Evaluarea Națională 2011, sesiunea iunie — subiectul oficial, rezolvat

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $6+16:4$ este egal cu: a) $10$ b) $4$ c) $70$ d) $5,5$

Exercițiul 2 · 5 puncte Într-o urnă sunt $7$ bile albe și $3$ bile albastre. Se extrage o bilă. Probabilitatea ca bila extrasă să fie albastră este egală cu: a) $\frac{7}{10}$ b) $\frac{3}{10}$ c) $\frac{1}{10}$ d) $\frac{3}{7}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Trei kilograme de mere costă $7,5$ lei. Patru kilograme de mere de aceeași calitate costă: a) $8$ lei b) $9$ lei c) $10$ lei d) $30$ lei

Exercițiul 4 · 5 puncte Un dreptunghi are lungimea de $8$ cm și lățimea egală cu $\frac{3}{4}$ din lungime. Lățimea dreptunghiului este de: a) $0,75$ cm b) $2$ cm c) $\frac{32}{3}$ cm d) $6$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o prismă triunghiulară dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ care are toate fețele laterale pătrate. Măsura unghiului dintre dreptele $A{B}^{\prime }$ și $C{C}^{\prime }$ este egală cu:

a) $30^{\circ }$ b) $60^{\circ }$ c) $45^{\circ }$ d) $90^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos este prezentată repartiția elevilor unei școli după notele obținute la un concurs.

Numărul elevilor care au obținut o notă mai mică decât $7$ este egal cu: a) $20$ b) $45$ c) $33$ d) $65$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte O piramidă triunghiulară regulată are vârful $V$ și baza $ABC$, ca în figura alăturată.

Numărul fețelor laterale ale piramidei $VABC$ este egal cu: a) $2$ b) $3$ c) $4$ d) $6$

Exercițiul 2 · 5 puncte Determinați perechile de numere naturale $(a,b)$ pentru care are loc egalitatea $\frac{a-1}{2}=\frac{3}{b+1}$. Mulțimea perechilor $(a,b)$ este egală cu: a) $\{(1,5);(2,2);(3,1);(6,0)\}$ b) $\{(2,5);(3,2);(4,1)\}$ c) $\{(2,5);(3,2);(4,1);(7,0)\}$ d) $\{(3,5);(4,2);(5,1);(8,0)\}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Prețul unui televizor s-a mărit cu $10\%$. După un timp, noul preț al televizorului s-a micșorat cu $10\%$. După aceste două modificări televizorul costă $1980$ lei. Prețul inițial al televizorului a fost egal cu: a) $2000$ lei b) $1980$ lei c) $2178$ lei d) $2200$ lei

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x+2$. Graficul funcției intersectează axa $Ox$ în punctul: a) $(0,2)$ b) $(2,0)$ c) $(-2,0)$ d) $(2,2)$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția de la cerința anterioară, $f(x)=-x+2$. Coordonatele punctului care are abscisa egală cu ordonata și aparține graficului funcției $f$ sunt: a) $(0,0)$ b) $(-1,-1)$ c) $(1,1)$ d) $(2,2)$

Exercițiul 6 · 5 puncte Numărul $a=\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\cdot \left(5-\sqrt{6}\right)+{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2-3\sqrt{3}$ este egal cu: a) $3\sqrt{3}$ b) $6$ c) $2\sqrt{3}+3$ d) $3$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Prisma patrulateră dreaptă $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu bazele pătrate (figura alăturată) reprezintă schematic un suport pentru umbrele. Segmentul $[AP]$ reprezintă o umbrelă care se sprijină în punctul $C^{\prime }$. Se știe că $AB=30$ cm, $AC=C{C}^{\prime }$ și $AP=90$ cm.

Calculați înălțimea suportului.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou suportul pentru umbrele — prisma patrulateră dreaptă $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu bazele pătrate (figura alăturată). Segmentul $[AP]$ reprezintă o umbrelă care se sprijină în punctul $C^{\prime }$. Se știe că $AB=30$ cm, $AC=C{C}^{\prime }$ și $AP=90$ cm.

Determinați măsura unghiului dintre dreapta $AP$ și planul $(ABC)$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou suportul pentru umbrele — prisma patrulateră dreaptă $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu bazele pătrate (figura alăturată). Segmentul $[AP]$ reprezintă o umbrelă care se sprijină în punctul $C^{\prime }$. Se știe că $AB=30$ cm, $AC=C{C}^{\prime }$ și $AP=90$ cm.

Determinați distanța de la punctul $P$ la planul $(ABC)$.

Exercițiul 4 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schița unei grădini dreptunghiulare $ABCD$ în care sunt plantate flori în trei zone — una în formă de cerc și două în formă de semicerc — care intersectează laturile $[AD]$ și $[BC]$ doar în punctele $A,B,C,D,E$ și $F$. Zona circulară intersectează cele două zone semicirculare doar în punctele $M$ și $N$. Se știe că $AB=16$ m.

O albină așezată pe o floare situată în mijlocul diametrului $[AB]$ zboară în linie dreaptă, mai întâi până la o floare situată în punctul $M$, apoi mai departe, tot în linie dreaptă, până la o floare situată în punctul $D$. Calculați distanța parcursă de albină.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou grădina dreptunghiulară $ABCD$ (figura alăturată) în care sunt plantate flori în trei zone — una în formă de cerc și două în formă de semicerc — care intersectează laturile $[AD]$ și $[BC]$ doar în punctele $A,B,C,D,E$ și $F$. Zona circulară intersectează cele două zone semicirculare doar în punctele $M$ și $N$. Se știe că $AB=16$ m.

Calculați aria suprafeței din grădină plantată cu flori.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou grădina dreptunghiulară $ABCD$ (figura alăturată) în care sunt plantate flori în trei zone — una în formă de cerc și două în formă de semicerc — care intersectează laturile $[AD]$ și $[BC]$ doar în punctele $A,B,C,D,E$ și $F$. Zona circulară intersectează cele două zone semicirculare doar în punctele $M$ și $N$. Se știe că $AB=16$ m.

Arătați că aria suprafeței reprezentate de porțiunea hașurată este mai mică decât $111{\text{m}}^2$. $(3,14<\pi <3,15)$

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I, în documentul oficial: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p, fără punctaje intermediare. Subiectul al II-lea și Subiectul al III-lea, în documentul oficial: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale. Pe pagină, Subiectele I și al II-lea sunt date ca grile, deci se punctează 5 p sau 0 p.

Subiectul I (30 p)

1. a) $6+16:4=6+4=10$ (întâi împărțirea, apoi adunarea).
2. b) Probabilitatea $=\frac{3}{10}$ ($3$ bile albastre din totalul de $10$ bile).
3. c) Prețul unui kilogram este $7,5:3=2,5$ lei; $4$ kilograme costă $4\cdot 2,5=10$ lei.
4. d) Lățimea $=\frac{3}{4}\cdot 8=6$ cm.
5. c) Fețele laterale fiind pătrate, diagonala $A{B}^{\prime }$ a feței $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ face un unghi de $45^{\circ }$ cu latura $A{A}^{\prime }$ (diagonala unui pătrat împarte unghiul drept în două unghiuri de $45^{\circ }$). Cum prisma este dreaptă, $C{C}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$, deci unghiul dintre $A{B}^{\prime }$ și $C{C}^{\prime }$ este egal cu unghiul dintre $A{B}^{\prime }$ și $A{A}^{\prime }$, adică $45^{\circ }$.
6. b) Elevii cu notă mai mică decât $7$ sunt cei din categoriile „mai mici decât $5$", „$5-5,99$" și „$6-6,99$": $8+12+25=45$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) O piramidă triunghiulară $VABC$ are $3$ fețe laterale: $VAB$, $VBC$, $VCA$ (plus baza $ABC$).
2. c) $\frac{a-1}{2}=\frac{3}{b+1}\Rightarrow (a-1)(b+1)=6$. Cum $a,b\in \mathbb{N}$, rezultă $b+1$ divizor al lui $6$: $b+1\in \{1,2,3,6\}$, de unde $(a,b)\in \{(7,0),(4,1),(3,2),(2,5)\}$.
3. a) Notăm cu $x$ prețul inițial. Prețul după scumpire este $x+10\%x=\frac{11}{10}x$. Prețul după ieftinire este $\frac{11}{10}x-10\%\cdot \frac{11}{10}x=\frac{99}{100}x$. Din $\frac{99}{100}x=1980$ rezultă $x=2000$ lei.
4. b) $f(x)=0\Rightarrow -x+2=0\Rightarrow x=2$, deci punctul de intersecție cu $Ox$ este $(2,0)$.
5. c) Fie $M(a,a)$ punctul căutat. Din $f(a)=a$ rezultă $-a+2=a\Rightarrow 2a=2\Rightarrow a=1$, deci punctul este $(1,1)$.
6. d) $\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(5-\sqrt{6}\right)=5\sqrt{3}-\sqrt{18}+5\sqrt{2}-\sqrt{12}=5\sqrt{3}-3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-2\sqrt{3}=3\sqrt{3}+2\sqrt{2}$. ${\left(\sqrt{2}-1\right)}^2=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}$. Deci $a=\left(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)+\left(3-2\sqrt{2}\right)-3\sqrt{3}=3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Cum baza $ABCD$ este pătrat, $A{C}^2=2\cdot A{B}^2=2\cdot 900=1800$ (2 p). Cum $C{C}^{\prime }=AC$, înălțimea suportului este $C{C}^{\prime }=\sqrt{1800}=30\sqrt{2}$ cm (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Cum $A,C^{\prime },P$ sunt puncte coliniare, $\measuredangle \left(AP,(ABC)\right)\equiv \measuredangle PAC$ (2 p). Triunghiul $AC{C}^{\prime }$ este dreptunghic în $C$ (căci $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$) și isoscel (căci $AC=C{C}^{\prime }$) (1 p). Rezultă $\measuredangle CA{C}^{\prime }=45^{\circ }$, deci $m\left(\measuredangle \left(AP,(ABC)\right)\right)=45^{\circ }$ (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Fie $PT\perp (ABC)$; cum $A,C^{\prime },P$ sunt coliniare, $T\in AC$ (1 p). În triunghiul dreptunghic $APT$, $\sin 45^{\circ }=\frac{PT}{AP}$ (2 p). Rezultă $PT=90\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=45\sqrt{2}$ cm (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $OM=8$ m, unde $O$ este mijlocul diametrului $[AB]$ (raza semicercului) (1 p). $MD=\sqrt{8^2+24^2}=\sqrt{640}=8\sqrt{10}$ m (3 p). Distanța parcursă de albină este $\left(8+8\sqrt{10}\right)$ m (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Cele două semicercuri plantate cu flori formează, împreună, un cerc întreg de rază $r=8$ m; alături de zona circulară (tot de rază $8$ m), suprafața plantată cu flori este echivalentă cu aria a $2$ cercuri de rază $r=8$ m (2 p). Aria suprafeței plantate cu flori este $2\pi r^2=2\pi \cdot 64=128\pi {\text{m}}^2$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Aria dreptunghiului este $AB\cdot AD=16\cdot 32=512{\text{m}}^2$ (2 p). Aria porțiunii hașurate este $512-128\pi =128\left(4-\pi \right){\text{m}}^2$ (1 p). Cum $\pi >3,14$, rezultă $4-\pi <0,86$, deci $128\left(4-\pi \right)<128\cdot 0,86=110,08<111$, adică aria porțiunii hașurate este mai mică decât $111{\text{m}}^2$ (2 p).

Examen oficial de Evaluare Națională, Varianta 8, susținut de absolvenții clasei a VIII-a în iunie 2011, publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și al II-lea sunt aduse la formatul grilă: enunțul și răspunsul corect sunt cele din document, iar cele trei variante greșite de la fiecare cerință sunt scrise de noi; cerințele 1 și 4 ale Subiectului al II-lea sunt reformulate din sarcini de construcție (un desen, respectiv o reprezentare grafică), care nu se pot da pe ecran. Subiectul al III-lea este reprodus enunț cu enunț și barem cu barem, cu figurile redesenate după cele din document, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 cerințe, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Documentul de față nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de matematică al Evaluării Naționale pentru absolvenții clasei a VIII-a, anul școlar 2010–2011, sesiunea din iunie 2011, Varianta 8 — publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, împreună cu baremul de evaluare și de notare. Enunțurile și rezultatele corecte urmează documentul oficial, iar figurile au fost redesenate după cele din subiect, cu aceeași configurație. Două lucruri sunt de spus despre desene: figura piramidei de la Subiectul al II-lea, cerința 1, nu există în document — acolo desenul era chiar sarcina elevului —, iar pe schița grădinii am trecut și lungimea $AD=32$ m, care în documentul oficial nu e scrisă, ci se citește din figură ($8+16+8$). Rezolvările, explicațiile și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; punctajul urmează rând cu rând baremul oficial, inclusiv la Subiectul al II-lea, unde baremul din 2011 dă descompunerea pe puncte a fiecărei rezolvări.

Notă de transparență privind formatul. În 2011 formatul examenului era altul decât cel de azi: Subiectul I cerea numai rezultatul („Pe foaia de examen scrieți numai rezultatele”), iar Subiectul al II-lea cerea rezolvarea completă. Ca proba să poată fi dată pe ecran, la fiecare cerință a Subiectelor I și al II-lea am adăugat trei variante greșite; enunțul și răspunsul corect sunt cele din document, dar cele trei variante greșite nu apar în documentul oficial — sunt ale noastre. Două cerințe ale Subiectului al II-lea cereau o construcție, care nu se poate face pe ecran, și au fost reformulate păstrând obiectul din enunț: cerința 1 din document („Desenați, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată de vârf $V$ și bază $ABC$” — baremul dădea 4 puncte desenului și 1 punct notării literelor) întreabă aici câte fețe laterale are piramida $VABC$; cerința 4 a) din document („Reprezentați grafic funcția $f$” — baremul dădea 2 p pentru un punct al graficului, 2 p pentru al doilea punct și 1 p pentru trasare) întreabă aici în ce punct taie graficul axa $Ox$, pentru aceeași funcție $f(x)=-x+2$. Tot la Subiectul al II-lea, cerințele în care documentul cerea o justificare („Arătați că…") sau o determinare („Determinați…") apar pe pagină ca întrebări cu răspuns unic: se cere chiar valoarea sau rezultatul din barem, obiectul cerinței rămânând același. Subiectul al III-lea este reprodus ca atare, enunț și barem.

Structura probei:

Total: 100 de puncte, timp de lucru două ore. Nota se obține împărțind punctajul total la zece.

Harta materiei, pe cele 18 cerințe — temele sunt din programa de gimnaziu, până la clasa 8, și sunt aceleași pe care le reia orice elev de a 8-a înainte de examen:

• Ordinea operațiilor — împărțirea se face înaintea adunării; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 1)
• Probabilități — cazuri favorabile raportate la toate cazurile posibile; clasele VI–VIII. (Subiectul I, cerința 2)
• Mărimi direct proporționale — prețul unui kilogram, apoi prețul a patru; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 3)
• Fracție dintr-un număr — „$\frac{3}{4}$ din lungime” este o înmulțire; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 4)
• Unghiul a două drepte în spațiu — muchii paralele într-o prismă dreaptă cu fețe laterale pătrate; clasa a VIII-a. (Subiectul I, cerința 5)
• Statistică — citirea unui tabel de frecvențe pe intervale de note; clasele VI–VIII. (Subiectul I, cerința 6)
• Piramida triunghiulară regulată — elementele corpului: bază, fețe laterale; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 1)
• Ecuație în numere naturale — proporție transformată în produs și divizorii lui $6$; clasa a VI-a. (Subiectul al II-lea, cerința 2)
• Procente succesive — o mărire și o micșorare cu $10\%$ nu se anulează; clasele VI–VII. (Subiectul al II-lea, cerința 3)
• Funcția de gradul I: graficul — punctul în care graficul taie axa $Ox$; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 4)
• Funcția de gradul I: un punct anume — abscisa egală cu ordonata; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 5)
• Calcul cu radicali — produsul a două paranteze și pătratul unui binom; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 6)
• Diagonala pătratului și înălțimea prismei — teorema lui Pitagora în baza pătrată; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 1)
• Unghiul dintre o dreaptă și un plan — proiecția dreptei și triunghiul dreptunghic isoscel; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 2)
• Distanța de la un punct la un plan — sinusul într-un triunghi dreptunghic; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 3)
• Teorema lui Pitagora într-o figură compusă — drumul albinei, pe două bucăți; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 4)
• Aria discului — două semicercuri fac un cerc; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 5)
• Arie hașurată și încadrarea lui $\pi$ — o inegalitate obținută dintr-o aproximare; clasele VII–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 6)

Ce a cerut, de fapt, proba din 2011. Subiectul I se pierde pe citire, nu pe calcul: la cerința 1, cine adună înaintea împărțirii obține $22:4=5,5$, chiar una dintre variantele de pe pagină; la cerința 4, „$\frac{3}{4}$ din lungime” este o înmulțire, iar împărțirea dă $\frac{32}{3}$, adică mai mult decât lungimea însăși; la cerința 6, intervalul $7-7,99$ nu intră la „notă mai mică decât $7$”, iar adăugarea lui duce la $65$. Cerința 5 arată cum se mută un unghi în spațiu: prisma fiind dreaptă, $C{C}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$, deci unghiul dintre $A{B}^{\prime }$ și $C{C}^{\prime }$ se măsoară în pătratul $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, unde diagonala face $45^{\circ }$ cu muchia. La Subiectul al II-lea, cerința 2 pierde ușor perechea $(7,0)$, pentru că $b+1=1$ pare să nu conteze — dar $0$ este număr natural; cerința 3 este capcana clasică a procentelor succesive: cele două $10\%$ se iau din baze diferite, așa că prețul final este $\frac{99}{100}$ din cel inițial, nu egal cu el; la cerința 6 se încurcă radicalii, pentru că $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ și $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ schimbă radicalul între termeni. Subiectul al III-lea are două fire: la suportul pentru umbrele, ipoteza $AC=C{C}^{\prime }$ dă un triunghi dreptunghic isoscel, deci unghiul de $45^{\circ }$, folosit apoi în sinusul de la cerința 3; la grădină, cheia este că cele două semicercuri fac împreună un singur cerc, așa că suprafața plantată e cât două discuri de rază $8$ m.

Cum se dă ca probă completă:

• Punctaj: 90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.
• Timp de lucru: 2 ore, cronometrate. Reper: $25$ de minute pentru Subiectul I, $35$ pentru Subiectul al II-lea, restul pentru Subiectul al III-lea și pentru recitire.
• Materiale: foaie de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator. Rezultatele sunt „curate”: întregi, zecimale simple sau expresii cu $\sqrt{2}$, $\sqrt{10}$ și $\pi$.
• Redactare: la Subiectul al III-lea se scriu toți pașii, altfel rezultatul corect nu ia punctajul întreg. Pe formatul din 2011, la Subiectul al II-lea se scria tot rezolvarea completă — de aceea ghidajul de aici urmează liniile baremului oficial, nu o strategie de grilă.

Regulile oficiale de notare, de pe baremul probei: se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota finală se calculează prin împărțirea punctajului obținut la 10; la Subiectul I se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie 5 puncte, fie 0 puncte și nu se acordă punctaje intermediare; la Subiectul al II-lea și la Subiectul al III-lea, pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător și nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem. Pe formatul din 2011, regula punctajelor intermediare acoperea și Subiectul al II-lea, nu numai pe al III-lea.

Ce se depunctează la Subiectul al III-lea, pe această variantă: rezultatul lăsat la $A{C}^2=1800$, fără extragerea radicalului, sau înălțimea confundată cu latura bazei, la cerința 1; măsura de $45^{\circ }$ scrisă fără să se spună că unghiul dintre $AP$ și plan este $\angle PAC$ și că triunghiul $AC{C}^{\prime }$ este dreptunghic isoscel, la cerința 2; distanța de la $P$ la plan luată drept $AP$ sau $C{C}^{\prime }$, în locul perpendicularei $PT$ cu piciorul pe $AC$, la cerința 3; drumul albinei scris numai ca $MD$, fără cei $8$ m ai bucății $OM$, la cerința 4; cele două semicercuri numărate ca două cercuri întregi, ceea ce dă $3$ discuri în loc de $2$, la cerința 5; încadrarea folosită pe dos, cu $\pi <3,15$ în loc de $\pi >3,14$, care nu duce la marginea cerută, la cerința 6.

Interpretarea punctajului: