Al doilea model oficial CNPEE — Evaluarea Națională 2021

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Cel mai mare divizor prim al numărului $154$ este numărul: a) $2$ b) $7$ c) $11$ d) $77$

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră numerele naturale $a=5$ și $b=11$. Raportul dintre numerele $a$ și $b$ are aceeași valoare cu raportul: a) $\frac{10}{11}$ b) $\frac{1}{2}$ c) $\frac{10}{22}$ d) $\frac{5}{22}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Luni, temperatura măsurată la ora $10:00$, la o stație meteo, a fost de $-5^{\circ }$C, iar marți, la aceeași oră, au fost înregistrate $-7^{\circ }$C. Diferența dintre temperatura înregistrată marți și cea înregistrată luni este egală cu: a) $-9^{\circ }$C b) $-2^{\circ }$C c) $6^{\circ }$C d) $9^{\circ }$C

Exercițiul 4 · 5 puncte Dintre următoarele seturi de numere, cel scris în ordine crescătoare este: a) $\frac{1}{18},\frac{1}{3},\frac{5}{6},\frac{8}{9}$ b) $\frac{1}{3},\frac{1}{18},\frac{5}{6},\frac{8}{9}$ c) $\frac{8}{9},\frac{5}{6},\frac{1}{3},\frac{1}{18}$ d) $\frac{1}{3},\frac{8}{9},\frac{5}{6},\frac{1}{18}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Bogdan, Ana, Cătălin și Laura înmulțesc numărul $n=\sqrt{2}-\sqrt{8}+\sqrt{18}$ cu $\sqrt{2}$ și obțin rezultatele înregistrate în tabelul următor.

Dintre cei patru elevi, cel care a obținut rezultatul corect al înmulțirii este: a) Bogdan b) Ana c) Cătălin d) Laura

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul următor sunt înregistrate punctajele obținute de elevii unei clase la un test de cultură generală:

Media aritmetică a punctajelor obținute de elevii participanți la test este: a) $60,9$ b) $66$ c) $69,5$ d) $69$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate punctele $A$, $M$ și $C$. Punctul $C$ este simetricul punctului $A$ față de punctul $M$. Dacă $AM=3$ cm, atunci segmentul $CM$ are lungimea egală cu:

a) $3$ cm b) $4$ cm c) $6$ cm d) $9$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate punctele $A$, $B$, $C$ și $O$, astfel încât $A$, $B$ și $C$ sunt situate la distanțe egale față de punctul $O$, iar punctele $A$, $O$ și $C$ sunt coliniare. Măsura unghiului $ABC$ este egală cu:

a) $120^{\circ }$ b) $90^{\circ }$ c) $60^{\circ }$ d) $30^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte Locuința Alinei, marcată pe schiță cu punctul $A$, este situată la distanțe egale față de locuințele celor doi colegi de clasă, Radu și Paul, marcate pe schiță cu punctele $R$, respectiv $P$. Radu pornește de acasă, spre Paul, pe drumul cel mai scurt. La jumătatea distanței, adică în punctul $M$, se hotărăște să se îndrepte spre șoseaua $AP$, parcurgând distanța cea mai scurtă. Ajuns la șosea, în punctul $D$, Radu află că până la locuința Alinei sunt $400$ m. La ce distanță se află locuința lui Paul față de punctul $D$, în care s-a oprit Radu, dacă măsura unghiului $RAP$ este de $120^{\circ }$?

a) $400$ m b) $800$ m c) $1200$ m d) $1600$ m

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată schița unei grădini de plante aromatice, în formă de romb $ABCD$. Suprafața hașurată, corespunzătoare triunghiului $AMN$, unde $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $BC$, respectiv $CD$, este acoperită cu cimbru, iar restul suprafeței grădinii este acoperită cu lavandă. Din aria totală a grădinii, aria suprafeței acoperite cu cimbru reprezintă:

a) $\frac{1}{2}$ b) $\frac{1}{3}$ c) $\frac{3}{8}$ d) $\frac{1}{5}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt situate pe un cerc de centru $O$, astfel încât punctele $A$ și $B$ sunt diametral opuse și măsura unghiului $ACD$ este de $55^{\circ }$. Măsura unghiului $DOB$ este egală cu:

a) $55^{\circ }$ b) $70^{\circ }$ c) $110^{\circ }$ d) $180^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ care are muchia egală cu $12$ cm. Secționăm cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ în $27$ de cubulețe cu volume egale. Lungimea muchiei unui cubuleț este egală cu:

a) $1$ cm b) $2$ cm c) $4$ cm d) $6$ cm

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Dacă într-o clasă se așază câte doi elevi într-o bancă, atunci un elev rămâne singur în bancă, iar două bănci rămân libere. Dacă elevii se așază câte trei în bancă, atunci șase bănci rămân libere, iar celelalte bănci sunt ocupate complet. a) (2 p) Este posibil ca în clasă să fie $14$ elevi? Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Determină numărul de bănci din clasă.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(x-\frac{1}{2-x}\right):\frac{x^3-2x^2+x}{x^2-7x+10}$, unde $x\in \mathbb{R}\setminus \{0,1,2,5\}$. a) (2 p) Arată că $x^2-7x+10=(x-2)(x-5)$, pentru orice număr real $x$. b) (3 p) Demonstrează că $E(x)=\frac{x-5}{x}$, pentru orice $x\in \mathbb{R}\setminus \{0,1,2,5\}$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x+6$. a) (2 p) Calculează $f(0)\cdot f(6)$. b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$ în punctele $A$, respectiv $B$. Determină distanța de la punctul $O$ la dreapta $AB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$, cu $AB=8$ cm. Notăm cu $M$ mijlocul laturii $AB$ și construim din $M$ perpendiculara pe $AC$, care intersectează pe $AC$ în $P$ și paralela prin $C$ la $AB$ în $D$. a) (2 p) Arată că $CD=12$ cm. b) (3 p) Calculează aria trapezului $AMCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$. Notăm cu $E$ proiecția punctului $A$ pe dreapta $BC$. Lungimea laturii $AC$ este de $6$ cm, iar lungimea segmentului $EC$ este de $4$ cm. a) (2 p) Arată că $BC=9$ cm. b) (3 p) Demonstrează că perimetrul triunghiului $ABC$ este mai mic decât $22$ cm.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Distanța de la mijlocul unei diagonale a cubului la mijlocul unei diagonale a unei fețe laterale este de $50$ cm. a) (2 p) Câți litri de vopsea sunt necesari pentru a vopsi exteriorul cubului, știind că pentru a vopsi un metru pătrat este nevoie de $0,5$ litri de vopsea? b) (3 p) Calculează distanța de la punctul $A$ la planul $(A^{\prime }{D}^{\prime }C)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $154=2\cdot 7\cdot 11$; divizorii primi sunt $2$, $7$, $11$, iar cel mai mare este $11$.
2. c) $\frac{a}{b}=\frac{5}{11}=\frac{10}{22}$ (se amplifică fracția cu $2$).
3. b) Diferența este $-7-(-5)=-2^{\circ }$C.
4. a) $\frac{1}{18}\approx 0,056<\frac{1}{3}\approx 0,33<\frac{5}{6}\approx 0,83<\frac{8}{9}\approx 0,89$, deci ordinea crescătoare este $\frac{1}{18},\frac{1}{3},\frac{5}{6},\frac{8}{9}$.
5. d) $n=\sqrt{2}-\sqrt{8}+\sqrt{18}=\sqrt{2}-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=2\sqrt{2}$; $n\cdot \sqrt{2}=2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=4$ (rezultatul obținut de Laura).
6. b) Media $=\frac{40\cdot 2+50\cdot 4+60\cdot 5+70\cdot 2+80\cdot 4+90\cdot 2+100\cdot 1}{20}=\frac{1320}{20}=66$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) $C$ fiind simetricul lui $A$ față de $M$, $M$ este mijlocul segmentului $AC$, deci $CM=AM=3$ cm.
2. b) $A$, $O$, $C$ coliniare cu $OA=OC$ (rază) înseamnă că $AC$ este diametru; unghiul înscris $ABC$, care subîntinde diametrul $AC$, are măsura $90^{\circ }$.
3. c) Triunghiul $RAP$ este isoscel ($AR=AP$), deci mediana $AM$ este și bisectoare și înălțime, cu $m(\angle MAP)=60^{\circ }$ (jumătate din $120^{\circ }$). În triunghiul dreptunghic $AMD$ ($MD\perp AP$): $AM=\frac{AD}{\cos 60^{\circ }}=\frac{400}{0,5}=800$ m. În triunghiul dreptunghic $AMP$ (drept în $M$): $AP=\frac{AM}{\cos 60^{\circ }}=\frac{800}{0,5}=1600$ m, deci $DP=AP-AD=1600-400=1200$ m.
4. c) Notăm cu $S$ aria rombului. $M$ fiind mijlocul lui $BC$, aria triunghiului $ABM$ este jumătate din aria triunghiului $ABC$, adică $\frac{S}{4}$; analog, aria triunghiului $ADN$ este $\frac{S}{4}$. Triunghiul $MCN$, cu $CM=\frac{CB}{2}$ și $CN=\frac{CD}{2}$, are aria $\frac{1}{4}$ din aria triunghiului $CBD$, adică $\frac{S}{8}$. Atunci aria triunghiului $AMN$ este $S-\frac{S}{4}-\frac{S}{4}-\frac{S}{8}=\frac{3S}{8}$, deci suprafața acoperită cu cimbru reprezintă $\frac{3}{8}$ din aria grădinii.
5. b) $AB$ este diametru, iar unghiul înscris $ACD$ subîntinde arcul $AD$: $m(\angle AOD)=2\cdot 55^{\circ }=110^{\circ }$. Cum $A$, $O$, $B$ sunt coliniare ($AB$ diametru), $m(\angle DOB)=180^{\circ }-110^{\circ }=70^{\circ }$.
6. c) Cubul se împarte în $3\times 3\times 3=27$ cubulețe egale, deci muchia unui cubuleț este $12:3=4$ cm.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Așezând câte $2$ elevi într-o bancă, un elev rămâne singur, deci numărul total de elevi din clasă este impar (1 p). Cum $14$ nu este număr impar, nu este posibil ca în clasă să fie $14$ elevi (1 p). b) (3 p) Notăm cu $x$ numărul de bănci din clasă. Așezând câte $2$ elevi/bancă: un elev stă singur, $2$ bănci sunt goale, iar restul $(x-3)$ bănci au câte $2$ elevi, deci numărul de elevi este $2(x-3)+1=2x-5$ (1 p). Așezând câte $3$ elevi/bancă: $6$ bănci sunt goale, iar restul $(x-6)$ bănci au câte $3$ elevi, deci numărul de elevi este $3(x-6)=3x-18$ (1 p). Din $2x-5=3x-18$ obținem $x=13$ bănci (și, prin verificare, $21$ de elevi) (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2-7x+10=x^2-5x-2x+10=x(x-5)-2(x-5)$ (1 p) $=(x-2)(x-5)$, egalitate adevărată pentru orice număr real $x$ (1 p). b) (3 p) $x-\frac{1}{2-x}=x+\frac{1}{x-2}=\frac{x(x-2)+1}{x-2}=\frac{x^2-2x+1}{x-2}=\frac{(x-1{)}^2}{x-2}$ (1 p). $x^3-2x^2+x=x\left(x^2-2x+1\right)=x(x-1{)}^2$ (1 p). Atunci $E(x)=\frac{(x-1{)}^2}{x-2}:\frac{x(x-1{)}^2}{(x-2)(x-5)}=\frac{(x-1{)}^2}{x-2}\cdot \frac{(x-2)(x-5)}{x(x-1{)}^2}=\frac{x-5}{x}$, pentru orice $x\in \mathbb{R}\setminus \{0,1,2,5\}$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=-0+6=6$ și $f(6)=-6+6=0$ (1 p), deci $f(0)\cdot f(6)=6\cdot 0=0$ (1 p). b) (3 p) Graficul intersectează $Ox$ unde $f(x)=0$, adică $x=6$, deci $A(6,0)$, iar $Oy$ în $f(0)=6$, deci $B(0,6)$; $OA=6$, $OB=6$ (1 p). $AB=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$ (1 p). Distanța de la $O$ la dreapta $AB$ este $\frac{OA\cdot OB}{AB}=\frac{36}{6\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$ cm (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Punctele $M$, $P$ și $D$ sunt coliniare (prin construcție) și, deoarece $AB\parallel CD$, triunghiurile $AMP$ și $CDP$ sunt asemenea (unghiuri alterne interne egale și unghiuri opuse la vârf în $P$), deci $\frac{AM}{CD}=\frac{AP}{CP}$ (1 p). $AM=4$ cm (jumătate din $AB=8$), $AP=2$ cm (din $MP\perp AC$, calculat ca sfert din $AC=8$), $CP=AC-AP=8-2=6$ cm, deci $CD=\frac{AM\cdot CP}{AP}=\frac{4\cdot 6}{2}=12$ cm (1 p). b) (3 p) Segmentul $CM$ este perpendicular pe $AM$ și pe $CD$ (înălțimea comună a triunghiului echilateral din $C$ pe $AB$), iar $CM=4\sqrt{3}$ cm (1 p). Trapezul $AMCD$ are bazele $AM=4$ cm și $CD=12$ cm și înălțimea $CM=4\sqrt{3}$ cm (1 p), deci aria este $\frac{AM+CD}{2}\cdot CM=\frac{4+12}{2}\cdot 4\sqrt{3}=32\sqrt{3}$ cm² (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) În triunghiul dreptunghic $ABC$ cu înălțimea $AE$ din unghiul drept, catetă $AC$ este medie geometrică între proiecția ei $EC$ și ipotenuza $BC$: $A{C}^2=EC\cdot BC$ (1 p), deci $36=4\cdot BC$, de unde $BC=9$ cm (1 p). b) (3 p) $A{B}^2=B{C}^2-A{C}^2=81-36=45$, deci $AB=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$ cm (1 p). Perimetrul triunghiului $ABC$ este $P=AB+BC+CA=3\sqrt{5}+9+6=15+3\sqrt{5}$ (1 p). Cum $45<49$, rezultă $3\sqrt{5}<7$, deci $P<15+7=22$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Distanța de la mijlocul diagonalei cubului (centrul cubului) la mijlocul diagonalei unei fețe (centrul acelei fețe) este jumătate din muchie, deci muchia cubului este $2\cdot 50=100$ cm $=1$ m (1 p). Aria totală a cubului este $6\cdot 1^2=6$ m², deci sunt necesari $6\cdot 0,5=3$ litri de vopsea (1 p). b) (3 p) Deoarece $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel AD\parallel BC$, punctul $B$ aparține planului $(A^{\prime }{D}^{\prime }C)$, deci planul $(A^{\prime }{D}^{\prime }C)$ coincide cu planul secțiunii diagonale $(A^{\prime }BC{D}^{\prime })$ (1 p). În pătratul $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, cu latura $100$ cm, fie $T$ mijlocul diagonalei $A^{\prime }B$: diagonalele pătratului sunt perpendiculare și se înjumătățesc, deci $AT\perp A^{\prime }B$ și $AT=\frac{A{B}^{\prime }}{2}=\frac{100\sqrt{2}}{2}$; cum $BC\perp AB$ și $BC\perp B{B}^{\prime }$, avem $BC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, deci $BC\perp AT$, așadar $AT\perp (A^{\prime }BC{D}^{\prime })$ (1 p). Distanța de la $A$ la planul $(A^{\prime }{D}^{\prime }C)$ este $AT=\frac{100\sqrt{2}}{2}=50\sqrt{2}$ cm (1 p).

Al doilea model oficial de subiect pentru Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, anul școlar 2020-2021, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin CNPEE, reprodus integral (enunț și barem) conform documentului oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 itemi, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Acesta este al doilea model OFICIAL de subiect pentru Evaluarea Națională la matematică, clasa a VIII-a, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE) pentru pregătirea absolvenților clasei a VIII-a în anul școlar 2020-2021. Este un document distinct de primul model oficial publicat în aceeași perioadă. Este o sursă publică, oficială, nu conținut generat. Enunțurile, cifrele și baremul de mai jos sunt reproduse exact conform documentului oficial, cuvânt cu cuvânt pentru text și cifră cu cifră pentru date. Testul verifică integrat programa claselor V–VIII: divizibilitate (cel mai mare divizor prim), rapoarte echivalente, numere negative (diferența a două temperaturi), ordonarea fracțiilor, calcul cu radicali, media aritmetică a unei serii de date cu frecvențe; geometrie plană (punct simetric față de un alt punct, cerc cu puncte echidistante de centru și unghi înscris în semicerc, triunghi isoscel cu mediană-bisectoare-înălțime, romb cu arie de triunghi format din mijloacele a două laturi, cerc cu unghi la centru și unghi înscris) și geometrie în spațiu (cub secționat în cubulețe congruente); algebră (ecuație dintr-o problemă cu bănci și elevi, expresie algebrică rațională cu simplificări, funcția liniară cu distanță punct-dreaptă), geometrie cu trapez (triunghi echilateral cu paralelă și perpendiculară), triunghi dreptunghic cu teorema catetei și inegalitate de perimetru, și cub cu distanță de la un punct la un plan.

Structura examenului – trei subiecte, 18 exerciții:

• Subiectul I (30 p) – 6 exerciții grilă; se încercuiește litera răspunsului corect. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p; fără punctaje intermediare).

• Subiectul al II-lea (30 p) – 6 exerciții grilă, predominant de geometrie, cu figuri. Se punctează doar rezultatul (câte 5 p).

• Subiectul al III-lea (30 p) – 6 probleme cu rezolvare completă, fiecare cu subpuncte; se scriu toți pașii și justificările.

• Punctaj: 90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Timp de lucru: 2 ore.

• Nota se obține împărțind punctajul total la 10.

• De reținut: unghiul înscris într-un semicerc (care subîntinde diametrul) are măsura $90^{\circ }$; un triunghi isoscel cu unghiul de la vârf este împărțit de mediană/bisectoare/înălțime (care coincid) în două triunghiuri dreptunghice congruente; teorema catetei leagă o catetă de proiecția ei pe ipotenuză și de ipotenuza întreagă.