Simulare Evaluarea Națională nr. 82

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Simulări Evaluarea Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $\left(3\frac{1}{5}-1\frac{3}{4}\right)\cdot 20$ este: a) $25$ b) $29$ c) $33$ d) $20$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{2x-3}{5}=\frac{4x+1}{9}$, atunci numărul real $x$ este egal cu: a) $16$ b) $-2$ c) $-16$ d) $2$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimile $A=\{x\in \mathbb{Z}\mid -4\le x<3\}$ și $B=\{x\in \mathbb{Z}\mid -1<x\le 5\}$. Mulțimea $A\cap B$ este: a) $\{0,1,2\}$ b) $\{-1,0,1,2\}$ c) $\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\}$ d) $\varnothing$

Exercițiul 4 · 5 puncte La un chioșc de ziare, stocul de reviste este de $340$ de exemplare. Într-o dimineață se vând $35\%$ din stoc. Câte reviste s-au vândut? a) $221$ b) $189$ c) $34$ d) $119$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi calculează numărul $a=\sqrt{45}+\sqrt{20}$ și obțin, respectiv, rezultatele de mai jos. Este corect rezultatul obținut de elevul care a scris: a) $\sqrt{65}$ b) $5\sqrt{5}$ c) $7\sqrt{5}$ d) $10\sqrt{5}$

Exercițiul 6 · 5 puncte Graficul alăturat arată numărul de cărți împrumutate de la biblioteca școlii, în primele patru luni ale anului. În ce lună s-au înregistrat cele mai puține împrumuturi?

a) Martie b) Ianuarie c) Februarie d) Aprilie

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB=(2x-3)$ cm, $BC=(4x+1)$ cm și $AC=34$ cm. Lungimea segmentului $AB$ este egală cu:

a) $25$ cm b) $34$ cm c) $9$ cm d) $3$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $O$, $C$ sunt coliniare, iar $OM$ este bisectoarea unghiului $AOB$, cu $m(\angle AOM)=35^{\circ }$. Măsura unghiului $BOC$ este egală cu:

a) $70^{\circ }$ b) $35^{\circ }$ c) $145^{\circ }$ d) $110^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=7$ cm și $AC=24$ cm. Lungimea ipotenuzei $BC$ este egală cu:

a) $17$ cm b) $25$ cm c) $31$ cm d) $\sqrt{527}$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=15$ cm și $BC=8$ cm. Lungimea diagonalei $AC$ este egală cu:

a) $17$ cm b) $23$ cm c) $7$ cm d) $\sqrt{161}$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul $O$. Unghiul la centru $AOB$ are măsura de $100^{\circ }$, iar punctul $C$ aparține cercului, pe arcul mare $AB$. Măsura unghiului înscris $ACB$ este egală cu:

a) $100^{\circ }$ b) $80^{\circ }$ c) $50^{\circ }$ d) $200^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDEFGH$ cu muchia $AB=9$ cm. Aria totală a cubului este egală cu:

a) $81{\text{cm}}^2$ b) $243{\text{cm}}^2$ c) $729{\text{cm}}^2$ d) $486{\text{cm}}^2$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte La un concurs de matematică organizat pentru elevii de gimnaziu, prețul unui bilet de intrare este de $17$ lei. Organizatorii acordă fiecărui grup înscris o reducere fixă de $13$ lei, indiferent de numărul de bilete cumpărate. Un grup de elevi a plătit, în total, suma de $344$ de lei pentru biletele cumpărate. a) (2 p) Arată că grupul de elevi nu a cumpărat $19$ bilete. b) (3 p) Determină câte bilete a cumpărat grupul de elevi.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=[(x-2)(x+2)]:(x^2+2x)$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$ și $x\ne -2$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{x-2}{x}$, pentru orice $x$ din domeniul de definiție. b) (3 p) Arată că numărul $N=2^1+2^2+2^3+\cdots +2^{10}$ este divizibil cu $6$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-5$. a) (2 p) Calculează $f(-1)$ și $f(3)$. b) (3 p) Arată că, pentru orice număr real $x$, suma $f(2-x)+f(2+x)$ nu depinde de $x$ (este constantă) și determină valoarea acestei constante.

Exercițiul 4 · 5 puncte În cercul cu centrul $O$ și raza $R=13$ cm, coardele $AB$ și $CD$ sunt perpendiculare în punctul $P$. Punctul $M$ este mijlocul coardei $AB$ (cu $OM\perp AB$) și punctul $N$ este mijlocul coardei $CD$ (cu $ON\perp CD$), iar $OM=5$ cm. a) (2 p) Calculează lungimea coardei $AB$. b) (3 p) Știind, în plus, că $ON=10$ cm, arată că patrulaterul $OMPN$ este dreptunghi și calculează lungimea segmentului $OP$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$, cu $AB=16$ cm și aria ${\mathcal{A}}_{ABCD}=96{\text{cm}}^2$. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$, respectiv $BC$. Din paralelogram se decupează triunghiul $MBN$. a) (2 p) Calculează lungimea segmentului $MB$. b) (3 p) Arată că aria triunghiului decupat $MBN$ reprezintă a opta parte din aria paralelogramului $ABCD$.

Exercițiul 6 · 5 puncte O piesă ornamentală are forma unei piramide patrulatere regulate $VABCD$, cu latura bazei $AB=14$ cm și apotema piramidei $VM=25$ cm ($O$ este centrul bazei, $M$ este mijlocul laturii $BC$). a) (2 p) Calculează înălțimea piramidei $VO$. b) (3 p) Calculează aria totală și volumul piramidei.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $3\frac{1}{5}-1\frac{3}{4}=\frac{16}{5}-\frac{7}{4}=\frac{64-35}{20}=\frac{29}{20}$; înmulțit cu $20$ dă $29$.
2. c) $9(2x-3)=5(4x+1)\Rightarrow 18x-27=20x+5\Rightarrow -32=2x\Rightarrow x=-16$.
3. a) $A=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2\}$, $B=\{0,1,2,3,4,5\}$, deci $A\cap B=\{0,1,2\}$.
4. d) $35\%\cdot 340=\frac{35}{100}\cdot 340=119$.
5. b) $\sqrt{45}+\sqrt{20}=3\sqrt{5}+2\sqrt{5}=5\sqrt{5}$.
6. a) Din grafic, luna cu cele mai puține împrumuturi este Martie ($38$).

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) $AB+BC=AC\Rightarrow (2x-3)+(4x+1)=34\Rightarrow 6x-2=34\Rightarrow x=6$, deci $AB=2\cdot 6-3=9$ cm.
2. d) $OM$ bisectoare $\Rightarrow m(\angle AOB)=2\cdot 35^{\circ }=70^{\circ }$; cum $A$, $O$, $C$ sunt coliniare, $m(\angle BOC)=180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$.
3. b) Teorema lui Pitagora: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$ cm.
4. a) $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$ cm.
5. c) Unghiul înscris $ACB$ subîntinde același arc $AB$ ca și unghiul la centru $AOB$; cum $C$ este pe arcul mare, $m(\angle ACB)=\frac{1}{2}\cdot 100^{\circ }=50^{\circ }$.
6. d) $A_t=6\cdot {\ell }^2=6\cdot 9^2=6\cdot 81=486{\text{cm}}^2$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Notăm cu $n$ numărul de bilete cumpărate; suma plătită este $17n-13$ lei. a) (2 p) Dacă $n=19$, suma ar fi $17\cdot 19-13=323-13=310$ lei (1 p). Cum $310\ne 344$, grupul nu a cumpărat $19$ bilete (1 p). b) (3 p) Ecuația: $17n-13=344$ (1 p) $\Rightarrow 17n=357$ (1 p) $\Rightarrow n=357:17=21$ bilete (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2+2x=x(x+2)$ (1 p); deci $E(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x(x+2)}=\frac{x-2}{x}$, prin simplificare cu $(x+2)$, permisă deoarece $x\ne -2$ (1 p). b) (3 p) Grupăm termenii doi câte doi: $N=(2^1+2^2)+(2^3+2^4)+\cdots +(2^9+2^{10})$ — sunt $5$ paranteze. Fiecare paranteză are forma $2^{2k-1}+2^{2k}=2^{2k-1}(1+2)=3\cdot 2^{2k-1}$, deci fiecare este multiplu de $3$, ceea ce arată că $N$ se divide cu $3$ (1 p). Toți termenii $2^1,2^2,\dots ,2^{10}$ sunt numere pare, deci suma lor $N$ este un număr par, adică $N$ se divide cu $2$ (1 p). Cum $2$ și $3$ sunt prime între ele, iar $N$ se divide cu ambele, rezultă că $N$ se divide cu $2\cdot 3=6$ (1 p). (Verificare: $N=2^{11}-2=2046=6\cdot 341$.)

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(-1)=3\cdot (-1)-5=-8$ (1 p); $f(3)=3\cdot 3-5=4$ (1 p). b) (3 p) $f(2-x)=3(2-x)-5=1-3x$ (1 p); $f(2+x)=3(2+x)-5=1+3x$ (1 p). Suma: $f(2-x)+f(2+x)=(1-3x)+(1+3x)=2$, valoare constantă, independentă de $x$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) În triunghiul dreptunghic $OMA$ (unghi drept în $M$): $AM=\sqrt{R^2-O{M}^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$ cm; deci $AB=2\cdot AM=24$ cm (2 p). b) (3 p) Patrulaterul $OMPN$ are unghi drept în $M$ (deoarece $OM\perp AB$ și $P\in AB$), unghi drept în $N$ (deoarece $ON\perp CD$ și $P\in CD$) și unghi drept în $P$ (deoarece $AB\perp CD$, prin ipoteză); un patrulater cu trei unghiuri drepte are și al patrulea unghi drept, deci $OMPN$ este dreptunghi (1 p). Într-un dreptunghi laturile opuse sunt egale, deci $MP=ON=10$ cm. În triunghiul dreptunghic $OMP$ (unghi drept în $M$): $OP=\sqrt{O{M}^2+M{P}^2}=\sqrt{5^2+10^2}=\sqrt{25+100}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$ cm (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $M$ este mijlocul lui $AB$, deci $MB=\frac{AB}{2}=\frac{16}{2}=8$ cm. b) (3 p) Triunghiurile $MBN$ și $ABC$ au unghiul $B$ comun, iar $\frac{BM}{BA}=\frac{BN}{BC}=\frac{1}{2}$; prin cazul de asemănare LUL, triunghiurile $MBN$ și $ABC$ sunt asemenea, cu raportul de asemănare $\frac{1}{2}$ (1 p). Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare, deci $\frac{{\mathcal{A}}_{MBN}}{{\mathcal{A}}_{ABC}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$ (1 p). Diagonala $AC$ împarte paralelogramul $ABCD$ în două triunghiuri congruente, deci ${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{{\mathcal{A}}_{ABCD}}{2}=\frac{96}{2}=48{\text{cm}}^2$, de unde ${\mathcal{A}}_{MBN}=\frac{1}{4}\cdot 48=12{\text{cm}}^2=\frac{{\mathcal{A}}_{ABCD}}{8}$ (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Apotema bazei: $OM=\frac{AB}{2}=7$ cm. Triunghiul $VOM$ dreptunghic în $O$: $VO=\sqrt{V{M}^2-O{M}^2}=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$ cm (2 p). b) (3 p) Aria laterală: $A_{\ell }=\frac{P_{baz\breve{a}}\cdot VM}{2}=\frac{4\cdot 14\cdot 25}{2}=\frac{1400}{2}=700{\text{cm}}^2$ (1 p). Aria bazei $A_b=14^2=196{\text{cm}}^2$; aria totală $A_t=A_{\ell }+A_b=700+196=896{\text{cm}}^2$ (1 p). Volumul: $V=\frac{A_b\cdot VO}{3}=\frac{196\cdot 24}{3}=\frac{4704}{3}=1568{\text{cm}}^3$ (1 p).

Test elaborat conform programei de matematică pentru clasa a VIII-a (OMEN 3393/2017), în structura oficială a Evaluării Naționale (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acest test este o simulare completă a Evaluării Naționale la matematică, construită exact după structura oficială a examenului (Ministerul Educației – CNPEE). Verifică integrat programa claselor V–VIII: numere reale și calcul cu fracții, mulțimi și intervale, procente, calcul algebric și fracții algebrice (cu o incursiune în divizibilitate), funcția liniară cu proprietatea de simetrie, statistică (interpretare de grafic), geometrie plană (unghiuri, patrulatere, cerc – coarde perpendiculare, paralelogram cu puncte mijlocii) și geometrie în spațiu (piramida patrulateră regulată).

Structura examenului – trei subiecte, 18 itemi:

• Subiectul I (30 p) – 6 itemi grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 itemi grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori și metoda produsului nul (nu cu formula discriminantului – aceea este de clasa a IX-a); trigonometria este cea din triunghiul dreptunghic.