Testul oficial de pregătire nr. 39 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $35-5\cdot 6$ este egal cu: a) $180$ b) $5$ c) $65$ d) $30$

Exercițiul 2 · 5 puncte Cel mai mic multiplu comun al numerelor $6$ și $9$ este egal cu: a) $54$ b) $3$ c) $18$ d) $36$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mic număr întreg din intervalul $\left(-5,4\right)$ este egal cu: a) $-5$ b) $-4$ c) $0$ d) $3$

Exercițiul 4 · 5 puncte Măsurile a două unghiuri ale unui triunghi sunt egale cu $60°$, respectiv $30°$. Măsura celui de-al treilea unghi al triunghiului este egală cu: a) $60°$ b) $30°$ c) $90°$ d) $100°$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră $VABCD$ cu $VO\perp \left(ABC\right)$. Unghiul dreptelor $AB$ și $VO$ are măsura de:

a) $45°$ b) $60°$ c) $30°$ d) $90°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În diagrama următoare este reprezentată distribuția celor $80$ de elevi ai unui club sportiv în funcție de sportul practicat. Fiecare elev practică în cadrul clubului un singur sport.

Conform informațiilor din diagramă, numărul elevilor care practică handbalul este egal cu: a) $20$ b) $16$ c) $12$ d) $25$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se cere desenarea, pe foaia de examen, a unui cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Fețele oricărui cub sunt: a) $6$ pătrate congruente b) $6$ dreptunghiuri cu dimensiuni diferite c) $4$ pătrate și $2$ dreptunghiuri d) $8$ pătrate congruente

Exercițiul 2 · 5 puncte Numerele naturale nenule $m$ și $n$, pentru care $\frac{m}{n}=\frac{2}{3}$ și $\left(n+m\right)\left(n-m\right)=180$, sunt: a) $m=12$ și $n=18$ b) $m=2$ și $n=3$ c) $m=18$ și $n=12$ d) $m=6$ și $n=9$

Exercițiul 3 · 5 puncte Ana și Mihai au împreună $214$ lei. Știind că Mihai are cu $20$ de lei mai mult decât Ana, suma de bani pe care o are Ana este egală cu: a) $107$ lei b) $117$ lei c) $97$ lei d) $87$ lei

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numerele reale $x=\left(\frac{4}{\sqrt{2}}+\frac{6}{\sqrt{18}}-\frac{10}{\sqrt{50}}\right)\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$ și $y={\left(3+\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{6}-\sqrt{3}\right)}^2-\sqrt{2^4}$. Arătați că $x=2$. Valoarea numărului real $x$ este egală cu: a) $4$ b) $2$ c) $\sqrt{2}$ d) $1$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră numerele reale $x=\left(\frac{4}{\sqrt{2}}+\frac{6}{\sqrt{18}}-\frac{10}{\sqrt{50}}\right)\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$ și $y={\left(3+\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{6}-\sqrt{3}\right)}^2-\sqrt{2^4}$. Cel mai mic număr natural $n$ pentru care numărul $N=n\cdot x\cdot y$ este pătratul unui număr natural nenul este: a) $2$ b) $1$ c) $8$ d) $4$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E\left(x\right)={\left(2x+3\right)}^2-\left(2-x\right)\left(2+x\right)-5x^2-12x$, unde $x$ este număr real. Numerele întregi $n$ pentru care numărul $\frac{E\left(n\right)}{n^2+1}$ este întreg sunt: a) $n\in \left\{0,2\right\}$ b) $n\in \left\{-2,0,2\right\}$ c) $n\in \left\{-1,0,1\right\}$ d) $n=0$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate triunghiurile dreptunghice isoscele $ABC$, $CDF$ și $DEF$, cu ipotenuzele $BC$, $DF$, respectiv $EF$. Punctul $F$ este mijlocul segmentului $BC$ și $AB=24$ cm.

Arătați că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $24\left(2+\sqrt{2}\right)$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou triunghiurile dreptunghice isoscele $ABC$, $CDF$ și $DEF$, cu ipotenuzele $BC$, $DF$, respectiv $EF$. Punctul $F$ este mijlocul segmentului $BC$ și $AB=24$ cm, ca în figura alăturată.

Calculați lungimea segmentului $BE$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou triunghiurile dreptunghice isoscele $ABC$, $CDF$ și $DEF$, cu ipotenuzele $BC$, $DF$, respectiv $EF$. Punctul $F$ este mijlocul segmentului $BC$ și $AB=24$ cm, ca în figura alăturată.

Demonstrați că patrulaterul $ACDE$ este trapez isoscel.

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră o piramidă triunghiulară $VABC$ cu triunghiul $ABC$ echilateral, $AB=20$ cm, $VA=30$ cm și $VO\perp \left(ABC\right)$, unde $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului $ABC$. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $AB$, respectiv $BC$, iar punctul $P$ este situat pe muchia $CV$ astfel încât $VP=10$ cm, ca în figura alăturată.

Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $100\sqrt{3}{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou o piramidă triunghiulară $VABC$ cu triunghiul $ABC$ echilateral, $AB=20$ cm, $VA=30$ cm și $VO\perp \left(ABC\right)$, unde $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului $ABC$. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $AB$, respectiv $BC$, iar punctul $P$ este situat pe muchia $CV$ astfel încât $VP=10$ cm, ca în figura alăturată.

Demonstrați că dreapta $PO$ este paralelă cu planul $\left(VMN\right)$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou o piramidă triunghiulară $VABC$ cu triunghiul $ABC$ echilateral, $AB=20$ cm, $VA=30$ cm și $VO\perp \left(ABC\right)$, unde $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului $ABC$. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $AB$, respectiv $BC$, iar punctul $P$ este situat pe muchia $CV$ astfel încât $VP=10$ cm, ca în figura alăturată.

Determinați cosinusul unghiului dreptelor $AC$ și $VM$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $35-5\cdot 6=35-30=5$ (întâi înmulțirea, apoi scăderea).
2. c) Multiplii lui $6$: $6,12,18,\dots$; multiplii lui $9$: $9,18,\dots$; cel mai mic multiplu comun al numerelor $6$ și $9$ este $18$.
3. b) Numerele întregi din $\left(-5,4\right)$ sunt $-4,-3,\dots ,3$ ($-5$ nu aparține intervalului deschis); cel mai mic dintre ele este $-4$.
4. c) Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este $180°$, deci al treilea unghi are măsura $180°-\left(60°+30°\right)=90°$.
5. d) $VO\perp \left(ABC\right)$, deci $VO$ este perpendiculară pe orice dreaptă din planul $\left(ABC\right)$, în particular pe $AB$; unghiul dreptelor $AB$ și $VO$ are măsura de $90°$.
6. b) Procentul elevilor care practică handbalul: $100\%-\left(15\%+40\%+25\%\right)=20\%$; numărul lor este $20\%$ din $80$, adică $16$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) Cubul are $6$ fețe, toate pătrate congruente.
2. a) $\frac{m}{n}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{m}{2}=\frac{n}{3}=k$, unde $k$ este număr rațional pozitiv, deci $m=2k$ și $n=3k$, de unde obținem $\left(n+m\right)\left(n-m\right)=180\iff 5k\cdot k=180\iff k^2=36$; cum $k$ este număr rațional pozitiv, obținem $k=6$, deci $m=12$ și $n=18$.
3. c) $x+\left(x+20\right)=214$, unde $x$ este suma de bani pe care o are Ana; rezultă $x=97$ de lei.
4. b) $x=\left(\frac{4}{\sqrt{2}}+\frac{6}{3\sqrt{2}}-\frac{10}{5\sqrt{2}}\right)\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{60+30-30}{15\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{60}{15\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{4}{2}=2$.
5. a) $y=9+6\sqrt{2}+2+6-2\sqrt{18}+3-4=16+6\sqrt{2}-6\sqrt{2}=16$; $N=n\cdot x\cdot y=n\cdot 2\cdot 16$, deci cel mai mic număr natural $n$ pentru care $N$ este pătratul unui număr natural nenul este $n=2$ (atunci $N=64=8^2$).
6. b) $E\left(x\right)=4x^2+12x+9-\left(4-x^2\right)-5x^2-12x=4x^2+12x+9-4+x^2-5x^2-12x=5$, pentru orice număr real $x$. Cum $n$ este număr întreg, $\frac{E\left(n\right)}{n^2+1}=\frac{5}{n^2+1}\in \mathbb{Z}\Rightarrow n^2+1\in \left\{1,5\right\}$, de unde obținem $n=-2$, $n=0$ sau $n=2$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $△ABC$ este dreptunghic isoscel cu $AB=24$ cm, deci $AC=24$ cm și $BC=24\sqrt{2}$ cm (3 p). $P_{△ABC}=AB+BC+AC=48+24\sqrt{2}=24\left(2+\sqrt{2}\right)$ cm (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $△CDF$ este dreptunghic isoscel $\Rightarrow m\left(\sphericalangle CFD\right)=45°$ și $△DEF$ este dreptunghic isoscel $\Rightarrow m\left(\sphericalangle DFE\right)=45°$, deci $m\left(\sphericalangle CFE\right)=m\left(\sphericalangle CFD\right)+m\left(\sphericalangle DFE\right)=90°\Rightarrow EF\perp BF$ (2 p). $F$ este mijlocul segmentului $BC\Rightarrow BF=CF=12\sqrt{2}$ cm și $△CDF$ este dreptunghic isoscel, deci $DF=24$ cm și, cum $△DEF$ este dreptunghic isoscel, obținem $EF=24\sqrt{2}$ cm, deci, cum $△BEF$ este dreptunghic, $BE=\sqrt{E{F}^2+B{F}^2}=12\sqrt{10}$ cm (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $△ABC$ este isoscel și $F$ este mijlocul laturii $BC\Rightarrow AF\perp BC$ și, cum $EF\perp BC$, obținem că punctele $A$, $F$ și $E$ sunt coliniare (2 p). $EF\perp BC$ și $DC\perp BC\Rightarrow AE\parallel DC$ și, cum $AC=DE=24$ cm, obținem că $ACDE$ este trapez isoscel (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $△ABC$ este echilateral, deci ${\mathcal{A}}_{△ABC}=\frac{A{B}^2\sqrt{3}}{4}$ (3 p) $=\frac{400\sqrt{3}}{4}=100\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $VO\perp \left(ABC\right)\Rightarrow VO\perp OA$, $VO\perp OC$ și $O$ este centrul cercului circumscris $△ABC$, deci $OA=OC$ și, cum $VO$ este latură comună, obținem că $△VOA\equiv △VOC$, deci $CV=30$ cm și, cum $VP=10$ cm, obținem că $\frac{CP}{CV}=\frac{2}{3}$ (2 p). $△ABC$ este echilateral, $O$ este centrul cercului circumscris $△ABC$ și $M$ este mijlocul segmentului $AB$, deci $C$, $O$ și $M$ sunt coliniare și $\frac{CO}{CM}=\frac{2}{3}=\frac{CP}{CV}\Rightarrow PO\parallel VM$ și, cum $VM\subset \left(VMN\right)$, obținem că $PO\parallel \left(VMN\right)$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $MN$ linie mijlocie în $△ABC\Rightarrow MN\parallel AC\Rightarrow m\left(\sphericalangle \left(AC,VM\right)\right)=m\left(\sphericalangle \left(MN,VM\right)\right)=m\left(\sphericalangle VMN\right)$ (2 p). $VM=VN=20\sqrt{2}$ cm $\Rightarrow △VMN$ este isoscel $\Rightarrow VQ\perp MN$, unde $Q$ este mijlocul segmentului $MN$, de unde obținem $\cos \left(\sphericalangle VMN\right)=\frac{MQ}{VM}=\frac{5}{20\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}$ (3 p).

Testul oficial de pregătire nr. 39, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 39 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I și Subiectul al II-lea cereau doar rezultatul, respectiv rezolvarea completă (fără variante de răspuns), la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, o sarcină incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre fețele cubului, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, cel mai mic multiplu comun, cel mai mic număr întreg dintr-un interval, suma măsurilor unghiurilor unui triunghi, unghiul dintre o dreaptă din planul bazei și înălțimea unei piramide, o diagramă circulară cu distribuția elevilor unui club sportiv; cubul, două numere naturale determinate dintr-un raport și un produs, o problemă cu sume de bani, numere reale cu radicali ($x=2$) și un pătrat perfect, o expresie $E\left(x\right)$ constantă și o condiție de divizibilitate; geometrie plană (trei triunghiuri dreptunghice isoscele, un perimetru, lungimea unui segment, un trapez isoscel) și geometrie în spațiu (o piramidă triunghiulară regulată — aria bazei, paralelismul dintre o dreaptă și un plan, cosinusul unghiului a două drepte).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.