Modelul oficial CNPEE — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $18\cdot 10-10:2$ este egal cu: a) $85$ b) $175$ c) $90$ d) $170$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{4}=\frac{x+2}{8}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $-4$ b) $4$ c) $2$ d) $8$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mare număr impar din mulțimea $M=\{x\in \mathbb{Z}:3\le x\le 8\}$ este egal cu: a) $7$ b) $8$ c) $5$ d) $3$

Exercițiul 4 · 5 puncte Punctul $M$ este mijlocul laturii $BC$ a triunghiului $ABC$.

Dacă aria triunghiului $ABC$ este egală cu $36{\text{cm}}^2$, atunci aria triunghiului $ABM$ este egală cu: a) $36{\text{cm}}^2$ b) $9{\text{cm}}^2$ c) $12{\text{cm}}^2$ d) $18{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu latura bazei de $3$ cm.

Aria totală a acestui cub este egală cu: a) $36{\text{cm}}^2$ b) $54{\text{cm}}^2$ c) $27{\text{cm}}^2$ d) $18{\text{cm}}^2$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul următor sunt prezentate, pentru o pensiune, informații referitoare la numărul de camere și la numărul de paturi din fiecare tip de cameră.

Conform tabelului, numărul total de paturi din această pensiune este egal cu: a) $12$ b) $20$ c) $30$ d) $26$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Numărul muchiilor paralelipipedului dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este egal cu: a) $8$ b) $10$ c) $12$ d) $6$

Exercițiul 2 · 5 puncte Numărul natural de două cifre care este de cinci ori mai mare decât suma cifrelor sale este egal cu: a) $54$ b) $40$ c) $35$ d) $45$

Exercițiul 3 · 5 puncte Un corp de mobilă este format din trei părți. Prima parte cântărește $5$ kg, a doua parte cântărește cât prima parte și jumătate din a treia parte împreună, iar a treia parte cântărește cât prima și a doua parte împreună. Corpul de mobilă cântărește în total: a) $40$ kg b) $35$ kg c) $45$ kg d) $30$ kg

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+m$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=-2x+m$, unde $m$ este număr real nenul. Pentru $m=-3$, graficul funcției $f$ intersectează axa $Ox$ a sistemului de coordonate $xOy$ în punctul de coordonate: a) $(0,-3)$ b) $(1,0)$ c) $(-3,0)$ d) $(3,0)$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+m$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=-2x+m$, unde $m$ este număr real nenul. În sistemul de coordonate $xOy$ se consideră $A$ și $B$, punctele de intersecție a graficului funcției $f$, respectiv a graficului funcției $g$, cu axa $Ox$, și $C$ punctul de intersecție a graficului funcției $f$ cu graficul funcției $g$. Numerele reale nenule $m$, știind că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $15$, sunt: a) $m\in \{-3,3\}$ b) $m=6$ c) $m\in \{-9,9\}$ d) $m\in \{-6,6\}$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{x^2-x-2}{(x-2{)}^2}-\frac{4}{x^2-4}-\frac{x^2+2x+1}{x^2+3x+2}\right):\frac{x}{(x-2)(x+2)}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -2$, $x\ne -1$, $x\ne 0$ și $x\ne 2$. Valoarea expresiei $E(x)$ este egală cu: a) $4$ b) depinde de $x$ c) $2$ d) $x$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cerc de diametru $AB=8$ cm și punctul $T$, situat pe cerc, diferit de punctele $A$ și $B$. Punctul $C$ este intersecția tangentei la cerc în punctul $T$ cu tangenta la cerc în punctul $A$, iar punctul $D$ este intersecția tangentei la cerc în punctul $T$ cu tangenta la cerc în punctul $B$. Lungimea segmentului $AC$ este de $2$ cm.

Arătați că lungimea cercului de diametru $AB$ este egală cu $8\pi$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou cercul de diametru $AB=8$ cm și punctul $T$, situat pe cerc, diferit de punctele $A$ și $B$, ca în figura alăturată. Punctul $C$ este intersecția tangentei la cerc în punctul $T$ cu tangenta la cerc în punctul $A$, iar punctul $D$ este intersecția tangentei la cerc în punctul $T$ cu tangenta la cerc în punctul $B$. Lungimea segmentului $AC$ este de $2$ cm.

Demonstrați că triunghiul $ABD$ este isoscel.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou cercul de diametru $AB=8$ cm și punctul $T$, situat pe cerc, diferit de punctele $A$ și $B$, ca în figura alăturată. Punctul $C$ este intersecția tangentei la cerc în punctul $T$ cu tangenta la cerc în punctul $A$, iar punctul $D$ este intersecția tangentei la cerc în punctul $T$ cu tangenta la cerc în punctul $B$. Lungimea segmentului $AC$ este de $2$ cm. Dreptele $AT$ și $OC$ se intersectează în punctul $M$, iar dreptele $BT$ și $OD$ se intersectează în punctul $N$ ($O$ fiind centrul cercului).

Demonstrați că aria patrulaterului $MONT$ este egală cu $6,4{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată $VABCD$ cu $VA=AB=12$ cm. Punctul $M$ este situat pe muchia $CV$ astfel încât suma $BM+DM$ are valoare minimă.

Arătați că aria laterală a piramidei $VABCD$ este egală cu $144\sqrt{3}{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou piramida patrulateră regulată $VABCD$ cu $VA=AB=12$ cm, ca în figura alăturată. Punctul $M$ este situat pe muchia $CV$ astfel încât suma $BM+DM$ are valoare minimă, iar $O$ este centrul bazei $ABCD$ (intersecția diagonalelor $AC$ și $BD$).

Demonstrați că dreapta $VA$ este paralelă cu planul $(BMD)$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou piramida patrulateră regulată $VABCD$ cu $VA=AB=12$ cm, iar $M$ este punctul situat pe muchia $CV$ astfel încât suma $BM+DM$ are valoare minimă, ca în figura alăturată.

Demonstrați că distanța de la punctul $A$ la planul $(BMD)$ este egală cu $6$ cm.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $18\cdot 10-10:2=180-5=175$ (întâi înmulțirea și împărțirea, apoi scăderea).
2. c) $\frac{x}{4}=\frac{x+2}{8}\iff 8x=4(x+2)=4x+8\iff 4x=8\iff x=2$.
3. a) Din mulțimea $M=\{3,4,5,6,7,8\}$, numerele impare sunt $3,5,7$; cel mai mare dintre ele este $7$.
4. d) $M$ fiind mijlocul lui $BC$, mediana $AM$ împarte triunghiul $ABC$ în două triunghiuri de arii egale, deci aria triunghiului $ABM=\frac{36}{2}=18{\text{cm}}^2$.
5. b) Cubul are $6$ fețe pătrate congruente cu latura $3$ cm, deci aria totală $=6\cdot 3^2=6\cdot 9=54{\text{cm}}^2$.
6. c) Numărul total de paturi $=2\cdot 1+4\cdot 2+4\cdot 3+2\cdot 4=2+8+12+8=30$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) Paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ are baza $ABCD$ (pătrat/dreptunghi, cu $4$ muchii: $AB$, $BC$, $CD$, $DA$), fața $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (alte $4$ muchii) și $4$ muchii verticale: $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $D{D}^{\prime }$; în total $4+4+4=12$ muchii.
2. d) Fie $\overline{ab}$ numărul căutat, cu $a,b$ cifre, $a\ne 0$. Din $10a+b=5(a+b)\iff 5a=4b$. Cum $a,b$ sunt cifre, unica soluție este $a=4$, $b=5$, deci numărul cerut este $45$.
3. a) Fie $x$ masa celei de-a doua părți și $y$ masa celei de-a treia părți: $x=5+\frac{y}{2}$ și $y=5+x$. Rezolvând, $x=15$ kg și $y=20$ kg, deci corpul de mobilă cântărește în total $5+15+20=40$ kg.
4. b) Pentru $m=-3$, $f(x)=3x-3$. Graficul intersectează axa $Ox$ acolo unde $f(x)=0$: $3x-3=0\Rightarrow x=1$, deci punctul de coordonate $(1,0)$.
5. d) $A$ este intersecția graficului lui $f$ cu $Ox$: $3x+m=0\Rightarrow x=-\frac{m}{3}$, deci $OA=\frac{|m|}{3}$. $B$ este intersecția graficului lui $g$ cu $Ox$: $-2x+m=0\Rightarrow x=\frac{m}{2}$, deci $OB=\frac{|m|}{2}$. $C$ este intersecția graficelor lui $f$ și $g$: $3x+m=-2x+m\Rightarrow x=0$, deci $C=(0,m)$, cu $OC=|m|$. Cum $A$ și $B$ sunt de o parte și de alta a lui $O$, $AB=OA+OB=\frac{|m|}{3}+\frac{|m|}{2}=\frac{5|m|}{6}$, iar aria triunghiului $ABC=\frac{AB\cdot OC}{2}=\frac{5m^2}{12}$. Din $\frac{5m^2}{12}=15$ obținem $m^2=36$, deci $m=-6$ sau $m=6$, adică $m\in \{-6,6\}$.
6. a) $E(x)=\left(\frac{(x+1)(x-2)}{(x-2{)}^2}-\frac{4}{(x-2)(x+2)}-\frac{(x+1{)}^2}{(x+1)(x+2)}\right)\cdot \frac{(x-2)(x+2)}{x}=\left(\frac{x+1}{x-2}-\frac{4}{(x-2)(x+2)}-\frac{x+1}{x+2}\right)\cdot \frac{(x-2)(x+2)}{x}=\frac{x^2+3x+2-4-x^2+x+2}{(x-2)(x+2)}\cdot \frac{(x-2)(x+2)}{x}=\frac{4x}{x}=4$, pentru orice $x$ real, $x\ne -2$, $x\ne -1$, $x\ne 0$ și $x\ne 2$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Lungimea unui cerc de rază $R$ este $2\pi R$ (3 p). Cum $AB=8$ cm este diametrul, raza este $R=\frac{AB}{2}=4$ cm, deci lungimea cercului este $2\cdot 4\cdot \pi =8\pi$ cm (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $C$ este intersecția tangentelor duse din $C$ la cerc în $A$, respectiv $T$, deci $TC=AC$; analog, $D$ este intersecția tangentelor duse din $D$ în $T$, respectiv $B$, deci $TD=BD$. Cum $C$, $T$, $D$ sunt coliniare (aparțin aceleiași tangente duse în $T$), rezultă $CD=CT+TD=AC+BD$ (2 p). Fie $E$ piciorul perpendicularei din $C$ pe dreapta $BD$; cum $AC\perp AB$ și $BD\perp AB$ (tangente perpendiculare pe diametrul dus în punctul de contact), patrulaterul $ACEB$ este dreptunghi, deci $CE=AB=8$ cm și $BE=AC=2$ cm, de unde $DE=BD-AC$. Din teorema lui Pitagora în triunghiul $CED$: $C{D}^2=C{E}^2+D{E}^2$, adică $(AC+BD{)}^2=A{B}^2+(BD-AC{)}^2$; înlocuind $AC=2$ și $AB=8$, obținem $BD=8$ cm, deci $AB=BD\Rightarrow △ABD$ este isoscel (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $AB$ este diametru, deci $m(\sphericalangle ATB)=90°$ (1 p). Din $AC=TC$ și $OA=OT$ rezultă $OC$ mediatoarea segmentului $AT$, deci $OC\perp AT$; analog, din $TD=BD$ și $OB=OT$ rezultă $OD\perp BT$; cum și $m(\sphericalangle MTN)=m(\sphericalangle ATB)=90°$, patrulaterul $MONT$ este dreptunghi (2 p). Triunghiul $TCO$ este dreptunghic în $T$, cu $TC=2$ cm și $OT=4$ cm (raza), deci $OC=\sqrt{T{C}^2+O{T}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ cm; înălțimea din $T$ pe ipotenuza $OC$ este $TM=\frac{TC\cdot OT}{OC}=\frac{8}{2\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$ cm, iar $OM=\frac{O{T}^2}{OC}=\frac{16}{2\sqrt{5}}=\frac{8}{\sqrt{5}}$ cm, deci ${\mathcal{A}}_{MONT}=TM\cdot OM=\frac{4}{\sqrt{5}}\cdot \frac{8}{\sqrt{5}}=\frac{32}{5}=6,4{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Cum $VA=AB=BC=CD=DA=12$ cm, fiecare față laterală a piramidei (de exemplu $VAB$) este un triunghi echilateral cu latura $12$ cm (2 p). Aria laterală $=4\cdot {\mathcal{A}}_{△VAB}=4\cdot \frac{12\cdot 6\sqrt{3}}{2}=4\cdot 36\sqrt{3}=144\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiurile $BCM$ și $DCM$ au $BC=DC=12$ cm, $CM$ latură comună și $m(\sphericalangle BCM)=m(\sphericalangle DCM)$ (simetria piramidei regulate), deci $△BCM\equiv △DCM\Rightarrow BM=DM$; astfel, valoarea minimă a expresiei $BM+DM$ se obține atunci când $BM$ este minimă și, cum $△VBC$ este echilateral, $BM$ este minimă atunci când $BM\perp CV$, deci $M$ este mijlocul lui $CV$ (2 p). $O$ este mijlocul diagonalei $AC$, deci $OM$ este linie mijlocie în triunghiul $ACV\Rightarrow OM\parallel VA$; cum $OM\subset (BMD)$, obținem $VA\parallel (BMD)$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Din itemul anterior, $M$ este mijlocul lui $CV$, cu $BM\perp CV$ și, analog, $DM\perp CV$; cum $BM\cap DM=\{M\}$, rezultă $CV\perp (BMD)$ (2 p). Cum $VA\parallel (BMD)$, distanța de la punctul $A$ la planul $(BMD)$ este egală cu distanța de la punctul $V$ la același plan: $d(A,(BMD))=d(V,(BMD))=VM$, unde $VM=\frac{VC}{2}=\frac{12}{2}=6$ cm (3 p).

Modelul oficial de subiect de Evaluare Națională la matematică, clasa a VIII-a, pentru anul școlar 2019–2020, publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 și Exercițiul 4 de la Subiectul al II-lea, reformulate din sarcinile de desen/reprezentare grafică originale). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este Modelul OFICIAL de subiect la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, pentru anul școlar 2019–2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: modelul din 2019–2020 folosea un format diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns), iar Subiectul al II-lea cerea rezolvări complete (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul oficial, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Fac excepție două exerciții de la Subiectul al II-lea, sarcini de desen incompatibile cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre numărul muchiilor paralelipipedului, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial; și Exercițiul 4 (partea a) a exercițiului original 4), care cerea „pentru $m=-3$, reprezentați grafic funcția $f$ într-un sistem de coordonate $xOy$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre punctul de intersecție a graficului cu axa $Ox$, păstrând identică funcția $f(x)=3x+m$ pentru $m=-3$ din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, o ecuație cu fracții, cel mai mare număr impar dintr-o mulțime de numere întregi, aria unui triunghi obținută cu ajutorul medianei, aria totală a unui cub, citirea unui tabel de date; numărul muchiilor unui paralelipiped dreptunghic, un număr natural de două cifre determinat din suma cifrelor sale, o problemă cu părți (corpul de mobilă), funcția liniară $f(x)=3x+m$ (intersecția cu axa $Ox$, aria unui triunghi determinat de graficele a două funcții), o expresie algebrică cu fracții arătată a fi constantă; geometrie cu cerc și tangente (lungimea cercului, un triunghi isoscel, aria unui patrulater dreptunghi) și geometrie în spațiu (o piramidă patrulateră regulată — aria laterală, paralelismul unei drepte cu un plan, distanța de la un punct la un plan).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.