Testul oficial de pregătire nr. 26 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $4\cdot 5-\left(20-20:2\right)\cdot 2$ este egal cu: a) $20$ b) $0$ c) $40$ d) $10$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $50\%$ dintr-un număr este $20$, atunci numărul este egal cu: a) $10$ b) $80$ c) $40$ d) $20$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mare număr divizibil cu $5$ din mulțimea $A=\left\{10,11,12,13,14,15,16,17,18,19\right\}$ este: a) $19$ b) $10$ c) $18$ d) $15$

Exercițiul 4 · 5 puncte Paralelogramul $ABCD$ are perimetrul egal cu $16$ cm. Știind că $AB=6$ cm, lungimea laturii $AD$ este egală cu: a) $2$ cm b) $4$ cm c) $6$ cm d) $10$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Unghiul dreptelor $A^{\prime }{D}^{\prime }$ și $AB$ are măsura de:

a) $45°$ b) $60°$ c) $90°$ d) $30°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos este dată o dependență funcțională.

Conform informațiilor din tabel, numărul real $a$ este egal cu: a) $-6$ b) $4$ c) $-5$ d) $-4$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se cere desenarea, pe foaia de examen, a unei prisme $ABCDEF$ cu baza triunghiul $ABC$. Într-o astfel de prismă triunghiulară $ABCDEF$, cele două baze sunt: a) triunghiurile $ABC$ și $BCD$ b) triunghiurile $ABC$ și $DEF$ c) patrulaterele $ABDE$ și $BCEF$ d) triunghiul $ABC$ și patrulaterul $ABED$

Exercițiul 2 · 5 puncte Împărțind numerele $89$ și $49$, pe rând, la numărul natural nenul $n$, obținem resturile $8$, respectiv $4$. Numărul natural nenul $n$ este egal cu: a) $9$ b) $3$ c) $15$ d) $5$

Exercițiul 3 · 5 puncte După ce a citit $50$ de pagini dintr-o carte, Matei constată că mai are de citit $5$ pagini până la jumătatea cărții. Numărul de pagini ale acestei cărți este egal cu: a) $100$ b) $105$ c) $110$ d) $120$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numerele reale $x=3\sqrt{2}\left(\sqrt{50}+\sqrt{72}-\sqrt{200}\right)$ și $y=\left(\frac{1}{3\sqrt{3}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)\cdot \sqrt{300}:\frac{1}{3\sqrt{36}}$. Arătați că $x=6$. Valoarea numărului real $x$ este egală cu: a) $6$ b) $3\sqrt{2}$ c) $36$ d) $12$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră numerele reale $x=3\sqrt{2}\left(\sqrt{50}+\sqrt{72}-\sqrt{200}\right)$ și $y=\left(\frac{1}{3\sqrt{3}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)\cdot \sqrt{300}:\frac{1}{3\sqrt{36}}$. Media geometrică a numerelor $x$ și $y$ este egală cu: a) $900$ b) $25$ c) $78$ d) $30$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E\left(x\right)={\left(2x+3\right)}^2-\left(2-x\right)\left(2+x\right)-5x^2-12x$, unde $x$ este număr real. Arătând că $E\left(x\right)=E\left(2020\right)$, pentru orice număr real $x$, valoarea constantă a expresiei $E\left(x\right)$ este egală cu: a) $-5$ b) $0$ c) $5$ d) $2020$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate două cercuri de centre $O$ și, respectiv, $P$. Cele două cercuri se intersectează în punctul $T$, astfel încât punctele $A$, $T$ și $B$ sunt coliniare, iar segmentele $AT$ și $TB$ sunt diametre ale celor două cercuri, $AT=8$ cm și $TB=12$ cm. Pe primul cerc se consideră punctul $C$, diferit de $A$ și de $T$, iar pe al doilea cerc se consideră punctul $D$ astfel încât punctele $C$, $T$ și $D$ sunt coliniare.

Arătați că $OP=10$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou cele două cercuri de centre $O$ și, respectiv, $P$, care se intersectează în punctul $T$, astfel încât punctele $A$, $T$ și $B$ sunt coliniare, iar segmentele $AT$ și $TB$ sunt diametre ale celor două cercuri, $AT=8$ cm și $TB=12$ cm. Pe primul cerc se consideră punctul $C$, diferit de $A$ și de $T$, iar pe al doilea cerc se consideră punctul $D$ astfel încât punctele $C$, $T$ și $D$ sunt coliniare.

Demonstrați că dreptele $AC$ și $BD$ sunt paralele.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou cele două cercuri de centre $O$ și, respectiv, $P$, care se intersectează în punctul $T$, astfel încât punctele $A$, $T$ și $B$ sunt coliniare, iar segmentele $AT$ și $TB$ sunt diametre ale celor două cercuri, $AT=8$ cm și $TB=12$ cm. Pe primul cerc se consideră punctul $C$, diferit de $A$ și de $T$, iar pe al doilea cerc se consideră punctul $D$ astfel încât punctele $C$, $T$ și $D$ sunt coliniare.

Demonstrați că, dacă $m\left(\widehat{AC}\right)=60°$, atunci patrulaterul $ACBD$ are aria mai mică decât $90{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră triunghiul dreptunghic $ABC$ cu $m\left(\sphericalangle BAC\right)=90°$, $AB=30$ cm și $AC=40$ cm. Dreapta $AM$ este perpendiculară pe planul $\left(ABC\right)$, punctul $D$ este proiecția punctului $M$ pe dreapta $BC$ și $MD=26$ cm, ca în figura alăturată.

Arătați că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $120$ cm.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou triunghiul dreptunghic $ABC$ cu $m\left(\sphericalangle BAC\right)=90°$, $AB=30$ cm și $AC=40$ cm. Dreapta $AM$ este perpendiculară pe planul $\left(ABC\right)$, punctul $D$ este proiecția punctului $M$ pe dreapta $BC$ și $MD=26$ cm, ca în figura alăturată.

Demonstrați că $AM=10$ cm.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou triunghiul dreptunghic $ABC$ cu $m\left(\sphericalangle BAC\right)=90°$, $AB=30$ cm și $AC=40$ cm. Dreapta $AM$ este perpendiculară pe planul $\left(ABC\right)$, punctul $D$ este proiecția punctului $M$ pe dreapta $BC$ și $MD=26$ cm, ca în figura alăturată.

Calculați distanța de la punctul $N$, mijlocul segmentului $MC$, la dreapta $AD$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $4\cdot 5-\left(20-20:2\right)\cdot 2=20-\left(20-10\right)\cdot 2=20-10\cdot 2=20-20=0$.
2. c) Dacă $50\%$ din număr este $20$, atunci numărul este $20\cdot 2=40$.
3. d) Numerele divizibile cu $5$ din mulțimea $A$ sunt $10$ și $15$; cel mai mare dintre ele este $15$.
4. a) $P_{ABCD}=2\left(AB+AD\right)=16\Rightarrow AB+AD=8\Rightarrow AD=8-6=2$ cm.
5. c) $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel AD$ (laturi opuse ale pătratului $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$), deci unghiul dreptelor $A^{\prime }{D}^{\prime }$ și $AB$ este egal cu unghiul dreptelor $AD$ și $AB$; cum $ABCD$ este pătrat, $AD\perp AB$, deci unghiul are măsura de $90°$.
6. d) Din $y=x-5$, pentru $x=1$ obținem $a=1-5=-4$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) Într-o prismă triunghiulară $ABCDEF$ cu baza triunghiul $ABC$, cele două baze sunt triunghiurile $ABC$ și $DEF$ (fețele laterale sunt patrulatere).
2. a) $89=n\cdot a+8$, $n>8$ și $49=n\cdot b+4$, $n>4$, unde $a$ și $b$ sunt câturile obținute la fiecare împărțire; obținem $n\cdot a=81$ și $n\cdot b=45$, deci $n$ este divizor comun al numerelor $81$ și $45$; $c.m.m.d.c.\left\{81,45\right\}=9$ și, cum $n>8$, obținem că $n=9$.
3. c) $50=\frac{x}{2}-5$, unde $x$ este numărul de pagini ale cărții $\Rightarrow \frac{x}{2}=55\Rightarrow x=110$.
4. a) $x=3\sqrt{2}\left(5\sqrt{2}+6\sqrt{2}-10\sqrt{2}\right)=3\sqrt{2}\left(11\sqrt{2}-10\sqrt{2}\right)=3\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=6$.
5. d) $y=\frac{5}{6\sqrt{3}}\cdot 10\sqrt{3}:\frac{1}{3\cdot 6}=\frac{25}{3}\cdot 18=150$, deci $m_g=\sqrt{xy}=\sqrt{6\cdot 150}=\sqrt{900}=30$.
6. c) $E\left(x\right)=4x^2+12x+9-4+x^2-5x^2-12x=5$, pentru orice număr real $x$; deci $E\left(2020\right)=5$ și $E\left(x\right)=E\left(2020\right)$, pentru orice număr real $x$ — valoarea constantă este $5$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $OP=OT+TP=\frac{AT}{2}+\frac{TB}{2}$ (3 p) $=4+6=10$ cm (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $AT$ este diametru, deci $m\left(\sphericalangle ACT\right)=\frac{1}{2}m\left(\widehat{AT}\right)=90°\Rightarrow AC\perp CD$ (2 p). $BT$ este diametru, deci $m\left(\sphericalangle BDT\right)=\frac{1}{2}m\left(\widehat{BT}\right)=90°\Rightarrow BD\perp CD$, de unde obținem $AC\parallel BD$ (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $△ACT$ este dreptunghic în $C$, $m\left(\sphericalangle ATC\right)=30°\Rightarrow AC=4$ cm, $TC=4\sqrt{3}$ cm și $△BDT$ este dreptunghic în $D$, $m\left(\sphericalangle BTD\right)=30°\Rightarrow BD=6$ cm, de unde obținem $TD=6\sqrt{3}$ cm (2 p). $ACBD$ este trapez $\Rightarrow {\mathcal{A}}_{ACBD}=\frac{\left(AC+BD\right)\cdot CD}{2}=\frac{\left(4+6\right)\cdot 10\sqrt{3}}{2}=50\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ și, cum $50\sqrt{3}<90\iff 5\sqrt{3}<9\iff \sqrt{75}<\sqrt{81}$, obținem că ${\mathcal{A}}_{ACBD}<90{\text{cm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $△ABC$ este dreptunghic, deci $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{900+1600}=50$ cm (3 p). $P_{△ABC}=AB+BC+CA=30+50+40=120$ cm (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $AM\perp \left(ABC\right)$, $BC\subset \left(ABC\right)\Rightarrow AM\perp BC$ și, cum $MD\perp BC$ și $AM\cap MD=\left\{M\right\}$, obținem $BC\perp \left(AMD\right)\Rightarrow BC\perp AD$ și, cum $△ABC$ este dreptunghic, obținem $AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=24$ cm (3 p). $AM\perp \left(ABC\right)$, $AD\subset \left(ABC\right)\Rightarrow AM\perp AD$, deci $AM=\sqrt{M{D}^2-A{D}^2}=\sqrt{676-576}=10$ cm (2 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $△AMC$ este dreptunghic în $A$ și $N$ este mijlocul segmentului $MC\Rightarrow AN=\frac{MC}{2}$ și $△DMC$ este dreptunghic în $D$ și $N$ este mijlocul segmentului $MC\Rightarrow DN=\frac{MC}{2}$, de unde obținem că $△AND$ este isoscel $\Rightarrow NP\perp AD$, unde $P$ este mijlocul segmentului $AD$, deci $d\left(N,AD\right)=NP$ (3 p). $MC=10\sqrt{17}$ cm $\Rightarrow AN=5\sqrt{17}$ cm, deci $NP=\sqrt{A{N}^2-A{P}^2}=\sqrt{425-144}=\sqrt{281}$ cm (2 p).

Testul oficial de pregătire nr. 26, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 26 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I și Subiectul al II-lea cereau doar rezultatul, respectiv rezolvarea completă (fără variante de răspuns), la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, o sarcină incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, o prismă $ABCDEF$ cu baza triunghiul $ABC$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre bazele acestei prisme, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, aflarea unui număr când se cunoaște $50\%$ din el, cel mai mare număr divizibil cu $5$ dintr-o mulțime, perimetrul paralelogramului, unghiul dintre două drepte într-un cub, o dependență funcțională dată tabelar; o prismă triunghiulară, determinarea unui număr din resturile a două împărțiri (divizori comuni), o problemă cu paginile unei cărți (ecuație), numere reale cu radicali și media geometrică, o expresie $E\left(x\right)$ constantă; geometrie plană (două cercuri cu diametrele $AT$ și $TB$, unghi înscris în semicerc, drepte paralele, aria unui trapez) și geometrie în spațiu (o dreaptă perpendiculară pe plan, proiecții, distanța de la un punct la o dreaptă).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.