Sesiunea specială oficială — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $20-20:4$ este egal cu: a) $5$ b) $0$ c) $15$ d) $25$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{6}=\frac{7}{3}$, atunci numărul real $x$ este egal cu: a) $42$ b) $14$ c) $21$ d) $3,5$

Exercițiul 3 · 5 puncte Dacă $A=\{0,2,4,6,8\}$, $B=\{0,3,6\}$ și $A\cap B=\{0,n\}$, atunci $n$ este egal cu: a) $0$ b) $3$ c) $2$ d) $6$

Exercițiul 4 · 5 puncte Aria pătratului $ABCD$ este egală cu $36{\text{ cm}}^2$. Lungimea laturii acestui pătrat este egală cu: a) $12\text{ cm}$ b) $6\text{ cm}$ c) $9\text{ cm}$ d) $18\text{ cm}$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Unghiul dreptelor $A{D}^{\prime }$ și $BC$ are măsura de:

a) $30°$ b) $90°$ c) $45°$ d) $60°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos este prezentat numărul de elevi ai unei școli, care participă la olimpiada de matematică.

Conform informațiilor din tabel, procentul din numărul total de participanți la olimpiada de matematică, reprezentat de numărul elevilor de clasa a V-a este: a) $50\%$ b) $25\%$ c) $40\%$ d) $20\%$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un paralelipiped dreptunghic $ABCDEFGH$.

Numărul muchiilor paralelipipedului dreptunghic $ABCDEFGH$ este egal cu: a) $8$ b) $6$ c) $12$ d) $4$

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră numerele reale $a=\left(\frac{3}{5}-\frac{1}{2}\right):\frac{1}{10}$ și $b=2^2\cdot \left(\frac{5}{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right)$. Raportul $b:a$ este egal cu: a) $4$ b) $1$ c) $16$ d) $\frac{1}{4}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Vlad a parcurs un traseu în trei zile. În prima zi, Vlad a parcurs un sfert din lungimea traseului, în a doua zi, Vlad a parcurs dublul distanței parcurse în prima zi, iar în a treia zi restul de $10\text{ km}$. Lungimea traseului parcurs de Vlad este egală cu: a) $10\text{ km}$ b) $20\text{ km}$ c) $30\text{ km}$ d) $40\text{ km}$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numărul real $x=10\sqrt{2}-3\sqrt{18}$. Numărul real $x$ este egal cu: a) $19\sqrt{2}$ b) $\sqrt{2}$ c) $-\sqrt{2}$ d) $7\sqrt{2}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou numărul real $x=10\sqrt{2}-3\sqrt{18}$ (cu $x=\sqrt{2}$, ca la itemul anterior) și numărul real $y=\left(\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{2}{\sqrt{20}}-\frac{7}{\sqrt{125}}\right):\frac{8}{5\sqrt{5}}$. Numărul ${\left(y-x^2\right)}^{2020}$ este egal cu: a) $1$ b) $-1$ c) $0$ d) $2020$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=(2x+1{)}^2+(2x-1)(4x+2)+(2x-1{)}^2$, unde $x$ este număr real. Dacă media aritmetică a numerelor $E(x)$ și $E(-x)$ este egală cu media geometrică a numerelor $E(1)$ și $E(-1)$, atunci produsul soluțiilor reale $x$ este egal cu: a) $1$ b) $0$ c) $16$ d) $-1$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un pătrat $ABCD$ cu $AB=12\text{ cm}$. Punctul $E$ aparține dreptei $AB$ astfel încât $B\in (AE)$ și $BE=4\text{ cm}$, iar punctul $F$ este situat pe latura $AD$ astfel încât $AD=3DF$.

Arătați că $DF=4\text{ cm}$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou pătratul $ABCD$ cu $AB=12\text{ cm}$, ca în figura alăturată. Punctul $E$ aparține dreptei $AB$ astfel încât $B\in (AE)$ și $BE=4\text{ cm}$, iar punctul $F$ este situat pe latura $AD$ astfel încât $AD=3DF$ (deci $DF=4\text{ cm}$).

Arătați că aria patrulaterului $AECF$ este egală cu $144{\text{ cm}}^2$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou pătratul $ABCD$ cu $AB=12\text{ cm}$, ca în figura alăturată. Punctul $E$ aparține dreptei $AB$ astfel încât $B\in (AE)$ și $BE=4\text{ cm}$, iar punctul $F$ este situat pe latura $AD$ astfel încât $AD=3DF$ (deci $DF=4\text{ cm}$).

Perpendiculara din $C$ pe dreapta $EF$ intersectează dreapta $AB$ în $M$. Demonstrați că punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră $VABCD$ cu $VB=3\sqrt{5}\text{ cm}$ și baza pătratul $ABCD$, $AB=6\text{ cm}$. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, iar dreapta $VO$ este perpendiculară pe planul $(ABC)$. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$, punctul $G$ este situat pe segmentul $VO$ astfel încât $VG=2GO$ și punctul $N$ este intersecția dreptelor $VB$ și $DG$.

Arătați că perimetrul pătratului $ABCD$ este egal cu $24\text{ cm}$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou piramida patrulateră $VABCD$ cu $VB=3\sqrt{5}\text{ cm}$ și baza pătratul $ABCD$, $AB=6\text{ cm}$, ca în figura alăturată. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, iar dreapta $VO$ este perpendiculară pe planul $(ABC)$. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$, punctul $G$ este situat pe segmentul $VO$ astfel încât $VG=2GO$ și punctul $N$ este intersecția dreptelor $VB$ și $DG$.

Demonstrați că dreapta $MN$ este paralelă cu planul $(ABC)$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou piramida patrulateră $VABCD$ cu $VB=3\sqrt{5}\text{ cm}$ și baza pătratul $ABCD$, $AB=6\text{ cm}$, ca în figura alăturată. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, iar dreapta $VO$ este perpendiculară pe planul $(ABC)$. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$, punctul $G$ este situat pe segmentul $VO$ astfel încât $VG=2GO$ și punctul $N$ este intersecția dreptelor $VB$ și $DG$.

Demonstrați că distanța de la punctul $M$ la planul $(ABC)$ este egală cu $\frac{3\sqrt{3}}{2}\text{ cm}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $20-20:4=20-5=15$ (întâi împărțirea, apoi scăderea).
2. b) Din $\frac{x}{6}=\frac{7}{3}$, rezultă $x=\frac{6\cdot 7}{3}=14$.
3. d) $A\cap B$ conține elementele comune ale mulțimilor $A=\{0,2,4,6,8\}$ și $B=\{0,3,6\}$, adică $\{0,6\}$; cum $A\cap B=\{0,n\}$, rezultă $n=6$.
4. b) Latura pătratului $=\sqrt{\text{aria}}=\sqrt{36}=6\text{ cm}$.
5. c) $BC\parallel AD$ (laturi opuse ale pătratului $ABCD$), deci unghiul dreptelor $A{D}^{\prime }$ și $BC$ este egal cu unghiul dreptelor $A{D}^{\prime }$ și $AD$; în fața pătrată $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ a cubului, diagonala $A{D}^{\prime }$ formează cu latura $AD$ un unghi de $45°$.
6. a) Numărul total de participanți este $50+24+16+10=100$; procentul reprezentat de clasa a V-a este $\frac{50}{100}=50\%$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) Un paralelipiped dreptunghic $ABCDEFGH$ are baza $ABCD$ (pătrat/dreptunghi, cu $4$ muchii), fața opusă $EFGH$ ($4$ muchii) și $4$ muchii laterale ($AE$, $BF$, $CG$, $DH$); în total $4+4+4=12$ muchii.
2. a) $a=\left(\frac{3}{5}-\frac{1}{2}\right):\frac{1}{10}=\left(\frac{6}{10}-\frac{5}{10}\right):\frac{1}{10}=\frac{1}{10}:\frac{1}{10}=1$; $b=2^2\cdot \left(\frac{5}{3}-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right)=4\cdot \left(\frac{10}{6}-\frac{3}{6}-\frac{1}{6}\right)=4\cdot \frac{6}{6}=4\cdot 1=4$. Rezultă $b:a=4:1=4$.
3. d) Dacă $x$ este lungimea traseului, atunci $\frac{x}{4}+2\cdot \frac{x}{4}+10=x$, adică $\frac{3x}{4}+10=x$, deci $x-\frac{3x}{4}=10\Rightarrow \frac{x}{4}=10\Rightarrow x=40\text{ km}$.
4. b) $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$, deci $x=10\sqrt{2}-3\cdot 3\sqrt{2}=10\sqrt{2}-9\sqrt{2}=\sqrt{2}$.
5. a) $y=\left(\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{2}{\sqrt{20}}-\frac{7}{\sqrt{125}}\right):\frac{8}{5\sqrt{5}}=\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}+\frac{\sqrt{5}}{5}-\frac{7\sqrt{5}}{25}\right):\frac{8}{5\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{25}\cdot \frac{5\sqrt{5}}{8}=1$. Cum $x^2=(\sqrt{2}{)}^2=2$, obținem $y-x^2=1-2=-1$, deci $(y-x^2{)}^{2020}=(-1{)}^{2020}=1$.
6. d) $E(x)=(2x+1{)}^2+(2x-1)(4x+2)+(2x-1{)}^2=(4x^2+4x+1)+(8x^2-2)+(4x^2-4x+1)=16x^2$, pentru orice $x$ real. Media aritmetică a lui $E(x)=16x^2$ și $E(-x)=16x^2$ este $16x^2$; media geometrică a lui $E(1)=16$ și $E(-1)=16$ este $\sqrt{16\cdot 16}=16$. Din $16x^2=16$ rezultă $x^2=1$, deci $x=1$ sau $x=-1$; produsul soluțiilor este $1\cdot (-1)=-1$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Din $AD=3DF$ și $AD=AB=12\text{ cm}$, obținem ecuația $3\cdot DF=12$ (3 p), de unde $DF=\frac{12}{3}=4\text{ cm}$ (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Triunghiurile $DCF$ și $BCE$ sunt dreptunghice (în $D$, respectiv $B$), cu $DC=BC=12\text{ cm}$ (laturi ale pătratului) și $DF=BE=4\text{ cm}$, deci $△DCF\equiv △BCE$ (catetă–catetă) (3 p). Cum patrulaterul $AECF$ se obține din pătratul $ABCD$ prin înlocuirea triunghiului $DCF$ cu triunghiul congruent $BCE$, rezultă ${\mathcal{A}}_{AECF}={\mathcal{A}}_{ABCD}=A{B}^2=12^2=144{\text{ cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Cu $AF=AD-DF=12-4=8\text{ cm}$ și $AE=AB+BE=12+4=16\text{ cm}$, triunghiul $CFE$ este isoscel ($CF=CE=4\sqrt{10}\text{ cm}$) și $EF=\sqrt{E{A}^2+A{F}^2}=\sqrt{16^2+8^2}=\sqrt{320}=8\sqrt{5}\text{ cm}$; cum $N$ (intersecția dreptelor $CM$ și $EF$) este piciorul perpendicularei din $C$ pe $EF$, în triunghiul isoscel $CFE$ acesta este mijlocul bazei, deci $EN=\frac{EF}{2}=4\sqrt{5}\text{ cm}$ (3 p). Din asemănarea triunghiurilor dreptunghice $ENM$ și $EAF$ (unghi comun în $E$), $\frac{EM}{EN}=\frac{EF}{EA}$, deci $EM=\frac{EN\cdot EF}{EA}=\frac{4\sqrt{5}\cdot 8\sqrt{5}}{16}=10\text{ cm}$; cum $B\in (AE)$ și $EB=4\text{ cm}$, rezultă $MB=EM-EB=10-4=6\text{ cm}=\frac{AB}{2}$, deci punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$ (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Perimetrul pătratului $ABCD$ este $P_{ABCD}=4\cdot AB$ (3 p). Înlocuind, $P_{ABCD}=4\cdot 6=24\text{ cm}$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $O$ este mijlocul diagonalei $BD$ (intersecția diagonalelor pătratului), deci $VO$ este mediană în triunghiul $VBD$; cum $G\in VO$ cu $VG=2GO$, punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $VBD$, iar cum $N=VB\cap DG$, mediana din $D$ trece prin $G$ și prin mijlocul laturii opuse $VB$, deci $N$ este mijlocul segmentului $VB$ (2 p). $MN$ este linie mijlocie în triunghiul $VAB$ ($M$ mijlocul $VA$, $N$ mijlocul $VB$), deci $MN\parallel AB$; cum $AB\subset (ABC)$ și $MN\not\subset (ABC)$, obținem $MN\parallel (ABC)$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Fie $P$ mijlocul lui $BO$; $NP$ este linie mijlocie în triunghiul $VBO$ ($N$ mijlocul $VB$), deci $NP\parallel VO$ și, cum $VO\perp (ABC)$, rezultă $NP\perp (ABC)$; cum $MN\parallel (ABC)$, distanța de la $M$ la $(ABC)$ este egală cu distanța de la $N$ la $(ABC)$, adică $NP$ (2 p). Triunghiul $VOB$ este dreptunghic în $O$, cu $BO=\frac{AC}{2}=\frac{AB\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\text{ cm}$, deci $VO=\sqrt{V{B}^2-B{O}^2}=\sqrt{45-18}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\text{ cm}$; cum $NP=\frac{VO}{2}$ (linie mijlocie), rezultă $NP=\frac{3\sqrt{3}}{2}\text{ cm}$, deci distanța de la punctul $M$ la planul $(ABC)$ este egală cu $\frac{3\sqrt{3}}{2}\text{ cm}$ (3 p).

Examen oficial de Evaluare Națională — sesiunea specială, Varianta 4, susținut de absolvenții clasei a VIII-a în anul școlar 2019-2020, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este examenul OFICIAL la matematică pentru sesiunea specială a Evaluării Naționale, clasa a VIII-a — Varianta 4, susținut efectiv de absolvenții clasei a VIII-a în anul școlar 2019 - 2020, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE). Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, o sarcină de desen incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic $ABCDEFGH$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre numărul muchiilor paralelipipedului dreptunghic, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, rezolvarea unei proporții, intersecția a două mulțimi, aria pătratului și latura acestuia, unghiul dintre două drepte necoplanare într-un cub, calculul unui procent dintr-un total prezentat într-un tabel de frecvențe; numărul muchiilor unui paralelipiped dreptunghic, calcul cu fracții ordinare (raportul a două numere reale), o problemă cu fracționarea unui întreg (o drumeție în trei zile), simplificarea radicalilor și calculul unei puteri cu exponent par, o expresie algebrică arătată a fi un pătrat perfect independent de semnul lui $x$; geometrie plană (un pătrat — triunghiuri congruente, aria unui patrulater, mijlocul unui segment) și geometrie în spațiu (o piramidă patrulateră — perimetrul bazei, o linie mijlocie paralelă cu un plan, distanța de la un punct la un plan).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.