Testul oficial de pregătire nr. 35 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $55-5\cdot \left(15-16:4\right)$ este egal cu: a) $60$ b) $11$ c) $0$ d) $50$

Exercițiul 2 · 5 puncte Șase creioane de același fel costă $7,50$ lei. Un astfel de creion costă: a) $1,50$ lei b) $1,25$ lei c) $1,20$ lei d) $2,25$ lei

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mare număr natural care aparține intervalului $\left(-1,6\right)$ este egal cu: a) $6$ b) $0$ c) $7$ d) $5$

Exercițiul 4 · 5 puncte Lungimea unui cerc este egală cu $30\pi$ cm. Raza acestui cerc este egală cu: a) $15$ cm b) $30$ cm c) $60$ cm d) $7,5$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCDEFGH$. Unghiul dreptelor $BC$ și $EG$ are măsura de:

a) $90°$ b) $60°$ c) $45°$ d) $30°$

Exercițiul 6 · 5 puncte La un concurs sportiv sunt înscriși $100$ de elevi din clasele de gimnaziu ale unei școli. În diagrama de mai jos este prezentată repartiția procentuală, pe clase, a elevilor înscriși la concurs.

Conform informațiilor din diagramă, numărul de elevi din clasele a VII-a și a VIII-a, înscriși la acest concurs, este egal cu: a) $25$ b) $20$ c) $55$ d) $45$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se cere desenarea, pe foaia de examen, a unui trapez isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$. În orice trapez isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, laturile neparalele $AD$ și $BC$ au proprietatea: a) $AD=BC$ (sunt congruente) b) $AD\parallel BC$ c) $AD\perp BC$ d) $AD=2\cdot BC$

Exercițiul 2 · 5 puncte Determinați perechile $\left(m,n\right)$ de numere naturale pentru care $\left(m-3\right)\cdot n^2=36$. Perechile $\left(m,n\right)$ de numere naturale care verifică egalitatea sunt: a) $\left(4,6\right)$, $\left(7,3\right)$ și $\left(12,2\right)$ b) $\left(6,4\right)$, $\left(3,7\right)$, $\left(2,12\right)$ și $\left(1,39\right)$ c) $\left(4,6\right)$, $\left(7,3\right)$, $\left(12,2\right)$ și $\left(39,1\right)$ d) $\left(4,6\right)$ și $\left(12,2\right)$

Exercițiul 3 · 5 puncte Trei copii iau pe rând mere dintr-un coș. Primul copil ia jumătate din mere, plus un măr. Al doilea copil ia jumătate din merele rămase, plus un măr. Al treilea copil ia jumătate din merele rămase, plus un măr și coșul rămâne gol. Calculați câte mere au fost în coș. Numărul de mere din coș a fost egal cu: a) $16$ b) $14$ c) $12$ d) $22$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numerele $x=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{14}-\sqrt{10}}{2}+\frac{\sqrt{48}-\sqrt{28}}{\sqrt{8}}$ și $y=\left(0,(3)+\frac{2}{3}+\sqrt{2}\right)\cdot \left(\sqrt{2}-1\right)$. Arătați că $x=\sqrt{\frac{3}{2}}$. Valoarea numărului $x$ este egală cu: a) $\sqrt{\frac{2}{3}}$ b) $\sqrt{6}$ c) $\frac{3}{2}$ d) $\sqrt{\frac{3}{2}}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră numerele $x=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{14}-\sqrt{10}}{2}+\frac{\sqrt{48}-\sqrt{28}}{\sqrt{8}}$ și $y=\left(0,(3)+\frac{2}{3}+\sqrt{2}\right)\cdot \left(\sqrt{2}-1\right)$. Arătați că numărul $N=2x^{2}y$ este natural. Numărul natural $N=2x^{2}y$ este egal cu: a) $3$ b) $2$ c) $1$ d) $6$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(2x-3\right)+2{\left(x-1\right)}^2-4\left(x+3\right)\left(x-1\right)$, unde $x$ este număr real. Determinați cel mai mare număr întreg $m$ pentru care $E\left(m\right)\ge 24$. Cel mai mare număr întreg $m$ pentru care $E\left(m\right)\ge 24$ este egal cu: a) $1$ b) $-1$ c) $0$ d) $-2$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se consideră un triunghi echilateral $ABC$ cu $AB=16$ cm și $AD\perp BC$, $D\in BC$. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $DC$ și $AD$, iar punctul $E$ este proiecția punctului $D$ pe dreapta $AC$, ca în figura alăturată.

Arătați că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $48$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou un triunghi echilateral $ABC$ cu $AB=16$ cm și $AD\perp BC$, $D\in BC$. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $DC$ și $AD$, iar punctul $E$ este proiecția punctului $D$ pe dreapta $AC$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că dreptele $ME$ și $NE$ sunt perpendiculare.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou un triunghi echilateral $ABC$ cu $AB=16$ cm și $AD\perp BC$, $D\in BC$. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $DC$ și $AD$, iar punctul $E$ este proiecția punctului $D$ pe dreapta $AC$, ca în figura alăturată.

Calculați aria patrulaterului $BDNF$, unde $F$ este punctul de intersecție a dreptelor $EN$ și $AB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră o piramidă patrulateră $VABCD$ cu baza pătratul $ABCD$, $AB=20$ cm, $VA=20$ cm și $VO\perp \left(ABC\right)$, unde $O$ este punctul de intersecție al dreptelor $AC$ și $BD$. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $VO$ și $OC$, ca în figura alăturată.

Arătați că aria patrulaterului $ABCD$ este egală cu $400{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou o piramidă patrulateră $VABCD$ cu baza pătratul $ABCD$, $AB=20$ cm, $VA=20$ cm și $VO\perp \left(ABC\right)$, unde $O$ este punctul de intersecție al dreptelor $AC$ și $BD$. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $VO$ și $OC$, ca în figura alăturată.

Determinați măsura unghiului dreptelor $MN$ și $VA$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou o piramidă patrulateră $VABCD$ cu baza pătratul $ABCD$, $AB=20$ cm, $VA=20$ cm și $VO\perp \left(ABC\right)$, unde $O$ este punctul de intersecție al dreptelor $AC$ și $BD$. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $VO$ și $OC$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că distanța de la punctul $M$ la planul $\left(VBC\right)$ este egală cu $\frac{5\sqrt{6}}{3}$ cm.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $55-5\cdot \left(15-16:4\right)=55-5\cdot \left(15-4\right)=55-5\cdot 11=55-55=0$.
2. b) $7,50:6=1,25$ lei.
3. d) Numerele naturale din $\left(-1,6\right)$ sunt $0,1,2,3,4,5$ (fără $6$, intervalul fiind deschis la dreapta); cel mai mare dintre ele este $5$.
4. a) $L=2\pi R=30\pi \Rightarrow R=15$ cm.
5. c) Cum $BC\parallel FG$ (muchii opuse ale feței pătrate $BCGF$), unghiul dreptelor $BC$ și $EG$ este egal cu unghiul dreptelor $FG$ și $EG$; iar $EG$ este diagonala feței pătrate $EFGH$, deci $m\left(\sphericalangle EGF\right)=45°$, așadar unghiul dreptelor $BC$ și $EG$ are măsura de $45°$.
6. d) Clasa a VIII-a: $100\%-30\%-25\%-25\%=20\%$; clasele a VII-a și a VIII-a împreună: $25\%+20\%=45\%$ din $100$ de elevi, adică $45$ de elevi.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) Într-un trapez isoscel, laturile neparalele sunt congruente, deci $AD=BC$.
2. c) $\left(m-3\right)\cdot n^2=36$ și, cum $m$, $n$ sunt numere naturale, obținem că $n^2\in \left\{1,4,9,36\right\}$, deci $n\in \left\{1,2,3,6\right\}$; perechile $\left(m,n\right)$ sunt $\left(4,6\right)$, $\left(7,3\right)$, $\left(12,2\right)$ sau $\left(39,1\right)$.
3. b) Mergem înapoi: dacă $a$ este numărul de mere rămase în coș după ce primii doi copii au luat mere, atunci $\frac{a}{2}+1=a$, deci $a=2$; dacă $b$ este numărul de mere rămase după primul copil, atunci $b-\left(\frac{b}{2}+1\right)=2$, deci $b=6$; dacă $c$ este numărul inițial de mere, atunci $c-\left(\frac{c}{2}+1\right)=6$, deci $c=14$.
4. d) $x=\sqrt{\frac{5}{2}}-\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{7}{2}}-\sqrt{\frac{5}{2}}+\sqrt{6}-\sqrt{\frac{7}{2}}=\sqrt{6}-\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}$.
5. a) $y=\left(\frac{3}{9}+\frac{2}{3}+\sqrt{2}\right)\cdot \left(\sqrt{2}-1\right)=\left(1+\sqrt{2}\right)\cdot \left(\sqrt{2}-1\right)=2-1=1$, deci $N=2x^{2}y=2\cdot {\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)}^2\cdot 1=2\cdot \frac{3}{2}=3$, care este număr natural.
6. b) $E\left(x\right)=2x^2-3x+2x-3+2\left(x^2-2x+1\right)-4\left(x^2-x+3x-3\right)=2x^2-x-3+2x^2-4x+2-4x^2-8x+12=-13x+11$, pentru orice număr real $x$; $E\left(m\right)\ge 24\iff -13m+11\ge 24\iff m\le -1$, deci cel mai mare număr întreg $m$ pentru care $E\left(m\right)\ge 24$ este $m=-1$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $△ABC$ este echilateral, deci $P_{△ABC}=3AB$ (3 p) $=3\cdot 16=48$ cm (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $△AED$ este dreptunghic în $E$ și $N$ este mijlocul segmentului $AD\Rightarrow NA=NE=ND$ și $△DEC$ este dreptunghic în $E$ și $M$ este mijlocul segmentului $DC\Rightarrow MD=ME=MC$ (2 p). $ND=NE$, $MD=ME$ și $MN$ latură comună $\Rightarrow △NDM\equiv △NEM$, deci $\sphericalangle NDM\equiv \sphericalangle NEM$ și, cum $ND\perp MD$, obținem că dreptele $ME$ și $NE$ sunt perpendiculare (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $△ANE$ este isoscel și $m\left(\sphericalangle EAN\right)=30°\Rightarrow m\left(\sphericalangle AEN\right)=30°$ și, cum $m\left(\sphericalangle EAF\right)=60°$, obținem că $m\left(\sphericalangle AFE\right)=90°\Rightarrow △AFN$ este dreptunghic cu $AN=4\sqrt{3}$ cm și $m\left(\sphericalangle NAF\right)=30°$, deci $NF=2\sqrt{3}$ cm și $AF=6$ cm (3 p). ${\mathcal{A}}_{BDNF}={\mathcal{A}}_{△ABD}-{\mathcal{A}}_{△AFN}=\frac{8\cdot 8\sqrt{3}}{2}-\frac{6\cdot 2\sqrt{3}}{2}=26\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $ABCD$ este pătrat, deci ${\mathcal{A}}_{ABCD}=A{B}^2$ (3 p) $=20^2=400{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $VO$ și $OC$, deci $MN$ este linie mijlocie în $△VOC$, deci $MN\parallel VC$, de unde obținem că $m\left(\sphericalangle \left(MN,VA\right)\right)=m\left(\sphericalangle \left(VC,VA\right)\right)$ (3 p). $△VOA\equiv △VOC\Rightarrow VA=VC=20$ cm și, cum $AC=20\sqrt{2}$ cm, obținem că $A{C}^2=V{A}^2+V{C}^2$, deci $m\left(\sphericalangle \left(VC,VA\right)\right)=m\left(\sphericalangle AVC\right)=90°$ (2 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $VO\perp \left(ABC\right)$, $OP\perp BC$, unde $P$ este mijlocul lui $BC$ și $BC\subset \left(ABC\right)\Rightarrow VP\perp BC$ și, cum $OP\cap VP=\left\{P\right\}$, obținem $BC\perp \left(VOP\right)\Rightarrow BC\perp MQ$, unde $Q\in VP$ astfel încât $MQ\perp VP$ (2 p). $MQ\perp VP$, $MQ\perp BC$ și $VP\cap BC=\left\{P\right\}\Rightarrow MQ\perp \left(VBC\right)$, deci $d\left(M,\left(VBC\right)\right)=MQ$ și, cum $VO=10\sqrt{2}$ cm, $VP=10\sqrt{3}$ cm și $△VMQ\sim △VPO\Rightarrow \frac{VM}{VP}=\frac{MQ}{PO}$, obținem $MQ=\frac{5\sqrt{6}}{3}$ cm (3 p).

Testul oficial de pregătire nr. 35, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 35 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I și Subiectul al II-lea cereau doar rezultatul, respectiv rezolvarea completă (fără variante de răspuns), la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, o sarcină incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un trapez isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre proprietatea laturilor neparalele ale trapezului isoscel, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, prețul unui creion (împărțirea numerelor zecimale), cel mai mare număr natural dintr-un interval, raza unui cerc cunoscând lungimea, unghiul dintre două drepte într-un cub, o diagramă circulară cu repartiția procentuală pe clase a elevilor înscriși la un concurs sportiv; desenul unui trapez isoscel, perechile de numere naturale cu $\left(m-3\right)\cdot n^2=36$, o problemă de logică cu mere luate pe rând dintr-un coș, numere reale cu radicali ($x=\sqrt{\frac{3}{2}}$, numărul natural $N=2x^{2}y$), o expresie $E\left(x\right)$ de gradul întâi și cel mai mare număr întreg $m$ cu $E\left(m\right)\ge 24$; geometrie plană (un triunghi echilateral cu înălțime, mijloace de segmente, proiecție, drepte perpendiculare, aria unui patrulater) și geometrie în spațiu (o piramidă patrulateră cu baza pătrat — arie, unghiul a două drepte, distanța de la un punct la un plan).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.