Testul oficial de pregătire nr. 32 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $6-6\cdot \left(10-20:2\right)$ este egal cu: a) $0$ b) $6$ c) $54$ d) $30$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{5a}{3}=\frac{20}{b}$, atunci numărul $5ab$ este egal cu: a) $60$ b) $12$ c) $100$ d) $25$

Exercițiul 3 · 5 puncte Produsul elementelor mulțimii $M=\left\{x\in \mathbb{N}\mid x-2\le 2\right\}$ este egal cu: a) $24$ b) $10$ c) $0$ d) $120$

Exercițiul 4 · 5 puncte Linia mijlocie a trapezului $ABCD$ este $MN=12$ cm. Suma lungimilor bazelor acestui trapez este egală cu: a) $12$ cm b) $6$ cm c) $48$ cm d) $24$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Unghiul dreptelor $BD$ și $A{A}^{\prime }$ are măsura de:

a) $45°$ b) $60°$ c) $90°$ d) $30°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos sunt prezentate rezultatele obținute de elevii unei școli la un test.

Conform informațiilor din tabel, probabilitatea ca, alegând un elev din această școală, acesta să aibă la acest test un punctaj mai mic sau egal cu $8$ este egală cu: a) $\frac{1}{4}$ b) $\frac{1}{2}$ c) $\frac{3}{10}$ d) $\frac{7}{10}$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se cere desenarea, pe foaia de examen, a unui trapez dreptunghic $ABCD$ cu $m\left(\sphericalangle DAB\right)=90°$ și bazele $AB$ și $CD$. În orice trapez dreptunghic $ABCD$ cu bazele $AB$ și $CD$, relația dintre baze este: a) $AB\parallel CD$ și $AB\ne CD$ b) $AB=CD$ și $AB\parallel CD$ c) $AB\perp CD$ d) $AB=CD$, dar $AB$ nu este paralelă cu $CD$

Exercițiul 2 · 5 puncte Determinați numerele naturale de două cifre care împărțite pe rând la $6$ și la $15$ dau de fiecare dată restul $5$. Aceste numere sunt: a) $30$, $60$ și $90$ b) $25$, $55$ și $85$ c) $35$, $65$ și $95$ d) $41$, $71$ și $95$

Exercițiul 3 · 5 puncte Un automobil a parcurs un traseu în trei etape. În prima etapă a parcurs cu $20$ km mai puțin decât $\frac{2}{3}$ din lungimea traseului, în a doua etapă a parcurs cu $15$ km mai mult decât $\frac{3}{5}$ din rest, iar în ultima etapă, restul de $65$ km. Determinați lungimea traseului parcurs de automobil. Lungimea traseului parcurs de automobil este egală cu: a) $450$ km b) $540$ km c) $600$ km d) $480$ km

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numerele reale $a=\sqrt{3}\left(4\sqrt{2}+3\sqrt{3}\right)-2\left(\sqrt{24}+3\right)$ și $b=\left|5-3\sqrt{3}\right|+2\left(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$. Arătați că $a=3$. Valoarea numărului real $a$ este egală cu: a) $\sqrt{3}$ b) $6$ c) $3$ d) $4\sqrt{6}+3$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră numerele reale $a=\sqrt{3}\left(4\sqrt{2}+3\sqrt{3}\right)-2\left(\sqrt{24}+3\right)$ și $b=\left|5-3\sqrt{3}\right|+2\left(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$. Arătați că numărul $n=\frac{a+b}{2}$ aparține intervalului $\left(3,2\sqrt{3}\right)$. Intervalul căruia îi aparține numărul $n=\frac{a+b}{2}$ este: a) $\left(2,3\right)$ b) $\left(3,2\sqrt{3}\right)$ c) $\left[2\sqrt{3},4\right)$ d) $\left(0,\sqrt{3}\right)$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E\left(x\right)=\left({\left(x+4\right)}^2-3\left(x+4\right)-1\right)\left(x^2+5x-3\right)+9$, unde $x$ este număr real. Arătând că, pentru orice număr natural $a$, numărul $E\left(a\right)$ este pătratul unui număr natural par, acel număr natural par (al cărui pătrat este egal cu $E\left(a\right)$) este: a) $a\left(a+5\right)$ b) $a\left(a-5\right)$ c) $a^2+5$ d) $5a^2$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se consideră un paralelogram $ABCD$ cu $AB=10$ cm, $AD=6$ cm și $m\left(\sphericalangle BAD\right)=45°$. În exteriorul paralelogramului $ABCD$ se construiesc pătratele $ADEF$ și $ABMN$, ca în figura alăturată.

Arătați că perimetrul patrulaterului $ABCD$ este egal cu $32$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou un paralelogram $ABCD$ cu $AB=10$ cm, $AD=6$ cm și $m\left(\sphericalangle BAD\right)=45°$. În exteriorul paralelogramului $ABCD$ se construiesc pătratele $ADEF$ și $ABMN$, ca în figura alăturată.

Calculați aria patrulaterului $ABCD$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou un paralelogram $ABCD$ cu $AB=10$ cm, $AD=6$ cm și $m\left(\sphericalangle BAD\right)=45°$. În exteriorul paralelogramului $ABCD$ se construiesc pătratele $ADEF$ și $ABMN$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că punctul $A$ este ortocentrul triunghiului $CFN$.

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră un pătrat $ABCD$ cu $AB=12$ cm și dreptele $AM$, $BN$, $CP$ și $DQ$, perpendiculare pe planul $\left(ABC\right)$, astfel încât punctele $M$, $N$, $P$ și $Q$ sunt situate de aceeași parte a planului $\left(ABC\right)$ și $AM=2$ cm, $BN=8$ cm, $CP=10$ cm și $DQ=4$ cm. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, iar punctul $E$ este mijlocul segmentului $MP$, ca în figura alăturată.

Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $72{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou un pătrat $ABCD$ cu $AB=12$ cm și dreptele $AM$, $BN$, $CP$ și $DQ$, perpendiculare pe planul $\left(ABC\right)$, astfel încât punctele $M$, $N$, $P$ și $Q$ sunt situate de aceeași parte a planului $\left(ABC\right)$ și $AM=2$ cm, $BN=8$ cm, $CP=10$ cm și $DQ=4$ cm. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, iar punctul $E$ este mijlocul segmentului $MP$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că dreapta $EO$ este perpendiculară pe planul $\left(ABC\right)$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou un pătrat $ABCD$ cu $AB=12$ cm și dreptele $AM$, $BN$, $CP$ și $DQ$, perpendiculare pe planul $\left(ABC\right)$, astfel încât punctele $M$, $N$, $P$ și $Q$ sunt situate de aceeași parte a planului $\left(ABC\right)$ și $AM=2$ cm, $BN=8$ cm, $CP=10$ cm și $DQ=4$ cm. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, iar punctul $E$ este mijlocul segmentului $MP$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că punctele $M$, $N$, $P$ și $Q$ sunt coplanare.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $6-6\cdot \left(10-20:2\right)=6-6\cdot \left(10-10\right)=6-6\cdot 0=6-0=6$.
2. a) $\frac{5a}{3}=\frac{20}{b}\Rightarrow 5a\cdot b=3\cdot 20\Rightarrow 5ab=60$.
3. c) $M=\left\{x\in \mathbb{N}\mid x-2\le 2\right\}=\left\{x\in \mathbb{N}\mid x\le 4\right\}=\left\{0,1,2,3,4\right\}$; mulțimea conține elementul $0$, deci produsul elementelor este egal cu $0$.
4. d) Linia mijlocie a trapezului este egală cu semisuma bazelor, deci suma lungimilor bazelor $=2\cdot MN=2\cdot 12=24$ cm.
5. c) $A{A}^{\prime }$ este muchie laterală a cubului, deci $A{A}^{\prime }\perp \left(ABC\right)$, iar $BD\subset \left(ABC\right)$, deci $A{A}^{\prime }\perp BD$, așadar unghiul dreptelor $BD$ și $A{A}^{\prime }$ are măsura de $90°$.
6. b) Numărul total de elevi este $6+14+15+15+25+25=100$; numărul elevilor cu punctaj mai mic sau egal cu $8$ este $6+14+15+15=50$, deci probabilitatea este $\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) Într-un trapez, bazele sunt paralele și au lungimi diferite, deci $AB\parallel CD$ și $AB\ne CD$.
2. c) $\overline{ab}=6x+5$, $\overline{ab}=15y+5$, unde $x$ și $y$ sunt câturile obținute în fiecare caz, deci numărul $\overline{ab}-5$ este divizibil cu $6$ și cu $15$; $\overline{ab}-5\in \left\{30,60,90\right\}$, deci $\overline{ab}=35$, $\overline{ab}=65$ sau $\overline{ab}=95$.
3. b) $\left(\frac{2}{3}\cdot x-20\right)+\frac{3}{5}\left(x-\frac{2}{3}\cdot x+20\right)+15+65=x$, unde $x$ este lungimea traseului parcurs de automobil $\Rightarrow \frac{2}{3}x-20+\frac{x}{5}+12+80=x\Rightarrow \frac{13x}{15}+72=x\Rightarrow \frac{2x}{15}=72\Rightarrow x=540$ km.
4. c) $a=\sqrt{3}\left(4\sqrt{2}+3\sqrt{3}\right)-2\left(\sqrt{24}+3\right)=4\sqrt{6}+9-2\left(2\sqrt{6}+3\right)=4\sqrt{6}+9-4\sqrt{6}-6=3$.
5. b) $b=\left(3\sqrt{3}-5\right)+2\cdot \frac{3}{2}-2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}-5+3-\sqrt{3}+2=2\sqrt{3}$; $n=\frac{a+b}{2}=\frac{3+2\sqrt{3}}{2}$ și, cum $3<2\sqrt{3}$, obținem $3<\frac{3+2\sqrt{3}}{2}$ și $\frac{3+2\sqrt{3}}{2}<2\sqrt{3}$, deci $n\in \left(3,2\sqrt{3}\right)$.
6. a) $E\left(x\right)=\left(x^2+8x+16-3x-12-1\right)\left(x^2+5x-3\right)+9=\left(x^2+5x+3\right)\left(x^2+5x-3\right)+9={\left(x^2+5x\right)}^2-3^2+9={\left(x^2+5x\right)}^2$, pentru orice număr real $x$. Pentru orice număr natural $a$, $E\left(a\right)={\left(a\left(a+5\right)\right)}^2$ și, cum $a$ și $a+5$ sunt numere naturale de parități diferite, produsul lor este un număr natural par, deci $E\left(a\right)$ este pătratul numărului natural par $a\left(a+5\right)$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $ABCD$ este paralelogram, deci $P_{ABCD}=2\left(AB+AD\right)$ (3 p) $=2\left(10+6\right)=32$ cm (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Cum $m\left(\sphericalangle BAD\right)=45°$, triunghiul $DAP$ este dreptunghic isoscel, unde $DP\perp AB$, $P\in AB$, deci $DP=3\sqrt{2}$ cm (2 p). ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot DP=10\cdot 3\sqrt{2}=30\sqrt{2}{\text{cm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $ABCD$ este paralelogram și $m\left(\sphericalangle BAD\right)=45°$, deci $m\left(\sphericalangle ADC\right)=135°$ și $ADEF$ este pătrat, deci $m\left(\sphericalangle ADF\right)=45°$, de unde obținem $m\left(\sphericalangle CDF\right)=180°$, deci punctele $C$, $D$ și $F$ sunt coliniare și, cum $NA\perp AB$ și $AB\parallel CD$, obținem $NA\perp CF$ (2 p). $m\left(\sphericalangle ABC\right)=135°$ și $ABMN$ este pătrat, deci $m\left(\sphericalangle ABN\right)=45°\Rightarrow m\left(\sphericalangle NBC\right)=180°$, deci punctele $N$, $B$ și $C$ sunt coliniare și, cum $FA\perp AD$ și $AD\parallel BC\Rightarrow FA\perp NC$ și, cum $NA\cap FA=\left\{A\right\}$, obținem că punctul $A$ este ortocentrul triunghiului $CFN$ (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este dreptunghic isoscel, deci ${\mathcal{A}}_{△ABC}=\frac{A{B}^2}{2}$ (3 p) $=\frac{144}{2}=72{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $MA\perp \left(ABC\right)$ și $PC\perp \left(ABC\right)\Rightarrow MA\parallel PC$ și, cum $O$ este mijlocul segmentului $AC$ și $E$ este mijlocul segmentului $MP$, obținem că $EO$ este linie mijlocie în trapezul $ACPM$ (3 p). $EO\parallel MA$ și $MA\perp \left(ABC\right)$, deci $EO\perp \left(ABC\right)$ (2 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $FO$ este linie mijlocie în trapezul $DBNQ$, unde $F$ este mijlocul segmentului $NQ$, deci $FO\parallel NB$ și $FO=\frac{DQ+NB}{2}=6$ cm (2 p). $EO=\frac{AM+CP}{2}=6$ cm $\Rightarrow EO=FO$ și, cum $EO\perp \left(ABC\right)$, $FO\perp \left(ABC\right)$ și punctele $E$, $F$ sunt situate de aceeași parte a planului $\left(ABC\right)$, obținem că $E$ și $F$ coincid, deci dreptele $MP$ și $NQ$ sunt concurente, de unde obținem că punctele $M$, $N$, $P$ și $Q$ sunt coplanare (3 p).

Testul oficial de pregătire nr. 32, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 32 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I și Subiectul al II-lea cereau doar rezultatul, respectiv rezolvarea completă (fără variante de răspuns), la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, o sarcină incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un trapez dreptunghic $ABCD$ cu $m\left(\sphericalangle DAB\right)=90°$ și bazele $AB$ și $CD$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre relația dintre bazele trapezului, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, o egalitate de rapoarte din care se cere produsul $5ab$, produsul elementelor unei mulțimi, linia mijlocie a trapezului, unghiul a două drepte într-un cub, probabilitatea calculată dintr-un tabel de date; trapezul dreptunghic, numerele naturale de două cifre care dau același rest la două împărțiri, o problemă cu fracții (traseul unui automobil), numere reale cu radicali și apartenența la un interval, o expresie $E\left(x\right)$ care este pătratul unui număr natural par; geometrie plană (un paralelogram cu două pătrate construite în exterior — perimetru, arie, ortocentru) și geometrie în spațiu (un pătrat cu patru drepte perpendiculare pe planul său — arie, dreaptă perpendiculară pe plan, puncte coplanare).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.