Testul oficial de pregătire nr. 37 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $20:2-10$ este egal cu: a) $10$ b) $5$ c) $0$ d) $2$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $a+2b=10$, atunci numărul $5a+10b$ este egal cu: a) $25$ b) $50$ c) $100$ d) $20$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mare număr par din intervalul $\left[-2,6\right)$ este egal cu: a) $6$ b) $5$ c) $-2$ d) $4$

Exercițiul 4 · 5 puncte Suplementul unghiului cu măsura de $135°$ are măsura de: a) $45°$ b) $55°$ c) $35°$ d) $90°$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=10$ cm. Suma lungimilor tuturor muchiilor acestui cub este egală cu:

a) $80$ cm b) $100$ cm c) $120$ cm d) $40$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos sunt prezentate informații referitoare la numărul de vizitatori ai unui muzeu în timpul unei săptămâni. Lunea, muzeul nu primește vizitatori.

Conform informațiilor din tabel, numărul total de vizitatori ai muzeului din acea săptămână este egal cu: a) $1000$ b) $1150$ c) $1400$ d) $1200$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se cere desenarea, pe foaia de examen, a unui trapez dreptunghic $ABCD$ cu bazele $AB$, $CD$ și $AD\perp AB$. În orice trapez dreptunghic $ABCD$ cu bazele $AB$ și $CD$, relația dintre baze este: a) $AB\parallel CD$ și $AB\ne CD$ b) $AB\parallel CD$ și $AB=CD$ c) $AB\perp CD$ d) $AB=CD$, dar $AB$ nu este paralelă cu $CD$

Exercițiul 2 · 5 puncte Media geometrică a numerelor naturale $a$ și $b$ este egală cu $6$ și media geometrică a numerelor naturale $a$ și $c$ este egală cu $4$. Raportul numerelor $b$ și $c$ este egal cu: a) $\frac{4}{9}$ b) $\frac{9}{4}$ c) $\frac{3}{2}$ d) $\frac{2}{3}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Radu a cules din grădina sa o cantitate de cireșe pe care și-a propus să o vândă cu $18$ lei kilogramul pentru a obține o anumită sumă de bani. El a constatat că $10\%$ din cantitatea de cireșe s-a deteriorat și nu o mai poate vinde. Prețul cu care ar trebui să vândă acum Radu kilogramul de cireșe pentru a obține suma de bani pe care și-a propus-o inițial este egal cu: a) $19,8$ lei b) $16,2$ lei c) $22$ de lei d) $20$ de lei

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numerele reale $a={\left(-3\right)}^{25}:3^{22}+2^{40}:16^9+5$ și $b=\left(\frac{2}{5}-\frac{1}{7}\right):\left(\frac{1}{7}+\frac{1}{2}-\frac{3}{5}\right)\cdot \frac{1}{72}$. Arătați că $a=-6$. Valoarea numărului real $a$ este egală cu: a) $-6$ b) $6$ c) $-16$ d) $38$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră numerele reale $a={\left(-3\right)}^{25}:3^{22}+2^{40}:16^9+5$ și $b=\left(\frac{2}{5}-\frac{1}{7}\right):\left(\frac{1}{7}+\frac{1}{2}-\frac{3}{5}\right)\cdot \frac{1}{72}$. Arătând că numărul $N=\frac{1}{b}-a$ este divizibil cu $9$, valoarea lui $N$ este egală cu: a) $12$ b) $27$ c) $18$ d) $6$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E\left(x\right)={\left(2x+\sqrt{2}\right)}^2-\left(2x-\sqrt{6}\right)\left(2x+\sqrt{6}\right)-\sqrt{2}\left(3x+\sqrt{32}\right)$, unde $x$ este număr real. Arătând că numărul $E\left(\sqrt{8}\right)$ este pătratul unui număr natural, valoarea lui $E\left(\sqrt{8}\right)$ este egală cu: a) $2$ b) $4$ c) $16$ d) $8$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se consideră un triunghi $ABC$ cu $BC=25$ cm și punctele $M$ și $N$ situate pe laturile $AC$, respectiv $AB$, astfel încât $NM\parallel BC$, $NM=10$ cm, $BN=9$ cm și $CM=12$ cm. Punctele $D$ și $E$ sunt mijloacele segmentelor $BC$, respectiv $MN$, ca în figura alăturată.

Arătați că perimetrul trapezului $BCMN$ este egal cu $56$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou un triunghi $ABC$ cu $BC=25$ cm și punctele $M$ și $N$ situate pe laturile $AC$, respectiv $AB$, astfel încât $NM\parallel BC$, $NM=10$ cm, $BN=9$ cm și $CM=12$ cm. Punctele $D$ și $E$ sunt mijloacele segmentelor $BC$, respectiv $MN$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou un triunghi $ABC$ cu $BC=25$ cm și punctele $M$ și $N$ situate pe laturile $AC$, respectiv $AB$, astfel încât $NM\parallel BC$, $NM=10$ cm, $BN=9$ cm și $CM=12$ cm. Punctele $D$ și $E$ sunt mijloacele segmentelor $BC$, respectiv $MN$, ca în figura alăturată.

Calculați lungimea segmentului $DE$.

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu baza pătratul $ABCD$, $AB=8$ cm și $A{A}^{\prime }=12\sqrt{2}$ cm. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, iar punctul $E$ este situat pe muchia $A{A}^{\prime }$ astfel încât $AE=4\sqrt{2}$ cm, ca în figura alăturată.

Arătați că aria dreptunghiului $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ este egală cu $96\sqrt{2}{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu baza pătratul $ABCD$, $AB=8$ cm și $A{A}^{\prime }=12\sqrt{2}$ cm. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, iar punctul $E$ este situat pe muchia $A{A}^{\prime }$ astfel încât $AE=4\sqrt{2}$ cm, ca în figura alăturată.

Determinați măsura unghiului dintre dreapta $EO$ și planul $\left(ABC\right)$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu baza pătratul $ABCD$, $AB=8$ cm și $A{A}^{\prime }=12\sqrt{2}$ cm. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, iar punctul $E$ este situat pe muchia $A{A}^{\prime }$ astfel încât $AE=4\sqrt{2}$ cm, ca în figura alăturată.

Demonstrați că dreapta $C^{\prime }E$ este perpendiculară pe planul $\left(BDE\right)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $20:2-10=10-10=0$ (întâi împărțirea, apoi scăderea).
2. b) $5a+10b=5\left(a+2b\right)=5\cdot 10=50$.
3. d) Numerele pare din $\left[-2,6\right)$ sunt $-2,0,2,4$ (fără $6$, care nu aparține intervalului deschis la dreapta); cel mai mare dintre ele este $4$.
4. a) Suplementul are măsura $180°-135°=45°$.
5. c) Cubul are $12$ muchii congruente, deci suma lungimilor este $12\cdot 10=120$ cm.
6. d) $200+100+150+200+300+250=1200$ de vizitatori.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) În orice trapez, bazele sunt paralele și au lungimi diferite, deci $AB\parallel CD$ și $AB\ne CD$.
2. b) $\sqrt{ab}=6\Rightarrow ab=36$, $\sqrt{ac}=4\Rightarrow ac=16$, deci $\frac{b}{c}=\frac{36}{16}=\frac{9}{4}$.
3. d) $c\cdot 18=\frac{90}{100}\cdot c\cdot x$, unde $x$ este prețul cu care ar trebui să vândă Radu kilogramul de cireșe și $c$ este cantitatea inițială de cireșe, în kilograme; rezultă $x=20$ de lei.
4. a) $a=-3^{25}:3^{22}+2^{40}:{\left(2^4\right)}^9+5=-3^3+2^{40}:2^{36}+5=-3^3+2^4+5=-27+16+5=-6$.
5. c) $b=\frac{14-5}{35}:\frac{10+35-42}{70}\cdot \frac{1}{72}=\frac{9}{35}\cdot \frac{70}{3}\cdot \frac{1}{72}=\frac{3\cdot 2\cdot 1}{1\cdot 1\cdot 72}=\frac{1}{12}$, deci $N=\frac{1}{b}-a=12-\left(-6\right)=18$, care este divizibil cu $9$.
6. b) $E\left(x\right)=4x^2+4\sqrt{2}x+2-\left(4x^2-6\right)-3\sqrt{2}x-8=\sqrt{2}x$, pentru orice număr real $x$ (unde $\sqrt{2}\cdot \sqrt{32}=\sqrt{64}=8$). $E\left(\sqrt{8}\right)=\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=4=2^2$, care este pătratul unui număr natural.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $P_{BCMN}=BC+CM+MN+NB$ (3 p) $=25+12+10+9=56$ cm (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $NM\parallel BC\Rightarrow △ANM\sim △ABC\Rightarrow \frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}=\frac{NM}{BC}\Rightarrow \frac{AN}{AN+9}=\frac{AM}{AM+12}=\frac{10}{25}$, de unde obținem că $AN=6$ cm și $AM=8$ cm (3 p). $A{M}^2+A{N}^2=6^2+8^2=100=10^2=M{N}^2\Rightarrow m\left(\sphericalangle MAN\right)=90°$, deci $△ABC$ este dreptunghic în $A$ (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $NF\parallel BD\Rightarrow △ANF\sim △ABD$, unde $F$ este punctul de intersecție a dreptelor $AD$ și $NM$, deci $\frac{AN}{AB}=\frac{NF}{BD}$, de unde obținem că $NF=5\text{cm}\Rightarrow$ punctele $E$ și $F$ coincid, deci punctele $A$, $E$ și $D$ sunt coliniare (2 p). $AD$ este mediană în triunghiul dreptunghic $ABC$, deci $AD=\frac{BC}{2}=12,5$ cm și $AE$ este mediană în triunghiul dreptunghic $ANM$, deci $AE=\frac{MN}{2}=5\text{cm}\Rightarrow DE=AD-AE=7,5$ cm (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte ${\mathcal{A}}_{AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }}=AB\cdot A{A}^{\prime }$ (3 p) $=8\cdot 12\sqrt{2}=96\sqrt{2}{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $EA\perp \left(ABC\right)\Rightarrow m\left(\sphericalangle \left(EO,\left(ABC\right)\right)\right)=m\left(\sphericalangle \left(EO,AO\right)\right)=m\left(\sphericalangle AOE\right)$ (2 p). $EA\perp \left(ABC\right)$ și $AO\subset \left(ABC\right)\Rightarrow EA\perp AO$ și, cum $AE=AO=4\sqrt{2}$ cm, obținem că $△AOE$ este dreptunghic isoscel, deci $m\left(\sphericalangle AOE\right)=45°$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $ABCD$ este pătrat, deci $BD\perp AC$ și $A{A}^{\prime }\perp \left(ABC\right)$, $BD\subset \left(ABC\right)\Rightarrow A{A}^{\prime }\perp BD$ și, cum $A{A}^{\prime }\cap AC=\left\{A\right\}\Rightarrow BD\perp \left(AC{A}^{\prime }\right)$, deci $BD\perp C^{\prime }E$ (2 p). $m\left(\sphericalangle AEO\right)=45°$ și $△A^{\prime }E{C}^{\prime }$ este dreptunghic cu $A^{\prime }E=A^{\prime }{C}^{\prime }=8\sqrt{2}\text{cm}\Rightarrow m\left(\sphericalangle A^{\prime }E{C}^{\prime }\right)=45°$, deci, cum $A$, $E$, $A^{\prime }$, $C^{\prime }$ și $O$ sunt coplanare $\Rightarrow m\left(\sphericalangle C^{\prime }EO\right)=180°-m\left(\sphericalangle AEO\right)-m\left(\sphericalangle A^{\prime }E{C}^{\prime }\right)=90°$, deci $C^{\prime }E\perp EO$ (2 p). $C^{\prime }E\perp BD$, $C^{\prime }E\perp EO$ și $BD\cap EO=\left\{O\right\}$, deci $C^{\prime }E\perp \left(BDE\right)$ (1 p).

Testul oficial de pregătire nr. 37, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 37 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I și Subiectul al II-lea cereau doar rezultatul, respectiv rezolvarea completă (fără variante de răspuns), la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, o sarcină incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un trapez dreptunghic $ABCD$ cu bazele $AB$, $CD$ și $AD\perp AB$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre relația dintre bazele trapezului, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, calculul lui $5a+10b$ cunoscând $a+2b$, cel mai mare număr par dintr-un interval, suplementul unui unghi, suma lungimilor muchiilor unui cub, citirea unui tabel (vizitatorii unui muzeu); un trapez dreptunghic (sarcina de desen, reformulată), media geometrică a două numere și un raport, o problemă cu procente (prețul cireșelor), calcule cu puteri și fracții și divizibilitatea cu $9$, o expresie cu radicali $E\left(x\right)$ și un pătrat perfect; geometrie plană (un triunghi cu o paralelă la o latură — perimetrul trapezului $BCMN$, un triunghi dreptunghic, lungimea segmentului $DE$) și geometrie în spațiu (un paralelipiped dreptunghic — aria unei fețe, unghiul dintre o dreaptă și un plan, o dreaptă perpendiculară pe un plan).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.