Patru elevi compară numerele $$a=\sqrt{50}$$ și $$b=7$$. Cine are dreptate?

Carla, care spune că $$a\gt b$$

Simulare Evaluarea Națională nr. 81

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $(50 - 3 \cdot 8) : 2$ este: a) $13$ b) $26$ c) $21$ d) $9$

Exercițiul 2 · 5 puncte Cel mai mic număr natural $n$ pentru care $5 n - 3 > 32$ este: a) $6$ b) $9$ c) $7$ d) $8$

Exercițiul 3 · 5 puncte Fracția ordinară ireductibilă corespunzătoare numărului zecimal periodic $0, (18)$ este: a) $\frac{18}{99}$ b) $\frac{2}{11}$ c) $\frac{9}{50}$ d) $\frac{1}{6}$

Exercițiul 4 · 5 puncte Într-o seră sunt cultivate $140$ de plante ornamentale. Dintre acestea, $35%$ sunt trandafiri. Numărul trandafirilor din seră este: a) $35$ b) $70$ c) $49$ d) $45$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi compară numerele $a = 50$ și $b = 7$ . Cine are dreptate? a) Ana, care spune că $a < b$ b) Bogdan, care spune că $a = b$ c) Carla, care spune că $a > b$ d) Dan, care spune că $a$ și $b$ nu pot fi comparate

Exercițiul 6 · 5 puncte Diagrama de mai jos arată numărul de cărți împrumutate de la biblioteca școlii, în fiecare zi lucrătoare a unei săptămâni.

Conform diagramei, afirmația adevărată este: a) Vineri s-au împrumutat mai puține cărți decât Luni. b) Media cărților împrumutate în cele cinci zile este mai mare decât $20$ . c) Miercuri s-au împrumutat mai multe cărți decât Marți. d) Joi s-au împrumutat cu $12$ cărți mai multe decât Miercuri.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$ , $B$ , $M$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $A B = 5$ cm și $B C = 9$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $A C$ . Lungimea segmentului $M B$ este egală cu:

a) $9$ cm b) $2$ cm c) $4$ cm d) $7$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, dreptele $a$ și $b$ sunt paralele, tăiate de secanta $t$ . Unghiul $1$ , format de secantă cu dreapta $a$ , are măsura de $7 2^{\circ}$ . Unghiul $2$ este unghiul intern situat de aceeași parte a secantei cu unghiul $1$ , format de secantă cu dreapta $b$ . Măsura unghiului $2$ este egală cu:

a) $10 8^{\circ}$ b) $7 2^{\circ}$ c) $1 8^{\circ}$ d) $14 4^{\circ}$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu catetele $A B = 7$ cm și $A C = 24$ cm. Lungimea ipotenuzei $B C$ este egală cu:

a) $25$ cm b) $31$ cm c) $17$ cm d) $625$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat rombul $A B C D$ , cu diagonalele $A C = 16$ cm și $B D = 12$ cm. Aria rombului $A B C D$ este egală cu:

a) $144 cm^{2}$ b) $48 cm^{2}$ c) $96 cm^{2}$ d) $192 cm^{2}$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată, $A B$ este diametru al cercului cu centrul $O$ , iar $C$ este un punct pe cerc. Măsura unghiului $A B C$ este de $3 5^{\circ}$ . Măsura unghiului $B A C$ este egală cu:

a) $3 5^{\circ}$ b) $14 5^{\circ}$ c) $5 5^{\circ}$ d) $9 0^{\circ}$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o prismă dreaptă cu baza triunghiul dreptunghic $A B C$ ( $A A^{'}$ , $B B^{'}$ , $C C^{'}$ sunt muchiile laterale), în care catetele bazei sunt $A B = 6$ cm și $A C = 8$ cm, iar înălțimea prismei este $A A^{'} = 9$ cm. Volumul prismei este egal cu:

a) $108 cm^{3}$ b) $216 cm^{3}$ c) $432 cm^{3}$ d) $192 cm^{3}$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un depozit de materiale de construcții are un stoc de saci de ciment. În prima etapă se vinde $\frac{3}{8}$ din stoc, iar în etapa a doua se vinde $30%$ din cantitatea rămasă după prima etapă. După aceste două etape, în depozit au mai rămas nevânduți $63$ de saci. a) (2 p) Arată că, după cele două etape, a rămas nevândut $\frac{7}{16}$ din stocul inițial. b) (3 p) Determină stocul inițial de saci de ciment.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E (x) = \frac{2}{x - 5} + \frac{x + 5}{x ^{2} - 25}$ , unde $x$ este număr real, $x \neq = 5$ și $x \neq = - 5$ . a) (2 p) Arată că, după aducerea la același numitor și simplificare, $E (x) = \frac{3}{x - 5}$ , pentru orice $x$ din domeniul de definiție. b) (3 p) Determină numerele întregi $a$ și $b$ , $a \neq = b$ , din domeniul de definiție, pentru care $a - 5$ și $b - 5$ sunt numere naturale nenule cu produsul $9$ , apoi arată că produsul $E (a) \cdot E (b)$ este pătrat perfect.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x + 2$ . a) (2 p) Calculează $f (0)$ și $f (- 2)$ . b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axa $O x$ în punctul $A$ și axa $O y$ în punctul $B$ . Se consideră punctul $C (2, 0)$ . Arată că unghiurile $B A C$ și $B C A$ ale triunghiului $A B C$ sunt congruente.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată, patrulaterul $A B C D$ este inscriptibil în cercul de centru $O$ , cu $A C$ diametru, $A B = 8$ cm, $B C = 15$ cm și $C D = 8$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea diametrului $A C$ . b) (3 p) Calculează lungimea laturii $A D$ și aria patrulaterului $A B C D$ .

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $A B C D$ , cu $A B = C D = 14$ cm. Punctul $M$ este mijlocul laturii $A B$ . Distanța de la orice punct al laturii $A B$ la latura opusă $C D$ este $6$ cm. a) (2 p) Calculează aria paralelogramului $A B C D$ . b) (3 p) Calculează aria triunghiului $A D M$ și aria patrulaterului $M B C D$ .

Exercițiul 6 · 5 puncte O piesă ornamentală are forma unui trunchi de piramidă patrulateră regulată $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , cu baza mare $A B = 14$ cm, baza mică $A^{'} B^{'} = 6$ cm și înălțimea trunchiului $h = 3$ cm. a) (2 p) Calculează apotema laterală a trunchiului de piramidă. b) (3 p) Calculează aria laterală, aria totală și volumul trunchiului de piramidă.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	a)	d)	b)	c)	c)	b)

a) $(50 - 3 \cdot 8) : 2 = (50 - 24) : 2 = 26 : 2 = 13$ .
d) $5 n - 3 > 32 \Rightarrow 5 n > 35 \Rightarrow n > 7$ ; cel mai mic număr natural cu această proprietate este $n = 8$ .
b) $0, (18) = \frac{18}{99} = \frac{2}{11}$ (fracție ireductibilă, prin simplificare cu $9$ ).
c) $35% \cdot 140 = \frac{35}{100} \cdot 140 = 49$ .
c) $50 > 49 = 7$ , deci $a = 50 > 7 = b$ — Carla are dreptate.
b) Suma cărților: $18 + 25 + 15 + 30 + 22 = 110$ ; media $= \frac{110}{5} = 22 > 20$ , deci afirmația de la punctul b) este adevărată (celelalte sunt false: $22 > 18$ , $15 < 25$ , $30 - 15 = 15 \neq = 12$ ).

Subiectul al II-lea (30 p)

Item	1	2	3	4	5	6
Răspuns	b)	a)	a)	c)	c)	b)

b) $A C = A B + B C = 5 + 9 = 14$ cm; $A M = \frac{A C}{2} = 7$ cm; $M B = A M - A B = 7 - 5 = 2$ cm.
a) Unghiurile interne de aceeași parte a secantei (unghiuri colaterale interne) sunt suplementare: $m (∠2) = 18 0^{\circ} - 7 2^{\circ} = 10 8^{\circ}$ .
a) Teorema lui Pitagora: $B C = A B^{2} + A C^{2} = 7^{2} + 2 4^{2} = 49 + 576 = 625 = 25$ cm.
c) Aria rombului: $A = \frac{A C \cdot B D}{2} = \frac{16 \cdot 12}{2} = 96 cm^{2}$ .
c) Unghiul $A C B$ este înscris în semicerc (subîntinde diametrul $A B$ ), deci $m (∠ A C B) = 9 0^{\circ}$ . În triunghiul $A B C$ : $m (∠ B A C) = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 3 5^{\circ} = 5 5^{\circ}$ .
b) Aria bazei: $A_{b} = \frac{A B \cdot A C}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24 cm^{2}$ . Volumul: $V = A_{b} \cdot A A^{'} = 24 \cdot 9 = 216 cm^{3}$ .

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $S$ stocul inițial. a) (2 p) După prima etapă rămâne nevândut $1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ din $S$ (1 p). În etapa a doua se vinde $30%$ din acest rest, adică $\frac{30}{100} \cdot \frac{5}{8} = \frac{3}{16}$ din $S$ ; rămâne nevândut $\frac{5}{8} - \frac{3}{16} = \frac{10}{16} - \frac{3}{16} = \frac{7}{16}$ din $S$ (1 p). b) (3 p) Din enunț, restul de $\frac{7}{16}$ din $S$ reprezintă cei $63$ de saci rămași (1 p): $\frac{7}{16} \cdot S = 63$ (1 p) $\Rightarrow S = \frac{63 \cdot 16}{7} = 9 \cdot 16 = 144$ saci (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $2 \cdot \frac{x + 5}{x + 5} + \frac{x + 5}{x ^{2} - 25}$ : aducem la același numitor $x^{2} - 25 = (x - 5) (x + 5)$ : $E (x) = \frac{2 ( x + 5 )}{x ^{2} - 25} + \frac{x + 5}{x ^{2} - 25} = \frac{3 ( x + 5 )}{( x - 5 ) ( x + 5 )}$ (1 p). Simplificăm prin $(x + 5)$ (permis, căci $x \neq = - 5$ ): $E (x) = \frac{3}{x - 5}$ (1 p). b) (3 p) Căutăm $a, b$ astfel încât $(a - 5) (b - 5) = 9$ , cu $a - 5$ și $b - 5$ numere naturale nenule și $a \neq = b$ ; singura descompunere a lui $9$ ca produs de două numere naturale nenule diferite este $1 \cdot 9$ (1 p). Luăm $a - 5 = 1 \Rightarrow a = 6$ și $b - 5 = 9 \Rightarrow b = 14$ (1 p). Verificare: $E (6) = \frac{3}{1} = 3$ , $E (14) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ ; produsul $E (6) \cdot E (14) = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1 = 1^{2}$ , deci este pătrat perfect (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f (0) = 0 + 2 = 2$ (1 p); $f (- 2) = - 2 + 2 = 0$ (1 p). b) (3 p) Din $f (- 2) = 0$ rezultă $A (- 2, 0)$ (intersecția cu $O x$ ), iar din $f (0) = 2$ rezultă $B (0, 2)$ (intersecția cu $O y$ ) (1 p). Calculăm, cu formula distanței (Pitagora în plan): $A B^{2} = (0 - (- 2))^{2} + (2 - 0)^{2} = 4 + 4 = 8$ (1 p). Pentru $C (2, 0)$ : $C B^{2} = (0 - 2)^{2} + (2 - 0)^{2} = 4 + 4 = 8$ . Cum $A B^{2} = C B^{2}$ , rezultă $A B = C B$ , deci triunghiul $A B C$ este isoscel cu $A B = C B$ ; unghiurile de la baza $A C$ , adică $∠ B A C$ și $∠ B C A$ , sunt congruente (proprietatea triunghiului isoscel) (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Cum $A C$ este diametru, unghiul $∠ A B C$ este înscris în semicerc, deci este drept; triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $B$ : $A C = A B^{2} + B C^{2} = 8^{2} + 1 5^{2} = 64 + 225 = 289 = 17$ cm. b) (3 p) Analog, unghiul $∠ A D C$ este înscris în semicerc, deci triunghiul $A C D$ este dreptunghic în $D$ : $A D = A C^{2} - C D^{2} = 1 7^{2} - 8^{2} = 289 - 64 = 225 = 15$ cm (1 p). Aria triunghiului $A B C$ : $A_{A B C} = \frac{A B \cdot B C}{2} = \frac{8 \cdot 15}{2} = 60 cm^{2}$ (1 p). Aria triunghiului $A C D$ : $A_{A C D} = \frac{A D \cdot C D}{2} = \frac{15 \cdot 8}{2} = 60 cm^{2}$ ; aria patrulaterului $A B C D = A_{A B C} + A_{A C D} = 60 + 60 = 120 cm^{2}$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Distanța de la orice punct al laturii $A B$ la latura opusă $C D$ este chiar înălțimea paralelogramului, $h = 6$ cm. Aria paralelogramului: $A_{A B C D} = A B \cdot h = 14 \cdot 6 = 84 cm^{2}$ . b) (3 p) $M$ mijlocul lui $A B \Rightarrow A M = \frac{14}{2} = 7$ cm (1 p). Triunghiul $A D M$ are baza $A M = 7$ cm, iar $D$ se află pe latura $C D$ , deci distanța de la $D$ la dreapta $A B$ este tot $h = 6$ cm; $A_{A D M} = \frac{A M \cdot h}{2} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21 cm^{2}$ (1 p). Aria patrulaterului $M B C D = A_{A B C D} - A_{A D M} = 84 - 21 = 63 cm^{2}$ (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Notăm $d = \frac{A B - A ^{'} B ^{'}}{2} = \frac{14 - 6}{2} = 4$ cm — semidiferența laturilor bazelor. Apotema laterală $m$ se află din triunghiul dreptunghic format de înălțime, $d$ și $m$ : $m = h^{2} + d^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ cm. b) (3 p) Perimetrele bazelor: $P_{1} = 4 \cdot 14 = 56$ cm, $P_{2} = 4 \cdot 6 = 24$ cm. Aria laterală: $A_{ℓ} = \frac{P _{1} + P _{2}}{2} \cdot m = \frac{56 + 24}{2} \cdot 5 = 40 \cdot 5 = 200 cm^{2}$ (1 p). Ariile bazelor: $A_{1} = 1 4^{2} = 196 cm^{2}$ , $A_{2} = 6^{2} = 36 cm^{2}$ ; aria totală $A_{t} = A_{ℓ} + A_{1} + A_{2} = 200 + 196 + 36 = 432 cm^{2}$ (1 p). Volumul: $V = \frac{h}{3} (A_{1} + A_{2} + A_{1} \cdot A_{2}) = \frac{3}{3} (196 + 36 + 196 \cdot 36) = 1 \cdot (196 + 36 + 84) = 316 cm^{3}$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul aritmetic, procente, calcul algebric și fracții algebrice, funcția liniară, statistică, geometrie plană (coliniaritate, unghiuri, Pitagora, cerc) și geometrie în spațiu (trunchi de piramidă: arii și volum).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).
Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).
Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.
Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.
Nota se obține împărțind punctajul total la 10.
De reținut: trigonometria studiată este cea din triunghiul dreptunghic; unghiul înscris în cerc are măsura egală cu jumătate din arcul pe care îl subîntinde; unghiul înscris într-un semicerc este drept.