c) $90°$ d) $45°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos sunt prezentate valorile temperaturii indicate de un termometru, într-o zi, de la ora $11$ până la ora $19$, măsurate din oră în oră:

Conform tabelului, cea mai mare diferență dintre temperaturile înregistrate este egală cu: a) $7°C$ b) $8°C$ c) $5°C$ d) $4°C$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se consideră o piramidă triunghiulară cu vârful $V$ și baza $ABC$, ca în figura alăturată.

Numărul muchiilor piramidei este egal cu: a) $6$ b) $4$ c) $3$ d) $8$

Exercițiul 2 · 5 puncte Determinați numărul natural $\overline{ab}$, știind că $\overline{ba}+5(a+2b)=124$. Numărul $\overline{ab}$ este egal cu: a) $54$ b) $45$ c) $40$ d) $35$

Exercițiul 3 · 5 puncte Numerele naturale $x$, $y$, $z$ sunt direct proporționale cu numerele $2$, $8$, $10$. Știind că media geometrică a numerelor $x$ și $y$ este egală cu $12$, media aritmetică a numerelor $x$, $y$ și $z$ este egală cu: a) $60$ b) $15$ c) $20$ d) $18$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numerele reale $a=(\sqrt{5}+\sqrt{3}{)}^2-\left(\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{3}}+\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\right)-(1-\sqrt{2}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2$ și $b=2\sqrt{2}-3$. Valoarea numărului $a$ este egală cu: a) $3-2\sqrt{2}$ b) $1+2\sqrt{2}$ c) $8+2\sqrt{15}$ d) $3+2\sqrt{2}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou numerele reale $a=(\sqrt{5}+\sqrt{3}{)}^2-\left(\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{3}}+\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\right)-(1-\sqrt{2}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2$ și $b=2\sqrt{2}-3$. Numărul real $x=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{ab}$ aparține intervalului: a) $\left(-5,-\frac{23}{5}\right)$ b) $\left(-\frac{23}{5},0\right)$ c) $(4,5)$ d) $\left(\frac{23}{5},5\right)$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=(x+3{)}^2-(x-1)(x+1)+x(x-5)-10$, unde $x$ este număr real. Expresia $E(x)$, redusă la forma cea mai simplă, este egală cu: a) $x^2-x$ b) $x^2+x+1$ c) $x^2+x$ d) $2x+1$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se consideră trapezul dreptunghic $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, $m(\sphericalangle BAD)=90°$, $AB=12$ cm, $CD=4$ cm și $AD=8$ cm. Punctul $E$ aparține laturii $AB$, astfel încât $AE=4$ cm, iar punctul $F$ aparține laturii $AD$, astfel încât $AF=6$ cm, ca în figura alăturată.

Arătați că aria trapezului $ABCD$ este egală cu $64{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou trapezul dreptunghic $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, $m(\sphericalangle BAD)=90°$, $AB=12$ cm, $CD=4$ cm și $AD=8$ cm, cu punctul $E$ pe latura $AB$ astfel încât $AE=4$ cm și punctul $F$ pe latura $AD$ astfel încât $AF=6$ cm, ca în figura alăturată.

Determinați măsura unghiului $BCD$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou trapezul dreptunghic $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, $m(\sphericalangle BAD)=90°$, $AB=12$ cm, $CD=4$ cm și $AD=8$ cm, cu punctul $E$ pe latura $AB$ astfel încât $AE=4$ cm și punctul $F$ pe latura $AD$ astfel încât $AF=6$ cm, ca în figura alăturată.

Demonstrați că dreptele $CE$ și $FO$ sunt perpendiculare, unde $\{O\}=AC\cap BD$.

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=16$ cm și $BC=8$ cm. Fie $O$ punctul de intersecție a diagonalelor dreptunghiului $ABCD$ și $M$ mijlocul segmentului $CD$. Pe planul dreptunghiului $ABCD$ se construiește perpendiculara $VM=8$ cm, pe care se consideră punctul $F$ astfel încât $\frac{MF}{VF}=\frac{1}{3}$, ca în figura alăturată.

Calculați perimetrul dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=16$ cm și $BC=8$ cm, $O$ punctul de intersecție a diagonalelor, $M$ mijlocul segmentului $CD$ și perpendiculara $VM=8$ cm pe planul dreptunghiului, cu punctul $F$ pe $VM$ astfel încât $\frac{MF}{VF}=\frac{1}{3}$, ca în figura alăturată.

Arătați că distanța de la punctul $V$ la dreapta $AB$ este egală cu $8\sqrt{2}$ cm.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=16$ cm și $BC=8$ cm, $O$ punctul de intersecție a diagonalelor, $M$ mijlocul segmentului $CD$ și perpendiculara $VM=8$ cm pe planul dreptunghiului, cu punctul $F$ pe $VM$ astfel încât $\frac{MF}{VF}=\frac{1}{3}$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că dreapta $EF$ este paralelă cu planul $(VAB)$, unde punctul $E$ este mijlocul segmentului $OM$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $3\cdot 10-60:3=30-20=10$ (întâi înmulțirea și împărțirea, apoi scăderea).
2. c) Reducerea este $100\cdot 25\%=25$ lei, deci prețul final este $100-25=75$ lei.
3. b) Pentru a fi maxim, prima cifră trebuie să fie $9$, a doua cea mai mare cifră distinctă posibilă este $8$, iar ultima cifră trebuie să fie pară și distinctă de $9$ și $8$, deci cea mai mare posibilă este $6$; numărul este $986$.
4. a) Din $\pi r^2=100\pi$ rezultă $r^2=100$, deci $r=10$ cm.
5. d) $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ (segmente congruente, obținute prin translație pe verticala feței laterale), deci unghiul dintre $BC$ și $A^{\prime }{C}^{\prime }$ este egal cu unghiul dintre $BC$ și $AC$; cum $ABCD$ este pătrat, diagonala $AC$ face cu latura $BC$ un unghi de $45°$.
6. a) Din tabel, valoarea maximă este $25°C$ (ora $14$), iar valoarea minimă este $18°C$ (ora $19$); diferența maximă este $25-18=7°C$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) O piramidă triunghiulară (tetraedru) $VABC$ are $4$ vârfuri și $6$ muchii: $VA$, $VB$, $VC$, $AB$, $BC$, $CA$.
2. b) $\overline{ba}+5(a+2b)=124\Rightarrow (10b+a)+5a+10b=124\Rightarrow 20b+6a=124\Rightarrow 10b+3a=62$. Cum $a$ este cifră, $3a$ trebuie să se termine în cifra $2$; pentru $a=4$, $3a=12$, deci $10b=62-12=50\Rightarrow b=5$, de unde $\overline{ab}=45$.
3. c) Din $\frac{x}{2}=\frac{y}{8}=\frac{z}{10}=k$ obținem $x=2k$, $y=8k$, $z=10k$; din $\sqrt{xy}=12$ rezultă $xy=144$, adică $16k^2=144$, deci $k=3$. Atunci $x=6$, $y=24$, $z=30$, iar media aritmetică este $\frac{x+y+z}{3}=\frac{60}{3}=20$.
4. d) $(\sqrt{5}+\sqrt{3}{)}^2=8+2\sqrt{15}$; $\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{3}}+\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\sqrt{15}+\sqrt{15}=2\sqrt{15}$; $(1-\sqrt{2}{)}^2=3-2\sqrt{2}$; $(\sqrt{2}{)}^2=2$. Atunci $a=(8+2\sqrt{15})-2\sqrt{15}-(3-2\sqrt{2})-2=3+2\sqrt{2}$.
5. a) $ab=(3+2\sqrt{2})(2\sqrt{2}-3)=(2\sqrt{2}{)}^2-3^2=8-9=-1$. Rezultă $\frac{1}{a}=3-2\sqrt{2}$, $\frac{1}{b}=-2\sqrt{2}-3$ și $\frac{1}{ab}=-1$, deci $x=(3-2\sqrt{2})+(-2\sqrt{2}-3)-(-1)=1-4\sqrt{2}\approx -4,657$, număr cuprins între $-5$ și $-\frac{23}{5}=-4,6$.
6. c) $E(x)=(x^2+6x+9)-(x^2-1)+(x^2-5x)-10=x^2+x$, pentru orice număr real $x$ (iar pentru $x=n$ natural, $E(n)=n(n+1)$ este produsul a două numere naturale consecutive, deci număr par).

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte ${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{(AB+CD)}{2}\cdot AD$ (3 p); înlocuind, ${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{(12+4)}{2}\cdot 8=8\cdot 8=64{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $E\in AB$ și $AB\parallel CD$, deci $AE\parallel CD$; cum și $AE=CD=4$ cm, patrulaterul $AECD$ este paralelogram, iar cum $m(\sphericalangle DAE)=m(\sphericalangle BAD)=90°$, acesta este de fapt un dreptunghi, deci $m(\sphericalangle ECD)=90°$ (2 p). $BE=AB-AE=12-4=8$ cm, iar $CE=AD=8$ cm (latură a dreptunghiului $AECD$), deci triunghiul $BCE$ are $m(\sphericalangle BEC)=180°-90°=90°$ și $BE=CE$, adică este dreptunghic isoscel, de unde $m(\sphericalangle BCE)=45°$; atunci $m(\sphericalangle BCD)=m(\sphericalangle DCE)+m(\sphericalangle ECB)=90°+45°=135°$ (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $E\in AB$, $AB\parallel CD$, deci $AE\parallel CD$; cum și $AE=CD=4$ cm, iar $m(\sphericalangle DAE)=m(\sphericalangle BAD)=90°$, patrulaterul $AECD$ este dreptunghi, deci $CE\perp CD$ (2 p). Cum $AB\parallel CD$, triunghiurile $AOB$ și $COD$ sunt asemenea, deci $\frac{AO}{CO}=\frac{AB}{CD}=\frac{12}{4}=3$; cum $FD=AD-AF=8-6=2$ cm, rezultă $\frac{AF}{FD}=\frac{6}{2}=3=\frac{AO}{CO}$, de unde (reciproca teoremei lui Thales, aplicată în triunghiul $ACD$) obținem $FO\parallel CD$; cum $CE\perp CD$, rezultă $CE\perp FO$ (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $P_{ABCD}=2(AB+BC)$ (3 p); înlocuind, $P_{ABCD}=2(16+8)=48$ cm (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Fie $N\in AB$ astfel încât $MN\perp AB$; cum $M$ este mijlocul lui $CD$, $MN=BC=8$ cm. Cum $VM\perp (ABC)$ și $MN\subset (ABC)$, prin teorema celor trei perpendiculare rezultă $VN\perp AB$, deci $VN$ este chiar distanța de la $V$ la $AB$ (3 p). Triunghiul $VMN$ este dreptunghic în $M$ (căci $VM\perp MN$) și isoscel ($VM=MN=8$ cm), deci $VN=VM\sqrt{2}=8\sqrt{2}$ cm (2 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Fie $N$ mijlocul segmentului $AB$; cum $M$ este mijlocul lui $CD$, iar $ABCD$ este dreptunghi, segmentul $MN$ trece prin centrul $O$, cu $O$ mijlocul lui $MN$: $MN=BC=8$ cm, deci $MO=ON=4$ cm. Cum $E$ este mijlocul lui $OM$, $ME=2$ cm și $NE=MN-ME=8-2=6$ cm, deci $\frac{ME}{NE}=\frac{1}{3}$ (2 p). Cum $\frac{MF}{VF}=\frac{1}{3}=\frac{ME}{NE}$, conform reciprocei teoremei lui Thales (în triunghiul $VMN$, cu $F\in VM$ și $E\in MN$) rezultă $EF\parallel VN$; cum $VN\subset (VAB)$ (deoarece $N\in AB$) și $EF\not\subset (VAB)$, obținem $EF\parallel (VAB)$ (3 p).

Simularea națională oficială de matematică, susținută de elevii clasei a VIII-a în martie 2019, publicată de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen/construcție grafică originală, și itemul original 4, păstrat ca două itemi grilă distincte — Exercițiul 4 și Exercițiul 5). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este simularea națională OFICIALĂ la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — singura organizată pentru această clasă în anul școlar 2018–2019 — susținută de elevii clasei a VIII-a în martie 2019, publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare (CNEE), ca pregătire pentru Evaluarea Națională din vara anului 2019. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial (subiect și barem de evaluare și de notare).

Notă de transparență privind formatul: în 2019, formatul oficial al simulării era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvări complete (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2019, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară cu vârful $V$ și baza $ABC$" — o sarcină de construcție grafică, incompatibilă cu formatul grilă; a fost reformulat ca întrebare cu răspuns unic (numărul muchiilor piramidei), păstrând identic solidul geometric din enunțul oficial, cu figură adăugată pentru claritate. De asemenea, exercițiul original 4 de la Subiectul al II-lea, care avea două cerințe (a și b, fiecare de 5 puncte), a fost păstrat ca două exerciții grilă distincte (Exercițiul 4 și Exercițiul 5 din testul de mai jos): cerința a) devine o întrebare cu răspuns unic despre valoarea numărului $a$, iar cerința b) devine o întrebare cu răspuns unic despre intervalul din care face parte numărul real $x$, păstrând identice datele și metoda de rezolvare din documentul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor (calcul cu paranteze), un procent de ieftinire, cel mai mare număr natural par de trei cifre cu cifre distincte, raza unui cerc cunoscând aria, unghiul dintre două drepte determinate de muchiile unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrat, citirea unei diagrame cu valori ale temperaturii; o piramidă triunghiulară (numărul muchiilor), o ecuație cu cifrele unui număr de două cifre, numere direct proporționale cu media geometrică și media aritmetică, calcul cu radicali, încadrarea unui număr real într-un interval, o expresie algebrică arătată a fi produsul a două numere naturale consecutive (deci pară); geometrie plană (un trapez dreptunghic — arie, unghi, perpendicularitate stabilită cu ajutorul unui raport de segmente) și geometrie în spațiu (un dreptunghi cu o perpendiculară pe planul său — perimetru, distanța de la un punct la o dreaptă, o dreaptă paralelă cu un plan).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.