Testul oficial de pregătire nr. 5 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $15-15:3$ este egal cu: a) $0$ b) $10$ c) $5$ d) $20$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $10\%$ dintr-o sumă reprezintă $60$ de lei, atunci suma este egală cu: a) $600$ de lei b) $60$ de lei c) $6000$ de lei d) $660$ de lei

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mare număr prim din intervalul $\left[2,11\right)$ este egal cu: a) $11$ b) $9$ c) $7$ d) $5$

Exercițiul 4 · 5 puncte Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$, respectiv $AC$ ale unui triunghi $ABC$ cu $BC=24$ cm. Lungimea segmentului $MN$ este egală cu: a) $12$ cm b) $6$ cm c) $48$ cm d) $24$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCDEFGH$. Măsura unghiului determinat de dreptele $AB$ și $EG$ este egală cu:

a) $30°$ b) $60°$ c) $90°$ d) $45°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul următor sunt prezentate informații despre media de admitere la un liceu, în ultimii trei ani.

Conform tabelului, media de admitere $9,85$ a fost înregistrată la acest liceu, în anul: a) $2017$ b) $2018$ c) $2019$ d) $2020$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată cu vârful $V$ și baza $ABCD$.

Numărul fețelor piramidei patrulatere regulate $VABCD$ este egal cu: a) $4$ b) $6$ c) $5$ d) $9$

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră numerele $a=2\cdot 3$ și $b=2\cdot 3^3$. Media geometrică a numerelor $a$ și $b$ este egală cu: a) $30$ b) $12$ c) $24$ d) $18$

Exercițiul 3 · 5 puncte Oana cheltuiește o sumă de bani în trei zile. În prima zi Oana cheltuiește jumătate din sumă, a doua zi cheltuiește jumătate din suma rămasă, iar a treia zi restul de $100$ lei. Suma totală cheltuită de Oana în cele trei zile este egală cu: a) $400$ de lei b) $300$ de lei c) $200$ de lei d) $100$ de lei

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-4$.

Graficul funcției $f$ intersectează axa $Oy$ în punctul de coordonate: a) $(0,4)$ b) $(0,-4)$ c) $(-4,0)$ d) $(4,0)$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-4$.

Aria triunghiului determinat de graficul funcției $f$ și axele sistemului de coordonate $xOy$ este egală cu: a) $8$ b) $2$ c) $4$ d) $6$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{4}{x-2}:\frac{(x+3{)}^2-(x+1{)}^2}{x^2-4}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -2$ și $x\ne 2$. Valoarea expresiei $E(x)$ este egală cu: a) $-1$ b) depinde de $x$ c) $x-1$ d) $1$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă un dreptunghi $ABCD$ cu $AB=7$ cm și $AD=5$ cm. Punctul $M$ este situat pe latura $CD$ astfel încât $AM=AB$. Bisectoarea unghiului $BAM$ intersectează dreapta $CD$ în punctul $E$.

Arătați că perimetrul dreptunghiului $ABCD$ este egal cu $24$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=7$ cm și $AD=5$ cm, ca în figura alăturată. Punctul $M$ este situat pe latura $CD$ astfel încât $AM=AB$. Bisectoarea unghiului $BAM$ intersectează dreapta $CD$ în punctul $E$.

Demonstrați că lungimea segmentului $MC$ este mai mare decât $2$ cm.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=7$ cm și $AD=5$ cm, ca în figura alăturată. Punctul $M$ este situat pe latura $CD$ astfel încât $AM=AB$. Bisectoarea unghiului $BAM$ intersectează dreapta $CD$ în punctul $E$.

Demonstrați că patrulaterul $AMEB$ este romb.

Exercițiul 4 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă o prismă dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghi echilateral, $AB=12$ cm, $A{A}^{\prime }=12\sqrt{3}$ cm și punctul $M$ este mijlocul segmentului $A^{\prime }B$.

Arătați că aria patrulaterului $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ este egală cu $144\sqrt{3}{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou prisma dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghi echilateral, $AB=12$ cm, $A{A}^{\prime }=12\sqrt{3}$ cm și punctul $M$ este mijlocul segmentului $A^{\prime }B$, ca în figura alăturată.

Determinați măsura unghiului dintre dreapta $A^{\prime }B$ și planul $(ABC)$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou prisma dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghi echilateral, $AB=12$ cm, $A{A}^{\prime }=12\sqrt{3}$ cm și punctul $M$ este mijlocul segmentului $A^{\prime }B$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că distanța de la punctul $M$ la planul $(ABC)$ este egală cu $6\sqrt{3}$ cm.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $15-15:3=15-5=10$ (întâi împărțirea, apoi scăderea).
2. a) $10\%$ dintr-o sumă $x$ este $60$, deci $\frac{x}{10}=60\Rightarrow x=600$ lei.
3. c) Numerele prime din intervalul $\left[2,11\right)$ sunt $2$, $3$, $5$, $7$ ($11$ nu aparține intervalului, fiind exclus prin paranteza rotundă); cel mai mare dintre ele este $7$.
4. a) $MN$ este linie mijlocie în triunghiul $ABC$, deci $MN=\frac{BC}{2}=\frac{24}{2}=12$ cm.
5. d) Cubul $ABCDEFGH$ are $E$ deasupra lui $A$ și $G$ deasupra lui $C$, deci $EG$ este diagonala feței de sus, paralelă cu diagonala $AC$ a feței de jos; unghiul dintre $AB$ și $AC$ într-un pătrat este $45°$, deci și unghiul dintre $AB$ și $EG$ este $45°$.
6. b) Din tabel, media $9,85$ apare în coloana anului $2018$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) Piramida patrulateră regulată $VABCD$ are $1$ față care este baza $ABCD$ (pătrat) și $4$ fețe laterale (triunghiuri $VAB$, $VBC$, $VCD$, $VDA$); în total $1+4=5$ fețe.
2. d) $a=2\cdot 3=6$; $b=2\cdot 3^3=2\cdot 27=54$. Media geometrică $=\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{6\cdot 54}=\sqrt{324}=18$.
3. a) Fie $x$ suma totală. În prima zi cheltuiește $\frac{x}{2}$, rămân $\frac{x}{2}$; a doua zi cheltuiește $\frac{1}{2}\cdot \frac{x}{2}=\frac{x}{4}$, rămân $\frac{x}{4}$; a treia zi cheltuiește restul, adică $\frac{x}{4}=100\Rightarrow x=400$ lei.
4. b) $f(0)=2\cdot 0-4=-4$, deci graficul intersectează axa $Oy$ în punctul $(0,-4)$.
5. c) $f(x)=0\Rightarrow 2x-4=0\Rightarrow x=2$, deci graficul intersectează axa $Ox$ în $M(2,0)$; cu $N(0,-4)$ (punctul de la itemul anterior), triunghiul $MON$ este dreptunghic în $O$, cu $OM=2$ și $ON=4$, deci aria $=\frac{OM\cdot ON}{2}=\frac{2\cdot 4}{2}=4$.
6. d) $(x+3{)}^2-(x+1{)}^2=[(x+3)-(x+1)]\cdot [(x+3)+(x+1)]=2\cdot (2x+4)=4(x+2)$, iar $x^2-4=(x-2)(x+2)$, deci $\frac{(x+3{)}^2-(x+1{)}^2}{x^2-4}=\frac{4(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{4}{x-2}$. Atunci $E(x)=\frac{4}{x-2}:\frac{4}{x-2}=1$, pentru orice $x$ real, $x\ne -2$ și $x\ne 2$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Perimetrul dreptunghiului $ABCD$ este $P_{ABCD}=2\cdot (AB+AD)$ (3 p). Înlocuind, $P_{ABCD}=2\cdot (7+5)=2\cdot 12=24$ cm (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Triunghiul $ADM$ este dreptunghic în $D$ (căci $AD\perp DC$, laturi ale dreptunghiului), deci $DM=\sqrt{A{M}^2-A{D}^2}=\sqrt{7^2-5^2}=\sqrt{49-25}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ cm (3 p). Rezultă $MC=DC-DM=7-2\sqrt{6}$ cm; cum $(2\sqrt{6}{)}^2=24<25=5^2$, avem $2\sqrt{6}<5$, deci $MC=7-2\sqrt{6}>7-5=2$ cm (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Cum $AB\parallel CD$ (laturi opuse ale dreptunghiului) și $M,E\in CD$, rezultă $AB\parallel ME$; cu transversala $AE$, $\sphericalangle MEA\equiv \sphericalangle BAE$ (unghiuri alterne interne); cum $AE$ este bisectoarea unghiului $BAM$, $\sphericalangle BAE\equiv \sphericalangle MAE$, deci $\sphericalangle MEA\equiv \sphericalangle MAE$, adică triunghiul $MEA$ este isoscel, cu $ME=AM$ (2 p). Cum $AM=AB$ (dat în enunț) și $ME=AM$, rezultă $ME=AB$; cum, în plus, $ME\parallel AB$, patrulaterul $AMEB$ este paralelogram cu o pereche de laturi alăturate congruente ($AM=AB$), deci $AMEB$ este romb (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ este o față laterală dreptunghiulară a prismei drepte, deci aria sa este ${\mathcal{A}}_{AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }}=AB\cdot A{A}^{\prime }$ (3 p). Înlocuind, ${\mathcal{A}}_{AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }}=12\cdot 12\sqrt{3}=144\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Cum prisma este dreaptă, $A{A}^{\prime }\perp$ planul $(ABC)$, deci proiecția lui $A^{\prime }$ pe planul $(ABC)$ este $A$, iar proiecția dreptei $A^{\prime }B$ pe acest plan este $AB$; unghiul dintre dreapta $A^{\prime }B$ și planul $(ABC)$ este unghiul $\sphericalangle A^{\prime }BA$ (2 p). Triunghiul $AB{A}^{\prime }$ este dreptunghic în $A$, deci $\text{tg}(\sphericalangle A^{\prime }BA)=\frac{A{A}^{\prime }}{AB}=\frac{12\sqrt{3}}{12}=\sqrt{3}$, deci unghiul dintre dreapta $A^{\prime }B$ și planul $(ABC)$ are măsura de $60°$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Fie $N$ mijlocul laturii $AB$. Segmentul $MN$ este linie mijlocie în triunghiul $A^{\prime }AB$ ($M$ mijlocul lui $A^{\prime }B$, $N$ mijlocul lui $AB$), deci $MN\parallel A{A}^{\prime }$ și $MN=\frac{A{A}^{\prime }}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ cm (3 p). Cum $A{A}^{\prime }\perp$ planul $(ABC)$ (prismă dreaptă) și $MN\parallel A{A}^{\prime }$, rezultă $MN\perp$ planul $(ABC)$; cum $N$ aparține planului $(ABC)$, distanța de la $M$ la planul $(ABC)$ este egală cu $MN=6\sqrt{3}$ cm (2 p).

Testul oficial de pregătire nr. 5 pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 și Exercițiul 4 de la Subiectul al II-lea, reformulate din sarcinile de desen/construcție și reprezentare grafică originale). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este Testul oficial de pregătire nr. 5 la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, publicat în anul 2020 de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, ca material de pregătire pentru absolvenții clasei a VIII-a. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, formatul oficial al testelor de pregătire era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Fac excepție două exerciții de la Subiectul al II-lea, sarcini de desen/reprezentare grafică incompatibile cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, o piramidă patrulateră regulată cu vârful $V$ și baza $ABCD$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre numărul fețelor piramidei, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial; și Exercițiul 4 (partea a) a exercițiului original 4), care cerea „reprezentați grafic funcția $f$ într-un sistem de coordonate $xOy$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre punctul de intersecție a graficului cu axa $Oy$, păstrând identică funcția $f(x)=2x-4$ din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, procentul dintr-o sumă, cel mai mare număr prim dintr-un interval, linia mijlocie în triunghi, unghiul dintre două drepte într-un cub, citirea unui tabel cu mediile de admitere la un liceu; numărul fețelor unei piramide patrulatere regulate, media geometrică a două numere, o problemă cu fracționarea repetată a unei sume de bani cheltuite în trei zile, funcția liniară $f(x)=2x-4$ (intersecția cu axa $Oy$, aria triunghiului determinat de grafic și axele de coordonate), o expresie algebrică cu fracții arătată a fi constantă; geometrie plană (un dreptunghi — perimetru, un triunghi dreptunghic obținut cu bisectoarea unui unghi, demonstrația că un patrulater este romb) și geometrie în spațiu (o prismă dreaptă cu baza triunghi echilateral — aria unei fețe laterale, unghiul dintre o diagonală și planul bazei, distanța de la un punct la un plan).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.