Simulare Evaluarea Națională nr. 70

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(15+3\cdot 9):(2\cdot 5-4)$ este: a) $7$ b) $42$ c) $6$ d) $9$

Exercițiul 2 · 5 puncte Cel mai mic număr natural $n$ pentru care $2n-7>15$ este: a) $11$ b) $10$ c) $12$ d) $8$

Exercițiul 3 · 5 puncte Scris ca fracție ordinară, numărul $2,(4)$ este egal cu: a) $\frac{24}{9}$ b) $\frac{4}{9}$ c) $\frac{2}{9}$ d) $\frac{22}{9}$

Exercițiul 4 · 5 puncte La un spectacol de teatru s-au vândut $340$ de bilete. Dintre acestea, $60\%$ au fost bilete la preț întreg, iar restul bilete cu reducere pentru elevi. Numărul biletelor cu reducere vândute este: a) $204$ b) $40$ c) $136$ d) $170$

Exercițiul 5 · 5 puncte Rezultatul calculului $\sqrt{75}-\sqrt{27}+\sqrt{12}$ este: a) $60$ b) $\sqrt{60}$ c) $2\sqrt{3}$ d) $4\sqrt{3}$

Exercițiul 6 · 5 puncte Graficul alăturat arată numărul de cărți împrumutate de la bibliotecă, în patru luni consecutive. Diferența dintre numărul maxim și numărul minim de cărți împrumutate într-o lună este:

a) $35$ b) $19$ c) $16$ d) $13$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=(x+2)$ cm și $BC=(2x-1)$ cm, iar $AC=19$ cm. Lungimea segmentului $BC$ este egală cu:

a) $8$ cm b) $13$ cm c) $11$ cm d) $9$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, dreptele $a$ și $b$ sunt paralele, tăiate de secanta $c$. Unghiul format la dreapta $a$ are măsura $(3x+10{)}^{\circ }$, iar unghiul situat de aceeași parte a secantei, la dreapta $b$, are măsura $(5x-30{)}^{\circ }$ (unghiuri colaterale interne). Măsura unghiului format la dreapta $b$ este egală cu:

a) $85^{\circ }$ b) $25^{\circ }$ c) $180^{\circ }$ d) $95^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $m(\angle B)=30^{\circ }$ și $AC=9$ cm (cateta opusă unghiului $B$). Lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:

a) $9$ cm b) $9\sqrt{3}$ cm c) $4,5$ cm d) $18$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$, cu $AB=14$ cm și aria ${\mathcal{A}}_{ABCD}=84{\text{cm}}^2$. Lungimea înălțimii corespunzătoare laturii $AB$ este egală cu:

a) $7$ cm b) $14$ cm c) $6$ cm d) $12$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul $O$, în care $AB$ este coardă, iar $C$ aparține arcului mare $AB$. Se știe că $m(\angle AOB)=110^{\circ }$ (unghi la centru). Măsura unghiului înscris $ACB$ este egală cu:

a) $110^{\circ }$ b) $70^{\circ }$ c) $90^{\circ }$ d) $55^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cu $AB=7$ cm, $BC=5$ cm și $A{A}^{\prime }=8$ cm. Volumul paralelipipedului este egal cu:

a) $140{\text{cm}}^3$ b) $56{\text{cm}}^3$ c) $40{\text{cm}}^3$ d) $280{\text{cm}}^3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Suma vârstelor actuale a doi frați, Șerban și Mihai, este de $27$ de ani. Peste $3$ ani, vârsta lui Șerban va fi exact dublul vârstei lui Mihai de atunci. a) (2 p) Arată că vârsta lui Mihai nu poate fi acum $10$ ani, în condițiile enunțului. b) (3 p) Notează cu $x$ vârsta actuală a lui Mihai și determină vârstele actuale ale celor doi frați.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x+5}{(x-1)(x+3)}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 1$ și $x\ne -3$. a) (2 p) Arată că $E(4)=\frac{3}{7}$. b) (3 p) Arată că numărul $N=5^{2n+1}+5^{2n}$ este divizibil cu $6$, oricare ar fi $n$ număr natural.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-9$. a) (2 p) Calculează $f(-1)$ și $f(4)$. b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Calculează aria triunghiului $AOB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În cercul cu centrul $O$ și raza $R=25$ cm, coardele $AB$ și $CD$ sunt perpendiculare, intersectându-se în interiorul cercului în punctul $E$. Se cunosc $AB=48$ cm și $CD=40$ cm. Fie $M$ mijlocul coardei $AB$ și $N$ mijlocul coardei $CD$. a) (2 p) Calculează distanțele $OM$ și $ON$ de la centru la cele două coarde. b) (3 p) Arată că patrulaterul $OMEN$ este dreptunghi și calculează aria acestuia.

Exercițiul 5 · 5 puncte În paralelogramul $ABCD$, cu $AB=16$ cm și $AD=12$ cm, se cunoaște aria paralelogramului, ${\mathcal{A}}_{ABCD}=96{\text{cm}}^2$. Fie $M$ mijlocul laturii $AB$ și $N$ mijlocul laturii $AD$; segmentul $MN$ decupează din paralelogram triunghiul $AMN$. a) (2 p) Arată că triunghiul $AMN$ este asemenea cu triunghiul $ABD$, precizează raportul de asemănare, apoi calculează aria triunghiului $ABD$. b) (3 p) Calculează aria triunghiului $AMN$, apoi aria patrulaterului $MBCDN$ rămas după decupare.

Exercițiul 6 · 5 puncte O piesă ornamentală are forma unei piramide patrulatere regulate $VABCD$, cu latura bazei $AB=8$ cm și înălțimea $VO=3$ cm ($O$ este centrul bazei, $M$ este mijlocul laturii $BC$). a) (2 p) Calculează apotema piramidei, $VM$. b) (3 p) Calculează volumul piramidei și distanța de la punctul $O$ la planul feței laterale $(VBC)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. a) $(15+3\cdot 9):(2\cdot 5-4)=(15+27):(10-4)=42:6=7$.
2. c) $2n-7>15\Rightarrow 2n>22\Rightarrow n>11$; cel mai mic număr natural care satisface $n>11$ este $n=12$.
3. d) $2,(4)=2+\frac{4}{9}=\frac{18+4}{9}=\frac{22}{9}$.
4. c) Bilete la preț întreg: $60\%\cdot 340=204$. Bilete cu reducere: $340-204=136$.
5. d) $\sqrt{75}=5\sqrt{3}$, $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$, $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$; suma este $5\sqrt{3}-3\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$.
6. c) Numărul maxim este $35$ (octombrie), numărul minim este $19$ (noiembrie); diferența este $35-19=16$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) $AB+BC=AC\Rightarrow (x+2)+(2x-1)=19\Rightarrow 3x+1=19\Rightarrow x=6$; deci $BC=2\cdot 6-1=11$ cm.
2. d) Unghiurile din enunț sunt colaterale interne (de aceeași parte a secantei, între cele două paralele), deci suplementare: $(3x+10)+(5x-30)=180\Rightarrow 8x-20=180\Rightarrow 8x=200\Rightarrow x=25$. Unghiul de la dreapta $b$ este $5\cdot 25-30=95^{\circ }$ (iar cel de la $a$ este $3\cdot 25+10=85^{\circ }$; verificare: $85+95=180$).
3. d) Cateta $AC$ este opusă unghiului de $30^{\circ }$, deci este jumătate din ipotenuză: $BC=2\cdot AC=2\cdot 9=18$ cm.
4. c) ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot h\Rightarrow h=\frac{{\mathcal{A}}_{ABCD}}{AB}=\frac{84}{14}=6$ cm.
5. d) Unghiul înscris $ACB$ subîntinde același arc $AB$ ca și unghiul la centru $AOB$, deci $m(\angle ACB)=\frac{1}{2}\cdot m(\angle AOB)=\frac{110^{\circ }}{2}=55^{\circ }$.
6. d) $V=AB\cdot BC\cdot A{A}^{\prime }=7\cdot 5\cdot 8=280{\text{cm}}^3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $x$ vârsta actuală a lui Mihai; vârsta actuală a lui Șerban este $27-x$. a) (2 p) Dacă $x=10$, atunci Șerban are acum $17$ ani. Peste $3$ ani: Mihai ar avea $13$ ani, iar Șerban $20$ de ani (1 p). Condiția din enunț ar cere $20=2\cdot 13=26$, ceea ce este fals, deci vârsta lui Mihai nu poate fi acum $10$ ani (1 p). b) (3 p) Peste $3$ ani: Mihai are $x+3$ ani, iar Șerban are $27-x+3=30-x$ ani. Ecuația cerută de enunț este $30-x=2(x+3)$ (1 p) $\Rightarrow 30-x=2x+6\Rightarrow 24=3x\Rightarrow x=8$ (1 p). Mihai are acum $8$ ani, iar Șerban are $27-8=19$ ani (1 p) (verificare: peste 3 ani, Mihai are $11$ ani, Șerban are $22=2\cdot 11$ ani).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $E(4)=\frac{4+5}{(4-1)(4+3)}=\frac{9}{3\cdot 7}$ (1 p) $=\frac{9}{21}=\frac{3}{7}$ (1 p). b) (3 p) Dăm factor comun pe $5^{2n}$: $N=5^{2n+1}+5^{2n}=5^{2n}\cdot 5+5^{2n}=5^{2n}(5+1)$ (1 p) $=6\cdot 5^{2n}$ (1 p). Cum $N$ se scrie ca $6$ înmulțit cu un număr natural ($5^{2n}$), rezultă că $N$ este divizibil cu $6$, oricare ar fi $n$ număr natural (1 p) (verificare pentru $n=1$: $N=5^3+5^2=125+25=150=6\cdot 25$).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(-1)=3\cdot (-1)-9=-12$ (1 p); $f(4)=3\cdot 4-9=3$ (1 p). b) (3 p) $A=Ox\cap G_f$: $3x-9=0\Rightarrow x=3$, deci $A(3,0)$ (1 p). $B=Oy\cap G_f$: $x=0\Rightarrow y=-9$, deci $B(0,-9)$ (1 p). Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$: ${\mathcal{A}}_{AOB}=\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{3\cdot 9}{2}=\frac{27}{2}=13,5$ (unități pătrate) (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Triunghiul $OAM$ este dreptunghic în $M$ (deoarece $OM\perp AB$), cu $OA=R=25$ cm și $AM=\frac{AB}{2}=24$ cm: $OM=\sqrt{O{A}^2-A{M}^2}=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{625-576}=\sqrt{49}=7$ cm (1 p). Analog, $CN=\frac{CD}{2}=20$ cm, deci $ON=\sqrt{25^2-20^2}=\sqrt{625-400}=\sqrt{225}=15$ cm (1 p). b) (3 p) Din $OM\perp AB$ rezultă $m(\angle OME)=90^{\circ }$; din $ON\perp CD$ rezultă $m(\angle ONE)=90^{\circ }$; iar din $AB\perp CD$ (dat) rezultă $m(\angle MEN)=90^{\circ }$ (1 p). Un patrulater cu trei unghiuri drepte are și al patrulea unghi drept, deci $OMEN$ este dreptunghi (1 p). Aria dreptunghiului: ${\mathcal{A}}_{OMEN}=OM\cdot ON=7\cdot 15=105{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Diagonala $BD$ împarte paralelogramul în două triunghiuri congruente, deci ${\mathcal{A}}_{ABD}=\frac{{\mathcal{A}}_{ABCD}}{2}=\frac{96}{2}=48{\text{cm}}^2$ (1 p). Triunghiurile $AMN$ și $ABD$ au unghiul $A$ comun și $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AD}=\frac{1}{2}$ (căci $M$, $N$ sunt mijloace), deci $△AMN\sim △ABD$, cu raportul de asemănare $k=\frac{1}{2}$ (1 p). b) (3 p) Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este pătratul raportului de asemănare: $\frac{{\mathcal{A}}_{AMN}}{{\mathcal{A}}_{ABD}}=k^2=\frac{1}{4}$ (1 p), deci ${\mathcal{A}}_{AMN}=\frac{48}{4}=12{\text{cm}}^2$ (1 p). Aria patrulaterului rămas: ${\mathcal{A}}_{MBCDN}={\mathcal{A}}_{ABCD}-{\mathcal{A}}_{AMN}=96-12=84{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Apotema bazei: $OM=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4$ cm. Triunghiul $VOM$ este dreptunghic în $O$: $VM=\sqrt{V{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ cm (2 p). b) (3 p) Aria bazei: $A_b=A{B}^2=8^2=64{\text{cm}}^2$; volumul: $V=\frac{A_b\cdot VO}{3}=\frac{64\cdot 3}{3}=64{\text{cm}}^3$ (1 p). Distanța de la $O$ la planul $(VBC)$ se calculează în triunghiul dreptunghic $VOM$ (dreptunghic în $O$), ca înălțimea dusă din $O$ pe ipotenuza $VM$: $d=\frac{VO\cdot OM}{VM}=\frac{3\cdot 4}{5}=\frac{12}{5}=2,4$ cm (2 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale, mulțimi, procente și radicali, ecuații liniare cu context (problemă cu vârste), fracții algebrice și divizibilitate, funcția liniară (aria triunghiului determinat de grafic cu axele), geometrie plană (unghiuri, triunghi dreptunghic, romb, cerc – coarde perpendiculare, paralelogram cu puncte mijlocii) și geometrie în spațiu (piramidă patrulateră regulată – apotemă, volum, distanță de la un punct la un plan).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: distanța de la un punct la un plan se calculează folosind un triunghi dreptunghic auxiliar (înălțimea dusă din punct pe ipotenuză), iar unghiurile colaterale interne formate de o secantă cu două drepte paralele sunt suplementare.