Simulare Evaluarea Națională nr. 75

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(7^2-3\cdot 5):2+9$ este: a) $17$ b) $30$ c) $26$ d) $43$

Exercițiul 2 · 5 puncte Cel mai mare număr natural $n$ pentru care $4n+9<75$ este: a) $16$ b) $15$ c) $17$ d) $18$

Exercițiul 3 · 5 puncte Transformat în fracție ordinară, numărul $2,(45)$ este egal cu: a) $\frac{5}{11}$ b) $\frac{9}{4}$ c) $\frac{27}{11}$ d) $\frac{49}{22}$

Exercițiul 4 · 5 puncte La o nuntă, din numărul total de invitați, $60\%$ sunt din partea mirelui, iar restul din partea miresei. Știind că numărul invitaților din partea miresei este cu $34$ mai mic decât numărul invitaților din partea mirelui, numărul total de invitați la nuntă este: a) $136$ b) $150$ c) $200$ d) $170$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi, Cristi, Ana, Dan și Bogdan, calculează valoarea expresiei $\sqrt{75}-\sqrt{27}+\sqrt{12}$ și obțin, respectiv, rezultatele $\sqrt{300}$, $4\sqrt{3}$, $12$ și $2\sqrt{3}$. Elevul/eleva care a calculat corect este: a) Cristi b) Ana c) Dan d) Bogdan

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numărul real $a=(\sqrt{2}+1{)}^2-2\sqrt{2}$. Atunci $a$ este egal cu: a) $1$ b) $5$ c) $2\sqrt{2}+1$ d) $3$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=2x+5$ și $BC=3x-2$ (lungimi exprimate în cm). Știind că $AC=48$ cm, lungimea segmentului $AB$ este egală cu:

a) $21$ cm b) $25$ cm c) $23$ cm d) $27$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, dreptele paralele $a$ și $b$ sunt tăiate de secanta $c$ în punctele $M$, respectiv $N$. Unghiurile alterne interne formate au măsurile $m(\angle 1)=4x+10$ (în $M$) și $m(\angle 2)=6x-20$ (în $N$), exprimate în grade. Măsura unghiului $\angle 1$ este egală cu:

a) $60^{\circ }$ b) $70^{\circ }$ c) $75^{\circ }$ d) $80^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, iar $AD$ este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei $BC$ ($D\in BC$), cu $BD=4$ cm și $DC=9$ cm. Lungimea înălțimii $AD$ este egală cu:

a) $5$ cm b) $13$ cm c) $6$ cm d) $36$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, unghiuri drepte în $A$ și $D$, $AB=14$ cm, $CD=6$ cm și $AD=8$ cm (înălțimea trapezului). Aria trapezului $ABCD$ este egală cu:

a) $70{\text{cm}}^2$ b) $112{\text{cm}}^2$ c) $160{\text{cm}}^2$ d) $80{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată, $O$ este centrul cercului, iar $AB$ este o coardă cu $AB=16$ cm. Distanța de la centrul $O$ la coarda $AB$ (segmentul $OM$, $M$ fiind mijlocul lui $AB$) este de $6$ cm. Raza cercului este egală cu:

a) $8$ cm b) $14$ cm c) $100$ cm d) $10$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDEFGH$. Diagonala spațială $AG$ are lungimea $9\sqrt{3}$ cm. Lungimea muchiei cubului este egală cu:

a) $9$ cm b) $9\sqrt{3}$ cm c) $27$ cm d) $81$ cm

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un rezervor conține inițial $V$ litri de motorină ($V$ fiind necunoscuta problemei), rezervor plin la capacitate maximă. Golirea se face în două etape: în prima etapă se elimină $\frac{2}{5}$ din cantitatea inițială $V$, iar în a doua etapă se mai elimină încă $126$ de litri. După aceste două etape, în rezervor mai rămân exact $54$ de litri. a) (2 p) Verifică dacă este posibil ca $V=350$ de litri să fie capacitatea inițială a rezervorului. b) (3 p) Determină capacitatea inițială $V$ a rezervorului.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{2}{x-1}-\frac{x+1}{(x-1)(x+4)}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 1$ și $x\ne -4$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{x+7}{(x-1)(x+4)}$, pentru orice $x$ din domeniul de definiție. b) (3 p) Determină numerele întregi $x$ din domeniul de definiție pentru care $E(x)$ este număr întreg.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x-15$. a) (2 p) Calculează $f(0)$ și $f(3)$. b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul $A$ și axa $Oy$ în punctul $B$. Determină aria triunghiului $AOB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată, $O$ este centrul cercului, $AB$ este diametru, iar coarda $CD$ este paralelă cu $AB$, cu $AB=20$ cm și $CD=16$ cm. Bisectoarea unghiului $\angle COD$ intersectează coarda $CD$ în punctul $M$. a) (2 p) Arată că, în triunghiul isoscel $OCD$ ($OC=OD=$ raza cercului), bisectoarea unghiului $\angle COD$ trece prin mijlocul $M$ al segmentului $CD$ și calculează distanța $OM$. b) (3 p) Calculează aria trapezului $ABDC$, știind că $AB\parallel CD$, iar distanța dintre ele este egală cu $OM$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În paralelogramul $ABCD$, cu $AB=18$ cm și $AD=15$ cm, înălțimea din $D$ pe $AB$ are lungimea de $9$ cm (deci distanța de la orice punct de pe latura $AB$ la dreapta $CD$ este tot $9$ cm, deoarece $AB\parallel CD$). Punctul $M$ aparține laturii $AB$ (vezi figura). a) (2 p) Arată că aria triunghiului $MCD$ este egală cu $81{\text{cm}}^2$, indiferent de poziția punctului $M$ pe latura $AB$. b) (3 p) Calculează aria paralelogramului $ABCD$ și perimetrul acestuia.

Exercițiul 6 · 5 puncte O piesă din piatră are forma unei prisme drepte $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, cu baza triunghiul echilateral $ABC$, latura bazei $AB=6$ cm și înălțimea (muchia laterală) $A{A}^{\prime }=8$ cm. a) (2 p) Calculează aria bazei prismei și aria laterală a prismei. b) (3 p) Calculează aria totală și volumul prismei.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $(7^2-3\cdot 5):2+9=(49-15):2+9=34:2+9=17+9=26$.
2. a) $4n+9<75\Rightarrow 4n<66\Rightarrow n<16,5$, deci cel mai mare număr natural este $n=16$.
3. c) $2,(45)=2+0,(45)=2+\frac{45}{99}=2+\frac{5}{11}=\frac{27}{11}$.
4. d) Notăm cu $x$ numărul total de invitați. Partea mirelui $=0,6x$, partea miresei $=0,4x$, iar diferența este $0,6x-0,4x=0,2x=34\Rightarrow x=170$.
5. b) $\sqrt{75}=5\sqrt{3}$, $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$, $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, deci $\sqrt{75}-\sqrt{27}+\sqrt{12}=5\sqrt{3}-3\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$ — rezultatul Anei.
6. d) $(\sqrt{2}+1{)}^2-2\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}+1-2\sqrt{2}=3$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) $AB+BC=AC\Rightarrow (2x+5)+(3x-2)=48\Rightarrow 5x+3=48\Rightarrow x=9\Rightarrow AB=2\cdot 9+5=23$ cm.
2. b) Unghiurile alterne interne formate de o secantă cu două drepte paralele sunt congruente: $4x+10=6x-20\Rightarrow 30=2x\Rightarrow x=15\Rightarrow m(\angle 1)=4\cdot 15+10=70^{\circ }$.
3. c) Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea din vârful unghiului drept pe ipotenuză este medie geometrică a proiecțiilor catetelor: $AD=\sqrt{BD\cdot DC}=\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{36}=6$ cm.
4. d) ${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{(AB+CD)\cdot AD}{2}=\frac{(14+6)\cdot 8}{2}=\frac{20\cdot 8}{2}=80{\text{cm}}^2$.
5. d) Într-un cerc, raza, jumătatea coardei și distanța de la centru la coardă formează un triunghi dreptunghic: $R=\sqrt{O{M}^2+{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ cm.
6. a) Diagonala spațială a cubului este $d=a\sqrt{3}$, deci $a\sqrt{3}=9\sqrt{3}\Rightarrow a=9$ cm.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $V$ capacitatea inițială a rezervorului, exprimată în litri. a) (2 p) Dacă $V=350$: în prima etapă se elimină $\frac{2}{5}\cdot 350=140$ litri, deci rămân $350-140=210$ litri (1 p). În a doua etapă se mai elimină $126$ litri, deci rămân $210-126=84$ litri, care este diferit de $54$ litri (cât trebuie să rămână conform enunțului). Așadar nu este posibil ca $V=350$ litri să fie capacitatea inițială (1 p). b) (3 p) După prima etapă rămân $V-\frac{2}{5}V=\frac{3}{5}V$ litri (1 p). Ecuația care traduce enunțul este $\frac{3}{5}V-126=54\Rightarrow \frac{3}{5}V=180$ (1 p) $\Rightarrow V=180\cdot \frac{5}{3}=300$ litri (1 p). (Verificare: $\frac{2}{5}\cdot 300=120$; $300-120=180$; $180-126=54$ ✓.)

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) Aducem $\frac{2}{x-1}$ la numitorul comun $(x-1)(x+4)$: $\frac{2}{x-1}=\frac{2(x+4)}{(x-1)(x+4)}=\frac{2x+8}{(x-1)(x+4)}$ (1 p). Atunci $E(x)=\frac{2x+8-(x+1)}{(x-1)(x+4)}=\frac{x+7}{(x-1)(x+4)}$ (1 p). b) (3 p) Cum gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului, pentru $x\ge 3$ sau $x\le -8$ avem $|(x-1)(x+4)|>|x+7|$, deci $|E(x)|<1$ și $E(x)$ nu poate fi un întreg nenul în afara acestui interval (iar $E(x)=0$ doar pentru $x=-7$, deja inclus mai jos) (1 p). Rămâne de verificat direct fiecare valoare întreagă $x\in \{-8,-7,-6,-5,-3,-2,-1,0,2,3\}$ (excluzând $x=1$ și $x=-4$). Se obține $E(-7)=\frac{0}{24}=0$, $E(-3)=\frac{4}{-4}=-1$, $E(-1)=\frac{6}{-6}=-1$, iar pentru celelalte valori testate $E(x)$ nu este întreg (1 p). Deci soluțiile sunt $x\in \{-7,-3,-1\}$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=5\cdot 0-15=-15$ (1 p); $f(3)=5\cdot 3-15=0$ (1 p). b) (3 p) $A=Ox\cap G_f$: din $f(3)=0$ rezultă $A(3,0)$ (1 p). $B=Oy\cap G_f$: din $f(0)=-15$ rezultă $B(0,-15)$ (1 p). Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$, cu $OA=3$ și $OB=15$: ${\mathcal{A}}_{AOB}=\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{3\cdot 15}{2}=22,5$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) În triunghiul $OCD$, $OC=OD=R=10$ cm (ambele raze ale cercului), deci triunghiul este isoscel cu vârful $O$; într-un triunghi isoscel, bisectoarea unghiului de la vârf este totodată mediană și înălțime, deci trece prin mijlocul $M$ al bazei $CD$ (1 p). Cum $CM=\frac{CD}{2}=8$ cm, din triunghiul dreptunghic $OMC$ rezultă $OM=\sqrt{O{C}^2-C{M}^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$ cm (1 p). b) (3 p) Cum $O\in AB$ și $OM\perp CD$, iar $AB\parallel CD$, distanța dintre dreptele $AB$ și $CD$ este egală cu $OM=6$ cm (1 p). Aria trapezului $ABDC$ este $\mathcal{A}=\frac{(AB+CD)\cdot OM}{2}=\frac{(20+16)\cdot 6}{2}$ (1 p) $=\frac{36\cdot 6}{2}=108{\text{cm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Deoarece $AB\parallel CD$, distanța de la orice punct $M$ al laturii $AB$ până la dreapta $CD$ este constantă și egală cu înălțimea paralelogramului, adică $9$ cm, indiferent de poziția lui $M$ pe $AB$ (1 p). Aria triunghiului $MCD$, cu baza $CD=18$ cm și înălțimea $9$ cm, este ${\mathcal{A}}_{MCD}=\frac{CD\cdot 9}{2}=\frac{18\cdot 9}{2}=81{\text{cm}}^2$ (1 p). b) (3 p) Aria paralelogramului $ABCD=AB\cdot 9=18\cdot 9=162{\text{cm}}^2$ (1 p) — de altfel, exact dublul ariei triunghiului $MCD$, ceea ce confirmă rezultatul de la punctul a) (1 p). Perimetrul: $P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(18+15)=66$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Aria bazei (triunghi echilateral cu latura $6$ cm): ${\mathcal{A}}_b=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1 p). Aria laterală: ${\mathcal{A}}_{\ell }=P_{baz\breve{a}}\cdot A{A}^{\prime }=(3\cdot 6)\cdot 8=144{\text{cm}}^2$ (1 p). b) (3 p) Aria totală: ${\mathcal{A}}_t={\mathcal{A}}_{\ell }+2\cdot {\mathcal{A}}_b=144+2\cdot 9\sqrt{3}=144+18\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (1 p). Volumul prismei: $V={\mathcal{A}}_b\cdot A{A}^{\prime }=9\sqrt{3}\cdot 8=72\sqrt{3}{\text{cm}}^3$ (2 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul cu radicali, fracții zecimale periodice, procente succesive, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, geometrie plană (unghiuri, relații metrice în triunghiul dreptunghic, patrulatere, cerc) și geometrie în spațiu (corpuri: arii și volume). Contextele problemelor cu rezolvare completă sunt variate și nerepetitive: un rezervor golit în etape, o fracție algebrică al cărei domeniu conține exact două valori interzise, o funcție liniară a cărei reprezentare grafică determină aria unui triunghi, un cerc cu diametru și coardă paralelă, un paralelogram cu un punct așezat pe o latură și o prismă dreaptă cu baza triunghi echilateral.

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.