Testul oficial de pregătire nr. 15 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $35-35:(2+5)$ este egal cu: a) $0$ b) $30$ c) $5$ d) $40$

Exercițiul 2 · 5 puncte Numărul care reprezintă un sfert din $20$ este egal cu: a) $4$ b) $80$ c) $5$ d) $10$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mare număr natural, care este multiplu de $20$, din mulțimea $A=\{10,20,30,\dots ,90\}$ este: a) $100$ b) $60$ c) $90$ d) $80$

Exercițiul 4 · 5 puncte Un cerc are lungimea egală cu $12\pi$ cm. Diametrul acestui cerc este egal cu: a) $12$ cm b) $6$ cm c) $12\pi$ cm d) $24$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=5$ cm. Lungimea segmentului $B{B}^{\prime }$ este egală cu:

a) $5\sqrt{2}$ cm b) $25$ cm c) $5$ cm d) $10$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos este prezentată repartiția elevilor unei clase a VIII-a, în funcție de mediile obținute la matematică, pe semestrul I.

Conform informațiilor din tabel, numărul elevilor din această clasă care au obținut la matematică, pe semestrul I, cel puțin media $9$ este egal cu: a) $5$ b) $2$ c) $30$ d) $7$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un tetraedru $ABCD$ are $4$ vârfuri și $4$ fețe triunghiulare.

Numărul muchiilor tetraedrului $ABCD$ este egal cu: a) $6$ b) $4$ c) $8$ d) $12$

Exercițiul 2 · 5 puncte Determinați numărul natural $a$, știind că restul împărțirii numărului $\overline{33a}$ la un număr natural de o cifră este egal cu $8$. Numărul $a$ este egal cu: a) $9$ b) $6$ c) $2$ d) $8$

Exercițiul 3 · 5 puncte Media aritmetică a două numere naturale este egală cu $12$. Știind că unul dintre numere este de trei ori mai mare decât celălalt, cele două numere sunt egale cu: a) $9$ și $15$ b) $6$ și $18$ c) $3$ și $9$ d) $8$ și $24$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numerele reale $x=7\sqrt{24}-3\sqrt{3}\left(8\sqrt{3}-2\left(4\sqrt{3}-2\sqrt{2}\right)\right)$ și $y=\left(\frac{7}{6\sqrt{2}}-\frac{5}{3\sqrt{2}}+\frac{3}{4\sqrt{2}}\right):\frac{1}{\sqrt{288}}$. Valoarea lui $x$ este egală cu: a) $6\sqrt{2}$ b) $2\sqrt{3}$ c) $2\sqrt{6}$ d) $4\sqrt{6}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou numerele reale $x=7\sqrt{24}-3\sqrt{3}\left(8\sqrt{3}-2\left(4\sqrt{3}-2\sqrt{2}\right)\right)$ și $y=\left(\frac{7}{6\sqrt{2}}-\frac{5}{3\sqrt{2}}+\frac{3}{4\sqrt{2}}\right):\frac{1}{\sqrt{288}}$, unde (printr-un calcul asemănător celui de la Exercițiul 4) se arată că $x=2\sqrt{6}$ și $y=3$. Cum ${\left(2\sqrt{6}\right)}^2=24$ și ${\left(3\sqrt{3}\right)}^2=27$, deci $x<y\sqrt{3}$. Valoarea expresiei $\left|x-y\sqrt{3}\right|$ este egală cu: a) $x-y\sqrt{3}$ b) $x+y\sqrt{3}$ c) $0$ d) $-x+y\sqrt{3}$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=(2x-1{)}^2-3(x-2)(x+1)+(x+1{)}^2-x-8$, unde $x$ este număr real. Media geometrică a numerelor $E(a)$ și $E\left(\frac{1}{a}\right)$, pentru orice număr real nenul $a$, este egală cu: a) $a$ b) depinde de $a$ c) $4$ d) $2$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un triunghi echilateral $ABC$ cu $AB=12$ cm și punctul $D$ este situat pe dreapta $BC$ astfel încât $BC=2BD$ și $B\in (CD)$. Semidreapta $BM$, $M\in AD$, este bisectoarea unghiului $ABD$ și $N$ este punctul de intersecție dintre $AB$ și paralela prin $M$ la $BC$.

Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $36\sqrt{3}{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou triunghiul echilateral $ABC$ cu $AB=12$ cm, ca în figura alăturată, punctul $D$ situat pe dreapta $BC$ astfel încât $BC=2BD$ și $B\in (CD)$. Semidreapta $BM$, $M\in AD$, este bisectoarea unghiului $ABD$ și $N$ este punctul de intersecție dintre $AB$ și paralela prin $M$ la $BC$.

Demonstrați că triunghiurile $BMN$ și $ABC$ sunt asemenea.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou triunghiul echilateral $ABC$ cu $AB=12$ cm, ca în figura alăturată, punctul $D$ situat pe dreapta $BC$ astfel încât $BC=2BD$ și $B\in (CD)$. Semidreapta $BM$, $M\in AD$, este bisectoarea unghiului $ABD$ și $N$ este punctul de intersecție dintre $AB$ și paralela prin $M$ la $BC$.

Arătați că distanța de la $B$ la $AD$ este egală cu $\frac{6\sqrt{21}}{7}$ cm.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un triunghi echilateral $ABC$ cu $AB=10$ cm și dreptele $AM$, $BN$ și $CP$, perpendiculare pe planul $(ABC)$, astfel încât $AM=10\sqrt{3}$ cm, $BN=5\sqrt{3}$ cm și $CP=5\sqrt{3}$ cm, iar punctele $M$, $N$ și $P$ sunt de aceeași parte a planului $(ABC)$.

Arătați că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $30$ cm.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou triunghiul echilateral $ABC$ cu $AB=10$ cm și dreptele $AM$, $BN$ și $CP$, perpendiculare pe planul $(ABC)$, ca în figura alăturată, astfel încât $AM=10\sqrt{3}$ cm, $BN=5\sqrt{3}$ cm și $CP=5\sqrt{3}$ cm, iar punctele $M$, $N$ și $P$ sunt de aceeași parte a planului $(ABC)$.

Demonstrați că dreapta $BC$ este paralelă cu planul $(ANP)$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou triunghiul echilateral $ABC$ cu $AB=10$ cm și dreptele $AM$, $BN$ și $CP$, perpendiculare pe planul $(ABC)$, ca în figura alăturată, astfel încât $AM=10\sqrt{3}$ cm, $BN=5\sqrt{3}$ cm și $CP=5\sqrt{3}$ cm, iar punctele $M$, $N$ și $P$ sunt de aceeași parte a planului $(ABC)$.

Determinați distanța de la punctul $A$ la planul $(MNP)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $35-35:(2+5)=35-35:7=35-5=30$ (întâi paranteza și împărțirea, apoi scăderea).
2. c) Un sfert din $20$ este $20:4=5$.
3. d) Multiplii lui $20$ din mulțimea $A$ sunt $20,40,60,80$; cel mai mare este $80$.
4. a) Diametrul $=\frac{\text{lungimea cercului}}{\pi }=\frac{12\pi }{\pi }=12$ cm.
5. c) Într-un cub, toate muchiile sunt congruente, deci $B{B}^{\prime }=AB=5$ cm.
6. d) Elevii cu media cel puțin $9$: $5$ (media $9$) $+2$ (media $10$) $=7$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) Tetraedrul $ABCD$ are $4$ vârfuri; unind fiecare pereche de vârfuri printr-o muchie, obținem $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$ muchii ($AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $CD$).
2. c) Restul fiind $8$, împărțitorul (număr natural de o cifră) trebuie să fie mai mare decât $8$, deci este $9$. Scriem $\overline{33a}=9\cdot C+8$; cum $330\le \overline{33a}\le 339$, obținem câtul $C=36$ (căci $9\cdot 36+8=332$), deci $\overline{33a}=332$, adică $a=2$.
3. b) Suma celor două numere este $2\cdot 12=24$. Notând numărul mai mic cu $x$, celălalt este $3x$: $x+3x=24\Rightarrow 4x=24\Rightarrow x=6$, deci numerele sunt $6$ și $18$.
4. c) $x=7\sqrt{24}-3\sqrt{3}\left(8\sqrt{3}-2\left(4\sqrt{3}-2\sqrt{2}\right)\right)=7\sqrt{24}-3\sqrt{3}\left(8\sqrt{3}-8\sqrt{3}+4\sqrt{2}\right)=7\sqrt{24}-3\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{2}=14\sqrt{6}-12\sqrt{6}=2\sqrt{6}$.
5. d) Aducem întâi și cele trei fracții ale lui $y$ la același numitor $12\sqrt{2}$: $\frac{7}{6\sqrt{2}}-\frac{5}{3\sqrt{2}}+\frac{3}{4\sqrt{2}}=\frac{14}{12\sqrt{2}}-\frac{20}{12\sqrt{2}}+\frac{9}{12\sqrt{2}}=\frac{3}{12\sqrt{2}}=\frac{1}{4\sqrt{2}}$; cum $\sqrt{288}=\sqrt{144\cdot 2}=12\sqrt{2}$, obținem $y=\frac{1}{4\sqrt{2}}\cdot 12\sqrt{2}=3$. Cum ${\left(2\sqrt{6}\right)}^2=24<27={\left(3\sqrt{3}\right)}^2$, rezultă $x=2\sqrt{6}<y\sqrt{3}=3\sqrt{3}$, deci $x-y\sqrt{3}<0$, de unde $\left|x-y\sqrt{3}\right|=-\left(x-y\sqrt{3}\right)=-x+y\sqrt{3}$.
6. d) $E(x)=(2x-1{)}^2-3(x-2)(x+1)+(x+1{)}^2-x-8=\left(4x^2-4x+1\right)-\left(3x^2-3x-6\right)+\left(x^2+2x+1\right)-x-8=2x^2$, pentru orice $x$ real. Atunci $E(a)=2a^2$ și $E\left(\frac{1}{a}\right)=\frac{2}{a^2}$, iar media geometrică este $\sqrt{E(a)\cdot E\left(\frac{1}{a}\right)}=\sqrt{2a^2\cdot \frac{2}{a^2}}=\sqrt{4}=2$, număr natural, pentru orice număr real nenul $a$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Aria triunghiului echilateral $ABC$ de latură $AB=12$ cm este ${\text{Aria}}_{ABC}=\frac{A{B}^2\sqrt{3}}{4}$ (2 p), adică $\frac{12^2\sqrt{3}}{4}=\frac{144\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Cum $BC=2BD$ și $AB=BC=12$ cm (triunghi echilateral), rezultă $BD=6$ cm; cum $B\in (CD)$, unghiul $\sphericalangle ABD$ este suplementar cu $\sphericalangle ABC=60°$, deci $m(\sphericalangle ABD)=120°$; cum semidreapta $BM$ este bisectoarea unghiului $ABD$, obținem $m(\sphericalangle ABM)=60°$ (2 p). Cum $MN\parallel BC$ și $AB$ este secantă, unghiurile $\sphericalangle MNB$ și $\sphericalangle ABC$ sunt corespondente, deci $m(\sphericalangle MNB)=60°$; în triunghiul $BMN$, $m(\sphericalangle MBN)=m(\sphericalangle ABM)=60°$ (căci $N\in AB$) și $m(\sphericalangle MNB)=60°$, deci și $m(\sphericalangle BMN)=60°$ — triunghiul $BMN$ este echilateral, la fel ca $ABC$, deci $BMN\sim ABC$ (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $BD=6$ cm (ca mai sus); fie $E$ mijlocul laturii $BC$, deci $AE$ este înălțimea triunghiului echilateral $ABC$, $AE=AB\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ cm, iar $ED=EB+BD=6+6=12$ cm; cum triunghiul $AED$ este dreptunghic în $E$, obținem $A{D}^2=A{E}^2+E{D}^2={\left(6\sqrt{3}\right)}^2+12^2=108+144=252=36\cdot 7$, deci $AD=6\sqrt{7}$ cm (2 p). Scriind aria triunghiului $ABD$ în două moduri — cu baza $BD$ și înălțimea $AE$ (căci $A$ se proiectează în $E$, iar $E,B,D$ sunt coliniare), respectiv cu baza $AD$ și înălțimea $d(B,AD)$ — obținem $BD\cdot AE=AD\cdot d(B,AD)$, deci $d(B,AD)=\frac{AE\cdot BD}{AD}=\frac{6\sqrt{3}\cdot 6}{6\sqrt{7}}=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{6\sqrt{3}\cdot \sqrt{7}}{7}=\frac{6\sqrt{21}}{7}$ cm (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este echilateral, deci $AB=BC=CA$, iar perimetrul este $P_{ABC}=3\cdot AB$ (2 p), adică $3\cdot 10=30$ cm (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Dreptele $BN$ și $CP$ sunt perpendiculare pe același plan $(ABC)$, deci $BN\parallel CP$; cum, în plus, $BN=CP=5\sqrt{3}$ cm, patrulaterul $BCPN$ (cu $BN$ și $CP$ laturi opuse, paralele și congruente) este paralelogram (2 p). Într-un paralelogram laturile opuse sunt paralele, deci $BC\parallel NP$; cum $NP\subset (ANP)$ și dreapta $BC$ nu este conținută în planul $(ANP)$, rezultă $BC\parallel (ANP)$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Cum $AB=AC$ și $BN=CP$, cu unghiurile $\sphericalangle ABN$ și $\sphericalangle ACP$ drepte (fiind $BN,CP\perp (ABC)$), triunghiurile dreptunghice $ABN$ și $ACP$ sunt congruente (C.C.), deci $AN=AP$; triunghiul $ANP$ fiind isoscel, înălțimea din $A$ pe $NP$ cade în mijlocul $E$ al lui $NP$, deci $AE\perp NP$ (1 p). Punctul $E$ se proiectează pe planul $(ABC)$ exact în mijlocul $D$ al lui $BC$ (căci $N,P$ se proiectează în $B$, respectiv $C$), la înălțimea $BN=CP=5\sqrt{3}$ cm, deci $DE=5\sqrt{3}$ cm; cum $AD$ este înălțimea triunghiului echilateral $ABC$, $AD=AB\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$ cm, iar $AD\perp DE$ (segment din planul bazei, respectiv perpendiculara pe acest plan), obținem $A{E}^2=A{D}^2+D{E}^2={\left(5\sqrt{3}\right)}^2+{\left(5\sqrt{3}\right)}^2=75+75=150$, deci $AE=\sqrt{150}=5\sqrt{6}$ cm (2 p). Cum $AE\perp NP$ și, similar, $AE\perp$ dreapta $ME$ (planul $MNP$ conținând $NP$ și $ME$, drepte concurente în $E$), rezultă $AE\perp (MNP)$, iar $E\in (MNP)$, deci distanța de la $A$ la planul $(MNP)$ este $d(A,(MNP))=AE=5\sqrt{6}$ cm (2 p).

Testul oficial de pregătire nr. 15, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, în anul 2020, în perioada învățământului online (pandemie). Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală într-o întrebare despre numărul muchiilor tetraedrului $ABCD$). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 15 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, în anul 2020, în perioada învățământului desfășurat online (pandemie). Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I și Subiectul al II-lea cereau rezolvare/rezultat fără variante de răspuns, la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, o sarcină incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un tetraedru $ABCD$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre numărul muchiilor tetraedrului, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, fracția dintr-un număr, cel mai mare multiplu dintr-o mulțime, lungimea și diametrul cercului, muchia unui cub, un tabel de frecvențe (numărul elevilor cu media cel puțin o anumită valoare); numărul muchiilor unui tetraedru, un număr aflat dintr-o împărțire cu rest, media aritmetică a două numere naturale, expresii cu radicali arătate egale cu o valoare simplă, o expresie algebrică arătată constantă (printr-un pătrat perfect), a cărei medie geometrică cu valoarea ei „inversată" este un număr natural; geometrie plană (un triunghi echilateral cu bisectoare și o paralelă — triunghiuri asemenea, distanța de la un punct la o dreaptă) și geometrie în spațiu (drepte perpendiculare pe un plan — paralelismul unei drepte cu un plan, distanța de la un punct la un plan).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.