Testul oficial de pregătire nr. 33 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $11-11\cdot \left(8-16:2\right)$ este egal cu: a) $0$ b) $11$ c) $22$ d) $55$

Exercițiul 2 · 5 puncte Zece caiete de același fel costă în total $40$ de lei. Cinci dintre aceste caiete costă în total: a) $20$ de lei b) $10$ lei c) $8$ lei d) $80$ de lei

Exercițiul 3 · 5 puncte Suma numerelor întregi din intervalul $\left[-3,4\right)$ este egală cu: a) $-3$ b) $3$ c) $0$ d) $4$

Exercițiul 4 · 5 puncte Rombul $ABCD$ are $AB=2\sqrt{2}$ cm. Perimetrul acestui romb este egal cu: a) $4\sqrt{2}$ cm b) $16\sqrt{2}$ cm c) $2\sqrt{2}$ cm d) $8\sqrt{2}$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o prismă triunghiulară $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$. Unghiul dreptelor $A^{\prime }{C}^{\prime }$ și $BC$ are măsura de:

a) $30°$ b) $60°$ c) $45°$ d) $90°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În graficul de mai jos este înregistrată temperatura unui pacient pe parcursul a $72$ de ore.

Conform informațiilor din grafic, temperatura înregistrată pentru acest pacient a scăzut sub $37,5°\text{C}$ după: a) $24$ de ore b) $36$ de ore c) $60$ de ore d) $48$ de ore

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se cere desenarea, pe foaia de examen, a unei piramide triunghiulare cu vârful $V$ și baza triunghiul $ABC$. Numărul total al fețelor piramidei triunghiulare $VABC$ este egal cu: a) $3$ b) $4$ c) $5$ d) $6$

Exercițiul 2 · 5 puncte Suma a trei numere naturale nenule, distincte două câte două, este egală cu $14$. Dacă unul dintre numere se dublează, suma lor devine $24$. Arătând că produsul celor trei numere este egal cu $30$, valoarea acestui produs este: a) $24$ b) $40$ c) $30$ d) $60$

Exercițiul 3 · 5 puncte O ciupercă proaspătă cântărește $20$ g și conține $90\%$ apă. Prin uscare, $50\%$ din apa conținută de ciupercă se evaporă. După uscare, ciuperca cântărește: a) $11$ g b) $9$ g c) $10$ g d) $2$ g

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numerele $a=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}$ și $b=\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)+6-2\sqrt{10}$. Arătați că $a-\frac{1}{2}\cdot a=1-\frac{1}{2^6}$. Valoarea expresiei $a-\frac{1}{2}\cdot a$ este egală cu: a) $1-\frac{1}{2^5}$ b) $1+\frac{1}{2^6}$ c) $\frac{1}{2^6}$ d) $1-\frac{1}{2^6}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră numerele $a=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}$ și $b=\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)+6-2\sqrt{10}$. Arătați că $a<b$. Relația corectă dintre numerele $a$ și $b$ este: a) $a<b$ **b)** $a>b$ c) $a=b$ d) $a=2b$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E\left(x\right)=2\left(x+3\right)\left(x-3\right)-{\left(x-1\right)}^2-16$, unde $x$ este număr real. Numărul natural $n$ pentru care $E\left(n\right)$ este număr natural prim este egal cu: a) $5$ b) $7$ c) $6$ d) $13$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se consideră un triunghi echilateral $ABC$ înscris în cercul de centru $O$ și rază $OA=4\sqrt{3}$ cm. Segmentul $BQ$ este diametru în cercul de centru $O$ și rază $OA$, iar $M$ este punctul de intersecție a dreptei $BQ$ cu tangenta la cerc în punctul $A$, ca în figura alăturată.

Arătați că aria cercului de centru $O$ și rază $OA$ este egală cu $48\pi {\text{cm}}^2$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou un triunghi echilateral $ABC$ înscris în cercul de centru $O$ și rază $OA=4\sqrt{3}$ cm. Segmentul $BQ$ este diametru în cercul de centru $O$ și rază $OA$, iar $M$ este punctul de intersecție a dreptei $BQ$ cu tangenta la cerc în punctul $A$, ca în figura alăturată.

Arătați că $AQ=4\sqrt{3}$ cm.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou un triunghi echilateral $ABC$ înscris în cercul de centru $O$ și rază $OA=4\sqrt{3}$ cm. Segmentul $BQ$ este diametru în cercul de centru $O$ și rază $OA$, iar $M$ este punctul de intersecție a dreptei $BQ$ cu tangenta la cerc în punctul $A$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că patrulaterul $ABCM$ este romb.

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră o piramidă patrulateră $VABCD$ cu baza pătratul $ABCD$, $AB=8$ cm și $VA=VB=VC=VD=8$ cm. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, ca în figura alăturată.

Arătați că perimetrul pătratului $ABCD$ este egal cu $32$ cm.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou o piramidă patrulateră $VABCD$ cu baza pătratul $ABCD$, $AB=8$ cm și $VA=VB=VC=VD=8$ cm. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, ca în figura alăturată.

Arătați că distanța de la punctul $V$ la planul $\left(ABC\right)$ este egală cu $\frac{AC}{2}$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou o piramidă patrulateră $VABCD$ cu baza pătratul $ABCD$, $AB=8$ cm și $VA=VB=VC=VD=8$ cm. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, ca în figura alăturată.

Determinați măsura unghiului dintre dreapta $BM$ și planul $\left(VDM\right)$, unde punctul $M$ este simetricul punctului $B$ față de punctul $C$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $16:2=8$, apoi $8-8=0$, deci $11-11\cdot 0=11-0=11$.
2. a) Un caiet costă $40:10=4$ lei, deci cinci caiete costă $5\cdot 4=20$ de lei.
3. c) Numerele întregi din $\left[-3,4\right)$ sunt $-3,-2,-1,0,1,2,3$ (fără $4$, care nu aparține intervalului deschis la dreapta); suma lor este $0$.
4. d) Rombul are toate laturile congruente, deci $P_{ABCD}=4\cdot AB=4\cdot 2\sqrt{2}=8\sqrt{2}$ cm.
5. b) Cum $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ (muchii corespunzătoare ale bazelor prismei), unghiul dreptelor $A^{\prime }{C}^{\prime }$ și $BC$ este egal cu unghiul dreptelor $AC$ și $BC$, adică $\sphericalangle ACB$; triunghiul $ABC$ este echilateral, deci măsura este de $60°$.
6. d) Din grafic, temperatura atinge $37,5°\text{C}$ la $48$ de ore și scade sub această valoare imediat după, deci răspunsul este $48$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) Piramida triunghiulară $VABC$ are baza $ABC$ și $3$ fețe laterale, deci în total $4$ fețe.
2. c) $a+b+c=14$ și $2a+b+c=24$, deci $a=10$, unde $a$, $b$ și $c$ sunt cele trei numere. Numerele naturale $b$ și $c$ sunt nenule, distincte și au suma $4$, deci $bc=1\cdot 3=3\Rightarrow abc=30$.
3. a) Cantitatea de apă din ciuperca proaspătă este $\frac{90}{100}\cdot 20=18$ g. Cum s-au evaporat $\frac{50}{100}\cdot 18=9$ g, după uscare ciuperca cântărește $20-9=11$ g.
4. d) $a-\frac{1}{2}\cdot a=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}-\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}\right)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}-\frac{1}{2^4}-\frac{1}{2^5}-\frac{1}{2^6}=1-\frac{1}{2^6}$.
5. a) $b=\left(\sqrt{3}-\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\right)\left(\sqrt{3}+\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\right)+6-2\sqrt{10}=3-{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}^2+6-2\sqrt{10}=9-\left(5-2\sqrt{10}+2\right)-2\sqrt{10}=2$. Din $\frac{1}{2}\cdot a=1-\frac{1}{2^6}$ rezultă $a=2-\frac{1}{2^5}<2=b$, deci $a<b$.
6. c) $E\left(x\right)=2\left(x^2-9\right)-\left(x^2-2x+1\right)-16=2x^2-18-x^2+2x-1-16=x^2+2x-35$, pentru orice număr real $x$. $E\left(n\right)=\left(n-5\right)\left(n+7\right)$ și, cum $n$ este număr natural, $E\left(n\right)$ este număr natural prim dacă $n-5=1$, deci $n=6$, care convine deoarece $E\left(6\right)=13$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte ${\mathcal{A}}_{\mathcal{C}\left(O,OA\right)}=\pi \cdot O{A}^2$ (3 p) $=\pi \cdot {\left(4\sqrt{3}\right)}^2=48\pi {\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $BQ$ este diametru, deci $BQ=8\sqrt{3}$ cm și $m\left(\sphericalangle BAQ\right)=90°$ (unghi înscris în semicerc) (2 p). $△ABC$ este echilateral, deci $AB=OA\sqrt{3}=12$ cm, deci $AQ=\sqrt{B{Q}^2-A{B}^2}=\sqrt{192-144}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$ cm (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $m\left(\sphericalangle BAO\right)=30°$ și $OA\perp AM$ (raza este perpendiculară pe tangentă în punctul de tangență), deci $m\left(\sphericalangle BAM\right)=120°$ și, cum $m\left(\sphericalangle ABO\right)=30°$, obținem $m\left(\sphericalangle AMB\right)=30°$, deci $△ABM$ este isoscel (2 p). $OA\perp AM$ și $AO\perp BC\Rightarrow AM\parallel BC$ și, cum $AM=AB=BC$, obținem că $ABCM$ este romb (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $P_{ABCD}=4\cdot AB$ (3 p) $=4\cdot 8=32$ cm (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $ABCD$ este pătrat, deci $AO=BO=CO=DO$, de unde obținem că $VO$ este mediană în triunghiurile isoscele $VAC$ și $VBD$, deci $VO\perp AC$ și $VO\perp BD$ și, cum $\left\{O\right\}=AC\cap BD$, obținem că $VO\perp \left(ABC\right)$, deci $d\left(V,\left(ABC\right)\right)=VO$ (3 p). $△VOA$ este dreptunghic, $VA=8$ cm, $OA=4\sqrt{2}$ cm, deci $VO=\sqrt{64-32}=4\sqrt{2}\text{cm}\Rightarrow VO=\frac{AC}{2}$ (2 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $△VBC$ este echilateral, deci $CV=CB=CM\Rightarrow △VBM$ este dreptunghic (mediana $VC$ este jumătate din $BM$), deci $VB\perp VM$ și, cum $OB=OD=OV\Rightarrow △VBD$ este dreptunghic, deci $VB\perp VD$ și, cum $\left\{V\right\}=VM\cap VD$, obținem $BV\perp \left(VDM\right)$, deci $m\left(\sphericalangle \left(BM,\left(VDM\right)\right)\right)=m\left(\sphericalangle \left(BM,VM\right)\right)=m\left(\sphericalangle BMV\right)$ (3 p). $△VBM$ este dreptunghic în $V$ și $m\left(\sphericalangle VBM\right)=60°$, deci $m\left(\sphericalangle BMV\right)=30°$ (2 p).

Testul oficial de pregătire nr. 33, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 33 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I și Subiectul al II-lea cereau doar rezultatul, respectiv rezolvarea completă (fără variante de răspuns), la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, o sarcină incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară cu vârful $V$ și baza triunghiul $ABC$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre numărul fețelor piramidei triunghiulare, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, o problemă de proporționalitate (costul caietelor), suma numerelor întregi dintr-un interval, perimetrul unui romb, unghiul dintre două drepte într-o prismă triunghiulară cu baza triunghi echilateral, citirea unui grafic (temperatura unui pacient); o piramidă triunghiulară (sarcina de desen, reformulată), trei numere naturale cu suma $14$ și produsul $30$, o problemă cu procente (uscarea unei ciuperci), sume de puteri ale lui $\frac{1}{2}$ și un calcul cu radicali conjugați, o expresie $E\left(x\right)$ și numere prime; geometrie plană (un triunghi echilateral înscris în cerc — aria cercului, coarda $AQ$, rombul $ABCM$) și geometrie în spațiu (o piramidă patrulateră regulată — perimetrul bazei, distanța de la vârf la planul bazei, unghiul dintre o dreaptă și un plan).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.