Testul oficial de pregătire nr. 14 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(4+7)\cdot 6-2\cdot 3$ este egal cu: a) $66$ b) $60$ c) $40$ d) $54$

Exercițiul 2 · 5 puncte Zece caiete de același fel costă în total $30$ de lei. Șapte dintre aceste caiete costă în total: a) $3$ lei b) $27$ lei c) $24$ lei d) $21$ lei

Exercițiul 3 · 5 puncte Scrisă sub formă de interval, mulțimea $M=\{x\in \mathbb{R}\mid -3\le x\le 4\}$ este egală cu: a) $[-3,4]$ b) $(-3,4)$ c) $[-3,4)$ d) $(-4,3]$

Exercițiul 4 · 5 puncte Perimetrul unui romb este egal cu $48$ cm. Lungimea laturii acestui romb este egală cu: a) $48$ cm b) $24$ cm c) $12$ cm d) $8$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o prismă triunghiulară $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghi echilateral $ABC$.

Unghiul dreptelor $AB$ și $A^{\prime }{C}^{\prime }$ are măsura de: a) $60°$ b) $90°$ c) $45°$ d) $30°$

Exercițiul 6 · 5 puncte Rezultatele votului pentru alegerea reprezentantului consiliului elevilor unei școli sunt prezentate în diagrama de mai jos.

Conform informațiilor din diagramă, numărul elevilor din școală care au votat cu Matei este mai mare decât numărul elevilor care au votat cu Tudor de: a) $10$ ori b) $4$ ori c) $1,25$ ori d) $5$ ori

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un paralelipiped dreptunghic $ABCDEFGH$.

Numărul muchiilor paralelipipedului dreptunghic $ABCDEFGH$ este egal cu: a) $8$ b) $12$ c) $6$ d) $24$

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră numerele naturale $\overline{abc}$, cu $a<b<c$, știind că $\overline{ab}+\overline{bc}+\overline{ca}=132$ și că $b$ este media aritmetică a numerelor $a$ și $c$. Numărul natural $b$ este egal cu: a) $6$ b) $4$ c) $8$ d) $3$

Exercițiul 3 · 5 puncte Mihai a primit de la părinți o sumă de bani. După ce a cheltuit două cincimi din această sumă și apoi $25\%$ din rest, lui Mihai i-au mai rămas $54$ de lei. Suma de bani pe care a primit-o Mihai de la părinți este egală cu: a) $90$ lei b) $135$ lei c) $120$ lei d) $108$ lei

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numărul real $x=\left(3\sqrt{20}-2\sqrt{45}+\sqrt{405}\right)\cdot 0,(3)$. Numărul $x$ este egal cu: a) $9\sqrt{5}$ b) $5\sqrt{3}$ c) $3\sqrt{5}$ d) $3\sqrt{3}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră numerele reale $x=\left(3\sqrt{20}-2\sqrt{45}+\sqrt{405}\right)\cdot 0,(3)$ și $y=\left(\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}}+\frac{3\sqrt{15}}{\sqrt{20}}+\frac{\sqrt{189}}{\sqrt{28}}\right):\frac{3}{\sqrt{3}}-\left|2\sqrt{5}-5\right|$. Numărul prim $p$, știind că numărul natural $N=(x+y{)}^{2020}$ este divizibil cu $p$, este egal cu: a) $3$ b) $2$ c) $2020$ d) $5$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=2(x+3{)}^2-3(x-1)(x+3)+(x-2{)}^2-31$, unde $x$ este număr real. Valoarea absolută a numărului $A=E(1)-E(2)+E(3)-E(4)+\dots +E(2019)-E(2020)$ este egală cu: a) $-2020$ b) $1010$ c) $4040$ d) $2020$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un paralelogram $ABCD$ cu $AD=6$ cm și $AB=16$ cm. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$, respectiv $CD$. Punctele $E$ și $F$ sunt situate pe segmentele $BM$, respectiv $DN$, astfel încât $EF\perp MN$ și $ME=NF=6$ cm.

Arătați că perimetrul paralelogramului $ABCD$ este egal cu $44$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou paralelogramul $ABCD$ cu $AD=6$ cm și $AB=16$ cm, ca în figura alăturată. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$, respectiv $CD$. Punctele $E$ și $F$ sunt situate pe segmentele $BM$, respectiv $DN$, astfel încât $EF\perp MN$ și $ME=NF=6$ cm.

Demonstrați că dreapta $MN$ este mediatoarea segmentului $EF$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou paralelogramul $ABCD$ cu $AD=6$ cm și $AB=16$ cm, ca în figura alăturată. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$, respectiv $CD$. Punctele $E$ și $F$ sunt situate pe segmentele $BM$, respectiv $DN$, astfel încât $EF\perp MN$ și $ME=NF=6$ cm.

Calculați aria paralelogramului $ABCD$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă triunghiulară $VABC$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$, $AB=12$ cm și înălțimea $VO$, unde punctul $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului $ABC$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$ și $VM=6$ cm.

Arătați că $AM=6\sqrt{3}$ cm.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou piramida triunghiulară $VABC$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$, $AB=12$ cm și înălțimea $VO$, unde punctul $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului $ABC$, ca în figura alăturată. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$ și $VM=6$ cm.

Arătați că $AV\perp (VBC)$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou piramida triunghiulară $VABC$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$, $AB=12$ cm și înălțimea $VO$, unde punctul $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului $ABC$, iar punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$ cu $VM=6$ cm, ca în figura alăturată.

Demonstrați că tangenta unghiului dintre dreapta $AM$ și planul $(VBC)$ este egală cu $\sqrt{2}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $(4+7)\cdot 6-2\cdot 3=11\cdot 6-6=66-6=60$ (întâi parantezele și înmulțirile, apoi scăderea).
2. d) Un caiet costă $30:10=3$ lei, deci $7$ caiete costă $7\cdot 3=21$ lei.
3. a) $M=\{x\in \mathbb{R}\mid -3\le x\le 4\}=[-3,4]$ (intervalul închis la ambele capete).
4. c) Un romb are $4$ laturi congruente, deci latura $=48:4=12$ cm.
5. a) Cum prisma $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ este dreaptă, $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$, deci unghiul dreptelor $AB$ și $A^{\prime }{C}^{\prime }$ este egal cu unghiul dreptelor $AB$ și $AC$, adică unghiul din $A$ al triunghiului echilateral $ABC$, egal cu $60°$.
6. d) Procentul lui Tudor este $100\%-50\%-40\%=10\%$; raportul $50\%:10\%=5$, deci Matei are de $5$ ori mai mulți voturi decât Tudor.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) Paralelipipedul dreptunghic $ABCDEFGH$ are $2$ baze dreptunghiulare ($4+4=8$ muchii) și $4$ muchii laterale, în total $8+4=12$ muchii.
2. b) $\overline{ab}+\overline{bc}+\overline{ca}=11(a+b+c)=132$, deci $a+b+c=12$; cum $b=\frac{a+c}{2}$, obținem $3b=12$, adică $b=4$ (și $a+c=8$, cu soluțiile $147$, $246$, $345$).
3. c) Dacă $x$ este suma primită de Mihai, $\frac{2}{5}x+\frac{25}{100}\left(x-\frac{2}{5}x\right)+54=x$, adică $\frac{2x}{5}+\frac{3x}{20}+54=x$, deci $\frac{11x}{20}+54=x\Rightarrow 54=\frac{9x}{20}\Rightarrow x=120$ lei.
4. c) $x=\left(3\sqrt{20}-2\sqrt{45}+\sqrt{405}\right)\cdot 0,(3)=\left(6\sqrt{5}-6\sqrt{5}+9\sqrt{5}\right)\cdot \frac{1}{3}=9\sqrt{5}\cdot \frac{1}{3}=3\sqrt{5}$.
5. d) $y=\left(2\sqrt{3}+\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}\right):\frac{3}{\sqrt{3}}-\left|2\sqrt{5}-5\right|=5\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}-\left(5-2\sqrt{5}\right)=5-5+2\sqrt{5}=2\sqrt{5}$; atunci $N=(x+y{)}^{2020}={\left(3\sqrt{5}+2\sqrt{5}\right)}^{2020}={\left(5\sqrt{5}\right)}^{2020}=5^{3030}$ și, cum $p$ este prim, obținem $p=5$.
6. d) $E(x)=2(x+3{)}^2-3(x-1)(x+3)+(x-2{)}^2-31=2x$, pentru orice $x$ real; $A=2\cdot 1-2\cdot 2+2\cdot 3-2\cdot 4+\dots +2\cdot 2019-2\cdot 2020=2\left(1-2+3-4+\dots +2019-2020\right)=2\cdot (-1)\cdot 1010=-2020$, deci valoarea absolută a numărului $A$ este $2020$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $P_{ABCD}=2\left(AB+AD\right)=2(16+6)$ (2 p), adică $2\cdot 22=44$ cm (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $M,E\in AB$ și $N,F\in CD$, iar $AB\parallel CD$, deci $ME\parallel NF$; din enunț, $ME=NF=6$ cm, deci patrulaterul $MENF$ este paralelogram (2 p). Într-un paralelogram diagonalele se înjumătățesc, deci $MN$ trece prin mijlocul segmentului $EF$ și, cum din enunț $MN\perp EF$, rezultă că dreapta $MN$ este mediatoarea segmentului $EF$ (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $MENF$ este paralelogram cu diagonalele perpendiculare ($MN\perp EF$), deci $MENF$ este romb, de unde $ME=EN=NF=FM=6$ cm (2 p). Segmentul $MN$ unește mijloacele laturilor $AB$ și $CD$ ale paralelogramului $ABCD$, deci $MN=AD=6$ cm; atunci triunghiul $MNE$, cu $MN=NE=EM=6$ cm, este echilateral, iar înălțimea sa este $3\sqrt{3}$ cm. Cum $E\in AB$, această înălțime este distanța de la $N$ la dreapta $AB$, deci ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot d(N,AB)=16\cdot 3\sqrt{3}=48\sqrt{3}$ cm² (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este echilateral și $M$ este mijlocul laturii $BC$, deci $AM$ este mediană și înălțime în triunghiul dreptunghic $ABM$ (drept în $M$), cu $BM=\frac{BC}{2}=6$ cm și $AM=\sqrt{A{B}^2-B{M}^2}$ (3 p), adică $AM=\sqrt{144-36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$ cm (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului $ABC$ și $VO\perp (ABC)$, deci $AV=BV=CV$ și, cum triunghiul $ABC$ este echilateral, obținem $△VAB\equiv △VBC\equiv △VAC$ (2 p). $VM$ este mediană în $△VBC$ și $VM=\frac{BC}{2}=6$ cm, deci unghiul $\sphericalangle BVC$ este drept; prin congruența triunghiurilor de mai sus, rezultă $AV\perp BV$ și $AV\perp CV$ și, cum $BV\cap CV=\{V\}$, obținem $AV\perp (VBC)$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $AV\perp (VBC)\Rightarrow \sphericalangle \left(AM,(VBC)\right)=\sphericalangle (AM,VM)=\sphericalangle AMV$ (2 p). $AV\perp (VBC)\Rightarrow AV\perp VM$, deci în triunghiul dreptunghic $AVM$ (drept în $V$), $AV=\sqrt{A{M}^2-V{M}^2}=\sqrt{108-36}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$ cm, deci $\mathrm{tg}\left(\sphericalangle AMV\right)=\frac{AV}{VM}=\frac{6\sqrt{2}}{6}=\sqrt{2}$ (3 p).

Testul oficial de pregătire nr. 14, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, în anul 2020, în perioada învățământului online (pandemie). Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 14 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, în anul 2020, în perioada învățământului desfășurat online (pandemie). Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I cerea doar rezultatul (fără variante de răspuns) și Subiectul al II-lea cerea rezolvare completă (fără grilă), la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, incompatibil cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic $ABCDEFGH$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre numărul muchiilor acestui paralelipiped, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, procentul aplicat unui preț total, un interval de numere reale, perimetrul unui romb, unghiul dintre două drepte într-o prismă triunghiulară cu baza triunghi echilateral, interpretarea unei diagrame circulare de procente; numărul muchiilor unui paralelipiped dreptunghic, numere naturale de trei cifre determinate din sumă și medie aritmetică, o problemă cu procente succesive, numere reale scrise cu radicali (arătând egalitatea cu o formă simplificată), un număr prim care divide o putere, o expresie algebrică arătată a fi liniară și o sumă alternantă de valori ale ei; geometrie plană (un paralelogram cu punctele medii ale laturilor, un romb „ascuns" în interior, mediatoarea unui segment, aria paralelogramului) și geometrie în spațiu (o piramidă triunghiulară cu baza triunghi echilateral — o lungime dintr-un triunghi dreptunghic, o dreaptă perpendiculară pe un plan, tangenta unghiului dintre o dreaptă și un plan).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.