Testul oficial de pregătire nr. 40 — Evaluarea Națională 2020

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $50-5\cdot 9$ este egal cu: a) $405$ b) $5$ c) $45$ d) $95$

Exercițiul 2 · 5 puncte Cinci caiete de același fel costă $20$ de lei. Trei astfel de caiete costă: a) $4$ lei b) $60$ lei c) $12$ lei d) $15$ lei

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mic număr natural de două cifre, divizibil cu $3$, este egal cu: a) $10$ b) $12$ c) $15$ d) $30$

Exercițiul 4 · 5 puncte Bisectoarea unui unghi drept formează cu una din laturile unghiului un unghi cu măsura de: a) $90°$ b) $60°$ c) $30°$ d) $45°$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCDEFGH$ cu latura de $30$ cm. Lungimea segmentului $EG$ este egală cu:

a) $30$ cm b) $30\sqrt{2}$ cm c) $30\sqrt{3}$ cm d) $60$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte Într-o școală, în clasele de gimnaziu, învață $600$ de elevi. În diagrama de mai jos este prezentată repartiția procentuală, pe clase, a elevilor din acea școală.

Conform informațiilor din diagramă, numărul de elevi din clasa a VIII-a care învață la această școală este egal cu: a) $150$ b) $180$ c) $120$ d) $200$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se cere desenarea, pe foaia de examen, a unui trapez isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$ și $AB>CD$. În orice trapez isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$ și $AB>CD$, relația dintre laturile neparalele $AD$ și $BC$ este: a) $AD=BC$ (laturile neparalele sunt congruente) b) $AD\parallel BC$ c) $AD\perp BC$ d) $AD=2\cdot BC$

Exercițiul 2 · 5 puncte Numerele naturale $a$ și $b$ sunt direct proporționale cu $2$ și $6$, iar numerele naturale $b$ și $c$ sunt invers proporționale cu $5$ și $3$. Determinând numerele naturale $a$, $b$ și $c$, știind că $a\cdot b\cdot c=960$, acestea sunt: a) $a=4$, $b=12$, $c=20$ b) $a=2$, $b=6$, $c=10$ c) $a=8$, $b=24$, $c=40$ d) $a=4$, $b=12$, $c=36$

Exercițiul 3 · 5 puncte Într-o săptămână, la un muzeu, s-au vândut $300$ de bilete de intrare, dintre care $60\%$ au fost pentru copii și restul pentru adulți. Știind că biletul pentru un adult costă $20$ de lei și biletul pentru un copil costă jumătate din prețul biletului pentru un adult, suma încasată de acest muzeu, în acea săptămână, din vânzarea biletelor de intrare este egală cu: a) $3600$ lei b) $4200$ lei c) $4800$ lei d) $6000$ lei

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră $x=\left(\frac{15}{\sqrt{75}}+\frac{18}{\sqrt{108}}+\frac{33}{\sqrt{363}}\right)\cdot 5\sqrt{3}$ și $y=2\left(\sqrt{11}-3\right)\left(3\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{11}+3\right)\left(3\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)$, numere reale. Arătați că $x=45$. Valoarea numărului real $x$ este egală cu: a) $15$ b) $45$ c) $9\sqrt{3}$ d) $75$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră $x=\left(\frac{15}{\sqrt{75}}+\frac{18}{\sqrt{108}}+\frac{33}{\sqrt{363}}\right)\cdot 5\sqrt{3}$ și $y=2\left(\sqrt{11}-3\right)\left(3\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{11}+3\right)\left(3\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)$, numere reale. Știind că numărul $x$ reprezintă $p\%$ din numărul $y$, determinați numărul natural $p$. Numărul natural $p$ este egal cu: a) $45$ b) $60$ c) $75$ d) $80$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E\left(x\right)={\left(3x+5\right)}^2-9{\left(x+1\right)}^2-12\left(x+1\right)$, unde $x$ este număr real. Arătând că $E\left(x\right)=4$, pentru orice număr real $x$, valoarea produsului $\left(E\left(x\right)-2\right)\left(E\left(x\right)-2^2\right)\cdot \dots \cdot \left(E\left(x\right)-2^{2020}\right)$ este egală cu: a) $2^{2020}$ b) $0$ c) $2$ d) $4^{2020}$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se consideră un romb $ABCD$ cu $AB=12$ cm, $m\left(\sphericalangle BAD\right)=45°$ și pătratul $BCMN$ situat în exteriorul rombului $ABCD$, ca în figura alăturată.

Arătați că perimetrul pătratului $BCMN$ este egal cu $48$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou un romb $ABCD$ cu $AB=12$ cm, $m\left(\sphericalangle BAD\right)=45°$ și pătratul $BCMN$ situat în exteriorul rombului $ABCD$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că dreptele $AM$ și $DC$ sunt paralele.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou un romb $ABCD$ cu $AB=12$ cm, $m\left(\sphericalangle BAD\right)=45°$ și pătratul $BCMN$ situat în exteriorul rombului $ABCD$, ca în figura alăturată.

Arătați că aria triunghiului $ANC$ este egală cu $72\left(\sqrt{2}+1\right){\text{cm}}^2$.

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră un dreptunghi $ABCD$ cu $AB=30$ cm, $BC=40$ cm și $MD\perp \left(ABC\right)$ astfel încât $MD=24$ cm. Punctele $E$ și $F$ sunt situate pe segmentul $AB$ astfel încât $AE=EF=FB$, iar $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$, ca în figura alăturată.

Arătați că aria patrulaterului $ABCD$ este egală cu $1200{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou un dreptunghi $ABCD$ cu $AB=30$ cm, $BC=40$ cm și $MD\perp \left(ABC\right)$ astfel încât $MD=24$ cm. Punctele $E$ și $F$ sunt situate pe segmentul $AB$ astfel încât $AE=EF=FB$, iar $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că dreapta $OF$ este paralelă cu planul $\left(MDE\right)$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou un dreptunghi $ABCD$ cu $AB=30$ cm, $BC=40$ cm și $MD\perp \left(ABC\right)$ astfel încât $MD=24$ cm. Punctele $E$ și $F$ sunt situate pe segmentul $AB$ astfel încât $AE=EF=FB$, iar $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$, ca în figura alăturată.

Arătați că distanța de la punctul $M$ la dreapta $AC$ este egală cu $24\sqrt{2}$ cm.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $50-5\cdot 9=50-45=5$ (întâi înmulțirea, apoi scăderea).
2. c) Un caiet costă $20:5=4$ lei, deci trei caiete costă $3\cdot 4=12$ lei.
3. b) Numerele naturale de două cifre divizibile cu $3$ sunt $12,15,18,\dots$; cel mai mic dintre ele este $12$.
4. d) Bisectoarea împarte unghiul drept în două unghiuri congruente, fiecare cu măsura de $90°:2=45°$.
5. b) $EG$ este diagonala feței pătrate $EFGH$, cu latura de $30$ cm, deci $EG=30\sqrt{2}$ cm.
6. c) Clasei a VIII-a îi corespunde procentul $100\%-\left(30\%+25\%+25\%\right)=20\%$, deci numărul de elevi din clasa a VIII-a este $\frac{20}{100}\cdot 600=120$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) Într-un trapez isoscel, laturile neparalele sunt congruente, deci $AD=BC$ (iar $AD$ și $BC$ nu sunt paralele, fiind laturile neparalele ale trapezului).
2. a) $\frac{a}{2}=\frac{b}{6}$ și $5b=3c$, deci $b=3a$ și $c=5a$, de unde obținem $a\cdot 3a\cdot 5a=960\iff a^3=64$, deci $a=4$, $b=12$, $c=20$.
3. b) S-au vândut $\frac{60}{100}\cdot 300=180$ de bilete pentru copii și $300-180=120$ de bilete pentru adulți. Din vânzarea biletelor de intrare s-au încasat $180\cdot \frac{1}{2}\cdot 20+120\cdot 20=1800+2400=4200$ de lei.
4. b) $x=\left(\frac{15}{5\sqrt{3}}+\frac{18}{6\sqrt{3}}+\frac{33}{11\sqrt{3}}\right)\cdot 5\sqrt{3}=\left(\frac{3}{\sqrt{3}}+\frac{3}{\sqrt{3}}+\frac{3}{\sqrt{3}}\right)\cdot 5\sqrt{3}=\frac{9}{\sqrt{3}}\cdot 5\sqrt{3}=45$.
5. c) $y=2\left(\sqrt{11}-3\right)\left(\sqrt{11}+3\right)\left(3\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(3\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)=2\left(11-9\right)\left(18-3\right)=2\cdot 2\cdot 15=60$; $\frac{p}{100}\cdot y=x\iff \frac{p}{100}\cdot 60=45\iff p=75$.
6. b) $E\left(x\right)=9x^2+30x+25-9x^2-18x-9-12x-12=4$, pentru orice număr real $x$. Cum $E\left(x\right)-2^2=0$, obținem $\left(E\left(x\right)-2\right)\left(E\left(x\right)-2^2\right)\cdot \dots \cdot \left(E\left(x\right)-2^{2020}\right)=0$, pentru orice număr real $x$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $ABCD$ este romb, deci $BC=AB=12$ cm (3 p); pătratul $BCMN$ are latura $BC$, deci $P_{BCMN}=4\cdot BC=4\cdot 12=48$ cm (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $ABCD$ este romb $\Rightarrow \sphericalangle BAD\equiv \sphericalangle BCD$, deci $m\left(\sphericalangle BCD\right)=45°$ și, cum $BCMN$ este pătrat și $m\left(\sphericalangle CBM\right)=45°$ ($BM$ este diagonală a pătratului), obținem $\sphericalangle CBM\equiv \sphericalangle BCD$; cum $\sphericalangle CBM$ și $\sphericalangle BCD$ sunt alterne interne, obținem $BM\parallel DC$ (3 p). $ABCD$ romb $\Rightarrow AB\parallel CD$ și, cum $BM\parallel DC$, obținem că punctele $A$, $B$ și $M$ sunt coliniare, deci $AM\parallel DC$ (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $BCMN$ este pătrat, deci $BO\perp NC$, unde $\left\{O\right\}=BM\cap NC$ și, cum $A$, $B$ și $M$ sunt coliniare, obținem $AO\perp NC$ (2 p). $AO=AB+BO$, $BO=\frac{CN}{2}=6\sqrt{2}$ cm $\Rightarrow {\mathcal{A}}_{△ANC}=\frac{AO\cdot NC}{2}=\frac{\left(12+6\sqrt{2}\right)\cdot 12\sqrt{2}}{2}=72\left(\sqrt{2}+1\right){\text{cm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $ABCD$ este dreptunghi, deci ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot BC$ (3 p) $=30\cdot 40=1200{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $AE=EF=FB$, deci $\frac{BF}{BE}=\frac{1}{2}$ și, cum $\frac{BO}{BD}=\frac{1}{2}$ ($O$ este mijlocul diagonalei $BD$ a dreptunghiului), obținem $\frac{BF}{BE}=\frac{BO}{BD}\Rightarrow OF\parallel DE$ (reciproca teoremei lui Thales în triunghiul $BDE$) (3 p). $OF\parallel DE$ și $DE\subset \left(MDE\right)$, deci $OF\parallel \left(MDE\right)$ (2 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $MD\perp \left(ABC\right)$, deci, pentru $DN\perp AC$, $N\in AC$, cum $AC\subset \left(ABC\right)$, obținem $MN\perp AC$, deci $d\left(M,AC\right)=MN$ (2 p). $△ADC$ este dreptunghic, deci $AC=\sqrt{A{D}^2+D{C}^2}=\sqrt{1600+900}=50$ cm și $DN\perp AC$, deci $DN=\frac{AD\cdot DC}{AC}=\frac{40\cdot 30}{50}=24$ cm și, cum $△MDN$ este dreptunghic isoscel ($MD=DN=24$ cm), obținem $MN=24\sqrt{2}$ cm (3 p).

Testul oficial de pregătire nr. 40, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Subiectele I și II sunt adaptate la formatul grilă (enunț și răspuns corect autentice, cu 3 distractori adăugați per item; excepție Exercițiul 1 de la Subiectul al II-lea, reformulat din sarcina de desen originală). Subiectul al III-lea este reprodus integral, conform documentului oficial și baremului, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu), fiecare item fiind formulat autonom, cu figura și datele complete.

Pentru părinți și profesori

Acesta este un test oficial de pregătire la matematică pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a — Testul nr. 40 —, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, în anul 2020. Enunțurile și rezultatele corecte sunt reproduse exact conform documentului oficial.

Notă de transparență privind formatul: în 2020, testele de pregătire urmau încă structura veche a examenului — Subiectul I și Subiectul al II-lea cereau doar rezultatul, respectiv rezolvarea completă (fără variante de răspuns), la fel ca la examenele oficiale dinainte de 2021. Pentru a integra acest test în formatul interactiv grilă folosit pe site (identic cu formatul EN actual, din 2021 încoace), la exercițiile Subiectului I și II enunțul și răspunsul corect sunt 100% autentice din documentul din 2020, iar la fiecare exercițiu au fost adăugate 3 variante greșite (distractori), inventate pentru a permite alegerea din 4 variante — ele nu apar în documentul original. Face excepție un singur exercițiu de la Subiectul al II-lea, o sarcină incompatibilă cu formatul grilă: Exercițiul 1, care în original cerea „desenați, pe foaia de examen, un trapez isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$ și $AB>CD$" — reformulat ca întrebare cu răspuns unic despre relația dintre laturile neparalele ale trapezului isoscel, păstrând identic obiectul geometric din enunțul oficial. Subiectul al III-lea este integral autentic — enunț și rezolvare, cuvânt cu cuvânt și cifră cu cifră din documentul oficial și din barem; fiecare exercițiu repetă complet datele numerice și figura, pentru a putea fi rezolvat independent de celelalte.

Testul verifică: ordinea operațiilor, o problemă simplă cu prețul unor caiete, cel mai mic număr natural de două cifre divizibil cu $3$, bisectoarea unui unghi drept, diagonala feței unui cub, o diagramă circulară cu repartiția procentuală a elevilor; proprietatea laturilor trapezului isoscel, numere direct și invers proporționale, o problemă cu procente (biletele unui muzeu), numere reale cu radicali (raționalizări și produse de conjugate) și procente, o expresie $E\left(x\right)$ care se arată a fi constantă și un produs egal cu zero; geometrie plană (un romb cu un pătrat construit în exteriorul lui — perimetru, drepte paralele, aria unui triunghi) și geometrie în spațiu (un dreptunghi $ABCD$ și un punct $M$ cu $MD$ perpendiculară pe planul dreptunghiului — arie, o dreaptă paralelă cu un plan, distanța de la un punct la o dreaptă).

• Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.