Evaluarea Națională 2012, sesiunea iunie — subiectul oficial, rezolvat

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $12+12:4$ este egal cu: a) $6$ b) $15$ c) $3$ d) $24$

Exercițiul 2 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $7$ și $23$ este egală cu: a) $15$ b) $30$ c) $8$ d) $10$

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră mulțimea $A=\{x\in \mathbb{R}\mid 2x\le 4\}$. Mulțimea $A$ este egală cu intervalul: a) $(-\infty ,2)$ b) $[2,\infty )$ c) $(-\infty ,4]$ d) $(-\infty ,2]$

Exercițiul 4 · 5 puncte Perimetrul unui romb cu latura de $4$ cm este egal cu: a) $8\text{cm}$ b) $12\text{cm}$ c) $16\text{cm}$ d) $20\text{cm}$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDEFGH$ cu muchia de $5$ cm. Aria totală a cubului este egală cu:

a) $125{\text{cm}}^2$ b) $150{\text{cm}}^2$ c) $25{\text{cm}}^2$ d) $300{\text{cm}}^2$

Exercițiul 6 · 5 puncte În diagrama de mai jos sunt reprezentate rezultatele obținute de elevii unei clase la un test. Numărul elevilor din clasă care au obținut la test cel puțin nota $8$ este egal cu:

a) $12$ b) $5$ c) $9$ d) $19$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte O piramidă patrulateră regulată are vârful $V$ și baza $ABCD$, ca în figura alăturată.

Numărul fețelor laterale ale piramidei $VABCD$ este egal cu: a) $3$ b) $4$ c) $5$ d) $8$

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră numerele $a=\frac{4}{\sqrt{5}+1}$ și $b=\sqrt{15}:\sqrt{3}+1$. Media geometrică a celor două numere este egală cu: a) $2$ b) $4$ c) $1$ d) $2\sqrt{5}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Într-o clasă sunt $26$ de elevi. Dacă din clasă ar pleca două fete și trei băieți, atunci numărul fetelor ar fi egal cu dublul numărului băieților. Numărul fetelor din clasă este egal cu: a) $10$ b) $16$ c) $13$ d) $18$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-2x+3$. Graficul funcției intersectează axa $Oy$ în punctul de coordonate: a) $(3,0)$ b) $(0,-3)$ c) $(0,3)$ d) $(-2,0)$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-2x+3$. Numărul real $a$ pentru care punctul $A(a,-a)$ aparține graficului funcției $f$ este egal cu: a) $1,5$ b) $-3$ c) $3$ d) $-1$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(1+\frac{2-x}{x+1}\right):\frac{x-1}{(2x+1{)}^2-(x+2{)}^2}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 1$ și $x\ne -1$. Valoarea expresiei $E(x)$ este egală cu: a) $9$ b) depinde de $x$ c) $3(x+1)$ d) $x+9$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte O vază are forma unei prisme drepte cu baza pătrat, ca în figura alăturată. Înălțimea vazei este de $40$ cm, iar latura bazei este de $10$ cm.

Calculați aria laterală a vazei.

Exercițiul 2 · 5 puncte O vază are forma unei prisme drepte cu baza pătrat, ca în figura alăturată. Baza vazei are latura de $10$ cm, iar înălțimea vazei este de $40$ cm.

În vază se toarnă trei litri de apă. Determinați înălțimea la care se ridică apa în vază.

Exercițiul 3 · 5 puncte O vază are forma unei prisme drepte cu baza pătrat, ca în figura alăturată. Baza vazei are latura de $10$ cm, iar înălțimea vazei este de $40$ cm.

În vază se introduc patru cuburi din piatră, fiecare cub având muchia de $4$ cm. Determinați cu câți centimetri crește nivelul apei din vază, după introducerea celor patru cuburi din piatră.

Exercițiul 4 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schematic o placă de gresie în formă de dreptunghi, cu $AB=28$ cm și $BC=21$ cm.

Calculați lungimea segmentului $(DB)$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schematic o placă de gresie în formă de dreptunghi, cu $AB=28$ cm și $BC=21$ cm.

Determinați aria triunghiului $EAB$, unde $E$ este mijlocul laturii $(CD)$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schematic o placă de gresie în formă de dreptunghi, cu $AB=28$ cm și $BC=21$ cm.

$E$ este mijlocul laturii $(CD)$. Arătați că sinusul unghiului $AEB$ este egal cu $\frac{12}{13}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I, în documentul oficial: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p, fără punctaje intermediare. Subiectul al II-lea și Subiectul al III-lea, în documentul oficial: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale. Pe pagină, Subiectele I și al II-lea sunt date ca grile, deci se punctează 5 p sau 0 p.

Subiectul I (30 p)

1. b) $12+12:4=12+3=15$ (întâi împărțirea, apoi adunarea).
2. a) Media aritmetică $=\frac{7+23}{2}=\frac{30}{2}=15$.
3. d) $2x\le 4\Rightarrow x\le 2$, deci $A=(-\infty ,2]$.
4. c) Perimetrul rombului $=4\cdot \text{latura}=4\cdot 4=16$ cm.
5. b) Aria totală a cubului $=6\cdot {\text{latura}}^2=6\cdot 5^2=6\cdot 25=150{\text{cm}}^2$.
6. a) Din diagramă: elevi cu nota $8$: $5$, cu nota $9$: $4$, cu nota $10$: $3$; total $5+4+3=12$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) Piramida patrulateră $VABCD$ are baza $ABCD$ (patrulater) și $4$ fețe laterale triunghiulare: $VAB$, $VBC$, $VCD$, $VDA$.
2. a) $b=\sqrt{15}:\sqrt{3}+1=\sqrt{5}+1$. $a=\frac{4}{\sqrt{5}+1}=\frac{4(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}=\frac{4(\sqrt{5}-1)}{4}=\sqrt{5}-1$. Media geometrică $=\sqrt{ab}=\sqrt{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\sqrt{5-1}=\sqrt{4}=2$.
3. b) Notând cu $x$ numărul fetelor din clasă, numărul băieților este $26-x$. $x-2=2[(26-x)-3]\Rightarrow x-2=2(23-x)\Rightarrow x-2=46-2x\Rightarrow 3x=48\Rightarrow x=16$.
4. c) $f(0)=-2\cdot 0+3=3$, deci graficul intersectează axa $Oy$ în punctul $(0,3)$.
5. c) $A(a,-a)\in G_f\Rightarrow f(a)=-a\Rightarrow -2a+3=-a\Rightarrow -a=-3\Rightarrow a=3$.
6. a) $1+\frac{2-x}{x+1}=\frac{x+1+2-x}{x+1}=\frac{3}{x+1}$. $(2x+1{)}^2-(x+2{)}^2=[(2x+1)-(x+2)]\cdot [(2x+1)+(x+2)]=(x-1)\cdot 3(x+1)$, deci $\frac{x-1}{(2x+1{)}^2-(x+2{)}^2}=\frac{1}{3(x+1)}$. $E(x)=\frac{3}{x+1}:\frac{1}{3(x+1)}=\frac{3}{x+1}\cdot 3(x+1)=9$, pentru orice $x$ real, $x\ne 1$ și $x\ne -1$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Perimetrul bazei pătrate $P_{bazei}=4\cdot 10=40$ cm (2 p). Aria laterală $A_{lateral\breve{a}}=P_{bazei}\cdot h=40\cdot 40=1600{\text{cm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $3$ litri de apă $=3000{\text{cm}}^3$ (1 p). Aria bazei $A_{bazei}=10\cdot 10=100{\text{cm}}^2$, deci $100\cdot h_{ap\breve{a}}=3000$ (2 p). $h_{ap\breve{a}}=30$ cm (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $V_{cub}=4^3=64{\text{cm}}^3$ (2 p). Volumul celor $4$ cuburi este egal cu $4\cdot 64=256{\text{cm}}^3$ (1 p). Nivelul apei crește cu $256:100=2,56$ cm (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $DB=\sqrt{A{D}^2+A{B}^2}=\sqrt{21^2+28^2}=\sqrt{441+784}=\sqrt{1225}$ (2 p). $DB=35$ cm (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Distanța de la $E$ la $AB$ este egală cu $21$ cm (înălțimea dreptunghiului) (2 p). Aria cerută este egală cu $\frac{28\cdot 21}{2}=294{\text{cm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $E$ fiind mijlocul lui $(CD)$, $DE=CE=\frac{AB}{2}=14$ cm. Prin simetria figurii, triunghiul $EAB$ este isoscel ($EA=EB$), iar din teorema lui Pitagora în triunghiurile dreptunghice $ADE$ și $BCE$: $E{A}^2=E{B}^2=A{D}^2+D{E}^2=21^2+14^2=637$ (2 p). $\sin (\sphericalangle AEB)=\frac{2\cdot \text{Aria}(EAB)}{EA\cdot EB}=\frac{2\cdot 294}{637}=\frac{588}{637}=\frac{12}{13}$ (3 p).

Examen oficial de Evaluare Națională, Varianta 2, susținut de absolvenții clasei a VIII-a în iunie 2012, publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și al II-lea sunt aduse la formatul grilă: enunțul și răspunsul corect sunt cele din document, iar cele trei variante greșite de la fiecare cerință sunt scrise de noi; cerințele 1 și 4 ale Subiectului al II-lea sunt reformulate din sarcini de construcție (un desen, respectiv o reprezentare grafică), care nu se pot da pe ecran. Subiectul al III-lea este reprodus enunț cu enunț și barem cu barem; figura plăcii de gresie e redesenată după Figura 2 a documentului, iar vaza e desenul nostru, pentru că documentul o descrie numai prin text. Proba e dată în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 cerințe, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Documentul de față nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de matematică al Evaluării Naționale pentru elevii clasei a VIII-a, anul școlar 2011–2012, sesiunea din iunie 2012, Varianta 2 — publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, împreună cu baremul de evaluare și de notare. Enunțurile și rezultatele corecte urmează documentul oficial, iar cele trei figuri ale documentului (Figura 1 — cubul, diagrama cu bare de la Subiectul I și Figura 2 — placa de gresie) au fost redesenate după cele din subiect, cu aceeași configurație și cu aceleași valori. Două desene sunt ale noastre și nu există în document: piramida de la Subiectul al II-lea, cerința 1 — acolo desenul era chiar sarcina elevului — și vaza de la Subiectul al III-lea, pe care documentul o descrie numai prin text. Rezolvările, explicațiile și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; punctajul urmează rând cu rând baremul oficial, inclusiv la Subiectul al II-lea, unde baremul din 2012 dă descompunerea pe puncte a fiecărei rezolvări.

Notă de transparență privind formatul. În 2012 formatul examenului era altul decât cel de azi: Subiectul I cerea numai rezultatul („Pe foaia de examen scrieți numai rezultatele”), iar Subiectul al II-lea cerea rezolvarea completă („Pe foaia de examen scrieți rezolvările complete”). Ca proba să poată fi dată pe ecran, la fiecare cerință a Subiectelor I și al II-lea am adăugat trei variante greșite; enunțul și răspunsul corect sunt cele din document, dar cele trei variante greșite nu apar în documentul oficial — sunt ale noastre. Două cerințe ale Subiectului al II-lea cereau o construcție, care nu se poate face pe ecran, și au fost reformulate păstrând obiectul din enunț: cerința 1 („Desenați, pe foaia de examen, o piramidă patrulateră regulată de vârf $V$ și bază $ABCD$” — baremul dădea 4 puncte desenului și 1 punct notării) întreabă aici câte fețe laterale are piramida $VABCD$; cerința 4 (în original 4 a): „Reprezentați grafic funcția $f$ în sistemul de coordonate $xOy$” — baremul dădea 2 p pentru un punct al graficului, 2 p pentru al doilea și 1 p pentru trasare) întreabă aici în ce punct taie graficul axa $Oy$, adică un punct al graficului — dintre cele pe care baremul cerea să fie reprezentate, fără să numească vreunul anume, pentru aceeași funcție $f(x)=-2x+3$. Tot la Subiectul al II-lea, cerințele în care documentul cerea o justificare („Arătați că…") sau o determinare („Determinați…") apar pe pagină ca întrebări cu răspuns unic: se cere chiar valoarea sau rezultatul din barem, obiectul cerinței rămânând același. Subiectul al III-lea este reprodus ca atare, enunț și barem.

Structura probei:

Total: 100 de puncte, timp de lucru două ore. Nota se obține împărțind punctajul total la zece.

Harta materiei, pe cele 18 cerințe ale probei de clasa 8:

• Ordinea operațiilor — împărțirea se face înaintea adunării; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 1)
• Media aritmetică — suma a două numere, împărțită la doi; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 2)
• Mulțimi și intervale — inecuația $2x\le 4$ scrisă ca interval de numere reale; clasa a VIII-a. (Subiectul I, cerința 3)
• Perimetrul rombului — patru laturi egale, nu două; clasele VI–VII. (Subiectul I, cerința 4)
• Aria totală a cubului — șase fețe pătrate, nu volumul; clasa a VIII-a. (Subiectul I, cerința 5)
• Citirea unei diagrame cu bare — „cel puțin nota $8$” înseamnă trei coloane, nu una; clasele VI–VIII. (Subiectul I, cerința 6)
• Piramida patrulateră regulată — fețe laterale, bază, muchii; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 1)
• Radicali și medie geometrică — $\sqrt{15}:\sqrt{3}$ și $\sqrt{ab}$; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 2)
• Ecuație de gradul I, cu text — fete și băieți dintr-o clasă de $26$ de elevi; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 3)
• Funcția de gradul I: graficul — punctul în care graficul taie axa $Oy$; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 4)
• Funcția de gradul I: un punct al graficului — condiția $f(a)=-a$; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 5)
• Expresii algebrice — diferență de pătrate și împărțirea fracțiilor; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 6)
• Aria laterală a prismei — perimetrul bazei ori înălțimea; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 1)
• Volum și unități de capacitate — trei litri transformați în ${\text{cm}}^3$; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 2)
• Volumul cubului și nivelul apei — patru cuburi scufundate în vază; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 3)
• Teorema lui Pitagora — diagonala unui dreptunghi; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 4)
• Aria triunghiului — baza și înălțimea, citite în dreptunghi; clasele VI–VII. (Subiectul al III-lea, cerința 5)
• Trigonometrie în triunghiul dreptunghic — sinusul, citit prin proiecția unui vârf; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 6)

Ce a cerut, de fapt, proba din 2012. Subiectul I nu are calcule grele, are citire atentă: cerința 1 pică dacă se face întâi adunarea ($24:4=6$), cerința 3 cere împărțirea la $2$ înainte de a scrie intervalul (altfel iese $(-\infty ,4]$) și capătul inclus, cerința 5 confundă ușor aria totală cu volumul ($5^3=125$), iar cerința 6 se pierde la „cel puțin nota $8$”: se adună coloanele $8$, $9$ și $10$ ($5+4+3$), nu doar coloana $8$. La Subiectul al II-lea, cerința 2 se scurtează mult dacă observi, ca în barem, că $a\cdot b=4$ direct, fără raționalizare, iar $\sqrt{15}:\sqrt{3}=\sqrt{5}$; cerința 3 cere ecuația scrisă după plecarea celor cinci elevi ($x-2=2(26-x-3)$), nu înainte; cerința 6 stă în întregime pe diferența de pătrate $(2x+1{)}^2-(x+2{)}^2=(x-1)\cdot 3(x+1)$. La Subiectul al III-lea, prima problemă are un fir de unități: trei litri devin $3000{\text{cm}}^3$, iar cele patru cuburi de piatră ridică apa cu $256:100=2,56$ cm — creștere de nivel, nu volum. A doua problemă se sprijină pe ea însăși: aria de $294{\text{cm}}^2$ de la cerința 5 este chiar cea care dă, la cerința 6, distanța de la $A$ la dreapta $EB$.

Cum se dă ca probă completă:

• Punctaj: 90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.
• Timp de lucru: 2 ore, cronometrate. Reper pentru un elev de a 8-a: $25$ de minute pentru Subiectul I, $35$ pentru Subiectul al II-lea, restul pentru Subiectul al III-lea și pentru recitire.
• Materiale: foaie de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator. Rezultatele sunt „curate”: întregi, o zecimală simplă ($2,56$) sau expresii cu $\sqrt{13}$.
• Redactare: pe formatul din 2012, atât la Subiectul al II-lea, cât și la Subiectul al III-lea se scria rezolvarea completă, cu justificări — de aceea ghidajul de aici urmează liniile baremului oficial, nu o strategie de grilă.

Regulile oficiale de notare, de pe baremul probei: se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota finală se calculează prin împărțirea punctajului obținut la 10. La Subiectul I: se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie 5 puncte, fie 0 puncte și nu se acordă punctaje intermediare. La Subiectul al II-lea și Subiectul al III-lea, pe care baremul din 2012 le tratează împreună: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător și nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.

Ce se depunctează la Subiectul al III-lea, pe această variantă: aria totală calculată în locul celei laterale, la cerința 1; cei trei litri lăsați ca „$3$”, fără transformarea în $3000{\text{cm}}^3$, la cerința 2; răspunsul dat ca volum ($256{\text{cm}}^3$) în loc de creșterea de nivel, sau împărțirea la volumul vazei în loc de aria bazei, la cerința 3; lungimea $DB$ scrisă fără teorema lui Pitagora și fără observația $AD=BC=21$ cm, la cerința 4; înălțimea din $E$ luată altfel decât distanța dintre laturile paralele $DC$ și $AB$, la cerința 5; sinusul scris fără să se spună în ce triunghi dreptunghic se citește, adică fără proiecția lui $A$ pe dreapta $EB$, la cerința 6.

Interpretarea punctajului: