Testul oficial de pregătire nr. 9 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(20-2\cdot 4):4$ este egal cu: a) $18$ b) $3$ c) $12$ d) $8$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x+3}{5}=\frac{14}{10}$, atunci numărul real $x$ este egal cu: a) $7$ b) $25$ c) $4$ d) $1$

Exercițiul 3 · 5 puncte Numărul de elemente ale mulțimii $A=\{x\in \mathbb{Z}:|x|\le 3\}$ este egal cu: a) $6$ b) $8$ c) $3$ d) $7$

Exercițiul 4 · 5 puncte Linia mijlocie a trapezului $ABCD$ este de $10$ cm. Suma lungimilor bazelor acestui trapez este egală cu: a) $20$ cm b) $10$ cm c) $40$ cm d) $5$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Unghiul dreptelor $AB$ și $B^{\prime }{C}^{\prime }$ are măsura de:

a) $45°$ b) $60°$ c) $90°$ d) $30°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În diagrama de mai jos sunt prezentate rezultatele obținute de elevii unei școli la un concurs:

(procentele tuturor notelor însumează $100\%$). Conform informațiilor din diagramă, note mai mari sau egale cu $9$ au fost obținute de un procent din numărul elevilor care au participat la concurs egal cu: a) $25\%$ b) $40\%$ c) $15\%$ d) $85\%$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un tetraedru $ABCD$.

Numărul muchiilor tetraedrului $ABCD$ este egal cu: a) $6$ b) $4$ c) $8$ d) $12$

Exercițiul 2 · 5 puncte Media geometrică a numerelor $x=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right)\cdot \frac{3}{2}$ și $y=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right):\frac{1}{12}$ este egală cu: a) $4$ b) $2$ c) $1$ d) $2,5$

Exercițiul 3 · 5 puncte Într-o cutie sunt bile albe, $6$ bile roșii și $10$ bile galbene. Probabilitatea de a extrage o bilă albă din cutie este egală cu $\frac{5}{9}$. Numărul de bile albe din cutie este egal cu: a) $24$ b) $30$ c) $20$ d) $16$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numerele reale $a=\left(\sqrt{98}-2\sqrt{50}+\sqrt{32}\right):\frac{1}{\sqrt{2}}$ și $b=\left(\frac{7}{\sqrt{3}}+\frac{3}{\sqrt{12}}+\frac{\sqrt{27}}{18}\right):\frac{3}{\sqrt{3}}$. Numărul real $a$ este egal cu: a) $1$ b) $3$ c) $4$ d) $2$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou numerele reale $a=\left(\sqrt{98}-2\sqrt{50}+\sqrt{32}\right):\frac{1}{\sqrt{2}}$ și $b=\left(\frac{7}{\sqrt{3}}+\frac{3}{\sqrt{12}}+\frac{\sqrt{27}}{18}\right):\frac{3}{\sqrt{3}}$. Numărul $(a-b{)}^{2020}$ este egal cu: a) $1$ b) $-1$ c) $0$ d) $2020$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=x(x+3{)}^2-2(x-1{)}^2-(2x-3)(2x+3)-(17x+7)$, unde $x$ este număr real. Valoarea sumei $\frac{E(3)}{1\cdot 5}+\frac{E(4)}{2\cdot 6}+\frac{E(5)}{3\cdot 7}+\dots +\frac{E(100)}{98\cdot 102}$ este egală cu: a) $5050$ b) $5047$ c) $4950$ d) $5045$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un pătrat $ABCD$ cu $AB=15$ cm, punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ și punctul $O$ este intersecția diagonalelor pătratului. $E$ și $F$ sunt punctele de intersecție a dreptelor $AC$ și $DM$, respectiv $BD$ și $CM$.

Arătați că aria pătratului $ABCD$ este egală cu $225$ cm².

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou pătratul $ABCD$ cu $AB=15$ cm, ca în figura alăturată, punctul $M$ mijlocul laturii $AB$ și punctul $O$ intersecția diagonalelor pătratului. $E$ și $F$ sunt punctele de intersecție a dreptelor $AC$ și $DM$, respectiv $BD$ și $CM$.

Demonstrați că triunghiurile $ADE$ și $BCF$ sunt congruente.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou pătratul $ABCD$ cu $AB=15$ cm, ca în figura alăturată, punctul $M$ mijlocul laturii $AB$ și punctul $O$ intersecția diagonalelor pătratului. $E$ și $F$ sunt punctele de intersecție a dreptelor $AC$ și $DM$, respectiv $BD$ și $CM$.

Calculați lungimea segmentului $EF$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=8$ dm, $BC=6$ dm și $A{A}^{\prime }=15$ dm.

Arătați că suma lungimilor tuturor muchiilor paralelipipedului este egală cu $116$ dm.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=8$ dm, $BC=6$ dm și $A{A}^{\prime }=15$ dm, ca în figura alăturată.

Demonstrați că distanța de la punctul $A$ la planul $(BD{D}^{\prime })$ este egală cu $4,8$ dm.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=8$ dm, $BC=6$ dm și $A{A}^{\prime }=15$ dm, ca în figura alăturată.

Demonstrați că, dacă punctul $M$ este simetricul punctului $A$ față de punctul $B$, atunci planele $(C{C}^{\prime }M)$ și $(B{B}^{\prime }D)$ sunt paralele.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $(20-2\cdot 4):4=(20-8):4=12:4=3$ (întâi înmulțirea din paranteză, apoi împărțirea).
2. c) $\frac{x+3}{5}=\frac{14}{10}\Rightarrow 10(x+3)=5\cdot 14=70\Rightarrow x+3=7\Rightarrow x=4$.
3. d) Elementele mulțimii $A=\{x\in \mathbb{Z}:|x|\le 3\}$ sunt $-3,-2,-1,0,1,2,3$, în total $7$ elemente.
4. a) Linia mijlocie a unui trapez este egală cu semisuma bazelor, deci suma bazelor $=2\cdot 10=20$ cm.
5. c) Cum $AB\perp BC$ (laturi alăturate ale pătratului $ABCD$) și $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$ (muchii opuse ale cubului, situate în fețe paralele), rezultă $AB\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$, deci unghiul dintre dreptele $AB$ și $B^{\prime }{C}^{\prime }$ are măsura de $90°$.
6. b) Procentul notei $10$ este $100\%-(25\%+20\%+14\%+12\%+8\%+6\%)=100\%-85\%=15\%$. Note mai mari sau egale cu $9$ reprezintă $25\%+15\%=40\%$ din numărul elevilor.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) Tetraedrul $ABCD$ are $4$ vârfuri și $6$ muchii: $AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $CD$.
2. b) $x=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right)\cdot \frac{3}{2}=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}=1$; $y=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right):\frac{1}{12}=\frac{1}{3}\cdot 12=4$. Media geometrică a numerelor $x$ și $y$ este $\sqrt{xy}=\sqrt{1\cdot 4}=2$.
3. c) Dacă $n$ este numărul de bile albe, numărul total de bile este $n+16$, iar $\frac{n}{n+16}=\frac{5}{9}\Rightarrow 9n=5(n+16)=5n+80\Rightarrow 4n=80\Rightarrow n=20$.
4. d) $a=\left(\sqrt{98}-2\sqrt{50}+\sqrt{32}\right):\frac{1}{\sqrt{2}}=\left(7\sqrt{2}-10\sqrt{2}+4\sqrt{2}\right)\cdot \sqrt{2}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$.
5. a) $b=\left(\frac{7}{\sqrt{3}}+\frac{3}{\sqrt{12}}+\frac{\sqrt{27}}{18}\right):\frac{3}{\sqrt{3}}=\left(\frac{7\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}\right):\sqrt{3}=3\sqrt{3}:\sqrt{3}=3$. Cum $a=2$, rezultă $(a-b{)}^{2020}=(2-3{)}^{2020}=(-1{)}^{2020}=1$.
6. b) $E(x)=x(x+3{)}^2-2(x-1{)}^2-(2x-3)(2x+3)-(17x+7)=x^3-4x=x(x-2)(x+2)$. Pentru $x=k$, cu $k=3,4,\dots ,100$, avem $\frac{E(k)}{(k-2)(k+2)}=k$, deci suma este $3+4+\cdots +100=\frac{100\cdot 101}{2}-1-2=5050-3=5047$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Aria pătratului $ABCD$ este $A{B}^2$ (3 p), adică $15^2=225$ cm² (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Comparăm triunghiurile $ADM$ și $BCM$: $AD\equiv BC$ (laturi ale pătratului), $AM\equiv BM$ ($M$ mijlocul lui $AB$) și $\sphericalangle DAM\equiv \sphericalangle CBM$ (ambele de $90°$), deci $△ADM\equiv △BCM$ (LUL), de unde $\sphericalangle ADM\equiv \sphericalangle BCM$, adică $\sphericalangle ADE\equiv \sphericalangle BCF$ (căci $E\in DM$ și $F\in CM$) (2 p). Cum $ABCD$ este pătrat, $AD\equiv BC$, iar diagonalele $AC$ și $BD$ sunt bisectoarele unghiurilor drepte ale pătratului, deci $\sphericalangle DAE\equiv \sphericalangle CBF$ (ambele de $45°$); rezultă $△ADE\equiv △BCF$ (USU) (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $O$ este mijlocul diagonalelor $AC$ și $BD$. În triunghiul $ABD$, $AO$ (parte din $AC$) este mediana din $A$, iar $DM$ este mediana din $D$, deci $E=AC\cap DM$ este centrul de greutate al $△ABD$, de unde $\frac{OE}{OA}=\frac{1}{3}$. Analog, $F$ este centrul de greutate al $△ABC$, de unde $\frac{OF}{OB}=\frac{1}{3}$ (2 p). Cum $\sphericalangle EOF\equiv \sphericalangle AOB$, triunghiurile $OEF$ și $OAB$ sunt asemenea (LUL) cu raportul $\frac{1}{3}$, deci $\frac{EF}{AB}=\frac{1}{3}$, adică $EF=\frac{15}{3}=5$ cm (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Suma lungimilor tuturor muchiilor paralelipipedului este $4\left(AB+BC+A{A}^{\prime }\right)$ (2 p), adică $4(8+6+15)=4\cdot 29=116$ dm (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Diagonala bazei este $BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$ dm (cu $AD=BC=6$ dm) (2 p). Fie $E$ piciorul perpendicularei din $A$ pe $BD$, cu $AE$ conținut în planul bazei. Cum $D{D}^{\prime }\perp$ planul bazei, rezultă $D{D}^{\prime }\perp AE$; combinat cu $AE\perp BD$, obținem $AE\perp$ planul $(BD{D}^{\prime })$, deci $d\left(A,(BD{D}^{\prime })\right)=AE=\frac{AB\cdot AD}{BD}=\frac{8\cdot 6}{10}=4,8$ dm (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $M$ este simetricul lui $A$ față de $B$, deci $B$ este mijlocul lui $AM$, adică $BM=AB=8$ dm. Cum $BM\parallel DC$ (parte din $AB\parallel DC$) și $BM=DC$, patrulaterul $BMCD$ este paralelogram (2 p), deci $CM\parallel BD$. Cum $C{C}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$ (muchii ale paralelipipedului) și $CM\parallel BD$, planul $(C{C}^{\prime }M)$ conține două drepte concurente ($C{C}^{\prime }$ și $CM$) respectiv paralele cu două drepte concurente din planul $(B{B}^{\prime }D)$ ($B{B}^{\prime }$ și $BD$), deci planele $(C{C}^{\prime }M)$ și $(B{B}^{\prime }D)$ sunt paralele (3 p).

Testul oficial de pregătire nr. 9, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală; itemul original 4 de la Subiectul al II-lea, cu subpunctele a) și b), a fost împărțit în doi itemi distincți, numerotați secvențial). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 9 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, în anul 2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I și Subiectul al II-lea cereau doar rezultatul, respectiv rezolvarea completă, fără variante de răspuns, la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, incompatibil cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un tetraedru $ABCD$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre numărul muchiilor tetraedrului, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Subiectul al II-lea, exercițiul original $4$, cu subpunctele a) și b), a fost împărțit în două exerciții distincte (Exercițiul 4 și Exercițiul 5), numerotați secvențial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, o ecuație cu fracții, numărul de elemente al unei mulțimi de numere întregi definite prin modul, linia mijlocie a unui trapez, unghiul dintre două drepte într-un cub, procente citite dintr-o diagramă circulară; numărul muchiilor unui tetraedru, media geometrică a două numere date prin expresii cu fracții, o problemă de probabilitate (bile dintr-o cutie), numere reale cu radicali (simplificare și o putere cu exponent mare), o expresie algebrică a cărei sumă telescopică se arată a fi egală cu $5047$; geometrie plană (un pătrat, centre de greutate ale unor triunghiuri, congruența triunghiurilor) și geometrie în spațiu (un paralelipiped dreptunghic — suma muchiilor, distanța de la un punct la un plan, plane paralele).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.