Evaluarea Națională 2013, sesiunea iunie — subiectul oficial, rezolvat

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $4\cdot 4+10$ este egal cu: a) $56$ b) $26$ c) $80$ d) $18$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{a}{6}=\frac{5}{2}$, atunci numărul $a$ este egal cu: a) $30$ b) $12$ c) $15$ d) $3$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mare număr natural care aparține intervalului $(3,9]$ este egal cu: a) $8$ b) $10$ c) $3$ d) $9$

Exercițiul 4 · 5 puncte Perimetrul unui pătrat cu latura de $8$ cm este egal cu: a) $32\text{cm}$ b) $64\text{cm}$ c) $16\text{cm}$ d) $24\text{cm}$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDEFGH$ cu latura de $3$ cm. Volumul cubului este egal cu:

a) $9{\text{cm}}^3$ b) $27{\text{cm}}^3$ c) $54{\text{cm}}^3$ d) $18{\text{cm}}^3$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos sunt prezentate rezultatele obținute la un test de elevii unei clase. La acest test, nota $8$ a fost obținută de un număr de elevi egal cu:

a) $4$ b) $6$ c) $5$ d) $1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte O piramidă triunghiulară regulată are vârful $S$ și baza $ABC$, ca în figura alăturată.

Numărul fețelor laterale ale piramidei $SABC$ este egal cu: a) $4$ b) $3$ c) $6$ d) $8$

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $\sqrt{2}+\sqrt{8}-3\sqrt{2}$. Valoarea acestei expresii este egală cu: a) $2\sqrt{2}$ b) $4\sqrt{2}$ c) $0$ d) $-2\sqrt{2}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Ana și Bogdan au împreună $7$ mere, iar Ana și Călin au împreună $8$ mere. Împreună, cei trei copii au $12$ mere. Numărul merelor Anei este egal cu: a) $4$ b) $5$ c) $2$ d) $3$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2$. Valoarea $f(0)+f(-2)$ este egală cu: a) $2$ b) $4$ c) $0$ d) $-2$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2$. Graficul funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul de coordonate: a) $(0,2)$ b) $(2,0)$ c) $(-2,0)$ d) $(0,-2)$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{1}{x-2}-\frac{x}{x^2-4}\right):\frac{2}{(x-2)(x+2)}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -2$ și $x\ne 2$. Valoarea expresiei $E(x)$ este egală cu: a) $x-2$ b) depinde de $x$ c) $\frac{1}{2}$ d) $1$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un loc de joacă în formă de dreptunghi $ABCD$, cu $AD=20$ m și diagonala $BD=40$ m.

Arătați că $AB=20\sqrt{3}$ m.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou locul de joacă în formă de dreptunghi $ABCD$, cu $AD=20$ m și diagonala $BD=40$ m, ca în figura alăturată.

Verificați dacă unghiul dintre diagonalele dreptunghiului $ABCD$ are măsura egală cu $60°$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou locul de joacă în formă de dreptunghi $ABCD$, cu $AD=20$ m și diagonala $BD=40$ m, ca în figura alăturată.

Arătați că aria suprafeței locului de joacă este mai mică decât $700{\text{m}}^2$. Se consideră cunoscut faptul că $1,73<\sqrt{3}<1,74$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat schematic un stup de albine în formă de paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Dimensiunile stupului sunt $AB=4$ dm, $BC=6$ dm și $A{A}^{\prime }=8$ dm.

Calculați perimetrul dreptunghiului $ABCD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou stupul de albine în formă de paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cu $AB=4$ dm, $BC=6$ dm și $A{A}^{\prime }=8$ dm, ca în figura alăturată.

Determinați aria totală a paralelipipedului $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou stupul de albine în formă de paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cu $AB=4$ dm, $BC=6$ dm și $A{A}^{\prime }=8$ dm, ca în figura alăturată.

Arătați că $PQ=\sqrt{13}$ dm, unde $\{P\}=A{B}^{\prime }\cap A^{\prime }B$ și $\{Q\}=B{C}^{\prime }\cap B^{\prime }C$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I, în documentul oficial: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p, fără punctaje intermediare. Subiectul al II-lea și Subiectul al III-lea, în documentul oficial: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale. Pe pagină, Subiectele I și al II-lea sunt date ca grile, deci se punctează 5 p sau 0 p.

Subiectul I (30 p)

1. b) $4\cdot 4+10=16+10=26$ (întâi înmulțirea, apoi adunarea).
2. c) Din $\frac{a}{6}=\frac{5}{2}$, prin înmulțire încrucișată: $2a=6\cdot 5=30$, deci $a=15$.
3. d) Intervalul $(3,9]$ conține toate numerele reale mai mari strict decât $3$ și mai mici sau egale cu $9$; cel mai mare număr natural din interval este $9$.
4. a) Perimetrul pătratului $=4\cdot \text{latura}=4\cdot 8=32$ cm.
5. b) Volumul cubului $={\text{latura}}^3=3^3=27{\text{cm}}^3$.
6. c) Din tabel: la nota $8$ corespund $5$ elevi.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) Piramida triunghiulară regulată $SABC$ are baza $ABC$ (triunghi) și $3$ fețe laterale triunghiulare: $SAB$, $SBC$, $SCA$.
2. c) $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, deci $\sqrt{2}+\sqrt{8}-3\sqrt{2}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}-3\sqrt{2}=(1+2-3)\sqrt{2}=0$.
3. d) Notând cu $A$, $B$, $C$ numărul de mere ale Anei, Bogdan și Călin: $A+B=7$, $A+C=8$, $A+B+C=12$. Din primele două relații: $2A+B+C=15$, iar $B+C=12-A$, deci $2A+12-A=15\Rightarrow A=3$.
4. a) $f(0)=0+2=2$ și $f(-2)=-2+2=0$, deci $f(0)+f(-2)=2+0=2$.
5. c) Graficul intersectează axa $Ox$ acolo unde $f(x)=0$: $x+2=0\Rightarrow x=-2$, deci punctul este $(-2,0)$.
6. d) $\frac{1}{x-2}-\frac{x}{x^2-4}=\frac{1}{x-2}-\frac{x}{(x-2)(x+2)}=\frac{x+2-x}{(x-2)(x+2)}=\frac{2}{(x-2)(x+2)}$. Atunci $E(x)=\frac{2}{(x-2)(x+2)}:\frac{2}{(x-2)(x+2)}=1$, pentru orice $x$ real, $x\ne -2$ și $x\ne 2$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Triunghiul $ABD$ este dreptunghic în $A$, deci $B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2$ (2 p). Rezultă $AB=\sqrt{B{D}^2-A{D}^2}=\sqrt{40^2-20^2}=\sqrt{1600-400}=\sqrt{1200}=20\sqrt{3}$ m (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Fie $\{O\}=AC\cap BD$; cum $ABCD$ este dreptunghi, diagonalele se înjumătățesc și sunt congruente, deci $AO=OD=\frac{BD}{2}=20$ m $=AD$, adică triunghiul $AOD$ este echilateral (3 p). Rezultă $m(\sphericalangle AOD)=60°$, deci afirmația este adevărată (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Aria dreptunghiului $ABCD$ este ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot AD=20\sqrt{3}\cdot 20=400\sqrt{3}{\text{m}}^2$ (2 p). Din $\sqrt{3}<1,74$ rezultă $400\sqrt{3}<400\cdot 1,74=696<700$, deci aria suprafeței locului de joacă este mai mică decât $700{\text{m}}^2$ (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Perimetrul dreptunghiului $ABCD$ este $P_{ABCD}=2(AB+BC)=2(4+6)$ (3 p) $=20$ dm (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Aria bazei este ${\mathcal{A}}_{bazei}=AB\cdot BC=4\cdot 6=24{\text{dm}}^2$ (2 p). Aria laterală este ${\mathcal{A}}_{lateral\breve{a}}=P_{ABCD}\cdot A{A}^{\prime }=20\cdot 8=160{\text{dm}}^2$ (2 p). Aria totală este ${\mathcal{A}}_{total\breve{a}}={\mathcal{A}}_{lateral\breve{a}}+2\cdot {\mathcal{A}}_{bazei}=160+48=208{\text{dm}}^2$ (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ dm (2 p). Punctele $P$ și $Q$ sunt mijloacele segmentelor $A{B}^{\prime }$, respectiv $B{C}^{\prime }$ (diagonalele fiecărei fețe laterale se înjumătățesc), deci $PQ$ este linie mijlocie în triunghiul $A{B}^{\prime }C$, de unde $PQ=\frac{AC}{2}=\frac{2\sqrt{13}}{2}=\sqrt{13}$ dm (3 p).

Examen oficial de Evaluare Națională, Varianta 3, susținut de absolvenții clasei a VIII-a în iunie 2013, publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și al II-lea sunt aduse la formatul grilă: enunțul și răspunsul corect sunt cele din document, iar cele trei variante greșite de la fiecare cerință sunt scrise de noi; cerințele 1 și 5 ale Subiectului al II-lea sunt reformulate din sarcini de construcție (un desen, respectiv o reprezentare grafică), care nu se pot da pe ecran. Subiectul al III-lea este reprodus enunț cu enunț și barem cu barem, cu figurile redesenate după cele din document, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 cerințe, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Documentul de față nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de matematică al Evaluării Naționale pentru absolvenții clasei a VIII-a, anul școlar 2012–2013, sesiunea din iunie 2013, Varianta 3 — publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, împreună cu baremul de evaluare și de notare. Enunțurile și rezultatele corecte urmează documentul oficial, iar cele trei figuri ale lui (Figura 1 — cubul, Figura 2 — locul de joacă, Figura 3 — stupul) au fost redesenate cu aceeași configurație a vârfurilor, cu dimensiunile din enunț trecute pe desen. Rezolvările, explicațiile și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; punctajul urmează rând cu rând baremul oficial, inclusiv la Subiectul al II-lea, unde baremul din 2013 dă descompunerea pe puncte a fiecărei rezolvări.

Notă de transparență privind formatul. În 2013 formatul examenului era altul decât cel de azi: Subiectul I cerea numai rezultatul („Pe foaia de examen scrieți numai rezultatele”), iar Subiectul al II-lea cerea rezolvarea completă („Pe foaia de examen scrieți rezolvările complete”). Ca proba să poată fi dată pe ecran, la fiecare cerință a Subiectelor I și al II-lea am adăugat trei variante greșite; enunțul și răspunsul corect sunt cele din document, dar cele trei variante greșite nu apar în documentul oficial — sunt ale noastre. Două cerințe ale Subiectului al II-lea cereau o construcție, care nu se poate face pe ecran, și au fost reformulate păstrând obiectul din enunț: cerința 1 din document („Desenați, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată cu vârful $S$ și baza $ABC$” — baremul dădea 4 puncte desenului și 1 punct notării piramidei) întreabă aici câte fețe laterale are piramida $SABC$, iar desenul de lângă enunț este al nostru: documentul oficial nu are figură la această cerință, pentru că tocmai desenul îl făcea candidatul; cerința 4 b) din document, a cincea de pe pagină, („Reprezentați grafic funcția $f$ într-un sistem de coordonate $xOy$” — baremul dădea 2 puncte pentru un punct al graficului, 2 puncte pentru al doilea și 1 punct pentru trasare) apare aici ca cerința 5 și întreabă în ce punct taie graficul axa $Ox$, pentru aceeași funcție $f(x)=x+2$. Tot la Subiectul al II-lea, cerințele în care documentul cerea o justificare („Arătați că…") sau o determinare („Determinați…") apar pe pagină ca întrebări cu răspuns unic: se cere chiar valoarea sau rezultatul din barem, obiectul cerinței rămânând același. Subiectul al III-lea este reprodus ca atare, enunț și barem.

Structura probei:

Total: 100 de puncte, timp de lucru două ore. Nota se obține împărțind punctajul total la zece.

Harta materiei, pe cele 18 cerințe — de citit înainte de o nouă probă, ca elevul de clasa 8 să știe exact ce capitol reia:

• Ordinea operațiilor — înmulțirea se face înaintea adunării; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 1)
• Rapoarte și proporții — un număr aflat dintr-o egalitate de rapoarte; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 2)
• Intervale de numere reale — capăt deschis și capăt închis, apoi cel mai mare număr natural din interval; clasa a VIII-a. (Subiectul I, cerința 3)
• Perimetrul pătratului — patru laturi egale, nu latura la pătrat; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 4)
• Volumul cubului — muchia la puterea a treia; clasa a VIII-a. (Subiectul I, cerința 5)
• Statistică — citirea unei repartiții pe note; clasele VI–VIII. (Subiectul I, cerința 6)
• Piramida triunghiulară regulată — baza, vârful, fețele laterale; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 1)
• Radicali — scoaterea factorului de sub radical și reducerea termenilor asemenea; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 2)
• Probleme cu sume — trei necunoscute legate prin sume parțiale; clasele V–VI. (Subiectul al II-lea, cerința 3)
• Funcția liniară: valori — $f(0)$ și $f(-2)$ prin înlocuire; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 4)
• Funcția liniară: graficul — punctul în care graficul taie axa $Ox$; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 5)
• Fracții algebrice — diferență de pătrate, numitor comun, împărțirea fracțiilor; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 6)
• Teorema lui Pitagora — o catetă aflată din ipotenuză și cealaltă catetă; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 1)
• Diagonalele dreptunghiului — se înjumătățesc și sunt congruente, de aici un triunghi echilateral; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 2)
• Aria dreptunghiului și încadrarea unui radical — $400\sqrt{3}$ comparat cu $700$; clasele VII–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 3)
• Perimetrul dreptunghiului — dimensiunile bazei unui paralelipiped; clasele V–VI. (Subiectul al III-lea, cerința 4)
• Aria totală a paralelipipedului — aria laterală plus două baze; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 5)
• Linia mijlocie în triunghi — diagonalele fețelor se înjumătățesc, apoi $PQ=\frac{AC}{2}$; clasele VII–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 6)

Ce a cerut, de fapt, proba din 2013. Subiectul I se pierde din grabă, nu din materie grea: cerința 1 iese $56$ în loc de $26$ dacă se adună înaintea înmulțirii, cerința 3 cere văzut că intervalul $(3,9]$ are paranteză rotundă la $3$ și dreaptă la $9$, iar cerința 5 confundă ușor volumul $3^3=27$ cu aria unei fețe ($9$) sau cu aria totală ($54$). La Subiectul al II-lea, cerința 3 nu are nevoie de un sistem lung: din cele $12$ mere ale celor trei copii și din cele $7$ ale Anei și lui Bogdan iese direct Călin cu $5$ mere, apoi Ana cu $8-5=3$ — exact în doi pași, ca în barem. Cerința 6 se sprijină toată pe $x^2-4=(x-2)(x+2)$: după aducerea la același numitor, numărătorul se reduce la $2$, iar împărțirea la aceeași fracție dă $1$. Subiectul al III-lea are două figuri, cu câte trei cerințe fiecare, legate în lanț: $AB=20\sqrt{3}$ m, calculat la prima cerință, intră în aria de la a treia, iar perimetrul de $20$ dm de la cerința 4 intră în aria laterală de la cerința 5. Ultima cerință cere văzut triunghiul $A{B}^{\prime }C$ în interiorul stupului.

Cum se dă ca probă completă:

• Punctaj: 90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.
• Timp de lucru: 2 ore, cronometrate. Reper: $25$ de minute pentru Subiectul I, $35$ pentru Subiectul al II-lea, restul pentru Subiectul al III-lea și pentru recitire.
• Materiale: foaie de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator. Rezultatele sunt „curate”: numere întregi sau expresii cu $\sqrt{3}$ și $\sqrt{13}$.
• Redactare: la Subiectul al III-lea se scriu toți pașii, altfel rezultatul corect nu ia punctajul întreg. Pe formatul din 2013, și la Subiectul al II-lea se scria rezolvarea completă — de aceea ghidajul de aici urmează liniile baremului oficial, nu o strategie de grilă.

Regulile oficiale de notare, de pe baremul probei: se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare; la Subiectul I se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie 5 puncte, fie 0 puncte și nu se acordă punctaje intermediare; la Subiectul al II-lea și la Subiectul al III-lea, pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător și nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.

Ce se depunctează la Subiectul al III-lea, pe această variantă: $AB$ lăsat ca $\sqrt{1200}$, fără scoaterea factorului de sub radical, sau teorema lui Pitagora scrisă cu $BD$ în locul unei catete, la cerința 1; măsura de $60°$ afirmată fără $AO=OD=AD=20$ m, adică fără triunghiul echilateral $AOD$, la cerința 2; aria lăsată la $400\sqrt{3}$, fără încadrarea cu $1,74$ pe care enunțul o dă anume pentru asta, la cerința 3; perimetrul scris ca $4+6$, fără dublare, la cerința 4; aria totală calculată cu o singură bază în loc de două, la cerința 5; $PQ=\frac{AC}{2}$ scris fără să se spună de ce $P$ și $Q$ sunt mijloacele diagonalelor fețelor și în ce triunghi este $PQ$ linie mijlocie, la cerința 6.

Interpretarea punctajului, pentru materia de a 8-a: