Evaluarea Națională 2010, sesiunea iunie — subiectul oficial, rezolvat

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $2+4:2$ este egal cu: a) $3$ b) $4$ c) $6$ d) $8$

Exercițiul 2 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $2$ și $8$ este egală cu: a) $5$ b) $6$ c) $8$ d) $10$

Exercițiul 3 · 5 puncte Dacă $A=\{1,2,3\}$ și $B=\{3,4\}$, atunci mulțimea $A\cap B$ este egală cu: a) $\varnothing$ b) $\{4\}$ c) $\{3\}$ d) $\{1,2,3,4\}$

Exercițiul 4 · 5 puncte Un triunghi echilateral are latura de $4$ m. Aria triunghiului este egală cu: a) $2\sqrt{3}{\text{m}}^2$ b) $4\sqrt{3}{\text{m}}^2$ c) $8{\text{m}}^2$ d) $16{\text{m}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte O prismă dreaptă are ca baze triunghiurile echilaterale $ABC$, respectiv $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Măsura unghiului dintre dreptele $AB$ și $B^{\prime }{C}^{\prime }$ este egală cu: a) $30^{\circ }$ b) $60^{\circ }$ c) $90^{\circ }$ d) $120^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte Figura de mai jos reprezintă graficul deplasării unui vehicul pe parcursul a $5$ ore. În această perioadă, vehiculul staționează timp de:

a) $1$ oră b) $2$ ore c) $3$ ore d) $4$ ore

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte O piramidă triunghiulară regulată are vârful $S$ și baza $ABC$, ca în figura alăturată.

Numărul fețelor laterale ale piramidei $SABC$ este egal cu: a) $2$ b) $3$ c) $4$ d) $6$

Exercițiul 2 · 5 puncte Un elev cumpără $10$ cărți, de literatură și de matematică. El plătește $9$ lei pentru o carte de literatură și $7$ lei pentru o carte de matematică, cheltuind astfel $76$ lei. Numărul cărților de matematică cumpărate de elev este egal cu: a) $3$ b) $5$ c) $7$ d) $9$

Exercițiul 3 · 5 puncte O persoană are o sumă $S$ de bani. În prima zi cheltuiește $30\%$ din suma $S$, a doua zi cheltuiește $40\%$ din suma $S$, iar a treia zi cheltuiește $\frac{1}{4}$ din suma $S$. Ziua în care persoana cheltuiește cel mai puțin este: a) prima zi b) a doua zi c) a treia zi d) nu se poate preciza

Exercițiul 4 · 5 puncte Persoana din cerința anterioară (care cheltuiește $30\%$, $40\%$, respectiv $25\%$ din suma $S$ în cele trei zile) rămâne cu $100$ de lei după cele $3$ zile. Suma inițială $S$ este egală cu: a) $1000$ lei b) $1500$ lei c) $2000$ lei d) $2500$ lei

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x+1$. Graficul funcției intersectează axa $Ox$ în punctul: a) $(0,1)$ b) $(1,0)$ c) $(-1,0)$ d) $(0,-1)$

Exercițiul 6 · 5 puncte Numărul $p=(\sqrt{5}+\sqrt{2}{)}^2-\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{2})-\sqrt{5}(\sqrt{2}-2\sqrt{5})$ este egal cu: a) $10$ b) $15$ c) $20$ d) $25$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Figura 1 reprezintă schița unui bazin în formă de paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Baza $ABCD$ are $AB=12$ m și $BC=4$ m, iar înălțimea paralelipipedului este $A{A}^{\prime }=3$ m.

Calculați distanța dintre punctele $A$ și $C^{\prime }$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou bazinul în formă de paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cu $AB=12$ m, $BC=4$ m și $A{A}^{\prime }=3$ m.

Calculați aria laterală a bazinului.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou bazinul în formă de paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cu $AB=12$ m, $BC=4$ m și $A{A}^{\prime }=3$ m.

În bazin se află $96000$ de litri de apă. Calculați înălțimea la care se ridică apa în bazin.

Exercițiul 4 · 5 puncte Figura 2 reprezintă schița unui patinoar format dintr-un dreptunghi $MNPQ$ care are lungimea $MN$ de $40$ m și lățimea de $30$ m și din două semicercuri de diametre $[MQ]$, respectiv $[NP]$.

Patinoarul este înconjurat de un gard. Calculați lungimea gardului care înconjoară patinoarul.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou patinoarul format dintr-un dreptunghi $MNPQ$ care are lungimea $MN$ de $40$ m și lățimea de $30$ m și din două semicercuri de diametre $[MQ]$, respectiv $[NP]$.

Verificați dacă aria patinoarului este mai mică decât $2000{\text{m}}^2$. $(3,14<\pi <3,15)$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou patinoarul format dintr-un dreptunghi $MNPQ$ care are lungimea $MN$ de $40$ m și lățimea de $30$ m și din două semicercuri de diametre $[MQ]$, respectiv $[NP]$.

Un patinator parcurge distanțele $AB$, $BC$ și $CA$. Punctele $B$ și $C$ sunt mijloacele segmentelor $[MQ]$, respectiv $[NP]$ și $A$ este mijlocul segmentului $[PQ]$. Calculați valoarea sinusului unghiului $ABC$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I, în documentul oficial: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p, fără punctaje intermediare. Subiectul al II-lea și Subiectul al III-lea, în documentul oficial: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale. Pe pagină, Subiectele I și al II-lea sunt date ca grile, deci se punctează 5 p sau 0 p.

Subiectul I (30 p)

1. b) $2+4:2=2+2=4$ (întâi împărțirea, apoi adunarea).
2. a) Media aritmetică $=\frac{2+8}{2}=5$.
3. c) $A\cap B=\{3\}$ — elementul comun celor două mulțimi.
4. b) Aria $=\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}=\frac{16\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}{\text{m}}^2$.
5. b) Prisma fiind dreaptă, $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })\parallel (ABC)$, deci $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$; unghiul dintre $AB$ și $B^{\prime }{C}^{\prime }$ este egal cu unghiul dintre $AB$ și $BC$, adică $60^{\circ }$ (unghi al triunghiului echilateral $ABC$).
6. b) Pe grafic, distanța rămâne constantă (segment orizontal) între orele $2$ și $4$, deci vehiculul staționează $2$ ore.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) O piramidă triunghiulară are $3$ fețe laterale (triunghiurile $SAB$, $SBC$, $SCA$), plus baza $ABC$.
2. c) Notând $l$ = cărți de literatură, $m$ = cărți de matematică: $9l+7m=76$ și $l+m=10$. Din $l=10-m$: $9(10-m)+7m=76\Rightarrow 90-2m=76\Rightarrow m=7$.
3. c) $\frac{1}{4}=25\%$, iar $25\%<30\%<40\%$, deci persoana cheltuiește cel mai puțin în a treia zi.
4. c) Persoana cheltuiește în total $30\%+40\%+25\%=95\%$ din $S$, deci îi rămân $5\%$ din $S=100$ lei $\Rightarrow S=2000$ lei.
5. b) $f(x)=0\Rightarrow -x+1=0\Rightarrow x=1$, deci punctul $(1,0)$.
6. b) $(\sqrt{5}+\sqrt{2}{)}^2=7+2\sqrt{10}$; $\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{2})=\sqrt{10}+2$; $\sqrt{5}(\sqrt{2}-2\sqrt{5})=\sqrt{10}-10$. Deci $p=(7+2\sqrt{10})-(\sqrt{10}+2)-(\sqrt{10}-10)=15$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $A{C}^{\prime 2}=A{B}^2+B{C}^2+C{C}^{\prime 2}=12^2+4^2+3^2=144+16+9=169$ (2 p). $A{C}^{\prime }=\sqrt{169}=13$ m (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Perimetrul bazei $P_{baz\breve{a}}=2(AB+BC)=2(12+4)=32$ m (2 p). Aria laterală $=P_{baz\breve{a}}\cdot h=32\cdot 3=96{\text{m}}^2$ (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $96000$ litri $=96000{\text{dm}}^3=96{\text{m}}^3$ (1 p). Aria bazei $=AB\cdot BC=12\cdot 4=48{\text{m}}^2$, deci $48\cdot h_{ap\breve{a}}=96$ (2 p). $h_{ap\breve{a}}=2$ m (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Raza semicercurilor $=\frac{30}{2}=15$ m (1 p). Lungimea celor două semicercuri este egală cu lungimea unui cerc întreg de rază $15$ m: $2\pi R=2\pi \cdot 15=30\pi$ m (2 p). Lungimea gardului $=MN+QP+30\pi =40+40+30\pi =(30\pi +80)$ m (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Aria dreptunghiului $=40\cdot 30=1200{\text{m}}^2$ (1 p). Aria celor două semicercuri (egală cu aria unui cerc de rază $15$ m) $=\pi \cdot 15^2=225\pi {\text{m}}^2$ (1 p). Aria patinoarului $=1200+225\pi {\text{m}}^2$ (1 p). Cum $3,14<\pi <3,15$, rezultă $1200+225\pi <1200+225\cdot 3,15=1908,75<2000$, deci aria patinoarului este mai mică decât $2000{\text{m}}^2$ (2 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ este isoscel ($AB=AC$, prin simetria figurii) (1 p). Fie $O$ mijlocul laturii $[BC]$: cum triunghiul e isoscel, $AO\perp BC$, deci $\sin (\sphericalangle ABC)=\sin (\sphericalangle ABO)=\frac{AO}{AB}$ (1 p). $AO=15$ m (jumătate din lățimea dreptunghiului) (1 p). Din teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $ABO$ (cu $BO=20$ m, jumătate din lungimea $MN$) rezultă $AB=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{625}=25$ m (1 p). $\sin (\sphericalangle ABC)=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$ (1 p).

Examen oficial de Evaluare Națională, Varianta 5, susținut de absolvenții clasei a VIII-a în iunie 2010, publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și al II-lea sunt aduse la formatul grilă: enunțul și răspunsul corect sunt cele din document, iar cele trei variante greșite de la fiecare cerință sunt scrise de noi; cerințele 1 și 5 ale Subiectului al II-lea sunt reformulate din sarcini de construcție (un desen, respectiv o reprezentare grafică), care nu se pot da pe ecran, iar cerința 6 cerea în document o justificare („Arătați că…"), pagina cerând chiar valoarea din barem. Subiectul al III-lea este reprodus enunț cu enunț și barem cu barem, cu figurile redesenate după cele din document, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 cerințe, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Documentul de față nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de matematică al Evaluării Naționale pentru elevii clasei a VIII-a, anul școlar 2009–2010, sesiunea din iunie 2010, Varianta 5 — publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, împreună cu baremul de corectare și de notare. Este cea mai veche probă din arhiva noastră. Enunțurile și rezultatele corecte urmează documentul oficial, iar cele trei figuri ale documentului (graficul deplasării de la Subiectul I, Figura 1 — bazinul, Figura 2 — patinoarul) au fost redesenate după cele din subiect, cu aceeași configurație. Figura piramidei de la Subiectul al II-lea, cerința 1, nu există în document — acolo desenul era chiar sarcina elevului; noi o desenăm ca reper pentru întrebarea reformulată. În document, Subiectul al II-lea avea cinci cerințe numerotate, dintre care a treia cu subpunctele a) și b), iar Subiectul al III-lea două probleme cu câte trei subpuncte; aici ele sunt desfăcute în cerințe autonome, câte șase pe subiect, ca la examenul de azi. Rezolvările, explicațiile și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; punctajul urmează rând cu rând baremul oficial, inclusiv la Subiectul al II-lea, unde baremul din 2010 dă descompunerea pe puncte a fiecărei rezolvări.

Notă de transparență privind formatul. În 2010 formatul examenului era altul decât cel de azi: Subiectul I cerea numai rezultatul („Pe foaia de examen scrieți numai rezultatele”), iar Subiectul al II-lea cerea rezolvarea completă („Pe foaia de examen scrieți rezolvările complete”). Ca proba să poată fi dată pe ecran, la fiecare cerință a Subiectelor I și al II-lea am adăugat trei variante greșite; enunțul și răspunsul corect sunt cele din document, dar cele trei variante greșite nu apar în documentul oficial — sunt ale noastre. Două cerințe ale Subiectului al II-lea cereau o construcție, care nu se poate face pe ecran, și au fost reformulate păstrând obiectul din enunț: cerința 1 din document, adică prima cerință a Subiectului al II-lea de pe pagină, („Desenați, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată de vârf $S$ și bază $ABC$” — baremul dădea 4 puncte desenului și 1 punct notării) întreabă aici câte fețe laterale are piramida $SABC$; cerința 4 din document, adică cerința 5 de pe pagină, („Reprezentați grafic funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x+1$” — baremul dădea 2 puncte pentru punctul $A(0;1)$, 2 puncte pentru $B(1;0)$ și 1 punct pentru trasarea dreptei $AB$) întreabă aici în ce punct taie graficul axa $Ox$, adică chiar punctul $B$ din barem. Tot la Subiectul al II-lea, cerința 5 din document, adică cerința 6 de pe pagină, cerea „Arătați că numărul $p$ … este natural”; pe ecran se cere valoarea lui $p$, tot cea din barem. Graficul deplasării de la Subiectul I, cerința 6, e redesenat după figura din document: aceleași repere pe axe și același palier între orele 2 și 4, cel care dă răspunsul; traseul dintre reperele cotate e simplificat, iar valoarea de la ora 5 nu e cotată nici în document. Subiectul al III-lea este reprodus ca atare, enunț și barem.

Structura probei:

Total: 100 de puncte, timp de lucru două ore. Nota se obține împărțind punctajul total la zece.

Harta materiei, pe cele 18 cerințe:

• Ordinea operațiilor — împărțirea se face înaintea adunării; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 1)
• Media aritmetică — suma împărțită la numărul termenilor; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 2)
• Mulțimi — intersecția a două mulțimi, adică elementele comune; clasa a V-a. (Subiectul I, cerința 3)
• Aria triunghiului echilateral — formula cu latura la pătrat și $\sqrt{3}$; clasa a VII-a. (Subiectul I, cerința 4)
• Unghiul a două drepte în prismă — muchia bazei de sus e paralelă cu cea a bazei de jos; clasa a VIII-a. (Subiectul I, cerința 5)
• Citirea unui grafic — porțiunea orizontală înseamnă staționare; clasele VI–VIII. (Subiectul I, cerința 6)
• Piramida triunghiulară regulată — fețe laterale și bază; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 1)
• Sistem de două ecuații — două feluri de cărți, cu preț și număr; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 2)
• Fracții și procente — $\frac{1}{4}$ scris ca $25\%$, apoi comparat; clasele VI–VII. (Subiectul al II-lea, cerința 3)
• Procente: partea rămasă — cei $100$ de lei sunt $5\%$ din suma inițială; clasele VI–VII. (Subiectul al II-lea, cerința 4)
• Funcția de gradul I: graficul — punctul în care graficul taie axa $Ox$; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 5)
• Calcul cu radicali — pătratul unei sume și dublul produs; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 6)
• Diagonala paralelipipedului — teorema lui Pitagora în spațiu, cu trei dimensiuni; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 1)
• Aria laterală a paralelipipedului — perimetrul bazei înmulțit cu înălțimea; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 2)
• Capacitate și volum — litri transformați în metri cubi, apoi înălțimea apei; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 3)
• Lungimea cercului — două semicercuri cu diametre egale fac un cerc întreg; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 4)
• Aria discului și încadrarea lui $\pi$ — majorare cu $3,15$, nu cu $3,14$; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 5)
• Sinusul unui unghi ascuțit — în triunghiul dreptunghic scos din triunghiul isoscel; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 6)

Ce a cerut, de fapt, proba din 2010. Subiectul I e de citire atentă, nu de calcul greu: cerința 1 pică dacă se face întâi adunarea ($2+4=6$, apoi $6:2=3$ — exact prima variantă de pe pagină), cerința 5 cere să vezi că $B^{\prime }{C}^{\prime }$ e paralelă cu $BC$, deci unghiul căutat e chiar unghiul $ABC$ al triunghiului echilateral, $60^{\circ }$, nu cele $90^{\circ }$ pe care le face o muchie laterală cu baza, iar cerința 6 se citește pe grafic: singura porțiune orizontală ține de la ora $2$ la ora $4$. La Subiectul al II-lea, cerința 2 se pierde ușor răspunzând $3$, care e numărul cărților de literatură, nu al celor de matematică; cerința 3 cere transformarea lui $\frac{1}{4}$ în $25\%$, altfel nu ai ce compara cu $30\%$ și $40\%$; cerința 4 nu se rezolvă din ce s-a cheltuit, ci din ce a rămas — cei $100$ de lei sunt $5\%$ din sumă. Subiectul al III-lea are două fire: bazinul (diagonala, aria laterală, înălțimea apei) și patinoarul, unde tot ce se calculează pornește de la aceeași observație — cele două semicercuri de diametru $30$ m fac împreună un cerc întreg de rază $15$ m.

Cum se dă ca probă completă:

• Punctaj: 90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.
• Timp de lucru: 2 ore, cronometrate. Reper pentru un elev de clasa 8: $25$ de minute pentru Subiectul I, $35$ pentru Subiectul al II-lea, restul pentru Subiectul al III-lea și pentru recitire.
• Materiale: foaie de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator. Rezultatele sunt „curate”: numere întregi, expresii cu $\sqrt{3}$ sau cu $\pi$.
• Redactare: la Subiectul al III-lea se scriu toți pașii, altfel rezultatul corect nu ia punctajul întreg. Pe formatul din 2010, la Subiectul al II-lea se scria tot rezolvarea completă — de aceea ghidajul de aici urmează liniile baremului oficial, nu o strategie de grilă.

Regulile oficiale de notare, de pe baremul probei: total 100 de puncte, din care 10 sunt din oficiu, iar nota finală se calculează prin împărțirea punctajului obținut la 10; la Subiectul I se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie 5 puncte, fie 0 puncte și nu se acordă punctaje intermediare; la Subiectul al II-lea și la Subiectul al III-lea nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem, iar pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător.

Ce se depunctează la Subiectul al III-lea, pe această variantă: diagonala scrisă cu numai două dimensiuni ($AC$ în loc de $A{C}^{\prime }$), la cerința 1; aria laterală calculată cu formula piramidei, împărțită la $2$, sau cu bazele adunate, la cerința 2; litrii lăsați netransformați în metri cubi, la cerința 3; gardul socotit cu un singur semicerc sau cu raza luată egală cu $30$ m, adică cu diametrul, la cerința 4; încadrarea făcută cu $3,14$, care micșorează și nu demonstrează nimic — majorarea cere $3,15$ — la cerința 5; sinusul confundat cu tangenta ($\frac{AO}{BO}$ în loc de $\frac{AO}{AB}$) sau $AB=25$ m scris fără teorema lui Pitagora, la cerința 6.

Interpretarea punctajului: