Examenul oficial de rezervă — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $18-18:6$ este egal cu: a) $0$ b) $15$ c) $3$ d) $12$

Exercițiul 2 · 5 puncte Numărul care reprezintă $50\%$ din $100$ este egal cu: a) $5$ b) $150$ c) $25$ d) $50$

Exercițiul 3 · 5 puncte Produsul numerelor întregi din intervalul $(-2,4]$ este egal cu: a) $0$ b) $-24$ c) $24$ d) $48$

Exercițiul 4 · 5 puncte Pătratul $ABCD$ are perimetrul de $12$ cm. Latura acestui pătrat este de: a) $6$ cm b) $4$ cm c) $3$ cm d) $48$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Unghiul dreptelor $A{D}^{\prime }$ și $B^{\prime }C$ are măsura de:

a) $45°$ b) $90°$ c) $60°$ d) $30°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul următor sunt prezentate informații privind veniturile și cheltuielile unei firme, exprimate în mii lei, pentru fiecare dintre cele patru trimestre ale anului 2019.

Conform informațiilor din tabel, diferența dintre veniturile și cheltuielile acestei firme în trimestrul al II-lea este egală cu: a) $75$ b) $110$ c) $45$ d) $50$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră de vârf $V$ și bază $ABCD$.

Numărul muchiilor piramidei patrulatere $VABCD$ este egal cu: a) $8$ b) $4$ c) $6$ d) $5$

Exercițiul 2 · 5 puncte Trei numere naturale au suma egală cu $240$ și sunt direct proporționale cu numerele $2$, $3$ și $5$. Cel mai mare dintre cele trei numere este egal cu: a) $48$ b) $72$ c) $120$ d) $80$

Exercițiul 3 · 5 puncte Dan și Cristina au, împreună, $120$ de lei. Dan observă că, dacă îi dă Cristinei $10$ lei din suma lui de bani, atunci suma de bani a Cristinei este de două ori mai mare decât suma de bani cu care rămâne el. Suma inițială de bani a lui Dan este egală cu: a) $70$ b) $50$ c) $60$ d) $40$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numerele reale $x=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}:\frac{2}{3}$ și $y=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3^2}\cdot \frac{1}{3^3}\cdot \frac{1}{3^4}\cdot \frac{1}{3^5}\cdot 81^4$. Valoarea lui $x$ este egală cu: a) $\frac{1}{2}$ b) $\frac{5}{6}$ c) $\frac{5}{4}$ d) $1$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou numerele reale $x=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}:\frac{2}{3}$ și $y=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3^2}\cdot \frac{1}{3^3}\cdot \frac{1}{3^4}\cdot \frac{1}{3^5}\cdot 81^4$. Cel mai mare număr natural de trei cifre distincte care este divizibil cu media aritmetică a numerelor $x$ și $y$ este egal cu: a) $986$ b) $987$ c) $984$ d) $999$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=x(x-3{)}^2+2(x-2)(x+2)+(2x+1{)}^2-7(2x-1)$, unde $x$ este număr real. Pentru orice număr natural nenul $n$, numărul $E(n)$ se scrie ca produsul a trei numere naturale consecutive; aceste numere sunt: a) $n$, $n+1$, $n+2$ b) $n-2$, $n-1$, $n$ c) $n-1$, $n$, $n+1$ d) $1$, $n$, $n+1$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un trapez dreptunghic $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AD\perp AB$, $AB=12$ cm, $AD=12$ cm și $DC=3$ cm. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AD$ și punctul $N$ este simetricul punctului $C$ față de punctul $M$.

Arătați că aria trapezului $ABCD$ este egală cu $90$ cm².

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou trapezul dreptunghic $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AD\perp AB$, $AB=12$ cm, $AD=12$ cm și $DC=3$ cm, ca în figura alăturată. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AD$ și punctul $N$ este simetricul punctului $C$ față de punctul $M$.

Demonstrați că punctele $N$, $A$ și $B$ sunt coliniare.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou trapezul dreptunghic $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AD\perp AB$, $AB=12$ cm, $AD=12$ cm și $DC=3$ cm, ca în figura alăturată. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AD$ și punctul $N$ este simetricul punctului $C$ față de punctul $M$.

Determinați distanța de la punctul $M$ la dreapta $BC$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=12$ cm. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$, punctul $N$ este mijlocul laturii $A^{\prime }{D}^{\prime }$ și punctul $P$ este situat pe latura $C^{\prime }{D}^{\prime }$ astfel încât $C^{\prime }P=3D^{\prime }P$.

Arătați că $CM=6\sqrt{5}$ cm.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=12$ cm, ca în figura alăturată. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$, punctul $N$ este mijlocul laturii $A^{\prime }{D}^{\prime }$ și punctul $P$ este situat pe latura $C^{\prime }{D}^{\prime }$ astfel încât $C^{\prime }P=3D^{\prime }P$.

Demonstrați că dreapta $NP$ este paralelă cu planul $(B^{\prime }MC)$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=12$ cm, iar punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$, punctul $N$ este mijlocul laturii $A^{\prime }{D}^{\prime }$ și punctul $P$ este situat pe latura $C^{\prime }{D}^{\prime }$ astfel încât $C^{\prime }P=3D^{\prime }P$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că distanța de la punctul $P$ la dreapta $CM$ este egală cu $\frac{6\sqrt{145}}{5}$ cm.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $18-18:6=18-3=15$ (întâi împărțirea, apoi scăderea).
2. d) $50\%$ din $100$ este $\frac{100}{2}=50$.
3. a) Numerele întregi din intervalul $(-2,4]$ sunt $-1,0,1,2,3,4$; cum printre ele se află $0$, produsul lor este $0$.
4. c) Latura pătratului $=\frac{\text{perimetrul}}{4}=\frac{12}{4}=3$ cm.
5. b) Într-un cub, dreapta $A{D}^{\prime }$ este paralelă cu diagonala $B{C}^{\prime }$ a feței $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ (translatate cu vectorul $\overrightarrow{AB}$), iar diagonalele $B{C}^{\prime }$ și $B^{\prime }C$ ale pătratului $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ sunt perpendiculare; rezultă că $A{D}^{\prime }$ și $B^{\prime }C$ sunt perpendiculare, deci unghiul lor are măsura de $90°$.
6. d) Diferența dintre venituri și cheltuieli în trimestrul al II-lea este $400-350=50$ mii lei.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) Piramida patrulateră $VABCD$ are baza $ABCD$ (patrulater, cu $4$ muchii: $AB$, $BC$, $CD$, $DA$) și $4$ muchii laterale: $VA$, $VB$, $VC$, $VD$; în total $4+4=8$ muchii.
2. c) Fie $x$, $y$, $z$ cele trei numere. Din $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}=\frac{x+y+z}{2+3+5}=\frac{240}{10}=24$, rezultă $x=48$, $y=72$, $z=120$; cel mai mare este $z=120$.
3. b) Fie $x$ suma inițială de bani a lui Dan. Din $2(x-10)=120-x+10$, obținem $2x-20=130-x\Rightarrow 3x=150\Rightarrow x=50$, deci suma inițială de bani a lui Dan este $50$ de lei.
4. d) $x=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}:\frac{2}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.
5. a) $x=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}:\frac{2}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$. Pentru $y$: $y=\frac{1}{3^{1+2+3+4+5}}\cdot {\left(3^4\right)}^4=\frac{1}{3^{15}}\cdot 3^{16}=3$. Media aritmetică a numerelor $x$ și $y$ este $m_a=\frac{x+y}{2}=\frac{1+3}{2}=2$; cel mai mare număr natural de trei cifre distincte divizibil cu $2$ este $986$ (numărul $987$ este mai mare, dar este impar, deci nedivizibil cu $2$).
6. c) $E(x)=x\left(x^2-6x+9\right)+2\left(x^2-4\right)+\left(4x^2+4x+1\right)-\left(14x-7\right)=x^3-6x^2+9x+2x^2-8+4x^2+4x+1-14x+7=x^3-x$, pentru orice număr real $x$. Pentru orice număr natural nenul $n$, $E(n)=n^3-n=n\left(n^2-1\right)=(n-1)\cdot n\cdot (n+1)$, deci numărul $E(n)$ se scrie ca produsul numerelor naturale consecutive $n-1$, $n$, $n+1$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Aria trapezului $ABCD$ este ${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{(AB+CD)\cdot AD}{2}$ (3 p). Înlocuind, ${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{(12+3)\cdot 12}{2}=\frac{15\cdot 12}{2}=15\cdot 6=90{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Punctul $M$ este mijlocul segmentelor $AD$ și $CN$ (căci $N$ este simetricul lui $C$ față de $M$), deci patrulaterul $ACDN$ (cu diagonalele $AD$ și $CN$ care se înjumătățesc reciproc în $M$) este paralelogram (3 p). Într-un paralelogram, laturile opuse sunt paralele, deci $AN\parallel CD$; cum și $AB\parallel CD$ (din enunț), dreptele $AN$ și $AB$, fiind ambele paralele cu $CD$ și trecând prin același punct $A$, coincid, deci punctele $N$, $A$ și $B$ sunt coliniare (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte ${\mathcal{A}}_{△MBC}={\mathcal{A}}_{ABCD}-{\mathcal{A}}_{△MCD}-{\mathcal{A}}_{△MAB}$. Triunghiul $MCD$ are baza $CD=3$ cm și înălțimea $\frac{AD}{2}=6$ cm (distanța de la $M$ la $CD$), deci ${\mathcal{A}}_{△MCD}=\frac{3\cdot 6}{2}=9{\text{cm}}^2$; triunghiul $MAB$ are baza $AB=12$ cm și înălțimea tot $\frac{AD}{2}=6$ cm, deci ${\mathcal{A}}_{△MAB}=\frac{12\cdot 6}{2}=36{\text{cm}}^2$. Rezultă ${\mathcal{A}}_{△MBC}=90-9-36=45{\text{cm}}^2$ (2 p). Cum $BC=\sqrt{(AB-CD{)}^2+A{D}^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ cm, obținem că $\frac{15\cdot d(M,BC)}{2}=45$, deci $d(M,BC)=6$ cm (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Triunghiul $BCM$ este dreptunghic în $B$ (căci $BC\perp AB$, fiind laturi ale pătratului $ABCD$, iar $BM\subset AB$), deci $CM=\sqrt{B{C}^2+B{M}^2}$, unde $BM=\frac{AB}{2}=6$ cm (3 p). Rezultă $CM=\sqrt{12^2+6^2}=\sqrt{144+36}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$ cm (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Fie $E$ mijlocul laturii $A^{\prime }{B}^{\prime }$. Cum $ME\parallel B{B}^{\prime }$, $ME=B{B}^{\prime }$ (linie mijlocie/simetrie în dreptunghiul $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$) și, cum $B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }=C{C}^{\prime }$ (muchii ale cubului), obținem $ME\parallel C{C}^{\prime }$ și $ME=C{C}^{\prime }$, deci $MC{C}^{\prime }E$ este paralelogram, de unde $CM\parallel C^{\prime }E$ (2 p). Fie $F$ mijlocul laturii $C^{\prime }{D}^{\prime }$. În triunghiul $D^{\prime }{A}^{\prime }F$, $NP$ este linie mijlocie (căci $N$ este mijlocul lui $A^{\prime }{D}^{\prime }$ și $P$ este situat la un sfert de $D^{\prime }$ pe $D^{\prime }{C}^{\prime }$, deci la jumătatea distanței $D^{\prime }F$), deci $NP\parallel A^{\prime }F$; cum $A^{\prime }E{C}^{\prime }F$ este paralelogram, obținem $C^{\prime }E\parallel A^{\prime }F$, deci $NP\parallel CM$ și, cum $CM\subset (B^{\prime }MC)$, rezultă $NP\parallel (B^{\prime }MC)$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Fie $Q$ situat pe latura $CD$ astfel încât $CQ=3DQ$; cum $CD=12$ cm, rezultă $DQ=3$ cm și $CQ=9$ cm (2 p). Punctul $P$ (situat pe $C^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $C^{\prime }P=3D^{\prime }P$, aceeași proporție cu cea a lui $Q$ pe $CD$) este situat exact deasupra lui $Q$, deci $PQ\perp (ABC)$ și $PQ=12$ cm (egal cu muchia cubului). Fie $T$ piciorul perpendicularei din $Q$ pe dreapta $CM$, $T\in CM$; cum $CM\subset (ABC)$, prin teorema celor trei perpendiculare obținem $PT\perp CM$, deci $d(P,CM)=PT$. Din $\sphericalangle QCT\equiv \sphericalangle BMC$ rezultă $\sin (\sphericalangle QCT)=\sin (\sphericalangle BMC)$, deci $\frac{QT}{QC}=\frac{BC}{CM}\Rightarrow QT=\frac{9\cdot 12}{6\sqrt{5}}=\frac{18\sqrt{5}}{5}$ cm (2 p). Triunghiul $PQT$ este dreptunghic în $Q$, deci $PT=\sqrt{P{Q}^2+Q{T}^2}=\sqrt{12^2+{\left(\frac{18\sqrt{5}}{5}\right)}^2}=\sqrt{144+\frac{1620}{25}}=\sqrt{\frac{3600+1620}{25}}=\sqrt{\frac{5220}{25}}=\frac{\sqrt{5220}}{5}=\frac{6\sqrt{145}}{5}$ cm (1 p).

Examen oficial de rezervă de Evaluare Națională, Varianta 3, propus absolvenților clasei a VIII-a în sesiunea de rezervă a anului școlar 2019-2020, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este examenul OFICIAL de REZERVĂ la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Varianta 3, propus absolvenților clasei a VIII-a din sesiunea de rezervă, anul școlar 2019–2020, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial. Este un document diferit de examenul principal al aceleiași sesiuni — o variantă separată, cu subiecte proprii, folosită pentru absolvenții care au susținut proba în sesiunea de rezervă.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, o sarcină de desen incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, o piramidă patrulateră de vârf $V$ și bază $ABCD$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre numărul muchiilor piramidei, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, procentul dintr-un număr, produsul numerelor întregi dintr-un interval, perimetrul și latura pătratului, unghiul dintre două drepte într-un cub, citirea unui tabel cu venituri și cheltuieli; numărul muchiilor unei piramide patrulatere, numere direct proporționale, o problemă cu sume de bani (ecuație de gradul I), calcul cu fracții și puteri (arătarea faptului că o expresie este egală cu $1$, respectiv cu $3$), media aritmetică a două numere și cel mai mare număr natural de trei cifre distincte divizibil cu aceasta, o expresie algebrică arătată a fi egală cu $x^3-x$ și, pentru $n$ natural nenul, scrisă ca produs de trei numere naturale consecutive; geometrie plană (un trapez dreptunghic — aria trapezului, coliniaritatea a trei puncte, distanța de la un punct la o dreaptă) și geometrie în spațiu (un cub — lungimea unei diagonale de față, paralelismul unei drepte cu un plan, distanța de la un punct la o dreaptă).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.