Evaluarea Națională 2014, sesiunea iunie — subiectul oficial, rezolvat

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $12-6\cdot 2$ este egal cu: a) $0$ b) $12$ c) $-12$ d) $6$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $10$ reprezintă $50\%$ dintr-un număr, atunci numărul este egal cu: a) $5$ b) $40$ c) $15$ d) $20$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mare număr natural $n$ pentru care $n\le 8$ este egal cu: a) $7$ b) $9$ c) $8$ d) $0$

Exercițiul 4 · 5 puncte Rombul $ABCD$ are diagonalele de $6$ cm și, respectiv, de $8$ cm. Aria rombului $ABCD$ este egală cu: a) $48{\text{cm}}^2$ b) $24{\text{cm}}^2$ c) $14{\text{cm}}^2$ d) $20{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un tetraedru regulat $ABCD$ în care $AB=8$ cm. Suma tuturor muchiilor tetraedrului $ABCD$ este egală cu:

a) $32$ cm b) $24$ cm c) $64$ cm d) $48$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În diagrama de mai jos sunt prezentate opțiunile celor $100$ de elevi din clasele a V-a ale unei școli, opțiuni referitoare la studiul limbilor moderne.

Numărul elevilor din clasa a V-a care optează pentru studiul limbii spaniole este egal cu: a) $13$ b) $15$ c) $27$ d) $45$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se consideră o prismă dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza un triunghi echilateral, ca în figura alăturată.

Numărul fețelor prismei $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ este egal cu: a) $3$ b) $6$ c) $5$ d) $9$

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră numerele $a=2^3+1$ și $b=3+3:3$. Media geometrică a numerelor $a$ și $b$ este egală cu: a) $6$ b) $6,5$ c) $36$ d) $13$

Exercițiul 3 · 5 puncte Ion parcurge cu autocarul un drum în trei zile. În prima zi a parcurs $20\%$ din drum, în a doua zi $30\%$ din rest și în a treia zi ultimii $560$ de kilometri din drum. Lungimea drumului parcurs de Ion în cele $3$ zile este egală cu: a) $800$ km b) $1000$ km c) $700$ km d) $900$ km

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-2$. Valoarea $f(2)$ este egală cu: a) $4$ b) $-2$ c) $2$ d) $0$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-2$. Graficul funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul de coordonate:

a) $(0,-2)$ b) $(2,0)$ c) $(-2,0)$ d) $(0,2)$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{x^2+4x+4}{x(x+2)}\right):\left(1+\frac{2}{x}\right)$, unde $x$ este număr real, $x\ne -2$ și $x\ne 0$. Valoarea expresiei $E(x)$ este egală cu: a) depinde de $x$ b) $x$ c) $1$ d) $2$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schița unui covor în formă de dreptunghi $ABCD$. Modelul covorului este format din triunghiurile $AOB$, $BOC$, $COD$ și $DOA$, unde punctul $O$ este situat în interiorul dreptunghiului $ABCD$ astfel încât triunghiul $AOD$ este echilateral, $AD=2$ m și $m(\angle BOC)=2\cdot m(\angle AOD)$.

Calculați perimetrul triunghiului $AOD$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou covorul în formă de dreptunghi $ABCD$, cu modelul format din triunghiurile $AOB$, $BOC$, $COD$ și $DOA$, unde punctul $O$ este situat în interiorul dreptunghiului $ABCD$ astfel încât triunghiul $AOD$ este echilateral, $AD=2$ m și $m(\angle BOC)=2\cdot m(\angle AOD)$, ca în figura alăturată.

Arătați că distanța de la punctul $O$ la latura $BC$ este egală cu $\frac{\sqrt{3}}{3}$ m.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou covorul în formă de dreptunghi $ABCD$, cu modelul format din triunghiurile $AOB$, $BOC$, $COD$ și $DOA$, unde punctul $O$ este situat în interiorul dreptunghiului $ABCD$ astfel încât triunghiul $AOD$ este echilateral, $AD=2$ m și $m(\angle BOC)=2\cdot m(\angle AOD)$, ca în figura alăturată.

Arătați că lungimea conturului covorului (perimetrul dreptunghiului $ABCD$) este mai mică decât $9$ m.

Exercițiul 4 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schematic o cutie de carton cu capac, în formă de prismă dreaptă $ABCDEFGH$ cu baza $ABCD$ pătrat, $AB=20$ cm și $AE=10$ cm. Punctul $O$ este mijlocul segmentului $EG$, iar punctul $M$ este situat pe $BO$ astfel încât distanța $CM$ să fie minimă.

Calculați volumul cutiei.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou cutia de carton cu capac, în formă de prismă dreaptă $ABCDEFGH$ cu baza $ABCD$ pătrat, $AB=20$ cm și $AE=10$ cm, ca în figura alăturată.

Aria suprafeței cartonului folosit pentru confecționarea cutiei reprezintă $110\%$ din aria totală a cutiei. Determinați câți centimetri pătrați de carton au fost folosiți pentru confecționarea cutiei.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou cutia de carton cu capac, în formă de prismă dreaptă $ABCDEFGH$ cu baza $ABCD$ pătrat, $AB=20$ cm și $AE=10$ cm. Punctul $O$ este mijlocul segmentului $EG$, iar punctul $M$ este situat pe $BO$ astfel încât distanța $CM$ să fie minimă, ca în figura alăturată.

Arătați că $CM=\frac{20\sqrt{6}}{3}$ cm.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I, în documentul oficial: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p, fără punctaje intermediare. Subiectul al II-lea și Subiectul al III-lea, în documentul oficial: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale. Pe pagină, Subiectele I și al II-lea sunt date ca grile, deci se punctează 5 p sau 0 p.

Subiectul I (30 p)

1. a) $12-6\cdot 2=12-12=0$ (întâi înmulțirea, apoi scăderea).
2. d) $50\%$ din numărul $x$ este $10$, deci $x=10\cdot 2=20$.
3. c) Cel mai mare număr natural care satisface $n\le 8$ este chiar $n=8$.
4. b) Aria rombului $=\frac{d_1\cdot d_2}{2}=\frac{6\cdot 8}{2}=\frac{48}{2}=24{\text{cm}}^2$.
5. d) Tetraedrul regulat are $6$ muchii egale, deci suma muchiilor $=6\cdot 8=48$ cm.
6. a) Numărul elevilor cu limba spaniolă $=100-(45+27+15)=100-87=13$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) Prisma $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ are $2$ baze triunghiulare ($ABC$ și $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$) și $3$ fețe laterale dreptunghiulare, în total $5$ fețe.
2. a) $a=2^3+1=9$; $b=3+3:3=3+1=4$ (întâi împărțirea). Media geometrică $=\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{9\cdot 4}=\sqrt{36}=6$.
3. b) Notăm cu $d$ lungimea drumului. Ziua 1: $\frac{d}{5}$. Ziua 2: $30\%$ din rest $=30\%\cdot \frac{4d}{5}=\frac{6d}{25}$. Ziua 3: $560=d-\frac{d}{5}-\frac{6d}{25}=\frac{14d}{25}\Rightarrow d=\frac{560\cdot 25}{14}=1000$ km.
4. d) $f(2)=2-2=0$.
5. b) $f(x)=0\Rightarrow x-2=0\Rightarrow x=2$, deci graficul intersectează axa $Ox$ în $(2,0)$.
6. c) $\frac{x^2+4x+4}{x(x+2)}=\frac{(x+2{)}^2}{x(x+2)}=\frac{x+2}{x}$; iar $1+\frac{2}{x}=\frac{x+2}{x}$. Atunci $E(x)=\frac{x+2}{x}:\frac{x+2}{x}=1$, pentru orice $x$ din domeniu.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Triunghiul $AOD$ echilateral $\Rightarrow OA=OD=AD=2$ m (2 p). Perimetrul $P_{AOD}=3\cdot AD=3\cdot 2=6$ m (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $BC=AD=2$ m (laturi opuse în dreptunghiul $ABCD$) (1 p). $m(\angle AOD)=60^{\circ }$ (unghi al triunghiului echilateral), deci $m(\angle BOC)=2\cdot 60^{\circ }=120^{\circ }$; triunghiul $OBC$ este isoscel ($OB=OC$), deci $m(\angle OBC)=m(\angle OCB)=\frac{180^{\circ }-120^{\circ }}{2}=30^{\circ }$ (2 p). Fie $M$ mijlocul lui $BC$; atunci $OM\perp BC$ și $BM=1$ m (1 p). În triunghiul dreptunghic $OMB$: $OM=BM\cdot \mathrm{tg}30^{\circ }=1\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ m (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Distanța de la $O$ la $AD$ este înălțimea triunghiului echilateral $AOD$: $h=\frac{AD\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ m (1 p). Latura $AB$ a dreptunghiului este suma acestei distanțe și distanței de la $O$ la $BC$: $AB=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$ m (1 p). Perimetrul: $P_{ABCD}=2(AD+AB)=2\left(2+\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)=4+\frac{8\sqrt{3}}{3}=\frac{12+8\sqrt{3}}{3}$ m (1 p). Arătăm $P_{ABCD}<9\iff 12+8\sqrt{3}<27\iff 8\sqrt{3}<15$ (1 p); ridicând la pătrat: $192<225$, adevărat, deci $P_{ABCD}<9$ m (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Volumul prismei: $V=A_{ABCD}\cdot AE=A{B}^2\cdot AE=20^2\cdot 10$ (3 p) $=4000{\text{cm}}^3$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Aria celor două baze: $2\cdot A{B}^2=2\cdot 400=800{\text{cm}}^2$; aria laterală: $4\cdot AB\cdot AE=4\cdot 20\cdot 10=800{\text{cm}}^2$; aria totală: $A_t=800+800=1600{\text{cm}}^2$ (3 p). Cartonul folosit: $110\%\cdot 1600=1760{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $CM\perp BO$ (din condiția de minim) $\Rightarrow$ ariile egale ale triunghiului $OBC$, calculate cu cele două baze, dau $BO\cdot CM=BC\cdot d(O,BC)$ (2 p). Se arată că $BO=10\sqrt{3}$ cm (din triunghiul dreptunghic cu catetele $10\sqrt{2}$ cm — jumătate din diagonala bazei — și $10$ cm — înălțimea cutiei) și $d(O,BC)=10\sqrt{2}$ cm; rezultă $CM=\frac{BC\cdot d(O,BC)}{BO}=\frac{20\cdot 10\sqrt{2}}{10\sqrt{3}}=\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{20\sqrt{6}}{3}$ cm (3 p).

Examen oficial de Evaluare Națională, Varianta 3, susținut de absolvenții clasei a VIII-a în iunie 2014, publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și al II-lea sunt aduse la formatul grilă: enunțul și răspunsul corect sunt cele din document, iar cele trei variante greșite de la fiecare cerință sunt scrise de noi; cerințele 1 și 5 ale Subiectului al II-lea sunt reformulate din sarcini de construcție (un desen, respectiv o reprezentare grafică), care nu se pot da pe ecran. Subiectul al III-lea este reprodus enunț cu enunț și barem cu barem, cu figurile redesenate după cele din document, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 cerințe, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Documentul de față nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de matematică al Evaluării Naționale pentru absolvenții clasei a VIII-a, anul școlar 2013–2014, sesiunea din iunie 2014, Varianta 3 — publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, împreună cu baremul de evaluare și de notare. Enunțurile și rezultatele corecte urmează documentul oficial, iar cele patru figuri ale documentului (Figura 1 — tetraedrul, diagrama circulară de la Subiectul I, Figura 2 — covorul, Figura 3 — cutia) au fost redesenate după cele din subiect, cu aceeași configurație. Un singur desen este al nostru și nu există în document: prisma de la Subiectul al II-lea, cerința 1 — acolo desenul era chiar sarcina elevului; e semnalat mai jos. Rezolvările, explicațiile și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; punctajul urmează rând cu rând baremul oficial, inclusiv la Subiectul al II-lea, unde baremul din 2014 dă descompunerea pe puncte a fiecărei rezolvări.

Notă de transparență privind formatul. În 2014 formatul examenului era altul decât cel de azi: Subiectul I cerea numai rezultatul („Pe foaia de examen scrieți numai rezultatele”), iar Subiectul al II-lea cerea rezolvarea completă („Pe foaia de examen scrieți rezolvările complete”). Ca proba să poată fi dată pe ecran, la cerințele Subiectelor I și al II-lea am adăugat trei variante greșite; enunțul și răspunsul corect sunt cele din document, dar cele trei variante greșite nu apar în documentul oficial — sunt ale noastre. Două cerințe ale Subiectului al II-lea cereau o construcție, care nu se poate face pe ecran, și au fost reformulate păstrând obiectul din enunț: cerința 1 („Desenați, pe foaia de examen, o prismă dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghi echilateral” — baremul dădea 4 puncte desenului și 1 punct notării prismei) întreabă aici câte fețe are prisma, iar desenul de lângă enunț este al nostru: documentul oficial nu are figură la această cerință, pentru că tocmai desenul îl făcea candidatul; cerința 4 b) din document, a cincea de pe pagină („Reprezentați grafic funcția $f$ într-un sistem de coordonate $xOy$” — baremul dădea 2 p pentru un punct al graficului, 2 p pentru al doilea și 1 p pentru trasare) întreabă aici în ce punct taie graficul axa $Ox$, pentru aceeași funcție $f(x)=x-2$. La cerința 5 din document, a șasea de pe pagină, textul oficial era „Arătați că $E(x)=1$”; aici se cere aceeași valoare a expresiei, ca răspuns — obiectul și rezultatul rămân neschimbate, de aceea nu o numărăm printre cerințele reformulate. Diagrama circulară de la Subiectul I, cerința 6, e redesenată cu exact valorile din document (45, 27 și 15 elevi, sectorul „limba spaniolă” fără număr — verificate pe pagina randată a PDF-ului oficial). Subiectul al III-lea este reprodus ca atare, enunț și barem.

Structura probei:

Total: 100 de puncte, timp de lucru două ore. Nota se obține împărțind punctajul total la zece.

Harta materiei, pe cele 18 cerințe:

• Ordinea operațiilor — înmulțirea se face înaintea scăderii; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 1)
• Procente — numărul aflat când se cunoaște $50\%$ din el; clasele VI–VII. (Subiectul I, cerința 2)
• Numere naturale și inegalități — semnul $\le$ include capătul, deci $8$ este acceptat; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 3)
• Aria rombului — semiprodusul diagonalelor, nu produsul lor; clasa a VII-a. (Subiectul I, cerința 4)
• Tetraedrul regulat — cele șase muchii egale ale corpului; clasa a VIII-a. (Subiectul I, cerința 5)
• Statistică — citirea unei diagrame circulare în care un sector nu are numărul scris; clasele VI–VIII. (Subiectul I, cerința 6)
• Prisma dreaptă triunghiulară — două baze și trei fețe laterale; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 1)
• Media geometrică — puterea $2^3$, împărțirea înaintea adunării, apoi radicalul; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 2)
• Procente și ecuație — procentul zilei a doua se ia din rest, nu din drumul întreg; clasele VI–VII. (Subiectul al II-lea, cerința 3)
• Funcția liniară: valori — calculul lui $f(2)$ prin înlocuire; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 4)
• Funcția liniară: graficul — punctul în care graficul taie axa $Ox$; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 5)
• Fracții algebrice — pătratul perfect $(x+2{)}^2$, factorul comun și împărțirea fracțiilor; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 6)
• Triunghiul echilateral — perimetrul, din egalitatea celor trei laturi; clasele VI–VII. (Subiectul al III-lea, cerința 1)
• Triunghi isoscel și trigonometrie — unghi de $120^{\circ }$, unghiuri de $30^{\circ }$, apoi $\mathrm{tg}30^{\circ }$; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 2)
• Perimetru și compararea unui radical — $\frac{12+8\sqrt{3}}{3}<9$, prin ridicare la pătrat; clasele VII–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 3)
• Volumul prismei drepte — aria bazei pătrate înmulțită cu înălțimea; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 4)
• Aria totală și procente — două baze plus aria laterală, apoi $110\%$ din rezultat; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 5)
• Distanța minimă la o dreaptă din spațiu — aria triunghiului $OBC$ scrisă în două feluri; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 6)

Ce a cerut, de fapt, proba din 2014. Subiectul I se pierde din grabă, nu din necunoaștere: la cerința 1, cine face întâi scăderea obține $6\cdot 2=12$ în loc de $0$; la cerința 3, semnul $\le$ îl include pe $8$, deci răspunsul nu este $7$; la cerința 4 se cere aria rombului, adică $\frac{6\cdot 8}{2}$, nu produsul diagonalelor; la cerința 6, sectorul „limba spaniolă” este singurul fără număr scris pe diagramă, așa că se scade din cei $100$ de elevi. La Subiectul al II-lea, cerința 2 are două capcane într-un rând: $2^3=8$ (nu $2\cdot 3$) și $3+3:3=4$ (împărțirea înaintea adunării, nu $(3+3):3=2$); cerința 3 este capcana clasică a procentelor — cele $30\%$ ale zilei a doua se iau din rest, adică din $\frac{4d}{5}$, nu din drumul întreg. Subiectul al III-lea are două fire: la covor, punctul $O$ nu este centrul dreptunghiului, așa că latura $AB$ iese ca sumă a două distanțe diferite, $\sqrt{3}$ și $\frac{\sqrt{3}}{3}$; la cutie, condiția „$CM$ minimă” înseamnă $CM\perp BO$, iar de acolo aria triunghiului $OBC$ se scrie în două feluri.

Cum se dă ca probă completă:

• Punctaj: 90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.
• Timp de lucru: 2 ore, cronometrate. Reper pentru un elev de clasa 8, la sfârșitul clasei a 8-a: $25$ de minute pentru Subiectul I, $35$ pentru Subiectul al II-lea, restul pentru Subiectul al III-lea și pentru recitire.
• Materiale: foaie de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator. Rezultatele sunt „curate”: numere întregi sau expresii cu $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ și $\sqrt{6}$.
• Redactare: la Subiectul al III-lea se scriu toți pașii, altfel rezultatul corect nu ia punctajul întreg. Pe formatul din 2014, la Subiectul al II-lea se scria tot rezolvarea completă — de aceea ghidajul de aici urmează liniile baremului oficial, nu o strategie de grilă.

Regulile oficiale de notare, de pe baremul probei: se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare; la Subiectul I se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie 5 puncte, fie 0 puncte și nu se acordă punctaje intermediare; la Subiectul al II-lea și la Subiectul al III-lea, pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător și nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.

Ce se depunctează la Subiectul al III-lea, pe această variantă: perimetrul triunghiului $AOD$ scris direct ca $6$, fără egalitatea $OA=OD=AD$ care îl justifică, la cerința 1; distanța $\frac{\sqrt{3}}{3}$ dată fără cele două unghiuri de $30^{\circ }$ și fără $BM=1$ m, la cerința 2; inegalitatea $\frac{12+8\sqrt{3}}{3}<9$ afirmată fără trecerea la $8\sqrt{3}<15$ și la $192<225$, la cerința 3; volumul lăsat fără unitate sau scris în ${\text{cm}}^2$, la cerința 4; aria totală calculată doar cu o bază, fără capac, sau $110\%$ luat drept adaos peste $1600$, la cerința 5; egalitatea $CM\cdot BO=d(O,BC)\cdot BC$ folosită fără să se spună de ce $CM\perp BO$, la cerința 6.

Interpretarea punctajului: