Acasă · Evaluarea Națională · Testul oficial de pregătire nr. 20 — Evaluarea Națională 2020 (Ministerul Educației)

Testul oficial de pregătire nr. 20 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $1 0^{2} - 100 : 2$ este egal cu: a) $0$ b) $- 30$ c) $50$ d) $150$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $p %$ din $50$ este egal cu $10$ , atunci $p$ este egal cu: a) $20$ b) $5$ c) $500$ d) $2$

Exercițiul 3 · 5 puncte Dacă $A = {6, 7, 8, 9}$ și $P$ este mulțimea numerelor prime, atunci mulțimea $A \cap P$ este egală cu: a) ${2, 3, 5, 7}$ b) ${6, 8, 9}$ c) $\emptyset$ d) ${7}$

Exercițiul 4 · 5 puncte Triunghiul dreptunghic isoscel $A B C$ are cateta de $5$ cm. Lungimea ipotenuzei $B C$ a acestui triunghi este egală cu: a) $10$ cm b) $52$ cm c) $5$ cm d) $25$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un paralelipiped dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cu $A B = 10$ cm și $B C = 5$ cm. Perimetrul patrulaterului $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ este egal cu:

a) $15$ cm b) $50$ cm c) $100$ cm d) $30$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos este prezentată repartiția elevilor claselor a VIII-a dintr-o școală, în funcție de notele obținute la teza de matematică pe semestrul I.

Nota	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
Număr de elevi	$10$	$25$	$30$	$35$	$30$	$20$	$5$

Conform informațiilor din tabel, numărul elevilor care au obținut nota $8$ este mai mare decât numărul elevilor care au obținut nota $5$ cu: a) $5$ b) $10$ c) $55$ d) $0$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se cere desenarea, pe foaia de examen, a unui pătrat $A B C D$ . Măsura fiecărui unghi al pătratului $A B C D$ este egală cu: a) $60°$ b) $120°$ c) $90°$ d) $180°$

Exercițiul 2 · 5 puncte Determinați numerele naturale de trei cifre, de forma $\overline{3 b c}$ , știind că sunt divizibile cu $5$ și cu $9$ . Aceste numere sunt: a) $305$ și $350$ b) $315$ și $360$ c) doar $315$ d) doar $360$

Exercițiul 3 · 5 puncte Dacă mărim numărătorul fracției $\frac{2}{5}$ cu un număr natural $n$ și micșorăm numitorul fracției cu același număr natural $n$ , atunci fracția obținută este egală cu $2 \frac{1}{2}$ . Numărul natural $n$ este egal cu: a) $5$ b) $2$ c) $3$ d) $10$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se cere reprezentarea, într-un sistem de coordonate $x O y$ , a segmentului $A B$ , unde $A (- 3, - 1)$ și $B (0, 3)$ . Lungimea segmentului $A B$ este egală cu: a) $4$ b) $6$ c) $25$ d) $5$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou, într-un sistem de coordonate $x O y$ , punctele $A (- 3, - 1)$ , $B (0, 3)$ și $M (m, 0)$ , unde $m$ este număr natural. Știind că triunghiul $A B M$ este isoscel de vârf $B$ , numărul natural $m$ este egal cu: a) $4$ b) $3$ c) $5$ d) $16$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră $E (x) = (x^{2} - x + 1)^{2} - (x^{2} - x)^{2} - x^{2}$ , unde $x$ este număr real. Media aritmetică a numerelor $E (- 2)$ și $E (2)$ este egală cu: a) $1$ b) $3$ c) $6$ d) $- 3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi $A B C D$ cu $A B = 10$ cm și $B C = 15$ cm. Punctul $M$ este mijlocul laturii $A B$ , iar punctul $N$ este situat pe latura $A D$ astfel încât $D N = 5$ cm.

Arătați că perimetrul patrulaterului $A B C D$ este egal cu $50$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou dreptunghiul $A B C D$ cu $A B = 10$ cm și $B C = 15$ cm, punctul $M$ mijlocul laturii $A B$ , iar punctul $N$ situat pe latura $A D$ astfel încât $D N = 5$ cm, ca în figura alăturată.

Determinați aria triunghiului $M N C$ .

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou dreptunghiul $A B C D$ cu $A B = 10$ cm și $B C = 15$ cm, punctul $M$ mijlocul laturii $A B$ , iar punctul $N$ situat pe latura $A D$ astfel încât $D N = 5$ cm, ca în figura alăturată.

Calculați măsura unghiului $C M N$ .

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cu $A B = 12$ cm. Punctul $O$ este intersecția diagonalelor bazei $A B C D$ .

Arătați că $A C = 122$ cm.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cu $A B = 12$ cm, iar $O$ este intersecția diagonalelor bazei $A B C D$ , ca în figura alăturată.

Arătați că dreapta $C^{'} O$ este paralelă cu planul $(A B^{'} D^{'})$ .

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cu $A B = 12$ cm, iar $O$ este intersecția diagonalelor bazei $A B C D$ , ca în figura alăturată.

Demonstrați că dreapta $A^{'} C$ este perpendiculară pe planul $(A B^{'} D^{'})$ .

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	c)	a)	d)	b)	d)	a)

c) $1 0^{2} - 100 : 2 = 100 - 50 = 50$ (întâi puterea și împărțirea, apoi scăderea).
a) $\frac{p}{100} \cdot 50 = 10 \Rightarrow p = 20$ .
d) Dintre elementele mulțimii $A = {6, 7, 8, 9}$ , singurul număr prim este $7$ ( $6 = 2 \cdot 3$ , $8 = 2^{3}$ , $9 = 3^{2}$ nu sunt prime), deci $A \cap P = {7}$ .
b) Într-un triunghi dreptunghic isoscel cu cateta $5$ cm, ipotenuza este $B C = 52$ cm.
d) $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ este congruent cu $A B C D$ (translatat cu vectorul $A A^{'}$ ), deci perimetrul $= 2 (A^{'} B^{'} + B^{'} C^{'}) = 2 (A B + B C) = 2 (10 + 5) = 30$ cm.
a) Din tabel, nota $8$ a fost obținută de $30$ de elevi, iar nota $5$ de $25$ de elevi; diferența este $30 - 25 = 5$ .

Subiectul al II-lea (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	c)	b)	c)	d)	a)	b)

c) Se cere desenarea unui pătrat $A B C D$ ; măsura fiecărui unghi al unui pătrat este $90°$ .
b) Numerele de forma $\overline{3 b c}$ divizibile cu $5$ au $c \in {0, 5}$ . Pentru $c = 0$ : $3 + b + 0$ trebuie să fie divizibil cu $9$ , deci $b = 6$ , iar numărul este $360$ . Pentru $c = 5$ : $3 + b + 5$ trebuie să fie divizibil cu $9$ , deci $b = 1$ , iar numărul este $315$ . Numerele căutate sunt $315$ și $360$ .
c) $\frac{2 + n}{5 - n} = \frac{5}{2} \Rightarrow 2 (2 + n) = 5 (5 - n) \Rightarrow 4 + 2 n = 25 - 5 n \Rightarrow 7 n = 21 \Rightarrow n = 3$ .
d) $A B = (0 - (- 3))^{2} + (3 - (- 1))^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ .
a) Triunghiul $A B M$ este isoscel de vârf $B$ , deci $B A = B M$ . Cum $B A = 5$ (calculat mai sus) și $B M = m^{2} + 9$ , obținem $m^{2} + 9 = 25 \Rightarrow m^{2} = 16$ , iar cum $m$ este număr natural, $m = 4$ .
b) Notând $a = x^{2} - x + 1$ și $b = x^{2} - x$ , avem $a - b = 1$ și $a + b = 2 x^{2} - 2 x + 1$ , deci $E (x) = a^{2} - b^{2} - x^{2} = (a - b) (a + b) - x^{2} = 2 x^{2} - 2 x + 1 - x^{2} = x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2}$ , pentru orice număr real $x$ . Atunci $E (- 2) = (- 2 - 1)^{2} = 3 + 22$ și $E (2) = (2 - 1)^{2} = 3 - 22$ , iar media lor aritmetică este $\frac{( 3 + 2 2 ) + ( 3 - 2 2 )}{2} = \frac{6}{2} = 3$ .

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $A B C D$ este dreptunghi, deci $P_{A B C D} = 2 (A B + B C)$ (3p) $= 2 (10 + 15) = 50$ cm (2p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Cum $M$ este mijlocul lui $A B$ , $A M = M B = 5$ cm; cum $D N = 5$ cm și $A D = 15$ cm, $A N = A D - D N = 10$ cm. Ariile triunghiurilor dreptunghice de la colțuri: $A_{A M N} = \frac{A M \cdot A N}{2} = \frac{5 \cdot 10}{2} = 25 cm^{2}$ , $A_{B M C} = \frac{B M \cdot B C}{2} = \frac{5 \cdot 15}{2} = 37, 5 cm^{2}$ , $A_{C D N} = \frac{C D \cdot D N}{2} = \frac{10 \cdot 5}{2} = 25 cm^{2}$ (3p). $A_{M N C} = A_{A B C D} - A_{A M N} - A_{B M C} - A_{C D N} = 150 - 25 - 37, 5 - 25 = 62, 5 cm^{2}$ (2p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $M N^{2} = A M^{2} + A N^{2} = 5^{2} + 1 0^{2} = 125$ , deci $M N = 55$ cm; $N C^{2} = C D^{2} + D N^{2} = 1 0^{2} + 5^{2} = 125$ , deci $N C = 55$ cm; $M C^{2} = B M^{2} + B C^{2} = 5^{2} + 1 5^{2} = 250$ , deci $M C = 510$ cm (3p). Cum $M N^{2} + N C^{2} = 125 + 125 = 250 = M C^{2}$ , conform reciprocei teoremei lui Pitagora triunghiul $M N C$ este dreptunghic în $N$ , iar cum $M N = N C$ , este și isoscel, deci $m (∢ C M N) = 45°$ (2p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $A C$ este diagonala pătratului $A B C D$ (baza cubului), deci $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}$ (3p) $= 1 2^{2} + 1 2^{2} = 288$ , de unde $A C = 288 = 122$ cm (2p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $A C C^{'} A^{'}$ este dreptunghi (are $A A^{'} ∥ C C^{'}$ , $A A^{'} = C C^{'} = 12$ cm, muchii perpendiculare pe planul bazei, și $A C ∥ A^{'} C^{'}$ , $A C = A^{'} C^{'} = 122$ cm, diagonalele celor două baze). Fie $O$ mijlocul lui $A C$ și $O^{'}$ mijlocul lui $A^{'} C^{'}$ (care este și mijlocul lui $B^{'} D^{'}$ , centrul pătratului $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ). Segmentele $A O$ și $O^{'} C^{'}$ sunt jumătăți ale laturilor opuse $A C$ , respectiv $A^{'} C^{'}$ ale dreptunghiului $A C C^{'} A^{'}$ , deci sunt paralele, egale ca lungime și de același sens, de unde rezultă că $A O C^{'} O^{'}$ este paralelogram; într-un paralelogram laturile opuse sunt paralele, deci $C^{'} O ∥ A O^{'}$ (3p). Cum $O^{'}$ este mijlocul lui $B^{'} D^{'}$ , avem $O^{'} \in B^{'} D^{'} \subset (A B^{'} D^{'})$ , iar $A \in (A B^{'} D^{'})$ , deci $A O^{'} \subset (A B^{'} D^{'})$ . Cum $C^{'} O ∥ A O^{'}$ , $A O^{'} \subset (A B^{'} D^{'})$ și $C^{'} \in / (A B^{'} D^{'})$ , rezultă $C^{'} O ∥ (A B^{'} D^{'})$ (2p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $A B B^{'} A^{'}$ este pătrat (față a cubului), deci diagonalele sale sunt perpendiculare: $A B^{'} ⊥ A^{'} B$ . Cum $B C ⊥ A B$ (bază pătrată) și $B C ⊥ B B^{'}$ (muchie laterală perpendiculară pe planul bazei), iar $A B$ și $B B^{'}$ sunt drepte concurente în $B$ , incluse în planul $(A B B^{'} A^{'})$ , rezultă $B C ⊥ (A B B^{'} A^{'})$ , deci $B C ⊥ A B^{'}$ . Cum $A B^{'} ⊥ A^{'} B$ și $A B^{'} ⊥ B C$ , iar $A^{'} B$ și $B C$ sunt drepte concurente în $B$ , incluse în planul $(A^{'} B C)$ , rezultă $A B^{'} ⊥ (A^{'} B C)$ , deci $A B^{'} ⊥ A^{'} C$ (dreaptă inclusă în acest plan) (2p). Analog, folosind pătratul $A D D^{'} A^{'}$ (cu diagonalele perpendiculare $A D^{'} ⊥ A^{'} D$ ) și $D C ⊥ (A D D^{'} A^{'})$ (deoarece $D C ⊥ A D$ și $D C ⊥ D D^{'}$ ), se obține $A D^{'} ⊥ (A^{'} D C)$ , deci $A D^{'} ⊥ A^{'} C$ (2p). Cum $A^{'} C ⊥ A B^{'}$ și $A^{'} C ⊥ A D^{'}$ , iar $A B^{'}$ și $A D^{'}$ sunt drepte concurente în $A$ , incluse în planul $(A B^{'} D^{'})$ , rezultă că dreapta $A^{'} C$ este perpendiculară pe planul $(A B^{'} D^{'})$ (1p).

Testul oficial de pregătire nr. 20, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Itemii 1 și 4 de la Subiectul al II-lea, reformulați din sarcinile de desen originale, folosind exact aceleași obiecte geometrice și date numerice din documentul oficial). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete; rezolvările sunt verificate și redactate complet de noi, conform precizării din barem că se acceptă orice soluție corectă.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 20 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I și Subiectul al II-lea cereau doar rezultatul, respectiv rezolvarea completă (fără variante de răspuns), la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Fac excepție două sarcini incompatibile cu formatul grilă, de la Subiectul al II-lea: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un pătrat $A B C D$ " — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre măsura unghiurilor pătratului, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial; și Exercițiul 4, care în original cerea „reprezentați segmentul $A B$ într-un sistem de coordonate $x O y$ " — reformulat ca întrebare despre lungimea acelui segment, folosind exact aceleași puncte $A$ și $B$ din document (lungime calculată de altfel ca pas intermediar chiar în baremul oficial, la rezolvarea exercițiului următor). Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și date numerice, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte, iar rezolvările sunt verificate și redactate complet de noi, conform precizării din barem că „pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător".

Testul verifică: ordinea operațiilor, procentul, intersecția a două mulțimi (numere prime), triunghiul dreptunghic isoscel (ipotenuza), perimetrul unei fețe a unui paralelipiped dreptunghic, citirea unei diagrame statistice cu notele la teză; măsura unghiurilor unui pătrat, divizibilitatea cu $5$ și cu $9$ , o fracție cu numărător și numitor modificate, distanța dintre două puncte într-un sistem de coordonate, un triunghi isoscel determinat prin coordonate, o expresie algebrică de tipul diferență de pătrate și media aritmetică a două valori; geometrie plană (un dreptunghi cu mijlocul unei laturi și un punct pe altă latură — perimetru, arie, unghi, folosind reciproca teoremei lui Pitagora) și geometrie în spațiu (un cub — diagonala unei fețe, o dreaptă paralelă cu un plan, o dreaptă perpendiculară pe un plan).

Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:
Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).
Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).
Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.
Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.
Nota se obține împărțind punctajul total la 10.