Testul oficial de pregătire nr. 3 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $15-15:5$ este egal cu: a) $0$ b) $12$ c) $3$ d) $6$

Exercițiul 2 · 5 puncte Numărul care reprezintă $50\%$ din $1000$ este egal cu: a) $500$ b) $50$ c) $5000$ d) $950$

Exercițiul 3 · 5 puncte Produsul numerelor întregi din intervalul $[-3,3]$ este egal cu: a) $-36$ b) $36$ c) $0$ d) $-9$

Exercițiul 4 · 5 puncte Pătratul $ABCD$ are perimetrul de $8$ cm. Latura acestui pătrat este de: a) $4$ cm b) $16$ cm c) $1$ cm d) $2$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o prismă dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghi echilateral. Unghiul determinat de dreptele $A^{\prime }{B}^{\prime }$ și $BC$ are măsura de:

a) $90°$ b) $60°$ c) $30°$ d) $120°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În diagrama de mai jos este prezentat numărul de probleme de matematică rezolvate de un elev în cinci zile dintr-o săptămână.

Conform informațiilor din diagramă, numărul de probleme rezolvate joi, de acest elev, este mai mare decât numărul de probleme rezolvate marți cu: a) $5$ b) $3$ c) $8$ d) $11$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă triunghiulară regulată de vârf $V$ și bază triunghiul $ABC$.

Numărul muchiilor piramidei triunghiulare regulate $VABC$ este egal cu: a) $6$ b) $4$ c) $8$ d) $5$

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră numerele reale $a=\sqrt{2}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}\right)+2$ și $b=\sqrt{3}\cdot \left(\frac{4}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}\right)+4$. Știind că $a=b$, valoarea comună a numerelor $a$ și $b$ este egală cu: a) $3$ b) $5$ c) $7$ d) $9$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se determină trei numere naturale $x$, $y$, $z$, direct proporționale cu numerele $3$, $5$, respectiv $7$, știind că suma dintre cel mai mic și cel mai mare dintre ele este egală cu $320$. Cel mai mare dintre cele trei numere este egal cu: a) $320$ b) $96$ c) $224$ d) $192$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+1$. Graficul funcției $f$ intersectează axa $Oy$ în punctul de coordonate: a) $(1,0)$ b) $(0,-1)$ c) $(-1,0)$ d) $(0,1)$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+1$. Numărul $N=f(0)+f(1)+f(2)+\dots +f(10)$ este pătratul unui număr natural; numărul $N$ este egal cu: a) $100$ b) $121$ c) $144$ d) $110$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x}{x^2+3x}-\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+3}\right):\frac{6}{x-3}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -3$, $x\ne 0$ și $x\ne 3$. Valoarea expresiei $E(x)$ este egală cu: a) $0$ b) depinde de $x$ c) $1$ d) $x-3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un trapez dreptunghic $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AB=18$ cm, $CD=12$ cm și $m(\sphericalangle ABC)=60°$. Punctul $E$ este situat pe latura $AB$, astfel încât $CE\perp AB$.

Arătați că $BE=6$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou trapezul dreptunghic $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AB=18$ cm, $CD=12$ cm și $m(\sphericalangle ABC)=60°$, ca în figura alăturată. Punctul $E$ este situat pe latura $AB$, astfel încât $CE\perp AB$.

Calculați aria trapezului $ABCD$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou trapezul dreptunghic $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AB=18$ cm, $CD=12$ cm și $m(\sphericalangle ABC)=60°$, ca în figura alăturată. Punctul $E$ este situat pe latura $AB$, astfel încât $CE\perp AB$, iar punctul $F$ este mijlocul segmentului $AE$.

Demonstrați că dreptele $CF$ și $BD$ sunt perpendiculare.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=10$ cm. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, iar punctul $M$ este intersecția dreptelor $B^{\prime }C$ și $B{C}^{\prime }$.

Arătați că aria patrulaterului $ABCD$ este egală cu $100{\text{ cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=10$ cm, ca în figura alăturată. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, iar punctul $M$ este intersecția dreptelor $B^{\prime }C$ și $B{C}^{\prime }$.

Determinați distanța de la punctul $D^{\prime }$ la dreapta $AB$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=10$ cm, iar punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, punctul $M$ este intersecția dreptelor $B^{\prime }C$ și $B{C}^{\prime }$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că dreapta $OM$ este paralelă cu planul $(C^{\prime }D{A}^{\prime })$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $15-15:5=15-3=12$ (întâi împărțirea, apoi scăderea).
2. a) $50\%$ din $1000$ este $\frac{1000}{2}=500$.
3. c) Din intervalul $[-3,3]$, numerele întregi sunt $-3,-2,-1,0,1,2,3$; cum printre ele se află $0$, produsul lor este $0$.
4. d) Latura pătratului $=\frac{\text{perimetrul}}{4}=\frac{8}{4}=2$ cm.
5. b) Cum $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ (muchii laterale ale unei prisme drepte translatează baza), unghiul dintre $A^{\prime }{B}^{\prime }$ și $BC$ este egal cu unghiul dintre $AB$ și $BC$, adică unghiul triunghiului echilateral $ABC$, egal cu $60°$.
6. a) Din diagramă, joi s-au rezolvat $8$ probleme, iar marți $3$ probleme; diferența este $8-3=5$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) Piramida triunghiulară $VABC$ are baza $ABC$ (triunghi, cu $3$ muchii: $AB$, $BC$, $CA$) și $3$ muchii laterale: $VA$, $VB$, $VC$; în total $3+3=6$ muchii.
2. b) $a=\sqrt{2}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}\right)+2=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}+2=1+2+2=5$; $b=\sqrt{3}\cdot \left(\frac{4}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}\right)+4=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}+4=4-3+4=5$. Deci $a=b=5$.
3. c) Notând $x,y,z$ cele trei numere, $\frac{x}{3}=\frac{y}{5}=\frac{z}{7}=k$, deci $x=3k$, $z=7k$; din $x+z=320$ obținem $10k=320\Rightarrow k=32$, deci $x=96$, $y=160$ și $z=224$ (cel mai mare).
4. d) $f(0)=2\cdot 0+1=1$, deci graficul intersectează axa $Oy$ în punctul $(0,1)$.
5. b) $N=f(0)+f(1)+\dots +f(10)=1+3+5+\dots +21$ (suma primelor $11$ numere impare) $=11^2=121$.
6. a) $E(x)=\frac{x}{x(x+3)}-\left(\frac{(x+3)-(x-3)}{(x-3)(x+3)}\right):\frac{6}{x-3}=\frac{1}{x+3}-\frac{6}{(x-3)(x+3)}\cdot \frac{x-3}{6}=\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+3}=0$, pentru orice $x$ real, $x\ne -3$, $x\ne 0$ și $x\ne 3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Cum trapezul $ABCD$ este dreptunghic ($AD\perp AB$) și $CE\perp AB$, iar $CD\parallel AB$, patrulaterul $AECD$ este dreptunghi, deci $AE=CD=12$ cm (3 p). Rezultă $BE=AB-AE=18-12=6$ cm (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte În triunghiul dreptunghic $BEC$ (drept în $E$), $m(\sphericalangle ECB)=90°-60°=30°$, deci $BC=2\cdot BE=2\cdot 6=12$ cm și $CE=BE\cdot \tan 60°=6\sqrt{3}$ cm (3 p). Aria trapezului $ABCD=\frac{(AB+CD)\cdot CE}{2}=\frac{(18+12)\cdot 6\sqrt{3}}{2}=90\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $F$ este mijlocul segmentului $AE$, deci $FE=6$ cm, de unde obținem $FB=FE+EB=6+6=12$ cm (2 p). Cum $FB=BC=CD=12$ cm și $FB\parallel DC$, patrulaterul $FBCD$ este romb și, cum $CF$ și $BD$ sunt diagonalele sale, obținem $CF\perp BD$ (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $ABCD$ este pătrat (fața de bază a cubului), deci ${\text{Aria}}_{ABCD}=A{B}^2$ (3 p). Înlocuind, ${\text{Aria}}_{ABCD}=10^2=100{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $AB\perp AD$ și $AB\perp A{A}^{\prime }$, iar $AD\cap A{A}^{\prime }=\{A\}$, deci $AB\perp (AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ și, cum $D^{\prime }A\subset (AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$, obținem că $D^{\prime }A\perp AB$, deci distanța de la punctul $D^{\prime }$ la dreapta $AB$ este $D^{\prime }A$ (3 p). $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ este pătrat cu $AD=10$ cm, deci $D^{\prime }A=10\sqrt{2}$ cm (2 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $O$ este mijlocul segmentului $BD$ și $M$ este mijlocul segmentului $B{C}^{\prime }$ (diagonalele dreptunghiului $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ se înjumătățesc reciproc în $M$), deci $OM$ este linie mijlocie în $△BD{C}^{\prime }$ (2 p). Rezultă $OM\parallel D{C}^{\prime }$, iar cum $D{C}^{\prime }\subset (C^{\prime }D{A}^{\prime })$, obținem $OM\parallel (C^{\prime }D{A}^{\prime })$ (3 p).

Testul oficial de pregătire nr. 3, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 și Exercițiul 4 de la Subiectul al II-lea, reformulate din sarcinile de desen/construcție și reprezentare grafică originale). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este testul oficial de pregătire nr. 3 la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, în anul 2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Fac excepție două exerciții de la Subiectul al II-lea, sarcini de desen/reprezentare grafică incompatibile cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată, cu vârful $V$ și baza triunghiul $ABC$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre numărul muchiilor piramidei, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial; și Exercițiul 4 (partea a) a exercițiului original 4), care cerea „reprezentați grafic funcția $f$ într-un sistem de coordonate $xOy$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre punctul de intersecție a graficului cu axa $Oy$, păstrând identică funcția $f(x)=2x+1$ din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, procentul dintr-un număr, produsul numerelor întregi dintr-un interval, perimetrul și latura unui pătrat, unghiul dintre două drepte într-o prismă dreaptă cu baza triunghi echilateral, citirea unei diagrame cu bare; numărul muchiilor unei piramide triunghiulare regulate, două expresii cu radicali arătate a fi egale, trei numere direct proporționale, funcția liniară $f(x)=2x+1$ (intersecția cu axa $Oy$, o sumă de valori care este pătrat perfect), o expresie algebrică cu fracții arătată a fi nulă; geometrie plană (un trapez dreptunghic — o lungime, aria trapezului, perpendicularitatea diagonalelor unui romb) și geometrie în spațiu (un cub — aria unei fețe, distanța de la un vârf la o dreaptă, paralelismul dintre o dreaptă și un plan).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.