Testul oficial de pregătire nr. 19 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $2^2\cdot 4-16$ este egal cu: a) $48$ b) $0$ c) $-48$ d) $16$

Exercițiul 2 · 5 puncte Prețul unei cărți este $30$ de lei. După o ieftinire cu $10\%$, prețul cărții va fi: a) $27$ lei b) $20$ lei c) $3$ lei d) $33$ lei

Exercițiul 3 · 5 puncte Dacă $n$ este singurul număr natural din intervalul $\left(5,n\right]$, atunci $n$ este egal cu: a) $5$ b) $6$ c) $7$ d) $4$

Exercițiul 4 · 5 puncte Triunghiul echilateral $MNP$ are $MN=10$ cm. Perimetrul triunghiului $MNP$ este egal cu: a) $20$ cm b) $100$ cm c) $30$ cm d) $15$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Suma lungimilor muchiilor care au în comun vârful $B$ este egală cu $15$ cm.

Lungimea muchiei $AB$ este egală cu: a) $15$ cm b) $7,5$ cm c) $10$ cm d) $5$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În diagrama alăturată sunt prezentate încasările unei firme, în mii lei, înregistrate în fiecare dintre primele șase luni ale unui an.

Conform informațiilor din diagramă, suma încasărilor din primele două luni ale anului este egală cu: a) $700$ mii lei b) $500$ mii lei c) $800$ mii lei d) $300$ mii lei

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se cere desenarea, pe foaia de examen, a unei piramide patrulatere $VABCD$, cu vârful în $V$. Numărul fețelor acestei piramide patrulatere este egal cu: a) $4$ b) $8$ c) $5$ d) $6$

Exercițiul 2 · 5 puncte Arătați că, pentru orice număr natural $n$, numărul natural $N=5\cdot 7^n-3\cdot 7^{n+1}+7^{n+2}$ este divizibil cu $11$. Restul împărțirii lui $N$ la $11$ este egal cu: a) $1$ b) $7$ c) $11$ d) $0$

Exercițiul 3 · 5 puncte Dacă dintr-un număr real $x$ scădem, pe rând, numerele $3$, $10$ și respectiv $11$, obținem trei numere a căror sumă este egală cu $x$. Numărul real $x$ este egal cu: a) $8$ b) $24$ c) $12$ d) $6$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră mulțimea $A=\left\{x\in \mathbb{N}\mid 2\left(x-4\right)-2\left(1-x\right)\le \left(3-\sqrt{3}\right)\left(3+\sqrt{3}\right)\right\}$. Mulțimea $A$ este egală cu: a) $\{0,1,2,3,4\}$ b) $\{1,2,3,4\}$ c) $\{0,1,2,3\}$ d) $\{0,1,2,3,4,5\}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A=\left\{x\in \mathbb{N}\mid 2\left(x-4\right)-2\left(1-x\right)\le \left(3-\sqrt{3}\right)\left(3+\sqrt{3}\right)\right\}$ și $B=\left\{x\in \mathbb{Z}\mid \left|x\right|<2\left(3-\sqrt{12}\right)-\left(2-\sqrt{48}\right)\right\}$. Suma elementelor mulțimii $A\cap B$ este egală cu: a) $10$ b) $6$ c) $4$ d) $3$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E\left(x,y\right)=\left(x-4\right)\left(x-2\right)+\left(y-1\right)\left(y-3\right)+3$, unde $x$ și $y$ sunt numere reale. Scriind $E\left(x,y\right)$ sub forma $E\left(x,y\right)={\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$, perechea $\left(a,b\right)$ este egală cu: a) $\left(4,1\right)$ b) $\left(3,2\right)$ c) $\left(2,3\right)$ d) $\left(3,3\right)$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un pătrat $ABCD$ cu $AB=6$ cm. Punctele $E$, $F$, $G$ și $H$ sunt situate pe laturile $AB$, $BC$, $CD$, respectiv $DA$, astfel încât $AE=BF=CG=DH$.

Arătați că aria pătratului $ABCD$ este egală cu $36{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou pătratul $ABCD$ cu $AB=6$ cm. Punctele $E$, $F$, $G$ și $H$ sunt situate pe laturile $AB$, $BC$, $CD$, respectiv $DA$, astfel încât $AE=BF=CG=DH$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că dreptele $EG$ și $HF$ sunt perpendiculare.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou pătratul $ABCD$ cu $AB=6$ cm. Punctele $E$, $F$, $G$ și $H$ sunt situate pe laturile $AB$, $BC$, $CD$, respectiv $DA$, astfel încât $AE=BF=CG=DH$, ca în figura alăturată.

Calculați măsura unghiului $BMF$, unde $M$ este punctul de intersecție a dreptelor $AF$ și $BG$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un triunghi echilateral $ABC$ cu $AB=8$ cm. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$, respectiv $AC$, iar dreapta $AD$ este perpendiculară pe planul $\left(BDC\right)$, cu $AD=4\sqrt{2}$ cm.

Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $16\sqrt{3}{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou triunghiul echilateral $ABC$ cu $AB=8$ cm, punctele $M$ și $N$ mijloacele laturilor $AB$, respectiv $AC$, și dreapta $AD$ perpendiculară pe planul $\left(BDC\right)$, cu $AD=4\sqrt{2}$ cm, ca în figura alăturată.

Demonstrați că triunghiul $DMN$ este echilateral.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou triunghiul echilateral $ABC$ cu $AB=8$ cm, punctele $M$ și $N$ mijloacele laturilor $AB$, respectiv $AC$, și dreapta $AD$ perpendiculară pe planul $\left(BDC\right)$, cu $AD=4\sqrt{2}$ cm, ca în figura alăturată.

Determinați sinusul unghiului dintre dreapta $CM$ și planul $\left(ABD\right)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $2^2\cdot 4-16=4\cdot 4-16=16-16=0$ (întâi ridicarea la putere și înmulțirea, apoi scăderea).
2. a) Prețul redus este $30-10\%\cdot 30=30-3=27$ lei.
3. b) Intervalul $\left(5,n\right]$ conține numerele naturale $6,7,\dots ,n$; pentru ca $n$ să fie singurul număr natural din interval, trebuie ca $n=6$.
4. c) Perimetrul triunghiului echilateral $MNP=3\cdot MN=3\cdot 10=30$ cm.
5. d) Muchiile cubului care au în comun vârful $B$ sunt $BA$, $BC$ și $B{B}^{\prime }$, toate egale între ele (muchii de cub); $3\cdot AB=15\Rightarrow AB=5$ cm.
6. b) Suma încasărilor din ianuarie și februarie este $200+300=500$ mii lei.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) O piramidă patrulateră $VABCD$ are baza $ABCD$ (patrulater, cu $4$ laturi) și $4$ fețe laterale triunghiulare ($VAB$, $VBC$, $VCD$, $VDA$); numărul total de fețe este $4+1=5$.
2. d) $N=5\cdot 7^n-3\cdot 7^{n+1}+7^{n+2}=7^n\left(5-3\cdot 7+7^2\right)=7^n\cdot 33=7^n\cdot 3\cdot 11$, deci $N$ este divizibil cu $11$ pentru orice număr natural $n$, iar restul împărțirii lui $N$ la $11$ este $0$.
3. c) $\left(x-3\right)+\left(x-10\right)+\left(x-11\right)=x\Rightarrow 3x-24=x\Rightarrow 2x=24\Rightarrow x=12$.
4. a) $2\left(x-4\right)-2\left(1-x\right)\le \left(3-\sqrt{3}\right)\left(3+\sqrt{3}\right)\Rightarrow 4x-10\le 9-3=6\Rightarrow 4x\le 16\Rightarrow x\le 4$; cum $x\in \mathbb{N}$, obținem $A=\{0,1,2,3,4\}$.
5. b) $\left|x\right|<2\left(3-\sqrt{12}\right)-\left(2-\sqrt{48}\right)=6-4\sqrt{3}-2+4\sqrt{3}=4$, deci $B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$; $A\cap B=\{0,1,2,3\}$, iar suma elementelor mulțimii $A\cap B$ este $0+1+2+3=6$.
6. b) $E\left(x,y\right)=\left(x-4\right)\left(x-2\right)+\left(y-1\right)\left(y-3\right)+3=x^2-6x+8+y^2-4y+3+3=x^2-6x+y^2-4y+14={\left(x-3\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+1$, deci perechea căutată este $\left(3,2\right)$; cum ${\left(x-3\right)}^2\ge 0$ și ${\left(y-2\right)}^2\ge 0$, rezultă $E\left(x,y\right)\ge 1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $ABCD$ este pătrat, deci aria se calculează cu ${\mathcal{A}}_{ABCD}=A{B}^2$ (2 p), adică ${\mathcal{A}}_{ABCD}=6^2=36{\text{cm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Din $AE=BF=CG=DH$ și $AB=BC=CD=DA=6$ cm rezultă $EB=AB-AE=BC-BF=FC$ și, analog, $FC=GD$, $GD=HA$; cum $m\left(\sphericalangle A\right)=m\left(\sphericalangle B\right)=90°$ (unghiuri ale pătratului), triunghiurile $AEH$ și $BFE$ au $AE=BF$, $AH=BE$ și unghiul dintre ele de $90°$, deci $△AEH\equiv △BFE$ (LUL), de unde $EH=FE$; analog $△BFE\equiv △CGF$, deci $FE=GF$ (2 p). Analog $△CGF\equiv △DHG$, deci $GF=HG$; obținem $EH=FE=GF=HG$, deci $EFGH$ este romb, iar într-un romb diagonalele sunt perpendiculare, deci dreptele $EG$ și $HF$ sunt perpendiculare (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $AB=BC$ (laturi de pătrat) și $BF=CG$ (din ipoteză), iar $m\left(\sphericalangle ABF\right)=m\left(\sphericalangle BCG\right)=90°$, deci $△ABF\equiv △BCG$ (LUL), de unde $m\left(\sphericalangle AFB\right)=m\left(\sphericalangle BGC\right)$ (2 p). În triunghiul dreptunghic $BCG$ (drept în $C$), $m\left(\sphericalangle CBG\right)+m\left(\sphericalangle CGB\right)=90°$; cum $m\left(\sphericalangle AFB\right)=m\left(\sphericalangle BGC\right)$, obținem $m\left(\sphericalangle FBM\right)+m\left(\sphericalangle MFB\right)=m\left(\sphericalangle CBG\right)+m\left(\sphericalangle AFB\right)=90°$, deci, în triunghiul $BMF$, $m\left(\sphericalangle BMF\right)=180°-90°=90°$ (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $△ABC$ este echilateral, deci aria sa este ${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{A{B}^2\sqrt{3}}{4}$ (3 p), adică ${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=\frac{64\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $AD\perp \left(BDC\right)$, deci $AD\perp DB$ și $AD\perp DC$ (căci $DB,DC\subset \left(BDC\right)$); triunghiul $ADB$ este dreptunghic în $D$, iar $M$ este mijlocul ipotenuzei $AB$, deci mediana $DM=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4$ cm; analog, triunghiul $ADC$ este dreptunghic în $D$, iar $N$ este mijlocul ipotenuzei $AC$, deci $DN=\frac{AC}{2}=\frac{8}{2}=4$ cm (2 p). $MN$ este linie mijlocie în triunghiul echilateral $ABC$, deci $MN=\frac{BC}{2}=\frac{8}{2}=4$ cm; cum $DM=DN=MN=4$ cm, triunghiul $DMN$ este echilateral (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Triunghiul $ADB$ este dreptunghic în $D$, deci $BD=\sqrt{A{B}^2-A{D}^2}=\sqrt{8^2-{\left(4\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{64-32}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$ cm; analog, triunghiul $ADC$ este dreptunghic în $D$, deci $CD=\sqrt{A{C}^2-A{D}^2}=4\sqrt{2}$ cm $=BD$; cum $B{D}^2+C{D}^2=32+32=64=B{C}^2$, triunghiul $BDC$ este dreptunghic în $D$ (2 p). $CD\perp DA$ și $CD\perp DB$ (unghi drept în $D$ pe ambele direcții), iar $DA,DB\subset \left(ABD\right)$ sunt concurente în $D$, deci $CD\perp \left(ABD\right)$; cum $M\in AB\subset \left(ABD\right)$, proiecția lui $C$ pe planul $\left(ABD\right)$ este $D$, deci unghiul dintre dreapta $CM$ și planul $\left(ABD\right)$ este $\sphericalangle CMD$. Triunghiul $CDM$ este dreptunghic în $D$, cu $CD=4\sqrt{2}$ cm și $DM=4$ cm, deci $CM=\sqrt{C{D}^2+D{M}^2}=\sqrt{32+16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$ cm, de unde $\sin \left(\sphericalangle CMD\right)=\frac{CD}{CM}=\frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ (3 p).

Testul oficial de pregătire nr. 19, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 19 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I și Subiectul al II-lea cereau doar rezultatul, respectiv rezolvarea completă (fără variante de răspuns), la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, o sarcină incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, o piramidă patrulateră $VABCD$, cu vârful în $V$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre numărul fețelor piramidei patrulatere, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor cu puteri, procentul (ieftinirea prețului unei cărți), cel mai mic interval care conține un singur număr natural, perimetrul triunghiului echilateral, suma muchiilor unui cub într-un vârf, citirea unei diagrame statistice cu încasări lunare; numărul fețelor unei piramide patrulatere, divizibilitatea cu 11 a unei expresii cu puteri ale lui 7, o ecuație de gradul I obținută din scăderi succesive, o mulțime de numere naturale definită printr-o inecuație, intersecția a două mulțimi (sumă de elemente), o expresie de gradul al doilea cu două variabile adusă la forma unei sume de pătrate; geometrie plană (un pătrat cu puncte pe laturi — arie, romb, drepte perpendiculare, unghiul dintre două drepte) și geometrie în spațiu (un triunghi echilateral și un tetraedru cu o muchie perpendiculară pe un plan — arie, triunghi echilateral, sinusul unghiului dintre o dreaptă și un plan).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.