Testul oficial de pregătire nr. 8 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(40-2\cdot 10):5$ este egal cu: a) $4$ b) $8$ c) $36$ d) $76$

Exercițiul 2 · 5 puncte După o scumpire cu $10\%$, prețul unui obiect devine $44$ de lei. Prețul obiectului înainte de scumpire era egal cu: a) $39,6$ lei b) $34$ lei c) $48,4$ lei d) $40$ lei

Exercițiul 3 · 5 puncte Fracția subunitară din mulțimea $A=\left\{\frac{3}{2},\frac{10}{11},\frac{11}{10},3\right\}$ este: a) $\frac{11}{10}$ b) $\frac{3}{2}$ c) $\frac{10}{11}$ d) $3$

Exercițiul 4 · 5 puncte Dreptunghiul $ABCD$ are $AB=8$ cm și aria de $80{\text{cm}}^2$. Lungimea laturii $BC$ este egală cu: a) $8$ cm b) $10$ cm c) $72$ cm d) $640$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Unghiul dreptelor $AC$ și $B^{\prime }{D}^{\prime }$ are măsura de: a) $60°$ b) $45°$ c) $30°$ d) $90°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În graficul de mai jos este înregistrată temperatura unui pacient pe parcursul a $72$ de ore.

Conform informațiilor din grafic, cea mai mare temperatură înregistrată pentru acest pacient este egală cu: a) $40°$C b) $38°$C c) $36,5°$C d) $39°$C

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un paralelogram $ABCD$ (laturile opuse $AB$, $CD$ și, respectiv, $AD$, $BC$).

Care dintre următoarele afirmații este ADEVĂRATĂ, conform definiției paralelogramului? a) diagonalele $AC$ și $BD$ sunt congruente b) $AB\parallel CD$ și $AB=CD$ c) toate cele patru unghiuri ale patrulaterului sunt congruente d) diagonalele $AC$ și $BD$ sunt perpendiculare

Exercițiul 2 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor naturale $a$, $b$ și $8$ este egală cu $16$. Media aritmetică a numerelor $a$ și $b$ este egală cu: a) $20$ b) $40$ c) $16$ d) $24$

Exercițiul 3 · 5 puncte Un automobil parcurge în trei zile o distanță de $1200$ km. În prima zi parcurge $\frac{2}{5}$ din distanță, a doua zi $30\%$ din distanță și restul în a treia zi. Distanța parcursă de automobil în a treia zi este egală cu: a) $720$ km b) $420$ km c) $340$ km d) $360$ km

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numărul real $a={\left(0,(3)+\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{15^2-12^2}}\right)}^{-1}$. Numărul $a$ este egal cu: a) $\frac{8}{9}$ b) $\frac{9}{8}$ c) $\frac{3}{2}$ d) $\frac{5}{4}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră numerele reale $a={\left(0,(3)+\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{15^2-12^2}}\right)}^{-1}$ și $b=\left(\frac{42}{\sqrt{98}}-\sqrt{3^2+4^2}+\frac{\sqrt{56}}{\sqrt{7}}\right):5+|\sqrt{2}-3|$. Media geometrică a numerelor $a$ și $b$ aparține intervalului: a) $(1,\sqrt{2})$ b) $(\sqrt{3},2)$ c) $(\sqrt{2},\sqrt{3})$ d) $(0,1)$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=(2x-1{)}^2-2(x-2)(x+1)-(x+1{)}^2$, unde $x$ este număr real, și numărul $N=E(2n+1)-E(2n-1)$, unde $n$ este număr natural nenul. Pentru $n=2$, numărul $N$ este egal cu: a) $8$ b) $16$ c) $4$ d) $0$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un trapez isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AB=24$ cm, $CD=8$ cm și $AD=10$ cm. Dreptele $AD$ și $BC$ se intersectează în punctul $E$, iar punctele $M$ și $N$ sunt situate pe dreapta $AB$ astfel încât $DM\perp AB$ și $EN\perp AB$.

Arătați că perimetrul trapezului $ABCD$ este egal cu $52$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou trapezul isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AB=24$ cm, $CD=8$ cm și $AD=10$ cm, ca în figura alăturată. Dreptele $AD$ și $BC$ se intersectează în punctul $E$, iar punctele $M$ și $N$ sunt situate pe dreapta $AB$ astfel încât $DM\perp AB$ și $EN\perp AB$.

Determinați lungimea segmentului $EN$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou trapezul isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AB=24$ cm, $CD=8$ cm și $AD=10$ cm, cu dreptele $AD$ și $BC$ intersectându-se în punctul $E$, iar punctele $M$ și $N$ situate pe dreapta $AB$ astfel încât $DM\perp AB$ și $EN\perp AB$, ca în figura alăturată.

Știind că $G$ este punctul de intersecție a dreptelor $EN$ și $MC$, demonstrați că $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABE$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă $VABCD$ cu $VA=VB=VC=VD$ și unghiul dintre $VB$ și planul $(ABC)$ cu măsura de $45°$. $ABCD$ este pătrat cu $AB=18$ cm, punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $BC$, respectiv $VD$, iar $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$.

Arătați că aria patrulaterului $ABCD$ este egală cu $324{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou piramida $VABCD$ cu $VA=VB=VC=VD$ și unghiul dintre $VB$ și planul $(ABC)$ cu măsura de $45°$, $ABCD$ pătrat cu $AB=18$ cm, $M$ mijlocul segmentului $BC$, $N$ mijlocul segmentului $VD$, iar $O$ punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că dreapta $OM$ este paralelă cu planul $(VAB)$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou piramida $VABCD$ cu $VA=VB=VC=VD$ și unghiul dintre $VB$ și planul $(ABC)$ cu măsura de $45°$, $ABCD$ pătrat cu $AB=18$ cm, punctele $M$ și $N$ mijloacele segmentelor $BC$, respectiv $VD$, iar $O$ punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că $MN=9\sqrt{3}$ cm.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. a) $(40-2\cdot 10):5=(40-20):5=20:5=4$ (întâi înmulțirea din paranteză, apoi scăderea, apoi împărțirea).
2. d) Dacă $x$ este prețul inițial, $x\cdot 1,1=44\Rightarrow x=40$ lei.
3. c) Din mulțimea $A=\left\{\frac{3}{2},\frac{10}{11},\frac{11}{10},3\right\}$, singura fracție subunitară (mai mică decât $1$) este $\frac{10}{11}$ (celelalte sunt supraunitare sau numere întregi).
4. b) $BC=\frac{\text{Aria}}{AB}=\frac{80}{8}=10$ cm.
5. d) $AC$ este diagonala feței $ABCD$, iar $B^{\prime }{D}^{\prime }$ este paralelă cu diagonala $BD$ a aceleiași fețe (fiind translatată pe verticală); cum diagonalele pătratului $ABCD$ sunt perpendiculare ($AC\perp BD$), rezultă $AC\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$, deci unghiul dreptelor $AC$ și $B^{\prime }{D}^{\prime }$ are măsura de $90°$.
6. a) Din grafic, valoarea maximă înregistrată (atinsă la ora $24$) este $40°$C.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) Într-un paralelogram, laturile opuse sunt paralele și congruente: $AB\parallel CD$ și $AB=CD$ (congruența tuturor unghiurilor sau a diagonalelor sunt proprietăți doar ale dreptunghiului, respectiv doar ale dreptunghiului/rombului, nu ale oricărui paralelogram).
2. a) Din $\frac{a+b+8}{3}=16$ obținem $a+b+8=48$, deci $a+b=40$, iar media aritmetică a numerelor $a$ și $b$ este $\frac{a+b}{2}=\frac{40}{2}=20$.
3. d) În prima zi automobilul parcurge $\frac{2}{5}\cdot 1200=480$ km, iar a doua zi $30\%\cdot 1200=360$ km; în a treia zi parcurge $1200-480-360=360$ km.
4. b) $0,(3)=\frac{1}{3}$; $\sqrt{25}=5$; $15^2-12^2=225-144=81$, $\sqrt{81}=9$; deci $a={\left(\frac{1}{3}+\frac{5}{9}\right)}^{-1}={\left(\frac{3}{9}+\frac{5}{9}\right)}^{-1}={\left(\frac{8}{9}\right)}^{-1}=\frac{9}{8}$.
5. c) $\frac{42}{\sqrt{98}}=\frac{42}{7\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$; $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$; $\frac{\sqrt{56}}{\sqrt{7}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$; deci $b=(3\sqrt{2}-5+2\sqrt{2}):5+|\sqrt{2}-3|=(5\sqrt{2}-5):5+(3-\sqrt{2})=(\sqrt{2}-1)+(3-\sqrt{2})=2$. Media geometrică a numerelor $a=\frac{9}{8}$ și $b=2$ este $\sqrt{ab}=\sqrt{\frac{9}{8}\cdot 2}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}=1,5$, iar $\sqrt{2}\approx 1,414$ și $\sqrt{3}\approx 1,732$, deci $\frac{3}{2}\in \left(\sqrt{2},\sqrt{3}\right)$.
6. a) $E(x)=(2x-1{)}^2-2(x-2)(x+1)-(x+1{)}^2=(4x^2-4x+1)-2(x^2-x-2)-(x^2+2x+1)=4x^2-4x+1-2x^2+2x+4-x^2-2x-1=x^2-4x+4=(x-2{)}^2$. Pentru $n=2$: $N=E(5)-E(3)=(5-2{)}^2-(3-2{)}^2=9-1=8$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $ABCD$ este trapez isoscel, deci laturile neparalele sunt congruente: $BC=AD=10$ cm (2 p). Perimetrul trapezului este $P_{ABCD}=AB+BC+CD+DA=24+10+8+10=52$ cm (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $ABCD$ este trapez isoscel, deci $AM=\frac{AB-CD}{2}=\frac{24-8}{2}=8$ cm și $DM=\sqrt{A{D}^2-A{M}^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$ cm (2 p). Cum $DM\perp AB$ și $EN\perp AB$ (deci $DM\parallel EN$) și $A$, $D$, $E$ sunt coliniare, triunghiurile $ADM$ și $AEN$ sunt asemenea, de unde $\frac{DM}{AM}=\frac{EN}{AN}$ și, cum $N$ este mijlocul lui $AB$ (deci $AN=12$ cm), obținem $EN=\frac{DM\cdot AN}{AM}=\frac{6\cdot 12}{8}=9$ cm (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $AM=8$ cm (calculat mai sus) $=DC$, iar $AM\parallel DC$ (fiind $AM$ parte din $AB\parallel CD$), deci $AMCD$ este paralelogram, de unde $MC\parallel AD$ (2 p). Cum $N$ este mijlocul lui $AB$, cu $AN=12$ cm și $AM=8$ cm, rezultă $NM=AN-AM=4$ cm; în triunghiul $ANE$, dreapta $MG$ (cu $M$ pe $AN$, $G$ pe $NE$) este paralelă cu $AE$ (fiindcă $MC\parallel AD$ și $A$, $D$, $E$ coliniare), deci, prin teorema paralelelor, $\frac{NG}{NE}=\frac{NM}{NA}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$, de unde $NG=\frac{EN}{3}=\frac{9}{3}=3$ cm și $EG=EN-NG=9-3=6$ cm, adică $EG:GN=6:3=2:1$ (3 p). Cum $EN$ este mediană în triunghiul $ABE$ ($N$ fiind mijlocul lui $AB$) și $G$ împarte această mediană în raportul $2:1$ față de vârful $E$, rezultă că $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABE$.

Exercițiul 4 · 5 puncte $ABCD$ este pătrat (bază a piramidei cu $VA=VB=VC=VD$), deci aria sa este ${\text{Aria}}_{ABCD}=A{B}^2$ (3 p). Înlocuind, ${\text{Aria}}_{ABCD}=18^2=324{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $M$ este mijlocul lui $BC$, iar $O$, fiind intersecția diagonalelor pătratului $ABCD$, este mijlocul lui $AC$; deci $OM$ este linie mijlocie în triunghiul $CAB$, de unde $OM\parallel AB$ (3 p). Cum $AB\subset$ planul $(VAB)$ și $OM\not\subset (VAB)$, rezultă $OM\parallel (VAB)$ (2 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Diagonala pătratului $ABCD$ este $AC=AB\sqrt{2}=18\sqrt{2}$ cm, deci $OB=\frac{AC}{2}=9\sqrt{2}$ cm. Cum $VA=VB=VC=VD$, piciorul înălțimii din $V$ este centrul pătratului, adică $O$, deci unghiul dintre $VB$ și planul $(ABC)$ este chiar $\sphericalangle VBO=45°$; triunghiul $VOB$, dreptunghic în $O$ cu un unghi de $45°$, este dreptunghic isoscel, deci $VO=OB=9\sqrt{2}$ cm, de unde $VB=OB\sqrt{2}=9\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=18$ cm (2 p). Cum $VA=VB=AB=18$ cm, triunghiul $VAB$ este echilateral. $P$ fiind mijlocul lui $VA$ și $N$ mijlocul lui $VD$, $NP$ este linie mijlocie în triunghiul $VAD$, deci $NP\parallel AD$ și $NP=\frac{AD}{2}=9$ cm; cum $AD\parallel BC$ și $MB=\frac{BC}{2}=9$ cm, rezultă $NP\parallel MB$ și $NP=MB$, deci $BMNP$ este paralelogram, de unde $MN=BP$ (2 p). $BP$ este mediană (deci și înălțime) în triunghiul echilateral $VAB$ cu latura $18$ cm, deci $BP=\frac{18\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}$ cm, adică $MN=9\sqrt{3}$ cm (1 p).

Test oficial de pregătire nr. 8 pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, publicat în 2020 de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este Testul oficial de pregătire nr. 8 la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, publicat în anul 2020 de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, în cadrul seriei de teste de antrenament puse la dispoziția absolvenților clasei a VIII-a. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, formatul oficial era diferit de cel de azi — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă). Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, o sarcină de desen incompatibilă cu formatul grilă: în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un paralelogram $ABCD$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre proprietatea laturilor unui paralelogram, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, procentul aplicat unei scumpiri, fracția subunitară dintr-o mulțime de numere, aria dreptunghiului, unghiul dintre două drepte într-un cub, citirea maximului dintr-un grafic cu temperatura unui pacient; proprietatea laturilor unui paralelogram, media aritmetică a două numere naturale, procentul dintr-o distanță parcursă în etape, calcul cu radicali și puteri, media geometrică a două numere arătată a aparține unui interval, o expresie algebrică arătată a genera un multiplu de $8$; geometrie plană (un trapez isoscel cu dreptele suport ale laturilor neparalele concurente — perimetrul, o lungime obținută din triunghiuri asemenea, centrul de greutate al unui triunghi) și geometrie în spațiu (o piramidă patrulateră cu muchiile laterale egale — aria bazei, o linie mijlocie paralelă cu un plan, lungimea unui segment obținut dintr-un triunghi echilateral).

• Structura testului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.