Simulare Evaluarea Națională nr. 72

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(4\cdot 13+8):6+23$ este: a) $33$ b) $37$ c) $10$ d) $43$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x-5}{7}=\frac{x+3}{11}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $9$ b) $19$ c) $25$ d) $4$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A=\{2,3,4,5,6,7\}$ și $B=\{5,6,7,8,9\}$. Numărul de elemente ale mulțimii $A\cap B$ este egal cu: a) $2$ b) $4$ c) $3$ d) $5$

Exercițiul 4 · 5 puncte Într-o livadă s-au cules $840$ kg de mere. Dintre acestea, $35\%$ sunt mere de soiul Golden, iar restul sunt mere Ionatan. Masa merelor Golden culese este egală cu: a) $546$ kg b) $336$ kg c) $252$ kg d) $294$ kg

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi calculează valoarea expresiei $E=\sqrt{75}-\sqrt{27}$. Ionuț obține $E=2\sqrt{3}$; Maria obține $E=\sqrt{48}$; Radu obține $E=4\sqrt{3}$; Elena obține $E=\sqrt{3}$. Cine a calculat corect? a) Ionuț b) Maria c) Radu d) Elena

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=5-\sqrt{23}$. Atunci: a) $a<0$ b) $0<a<1$ c) $a=0$ d) $a>1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=7$ cm și $BC=11$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $MB$ este egală cu:

a) $9$ cm b) $4$ cm c) $2$ cm d) $11$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $D$ sunt coliniare. Măsura unghiului $AOB$ este de $55^{\circ }$, iar unghiul $BOC$ are măsura de $65^{\circ }$. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

a) $60^{\circ }$ b) $55^{\circ }$ c) $65^{\circ }$ d) $120^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=15$ cm și $AC=20$ cm. Lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:

a) $35$ cm b) $\sqrt{175}$ cm c) $625$ cm d) $25$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=16$ cm și $BC=30$ cm. Lungimea diagonalei $AC$ este egală cu:

a) $46$ cm b) $34$ cm c) $23$ cm d) $\sqrt{46}$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$, în care $AB$ este diametru. Punctul $C$ aparține cercului, iar măsura arcului mic $BC$ este de $82^{\circ }$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu:

a) $82^{\circ }$ b) $49^{\circ }$ c) $164^{\circ }$ d) $41^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDEFGH$ cu muchia $AB=9$ cm. Lungimea diagonalei cubului (segmentul $AG$) este egală cu:

a) $9\sqrt{3}$ cm b) $9\sqrt{2}$ cm c) $81$ cm d) $27$ cm

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un magazin are un stoc inițial de $S$ bucăți dintr-un anumit produs. În prima etapă se vinde $30\%$ din stoc, iar în a doua etapă se vinde $45\%$ din tot ce a mai rămas după prima etapă. După aceste două etape, în magazin au rămas $154$ de bucăți. a) (2 p) Arată că, după cele două etape, a rămas $38,5\%$ din stocul inițial. b) (3 p) Determină stocul inițial $S$ și numărul de bucăți vândute în a doua etapă.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x(x+1)(x+2)(x+3)}{x^2+5x+6}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -2$ și $x\ne -3$. a) (2 p) Arată că $E(x)=x(x+1)$, pentru orice $x$ din domeniul de definiție. b) (3 p) Arată că, pentru orice număr natural nenul $n$, suma $S=\frac{1}{E(n)}+\frac{1}{E(n+1)}+\frac{1}{E(n+2)}$ nu este număr natural.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-7$. a) (2 p) Calculează $f(1)$ și $f(4)$. b) (3 p) Arată că, pentru orice număr real $x$, suma $f(4-x)+f(4+x)$ este constantă (nu depinde de $x$) și determină această constantă.

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră cercul de centru $O$ și punctele $A$, $B$, $C$ situate pe cerc, astfel încât măsurile arcelor mici $AB$, $BC$ și $CA$ sunt $124^{\circ }$, $86^{\circ }$ și, respectiv, $150^{\circ }$. a) (2 p) Calculează măsura unghiului la centru $\angle AOB$ și măsura unghiului înscris $\angle ACB$ (unghi care subîntinde același arc $AB$). b) (3 p) Calculează măsurile unghiurilor înscrise $\angle BAC$ și $\angle ABC$ (care subîntind arcele $BC$, respectiv $CA$) și verifică faptul că suma măsurilor unghiurilor triunghiului $ABC$ este $180^{\circ }$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră paralelogramul $ABCD$ și punctul $E$ situat pe latura $(AD)$. Distanța de la punctul $E$ la dreapta $BC$ este de $7$ cm, iar aria triunghiului $EBC$ este de $91{\text{cm}}^2$. a) (2 p) Arată că lungimea laturii $BC$ este egală cu $26$ cm. b) (3 p) Știind că $AB=14$ cm, calculează aria paralelogramului $ABCD$ și distanța dintre dreptele $AB$ și $CD$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia $AB=12$ cm, și secțiunea diagonală $BD{D}^{\prime }{B}^{\prime }$ a cubului (dreptunghiul determinat de diagonala bazei $BD$ și muchia laterală $D{D}^{\prime }$). a) (2 p) Calculează aria secțiunii diagonale $BD{D}^{\prime }{B}^{\prime }$. b) (3 p) Calculează volumul cubului și distanța de la vârful $A$ la planul $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. a) $(4\cdot 13+8):6+23=(52+8):6+23=60:6+23=10+23=33$.
2. b) $\frac{x-5}{7}=\frac{x+3}{11}\Rightarrow 11(x-5)=7(x+3)\Rightarrow 11x-55=7x+21\Rightarrow 4x=76\Rightarrow x=19$.
3. c) Elementele comune ale mulțimilor $A=\{2,3,4,5,6,7\}$ și $B=\{5,6,7,8,9\}$ sunt $5$, $6$, $7$, deci $A\cap B=\{5,6,7\}$, mulțime cu $3$ elemente.
4. d) $35\%\cdot 840=\frac{35}{100}\cdot 840=294$ kg.
5. a) $\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}$; $\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}$; diferența este $5\sqrt{3}-3\sqrt{3}=2\sqrt{3}$, deci Ionuț a calculat corect (ceilalți au obținut valori diferite: $\sqrt{48}=4\sqrt{3}\ne 2\sqrt{3}$).
6. b) Cum $4^2=16<23<25=5^2$, rezultă $4<\sqrt{23}<5$; mai precis $\sqrt{23}\approx 4,80<5$, deci $a=5-\sqrt{23}>0$ și, cum $\sqrt{23}>4$, avem $a<1$; așadar $0<a<1$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) $AC=AB+BC=7+11=18$ cm; $AM=\frac{AC}{2}=9$ cm; $MB=AM-AB=9-7=2$ cm.
2. a) $A$, $O$, $D$ coliniare $\Rightarrow m(\angle AOB)+m(\angle BOC)+m(\angle COD)=180^{\circ }$, deci $m(\angle COD)=180^{\circ }-55^{\circ }-65^{\circ }=60^{\circ }$.
3. d) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25$ cm.
4. b) $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{16^2+30^2}=\sqrt{256+900}=\sqrt{1156}=34$ cm.
5. d) Unghiul $BAC$ este înscris în cerc și subîntinde arcul mic $BC$, deci $m(\angle BAC)=\frac{1}{2}\cdot 82^{\circ }=41^{\circ }$.
6. a) Diagonala cubului: $AG=AB\sqrt{3}=9\sqrt{3}$ cm.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $S$ stocul inițial. a) (2 p) După prima etapă rămâne $70\%\cdot S$ (1 p). În a doua etapă se vinde $45\%$ din acest rest: $45\%\cdot 70\%\cdot S=31,5\%\cdot S$, deci rămâne $70\%-31,5\%=38,5\%$ din $S$ (1 p). b) (3 p) Din enunț, $38,5\%\cdot S=154$ (1 p) $\Rightarrow S=\frac{154}{0,385}=400$ bucăți (1 p). Cantitatea vândută în a doua etapă este $31,5\%\cdot 400=126$ bucăți (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) Numitorul se descompune $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$ (1 p); simplificând fracția prin $(x+2)(x+3)$ (permis, căci $x\ne -2$ și $x\ne -3$): $E(x)=\frac{x(x+1)(x+2)(x+3)}{(x+2)(x+3)}=x(x+1)$ (1 p). b) (3 p) Pentru orice număr natural $k\ge 1$ avem, prin descompunere în fracții simple, $\frac{1}{E(k)}=\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$ (1 p). Aplicând pentru $k=n$, $k=n+1$, $k=n+2$ și însumând, termenii intermediari se reduc telescopic: $$S=\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)+\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)+\left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right)=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}=\frac{3}{n(n+3)}(1\mathbf{p}).$$ Pentru orice număr natural nenul $n$ avem $n(n+3)\ge 1\cdot 4=4>3$, deci $0<S<1$; fiind strict cuprins între $0$ și $1$, $S$ nu poate fi număr natural (nu e nici $0$, fiind strict pozitiv, și nu poate fi $\ge 1$) (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(1)=3\cdot 1-7=-4$ (1 p); $f(4)=3\cdot 4-7=5$ (1 p). b) (3 p) $f(4-x)=3(4-x)-7=12-3x-7=5-3x$ (1 p). $f(4+x)=3(4+x)-7=12+3x-7=5+3x$ (1 p). Suma: $f(4-x)+f(4+x)=(5-3x)+(5+3x)=10$, constantă, independentă de $x$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Unghiul la centru $\angle AOB$ are aceeași măsură cu arcul pe care îl subîntinde: $m(\angle AOB)=124^{\circ }$ (1 p). Unghiul înscris $\angle ACB$ subîntinde același arc $AB$, deci măsura lui este jumătate din unghiul la centru: $m(\angle ACB)=\frac{124^{\circ }}{2}=62^{\circ }$ (1 p). b) (3 p) $\angle BAC$ este înscris și subîntinde arcul $BC=86^{\circ }$, deci $m(\angle BAC)=\frac{86^{\circ }}{2}=43^{\circ }$ (1 p). $\angle ABC$ este înscris și subîntinde arcul $CA=150^{\circ }$, deci $m(\angle ABC)=\frac{150^{\circ }}{2}=75^{\circ }$ (1 p). Verificare: $m(\angle ACB)+m(\angle BAC)+m(\angle ABC)=62^{\circ }+43^{\circ }+75^{\circ }=180^{\circ }$, egal cu suma unghiurilor unui triunghi (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Cum $E\in (AD)$ și $AD\parallel BC$, distanța de la $E$ la $BC$ este chiar înălțimea paralelogramului corespunzătoare bazei $BC$, adică $7$ cm. Din ${\mathcal{A}}_{EBC}=\frac{BC\cdot 7}{2}=91$ (1 p), rezultă $BC=\frac{91\cdot 2}{7}=26$ cm (1 p). b) (3 p) Aria paralelogramului $ABCD=BC\cdot 7=26\cdot 7=182{\text{cm}}^2$ (același lucru ca $2\cdot {\mathcal{A}}_{EBC}$, întrucât triunghiul $EBC$ are aceeași bază $BC$ și aceeași înălțime ca paralelogramul) (2 p). Distanța dintre dreptele $AB$ și $CD$ este înălțimea corespunzătoare bazei $AB$: din ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot h^{\prime }\Rightarrow h^{\prime }=\frac{182}{14}=13$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Diagonala bazei: $BD=AB\sqrt{2}=12\sqrt{2}$ cm (1 p). Secțiunea $BD{D}^{\prime }{B}^{\prime }$ este un dreptunghi cu laturile $BD=12\sqrt{2}$ cm și $D{D}^{\prime }=AB=12$ cm, deci aria ei este $\mathcal{A}=BD\cdot D{D}^{\prime }=12\sqrt{2}\cdot 12=144\sqrt{2}{\text{cm}}^2$ (1 p). b) (3 p) Volumul cubului: $V=A{B}^3=12^3=1728{\text{cm}}^3$ (1 p). Planul $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$ este vertical și conține diagonala $BD$ a bazei; distanța de la $A$ la acest plan este egală cu distanța de la $A$ la dreapta $BD$, calculată în triunghiul dreptunghic $ABD$: ${\mathcal{A}}_{ABD}=\frac{AB\cdot AD}{2}=\frac{12\cdot 12}{2}=72{\text{cm}}^2$, iar ${\mathcal{A}}_{ABD}=\frac{BD\cdot d(A,BD)}{2}\Rightarrow d(A,BD)=\frac{2\cdot 72}{12\sqrt{2}}=\frac{144}{12\sqrt{2}}=\frac{12}{\sqrt{2}}=6\sqrt{2}$ cm (2 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul cu radicali, mulțimi, procente, ecuații și fracții algebrice, funcția liniară, geometrie plană (unghiuri, triunghiuri, patrulatere, cerc) și geometrie în spațiu (corpuri: arii, volume, secțiuni).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.