Testul oficial de pregătire nr. 24 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $20\cdot 4-4\cdot 10$ este egal cu: a) $760$ b) $40$ c) $-40$ d) $0$

Exercițiul 2 · 5 puncte Numărul care reprezintă $75\%$ din $100$ este egal cu: a) $25$ b) $750$ c) $75$ d) $175$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mare număr par din mulțimea numerelor naturale de două cifre este: a) $98$ b) $99$ c) $88$ d) $100$

Exercițiul 4 · 5 puncte Dacă unghiurile $\sphericalangle ABC$ și $\sphericalangle A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ sunt suplementare și $m\left(\sphericalangle ABC\right)=60°$, atunci măsura unghiului $\sphericalangle A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ este egală cu: a) $30°$ b) $60°$ c) $150°$ d) $120°$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Suma lungimilor tuturor muchiilor acestui cub este egală cu $120$ cm. Lungimea muchiei $AB$ este egală cu:

a) $20$ cm b) $10$ cm c) $15$ cm d) $30$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În diagrama următoare sunt prezentate încasările unei firme, în mii lei, înregistrate în fiecare dintre primele șase luni ale unui an.

Conform informațiilor din diagramă, media sumelor încasate în primele cinci luni ale anului este egală cu: a) $1700$ mii lei b) $425$ mii lei c) $340$ mii lei d) $300$ mii lei

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se cere desenarea, pe foaia de examen, a unei piramide $VABCD$ cu baza pătratul $ABCD$ și vârful $V$. Numărul muchiilor acestei piramide este egal cu: a) $5$ b) $6$ c) $10$ d) $8$

Exercițiul 2 · 5 puncte Unul dintre numerele naturale de patru cifre care se divid cu $10$ și cu $9$ și care au două cifre egale cu $4$ este: a) $4400$ b) $4014$ c) $4140$ d) $1044$

Exercițiul 3 · 5 puncte Într-o clasă, numărul elevilor absenți din ziua de luni a reprezentat $\frac{1}{8}$ din numărul elevilor prezenți. Marți, numărul elevilor absenți a scăzut cu $1$ față de luni și a reprezentat $8\%$ din numărul elevilor prezenți în acea zi. Numărul elevilor din acea clasă este egal cu: a) $24$ b) $27$ c) $36$ d) $30$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{8}+\sqrt{12}+\sqrt{18}+\sqrt{27}\right)$. Valoarea lui $a$ este egală cu: a) $-5$ b) $5$ c) $-1$ d) $1$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou numărul real $a=\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{8}+\sqrt{12}+\sqrt{18}+\sqrt{27}\right)$ și numărul real $b=\left(3+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)\left(3+\sqrt{5}\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^2$. Numărul $N=b-\sqrt{-a}$ este egal cu: a) $9$ b) $3$ c) $5$ d) $15$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E\left(x\right)=\left(2x+3\right)\left(3x-2\right)-{\left(x-1\right)}^2-{\left(2x-1\right)}^2+26$, unde $x$ este număr real. Pentru $n=1$, valoarea $E\left(7^1-2\right)=E\left(5\right)$ este egală cu: a) $49$ b) $147$ c) $98$ d) $196$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se consideră un cerc de centru $O$ și rază $R=16$ cm. Punctele $A$, $B$, $C$ și $D$, în această ordine, sunt situate pe cercul $\mathcal{C}\left(O,R\right)$ astfel încât $m\left(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}\right)=75°$, $m\left(\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}\right)=90°$ și $m\left(\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}\right)=75°$.

Arătați că arcul mic $\stackrel{⌢}{\mathrm{AD}}$ are măsura de $120°$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou un cerc de centru $O$ și rază $R=16$ cm. Punctele $A$, $B$, $C$ și $D$, în această ordine, sunt situate pe cercul $\mathcal{C}\left(O,R\right)$ astfel încât $m\left(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}\right)=75°$, $m\left(\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}\right)=90°$ și $m\left(\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}\right)=75°$, ca în figura alăturată.

Determinați lungimea coardei $BC$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou un cerc de centru $O$ și rază $R=16$ cm. Punctele $A$, $B$, $C$ și $D$, în această ordine, sunt situate pe cercul $\mathcal{C}\left(O,R\right)$ astfel încât $m\left(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}\right)=75°$, $m\left(\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}\right)=90°$ și $m\left(\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}\right)=75°$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că patrulaterul $ABCD$ este trapez isoscel.

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră o piramidă triunghiulară $VABC$, cu baza triunghiul echilateral $ABC$, $AB=12\sqrt{3}$ cm, $VA=20$ cm și $VO\perp \left(ABC\right)$, unde $O$ este centrul cercului circumscris $△ABC$. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $BC$, punctul $N$ este mijlocul segmentului $AO$ și punctul $P$ este situat pe muchia $VA$ astfel încât $VP=2AP$.

Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $108\sqrt{3}{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou piramida triunghiulară $VABC$, cu baza triunghiul echilateral $ABC$, $AB=12\sqrt{3}$ cm, $VA=20$ cm și $VO\perp \left(ABC\right)$, unde $O$ este centrul cercului circumscris $△ABC$. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $BC$, punctul $N$ este mijlocul segmentului $AO$ și punctul $P$ este situat pe muchia $VA$ astfel încât $VP=2AP$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că dreapta $NP$ este paralelă cu planul $\left(VBC\right)$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou piramida triunghiulară $VABC$, cu baza triunghiul echilateral $ABC$, $AB=12\sqrt{3}$ cm, $VA=20$ cm și $VO\perp \left(ABC\right)$, unde $O$ este centrul cercului circumscris $△ABC$. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $BC$, punctul $N$ este mijlocul segmentului $AO$ și punctul $P$ este situat pe muchia $VA$ astfel încât $VP=2AP$, ca în figura alăturată.

Arătați că sinusul unghiului dintre dreapta $VO$ și planul $\left(VBC\right)$ este egal cu $\frac{3\sqrt{73}}{73}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $20\cdot 4-4\cdot 10=80-40=40$ (întâi înmulțirile, apoi scăderea).
2. c) $75\%$ din $100$ este $\frac{75}{100}\cdot 100=75$.
3. a) Numerele naturale de două cifre sunt $10,11,\dots ,99$; cel mai mare număr par dintre acestea este $98$.
4. d) Unghiurile suplementare au suma măsurilor egală cu $180°$, deci $m\left(\sphericalangle A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)=180°-60°=120°$.
5. b) Cubul are $12$ muchii congruente; suma lor este $120$ cm, deci o muchie are $120:12=10$ cm.
6. c) Media sumelor din primele cinci luni (ianuarie–mai) este $\frac{200+300+500+300+400}{5}=\frac{1700}{5}=340$ mii lei.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. d) O piramidă patrulateră $VABCD$ are $4$ muchii ale bazei ($AB,BC,CD,DA$) și $4$ muchii laterale ($VA,VB,VC,VD$), în total $8$ muchii.
2. c) Numerele de forma $\overline{abc0}$ (divizibile cu $10$) care se divid și cu $9$ trebuie să aibă $a+b+c$ divizibil cu $9$; cu două cifre egale cu $4$ printre $a,b,c$, singurele astfel de numere sunt $1440$, $4140$ și $4410$. Dintre variantele date, doar $4140$ îndeplinește ambele condiții (celelalte nu se divid cu $10$ sau cu $9$).
3. b) Dacă $x$ este numărul elevilor din clasă, luni au lipsit $\frac{x}{9}$ elevi și au fost prezenți $\frac{8x}{9}$; marți au lipsit $\frac{x}{9}-1$ elevi, ceea ce reprezintă $8\%$ din elevii prezenți în acea zi: $\frac{x}{9}-1=\frac{8}{100}\left(x-\frac{x}{9}+1\right)$, de unde $x=27$.
4. a) $a=\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{8}+\sqrt{12}+\sqrt{18}+\sqrt{27}\right)=\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{2}+2\sqrt{3}+3\sqrt{2}+3\sqrt{3}\right)=\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\cdot 5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)=5\left(2-3\right)=-5$.
5. b) $b=\left(3+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)\left(3+\sqrt{5}\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^2=4\cdot \left(3+\sqrt{5}\right)\cdot \frac{1}{4}=3+\sqrt{5}$; cum $a=-5$, $N=b-\sqrt{-a}=\left(3+\sqrt{5}\right)-\sqrt{5}=3$ (număr prim).
6. c) $E\left(x\right)=\left(2x+3\right)\left(3x-2\right)-{\left(x-1\right)}^2-{\left(2x-1\right)}^2+26=x^2+11x+18$, pentru orice $x$ real; pentru $n=1$, $E\left(7^1-2\right)=E\left(5\right)=25+55+18=98$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Arcele $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$, $\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}$, $\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}$ și $\stackrel{⌢}{\mathrm{DA}}$ acoperă întregul cerc o singură dată, deci suma măsurilor lor este $360°$ (3 p). Atunci $m\left(\stackrel{⌢}{\mathrm{AD}}\right)=360°-75°-90°-75°=120°$ (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Unghiul la centru $\sphericalangle BOC$ are aceeași măsură ca arcul pe care îl subîntinde, deci $m\left(\sphericalangle BOC\right)=m\left(\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}\right)=90°$ (2 p). Triunghiul $BOC$ este dreptunghic în $O$ și isoscel, cu $OB=OC=R=16$ cm, deci, conform teoremei lui Pitagora, $BC=OB\sqrt{2}=16\sqrt{2}$ cm (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Cum $m\left(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}\right)=m\left(\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}\right)=75°$, coardele corespunzătoare sunt congruente: $AB=CD$ (2 p). Unghiul înscris $\sphericalangle ACB$ subîntinde arcul $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$, deci $m\left(\sphericalangle ACB\right)=\frac{1}{2}m\left(\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}\right)=37,5°$; unghiul înscris $\sphericalangle CAD$ subîntinde arcul $\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}$, deci $m\left(\sphericalangle CAD\right)=\frac{1}{2}m\left(\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}\right)=37,5°$; cum $\sphericalangle ACB\equiv \sphericalangle CAD$ și aceste unghiuri sunt alterne interne față de secanta $AC$, rezultă $AD\parallel BC$, deci $ABCD$ este trapez isoscel (are $AD\parallel BC$ și $AB=CD$) (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este echilateral cu latura $AB=12\sqrt{3}$ cm, deci aria sa este ${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{A{B}^2\sqrt{3}}{4}$ (3 p). Cum $A{B}^2={\left(12\sqrt{3}\right)}^2=144\cdot 3=432$, obținem ${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{432\sqrt{3}}{4}=108\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului echilateral $ABC$, deci coincide cu centrul de greutate și este situat pe mediana $AM$, cu $AO=\frac{2}{3}AM$; cum $N$ este mijlocul segmentului $AO$, rezultă $AN=\frac{1}{2}AO=\frac{1}{3}AM$ (3 p). Cum $P\in VA$ cu $VP=2AP$, rezultă $AP=\frac{1}{3}AV$. Astfel $\frac{AN}{AM}=\frac{AP}{AV}=\frac{1}{3}$, deci, conform reciprocei teoremei lui Thales în triunghiul $AMV$, $NP\parallel MV$; cum $MV\subset \left(VBC\right)$ și $NP\not\subset \left(VBC\right)$, rezultă $NP\parallel \left(VBC\right)$ (2 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $VO\perp \left(ABC\right)$ și $O$ este centrul cercului circumscris $△ABC$, deci $OB=OC=OA$, de unde $VB=VC$; cum $M$ este mijlocul lui $BC$, rezultă $VM\perp BC$, iar $OM\perp BC$ (mediana $AM$ a triunghiului echilateral este perpendiculară pe $BC$); cum $VM\cap OM=\left\{M\right\}$, rezultă $BC\perp \left(VOM\right)$ (1 p). Fie $Q$ piciorul perpendicularei duse din $O$ pe $VM$, în planul $\left(VOM\right)$; cum $BC\perp \left(VOM\right)$, avem $BC\perp OQ$, iar cum $OQ\perp VM$ și $VM\cap BC=\left\{M\right\}$, obținem $OQ\perp \left(VBC\right)$, deci unghiul dintre dreapta $VO$ și planul $\left(VBC\right)$ este $\sphericalangle OVQ$ (2 p). Din triunghiul dreptunghic $VOA$ (drept în $O$), cu $VA=20$ cm și $AO=\frac{AB}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=12$ cm, obținem $VO=\sqrt{V{A}^2-A{O}^2}=\sqrt{400-144}=16$ cm; mediana $AM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=18$ cm, iar $OM=\frac{1}{3}AM=6$ cm, deci, din triunghiul dreptunghic $VOM$ (drept în $O$), $VM=\sqrt{V{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{256+36}=\sqrt{292}=2\sqrt{73}$ cm (1 p). Aria triunghiului $VOM$ este $\frac{1}{2}\cdot VO\cdot OM=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 6=48{\text{cm}}^2$, deci $OQ=\frac{2\cdot 48}{VM}=\frac{96}{2\sqrt{73}}=\frac{48\sqrt{73}}{73}$ cm, iar $\sin \left(\sphericalangle OVQ\right)=\frac{OQ}{OV}=\frac{48\sqrt{73}/73}{16}=\frac{3\sqrt{73}}{73}$ (1 p).

Testul oficial de pregătire nr. 24, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepții: Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală, și Exercițiul 6 de la Subiectul al II-lea, reformulat din demonstrația generală originală într-o evaluare numerică autentică pentru $n=1$). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 24 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I și Subiectul al II-lea cereau doar rezultatul, respectiv rezolvarea completă (fără variante de răspuns), la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Fac excepție două exerciții de la Subiectul al II-lea, incompatibili ca atare cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, o piramidă $VABCD$ cu baza pătratul $ABCD$ și vârful $V$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre numărul muchiilor acestei piramide, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial; și Exercițiul 6, care în original cerea o demonstrație generală („pentru orice număr natural nenul $n$") — reformulat ca întrebare cu valoare numerică unică, obținută prin evaluarea expresiei autentice $E(x)$ chiar pentru cazul $n=1$ din enunțul oficial, verificabilă direct prin calcul. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, procentul, cel mai mare număr par de două cifre, unghiuri suplementare, cubul (suma muchiilor), citirea unei diagrame statistice (medie aritmetică); numărul muchiilor unei piramide patrulatere, numere naturale divizibile cu $10$ și cu $9$, o problemă cu elevi absenți și procente, numere reale cu radicali (arătarea unei egalități și a faptului că un număr este prim), o expresie algebrică de gradul al doilea legată de divizibilitatea cu puterile lui $7$; geometrie plană (un cerc cu patru puncte, arce, coardă, trapez isoscel) și geometrie în spațiu (o piramidă triunghiulară cu baza triunghi echilateral — arie, dreaptă paralelă cu un plan, sinusul unghiului dintre o dreaptă și un plan).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.