Testul oficial de pregătire nr. 34 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $10-\left(10-20:2\right)\cdot 6$ este egal cu: a) $0$ b) $10$ c) $60$ d) $-50$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x-4}{12}=\frac{1}{6}$, atunci $x$ este egal cu: a) $6$ b) $2$ c) $10$ d) $72$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mic număr întreg care aparține intervalului $\left(-5,5\right)$ este egal cu: a) $-5$ b) $0$ c) $-4$ d) $4$

Exercițiul 4 · 5 puncte Pătratul $ABCD$ are diagonala $AC=2\sqrt{2}$ cm. Aria acestui pătrat este egală cu: a) $2{\text{cm}}^2$ b) $8{\text{cm}}^2$ c) $16{\text{cm}}^2$ d) $4{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră $VABCD$ cu $VO\perp \left(ABC\right)$. Unghiul dreptelor $VO$ și $DC$ are măsura de:

a) $45°$ b) $60°$ c) $90°$ d) $30°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În diagrama următoare este reprezentată distribuția celor $240$ de elevi ai unui club sportiv în funcție de sportul practicat. Fiecare elev practică un singur sport.

Conform informațiilor din diagramă, numărul elevilor care practică înotul este egal cu: a) $10$ b) $36$ c) $48$ d) $24$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se cere desenarea, pe foaia de examen, a unui cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. În orice cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, muchiile și fețele au proprietatea: a) muchiile bazei sunt mai lungi decât muchiile laterale b) toate cele douăsprezece muchii sunt congruente și toate fețele sunt pătrate congruente c) fețele laterale sunt dreptunghiuri cu laturile necongruente d) doar muchiile laterale sunt congruente între ele

Exercițiul 2 · 5 puncte Determinați numărul natural $\overline{abc}$ cu proprietatea că $\overline{abc}+\overline{bc}=176$. Numărul natural $\overline{abc}$ este egal cu: a) $148$ b) $176$ c) $138$ d) $128$

Exercițiul 3 · 5 puncte O echipă de hochei are în lot $15$ jucători. Într-un meci, fiecare hocheist a jucat același număr de minute, iar în teren s-au aflat în permanență $6$ jucători. Determinați câte minute a jucat un hocheist, știind că meciul a durat o oră. Numărul de minute jucate de un hocheist este egal cu: a) $24$ b) $15$ c) $40$ d) $36$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numerele reale $a=\frac{201}{2}+\frac{401}{4}+\frac{601}{6}+\frac{1201}{12}$ și $b=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{32}+\sqrt{48}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{32}-\sqrt{48}}:\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$. Arătați că $a=401$. Valoarea numărului real $a$ este egală cu: a) $400$ b) $804$ c) $402$ d) $401$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră numerele reale $a=\frac{201}{2}+\frac{401}{4}+\frac{601}{6}+\frac{1201}{12}$ și $b=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{32}+\sqrt{48}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{32}-\sqrt{48}}:\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$. Calculați media aritmetică a numerelor $a$ și $b$. Media aritmetică a numerelor $a$ și $b$ este egală cu: a) $201$ b) $200$ c) $402$ d) $100$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E\left(x\right)=2\left(x+1\right)\left(x-3\right)+\left(x+3\right)\left(1-x\right)+\left(x+2\right)\left(2-x\right)+6x$, unde $x$ este număr real. Arătând că $E\left(x\right)=1$ pentru orice număr real $x$, valoarea sumei $E^2\left(1\right)+E^2\left(2\right)+E^2\left(3\right)+\dots +E^2\left(2020\right)$ este egală cu: a) $4040$ b) $2020$ c) $1$ d) $2020^2$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se consideră un paralelogram $ABCD$ cu $AD\perp BD$, $AB=10$ cm și $AD=5$ cm. Punctul $O$ este intersecția diagonalelor $AC$ și $BD$, iar punctul $E$ este simetricul punctului $C$ față de punctul $B$, ca în figura alăturată.

Arătați că $BD=5\sqrt{3}$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou un paralelogram $ABCD$ cu $AD\perp BD$, $AB=10$ cm și $AD=5$ cm. Punctul $O$ este intersecția diagonalelor $AC$ și $BD$, iar punctul $E$ este simetricul punctului $C$ față de punctul $B$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că triunghiul $DEC$ este echilateral.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou un paralelogram $ABCD$ cu $AD\perp BD$, $AB=10$ cm și $AD=5$ cm. Punctul $O$ este intersecția diagonalelor $AC$ și $BD$, iar punctul $E$ este simetricul punctului $C$ față de punctul $B$, ca în figura alăturată.

Arătați că, dacă $P$ este punctul de intersecție a dreptelor $AB$ și $DE$, atunci aria patrulaterului $BCOP$ este egală cu $\frac{75\sqrt{3}}{8}{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră un dreptunghi $ABCD$ cu $AB=8$ cm, $BC=12$ cm și $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AD$, dreapta $MN$ este perpendiculară pe planul $\left(ABC\right)$ și $MN=6$ cm, ca în figura alăturată.

Arătați că aria dreptunghiului $ABCD$ este egală cu $96{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou un dreptunghi $ABCD$ cu $AB=8$ cm, $BC=12$ cm și $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AD$, dreapta $MN$ este perpendiculară pe planul $\left(ABC\right)$ și $MN=6$ cm, ca în figura alăturată.

Demonstrați că dreapta $MO$ este paralelă cu planul $\left(NCD\right)$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou un dreptunghi $ABCD$ cu $AB=8$ cm, $BC=12$ cm și $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AD$, dreapta $MN$ este perpendiculară pe planul $\left(ABC\right)$ și $MN=6$ cm, ca în figura alăturată.

Se consideră punctul $P$, mijlocul laturii $BC$. Demonstrați că distanța de la punctul $P$ la dreapta $AN$ este mai mare decât $9$ cm.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $10-\left(10-20:2\right)\cdot 6=10-\left(10-10\right)\cdot 6=10-0\cdot 6=10-0=10$.
2. a) $\frac{x-4}{12}=\frac{1}{6}\Rightarrow 6\left(x-4\right)=12\Rightarrow x-4=2\Rightarrow x=6$.
3. c) Numerele întregi din $\left(-5,5\right)$ sunt $-4,-3,\dots ,4$ (fără $-5$ și $5$, intervalul fiind deschis la ambele capete); cel mai mic dintre ele este $-4$.
4. d) Diagonala pătratului: $d=l\sqrt{2}=2\sqrt{2}\Rightarrow l=2$ cm, deci aria $=l^2=4{\text{cm}}^2$.
5. c) $VO\perp \left(ABC\right)$, iar dreapta $DC$ este inclusă în planul $\left(ABC\right)$, deci $VO\perp DC$, adică unghiul dreptelor $VO$ și $DC$ are măsura de $90°$.
6. d) Procentul elevilor care practică înotul este $100\%-25\%-30\%-20\%-15\%=10\%$, deci numărul lor este $\frac{10}{100}\cdot 240=24$ de elevi.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) Într-un cub, toate cele douăsprezece muchii sunt congruente și toate cele șase fețe sunt pătrate congruente.
2. c) $\overline{abc}+\overline{bc}=176\Rightarrow a=1$; apoi $100+2\cdot \overline{bc}=176\Rightarrow \overline{bc}=38$, deci $\overline{abc}=138$.
3. a) Numărul total de minute jucate este egal cu $6\cdot 60=360$ de minute; cum aceste $360$ de minute sunt jucate de $15$ hocheiști în mod egal, rezultă că fiecare hocheist a jucat $360:15=24$ de minute.
4. d) $a=100+\frac{1}{2}+100+\frac{1}{4}+100+\frac{1}{6}+100+\frac{1}{12}=400+\frac{6+3+2+1}{12}=400+\frac{12}{12}=401$.
5. a) $b=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+4\sqrt{2}+4\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}+4\sqrt{2}-4\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{5\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}\cdot \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=1$, deci $m_a=\frac{a+b}{2}=\frac{401+1}{2}=201$.
6. b) $E\left(x\right)=2\left(x^2-2x-3\right)+\left(-x^2-2x+3\right)+\left(4-x^2\right)+6x=1$, pentru orice număr real $x$. Deci $E^2\left(1\right)+E^2\left(2\right)+E^2\left(3\right)+\dots +E^2\left(2020\right)=\underset{1\text{ de }2020\text{ ori}}{\underbrace{1+1+1+\dots +1}}=2020=2020E\left(x\right)$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $△ABD$ este dreptunghic în $D$ ($AD\perp BD$), deci $BD=\sqrt{A{B}^2-A{D}^2}$ (3 p) $=\sqrt{100-25}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$ cm (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Punctul $E$ este simetricul punctului $C$ față de punctul $B$, deci $EC=2BC=10$ cm (2 p). $B$ este mijlocul segmentului $CE$ și $AD\perp BD$ și $AD\parallel BC\Rightarrow DB\perp CE$, deci $△DEC$ este isoscel ($DB$ este și mediană, și înălțime) și, cum $DC=EC=10$ cm ($DC=AB=10$ cm, laturi opuse în paralelogram), obținem că $△DEC$ este echilateral (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $AD\parallel BE$ și $AD=BE$ ($BE=BC=AD$) $\Rightarrow AEBD$ este paralelogram și, cum $\left\{P\right\}=AB\cap DE$, obținem că $P$ este mijlocul segmentului $AB$ și, cum $O$ este mijlocul segmentului $BD$, rezultă că $PO$ este linie mijlocie în $△ABD\Rightarrow PO\parallel AD$ și $PO=\frac{AD}{2}$ (3 p). $AD\parallel BC\Rightarrow PO\parallel BC\Rightarrow BCOP$ este trapez și, cum $OB\perp BC$, obținem ${\mathcal{A}}_{BCOP}=\frac{\left(PO+BC\right)\cdot BO}{2}=\frac{\left(\frac{5}{2}+5\right)\cdot \frac{5\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{75\sqrt{3}}{8}{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot BC$ (3 p) $=8\cdot 12=96{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $ABCD$ este dreptunghi și $\left\{O\right\}=AC\cap BD\Rightarrow O$ este mijlocul lui $AC$ și, cum $M$ este mijlocul laturii $AD$, obținem că $MO$ este linie mijlocie în $△ADC$ (2 p). $MO\parallel DC$ și $DC\subset \left(NDC\right)$, deci $MO\parallel \left(NDC\right)$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $BP=\frac{BC}{2}$ și, cum $AD=BC$, obținem $AM=BP$ și, cum $AM\parallel BP$, obținem $PM\parallel AB$, deci $PM\perp AD$ și, cum $MN\perp \left(ABC\right)\Rightarrow PM\perp MN$ și $\left\{M\right\}=MN\cap AD\Rightarrow PM\perp \left(NAD\right)$ (2 p). $PM\perp \left(NAD\right)$, $MQ\perp AN$, $Q\in AN$ și $AN\subset \left(NAD\right)\Rightarrow PQ\perp AN$ (teorema celor trei perpendiculare), deci $d\left(P,AN\right)=PQ$ (1 p). $AM\perp MN$, $MQ\perp AN\Rightarrow MQ=\frac{AM\cdot MN}{AN}=\frac{6\cdot 6}{6\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$ cm $\Rightarrow PQ=\sqrt{P{M}^2+M{Q}^2}=\sqrt{64+18}=\sqrt{82}>\sqrt{81}=9$ cm (2 p).

Testul oficial de pregătire nr. 34, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 34 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I și Subiectul al II-lea cereau doar rezultatul, respectiv rezolvarea completă (fără variante de răspuns), la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, o sarcină incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre proprietățile muchiilor și fețelor cubului, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, o ecuație cu fracții, cel mai mic număr întreg dintr-un interval, aria unui pătrat cunoscând diagonala, unghiul dintre două drepte într-o piramidă patrulateră cu $VO\perp \left(ABC\right)$, o diagramă circulară cu procente (elevii unui club sportiv); desenul unui cub, numărul natural $\overline{abc}$ cu $\overline{abc}+\overline{bc}=176$, o problemă de împărțire egală a minutelor la un meci de hochei, numere reale cu fracții și radicali ($a=401$, media aritmetică), o expresie $E\left(x\right)$ constantă și suma $E^2\left(1\right)+E^2\left(2\right)+\dots +E^2\left(2020\right)$; geometrie plană (un paralelogram cu $AD\perp BD$, simetricul unui punct, triunghi echilateral, aria unui trapez) și geometrie în spațiu (un dreptunghi cu $MN$ perpendiculară pe planul lui — dreaptă paralelă cu un plan, distanța de la un punct la o dreaptă).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.