Evaluarea Națională 2015, sesiunea iunie — subiectul oficial, rezolvat

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $10\cdot 2-20$ este egal cu: a) $-180$ b) $20$ c) $0$ d) $-20$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{a}{4}=\frac{3}{2}$, atunci numărul $a$ este egal cu: a) $6$ b) $12$ c) $8$ d) $3$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mare număr natural care aparține intervalului $[1,5]$ este egal cu: a) $4$ b) $6$ c) $1$ d) $5$

Exercițiul 4 · 5 puncte Pătratul $ABCD$ are latura de $6$ cm. Perimetrul pătratului $ABCD$ este egal cu: a) $36\text{cm}$ b) $24\text{cm}$ c) $12\text{cm}$ d) $18\text{cm}$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCDEFGH$. Măsura unghiului determinat de dreptele $AB$ și $BF$ este egală cu:

a) $45°$ b) $60°$ c) $180°$ d) $90°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos este prezentată repartiția elevilor unei clase a VIII-a, în funcție de notele obținute la teza de matematică pe semestrul al II-lea:

Numărul elevilor care au obținut nota $10$ este egal cu: a) $7$ b) $3$ c) $5$ d) $6$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Numărul vârfurilor paralelipipedului dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este egal cu: a) $8$ b) $6$ c) $12$ d) $4$

Exercițiul 2 · 5 puncte Calculați media aritmetică a numerelor de două cifre, multipli ai lui $40$. Media aritmetică a acestor numere este egală cu: a) $40$ b) $80$ c) $120$ d) $60$

Exercițiul 3 · 5 puncte Mihai a cheltuit o sumă de bani în două zile. În prima zi Mihai a cheltuit $30\%$ din sumă, iar în a doua zi restul de $35$ de lei. Suma de bani cheltuită de Mihai în prima zi este egală cu: a) $35$ lei b) $20$ lei c) $15$ lei d) $50$ lei

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2$. Valoarea $f(-2)$ este egală cu: a) $0$ b) $4$ c) $-4$ d) $2$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2$. Graficul funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul de coordonate: a) $(2,0)$ b) $(-2,0)$ c) $(0,2)$ d) $(0,-2)$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{x^2-49}{x^2-7x}-\frac{2x+7}{x^2+x}:\frac{1}{x+1}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -1$, $x\ne 0$ și $x\ne 7$. Valoarea expresiei $E(x)$ este egală cu: a) $x+6$ b) depinde de $x$ c) $-1$ d) $1$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Figura alăturată este schița unui teren în formă de dreptunghi $ABCD$ cu $AB=150$ m și $AD=100$ m. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AD$, iar punctul $N$ este situat pe latura $DC$ astfel încât $DN=2NC$.

Arătați că aria terenului $ABCD$ este egală cu $1,5$ ha.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou terenul în formă de dreptunghi $ABCD$ cu $AB=150$ m și $AD=100$ m, ca în figura alăturată. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AD$, iar punctul $N$ este situat pe latura $DC$ astfel încât $DN=2NC$.

Demonstrați că triunghiul $MNB$ este isoscel.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou terenul în formă de dreptunghi $ABCD$ cu $AB=150$ m și $AD=100$ m, ca în figura alăturată. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AD$, iar punctul $N$ este situat pe latura $DC$ astfel încât $DN=2NC$.

Calculați măsura unghiului format de dreptele $MN$ și $NB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată $VABCD$ cu $VA=3\sqrt{5}$ dm și $AB=6$ dm. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AD$.

Arătați că $VM=6$ dm.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou piramida patrulateră regulată $VABCD$ cu $VA=3\sqrt{5}$ dm și $AB=6$ dm, ca în figura alăturată. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AD$, iar $VM=6$ dm (arătat mai sus).

Calculați câte grame de vopsea sunt necesare pentru vopsirea suprafeței laterale a piramidei, știind că pentru vopsirea unei suprafețe de un decimetru pătrat se folosesc $30$ grame de vopsea.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou piramida patrulateră regulată $VABCD$ cu $VA=3\sqrt{5}$ dm și $AB=6$ dm, ca în figura alăturată. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AD$.

Demonstrați că sinusul unghiului dintre planele $(VAD)$ și $(VBC)$ este egal cu $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I, în documentul oficial: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p, fără punctaje intermediare. Subiectul al II-lea și Subiectul al III-lea, în documentul oficial: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale. Pe pagină, Subiectele I și al II-lea sunt date ca grile, deci se punctează 5 p sau 0 p.

Subiectul I (30 p)

1. c) $10\cdot 2-20=20-20=0$ (întâi înmulțirea, apoi scăderea).
2. a) Din $\frac{a}{4}=\frac{3}{2}$, prin înmulțire încrucișată: $2a=4\cdot 3=12$, deci $a=6$.
3. d) Intervalul $[1,5]$ conține toate numerele reale cuprinse între $1$ și $5$, inclusiv capetele; cel mai mare număr natural din interval este $5$.
4. b) Perimetrul pătratului $=4\cdot \text{latura}=4\cdot 6=24$ cm.
5. d) $AB$ și $BF$ sunt muchii ale cubului care se intersectează în $B$; fiind muchii ale aceleiași fețe/perpendiculare între ele (ca într-un cub), unghiul dintre ele este $90°$.
6. b) Din tabel: la nota $10$ corespund $3$ elevi.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) Paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ are exact $8$ vârfuri: $A$, $B$, $C$, $D$, $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$, $D^{\prime }$.
2. d) Numerele de două cifre, multipli ai lui $40$, sunt $40$ și $80$; media lor aritmetică este $\frac{40+80}{2}=60$.
3. c) Fie $x$ suma totală cheltuită de Mihai. A doua zi a cheltuit restul, adică $70\%$ din sumă, egal cu $35$ lei: $0,7\cdot x=35\Rightarrow x=50$ lei. Suma cheltuită în prima zi este $30\%\cdot 50=15$ lei.
4. a) $f(-2)=-2+2=0$.
5. b) Graficul intersectează axa $Ox$ acolo unde $f(x)=0$: $x+2=0\Rightarrow x=-2$, deci punctul este $(-2,0)$.
6. c) $\frac{x^2-49}{x^2-7x}=\frac{(x-7)(x+7)}{x(x-7)}=\frac{x+7}{x}$; $\frac{2x+7}{x^2+x}:\frac{1}{x+1}=\frac{2x+7}{x(x+1)}\cdot (x+1)=\frac{2x+7}{x}$. Deci $E(x)=\frac{x+7}{x}-\frac{2x+7}{x}=\frac{x+7-2x-7}{x}=\frac{-x}{x}=-1$, pentru orice $x$ real, $x\ne -1$, $x\ne 0$ și $x\ne 7$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Aria dreptunghiului $ABCD$ este ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot AD=150\cdot 100=15000{\text{m}}^2$ (2 p). Cum $1\text{ha}=10000{\text{m}}^2$, rezultă ${\mathcal{A}}_{ABCD}=15000:10000=1,5\text{ha}$ (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $DM=\frac{AD}{2}=\frac{100}{2}=50$ m. Cum $DC=AB=150$ m (laturi opuse) și $DN=2NC$, din $DN+NC=150$ rezultă $3NC=150$, deci $NC=50$ m și $DN=100$ m; de asemenea $CB=AD=100$ m (3 p). Triunghiurile $MND$ (unghi drept în $D$) și $NBC$ (unghi drept în $C$) au $DM=NC=50$ m și $DN=CB=100$ m, deci $△MND\equiv △NBC$ (catetă-catetă), de unde $MN=NB$, adică triunghiul $MNB$ este isoscel (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Din congruența $△MND\equiv △NBC$ (arătată mai sus) rezultă $\angle DMN\equiv \angle BNC$; cum $m(\angle DMN)+m(\angle MND)=90°$ (unghiurile ascuțite ale triunghiului dreptunghic $MND$), obținem $m(\angle MND)+m(\angle BNC)=90°$ (3 p). Cum $D$, $N$, $C$ sunt coliniare ($N$ este pe segmentul $DC$), $m(\angle MND)+m(\angle MNB)+m(\angle BNC)=180°$, deci $m(\angle MNB)=180°-90°=90°$ (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $M$ este mijlocul laturii $AD$, deci $AM=\frac{AD}{2}=\frac{6}{2}=3$ dm (2 p). În triunghiul dreptunghic $VAM$ (drept în $M$, căci $VM$ este apotema piramidei, perpendiculară pe $AD$): $V{M}^2=V{A}^2-A{M}^2=(3\sqrt{5}{)}^2-3^2=45-9=36$, deci $VM=6$ dm (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Aria laterală a piramidei este ${\mathcal{A}}_{lateral\breve{a}}=\frac{P_{ABCD}\cdot VM}{2}=\frac{4\cdot 6\cdot 6}{2}=\frac{144}{2}=72{\text{dm}}^2$ (3 p). Cantitatea de vopsea necesară pentru vopsirea suprafeței laterale este $72\cdot 30=2160$ g (2 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $AD$ și $BC$ sunt laturi opuse ale pătratului $ABCD$, deci $AD\parallel BC$; fie $d=(VAD)\cap (VBC)$ (1 p). $M$ este mijlocul $AD$, deci $VM\perp AD$ (apotemă), iar $N$, mijlocul lui $BC$, dă analog $VN\perp BC$; cum $AD\parallel BC$, rezultă $m(\angle ((VAD),(VBC)))=m(\angle (VM,VN))=m(\angle MVN)$ (2 p). Prin calcul analog celui de la cerința anterioară (folosind $VB=VC=3\sqrt{5}$ dm și $NB=NC=3$ dm), rezultă $VN=6$ dm; cum $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor opuse $AD$, $BC$ ale pătratului $ABCD$ de latură $6$ dm, rezultă $MN=AB=6$ dm. Triunghiul $VMN$ are $VM=VN=MN=6$ dm, deci este echilateral, iar $m(\angle MVN)=60°$, de unde $\sin (\angle MVN)=\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (2 p).

Examen oficial de Evaluare Națională, Varianta 7, susținut de absolvenții clasei a VIII-a în iunie 2015, publicat de Ministerul Educației și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și al II-lea sunt aduse la formatul grilă: enunțul și răspunsul corect sunt cele din document, iar cele trei variante greșite de la fiecare cerință sunt scrise de noi; cerințele 1 și 5 ale Subiectului al II-lea sunt reformulate din sarcini de construcție (un desen, respectiv o reprezentare grafică), care nu se pot da pe ecran. Subiectul al III-lea este reprodus enunț cu enunț și barem cu barem, cu figurile redesenate după cele din document, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 cerințe, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Documentul de față nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de matematică al Evaluării Naționale pentru absolvenții clasei a VIII-a, anul școlar 2014–2015, sesiunea din iunie 2015, Varianta 7 — publicat de Ministerul Educației și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, împreună cu baremul de evaluare și de notare. Enunțurile și rezultatele corecte urmează documentul oficial, iar figurile au fost redesenate după cele din subiect, cu aceeași configurație. Rezolvările, explicațiile și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; punctajul urmează rând cu rând baremul oficial, inclusiv la Subiectul al II-lea, unde baremul din 2015 dă descompunerea pe puncte a fiecărei rezolvări.

Notă de transparență privind formatul. În 2015 formatul examenului era altul decât cel de azi: Subiectul I cerea numai rezultatul („Pe foaia de examen scrieți numai rezultatele”), iar Subiectul al II-lea cerea rezolvarea completă. Ca proba să poată fi dată pe ecran, la fiecare cerință a Subiectelor I și al II-lea am adăugat trei variante greșite; enunțul și răspunsul corect sunt cele din document, dar cele trei variante greșite nu apar în documentul oficial — sunt ale noastre. Două cerințe ale Subiectului al II-lea cereau o construcție, care nu se poate face pe ecran, și au fost reformulate păstrând obiectul din enunț: cerința 1 („Desenați, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$” — baremul dădea 4 puncte desenului și 1 punct notării vârfurilor) întreabă aici câte vârfuri are paralelipipedul; cerința 4 b) din document, adică cerința 5 a Subiectului al II-lea de pe pagină, („Reprezentați grafic funcția $f$ într-un sistem de coordonate $xOy$” — baremul dădea 2 p + 2 p + 1 p) întreabă aici în ce punct taie graficul axa $Ox$, pentru aceeași funcție $f(x)=x+2$. Diagrama cu bare de la Subiectul I, cerința 6, e redată ca tabel, cu exact valorile din document (verificate pe pagina randată a PDF-ului oficial). Subiectul al III-lea este reprodus ca atare, enunț și barem.

Structura probei:

Total: 100 de puncte, timp de lucru două ore. Nota se obține împărțind punctajul total la zece.

Harta materiei, pe cele 18 cerințe ale probei de clasa 8:

• Ordinea operațiilor — înmulțirea se face înaintea scăderii; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 1)
• Rapoarte și proporții — un număr aflat dintr-o egalitate de rapoarte; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 2)
• Intervale de numere reale — capăt inclus și cel mai mare număr natural din interval; clasa a VIII-a. (Subiectul I, cerința 3)
• Perimetrul pătratului — patru laturi egale, nu latura la pătrat; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 4)
• Unghiuri în cub — muchie a bazei și muchie laterală, în același vârf; clasa a VIII-a. (Subiectul I, cerința 5)
• Statistică — citirea unei repartiții pe note; clasele VI–VIII. (Subiectul I, cerința 6)
• Paralelipipedul dreptunghic — vârfuri, muchii, fețe; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 1)
• Multipli și medie aritmetică — multiplii de două cifre ai lui $40$; clasele V–VI. (Subiectul al II-lea, cerința 2)
• Procente și ecuație — un procent luat din suma totală, nu din tranșă; clasele VI–VII. (Subiectul al II-lea, cerința 3)
• Funcția liniară: valori — calculul lui $f(-2)$ prin înlocuire; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 4)
• Funcția liniară: graficul — punctul în care graficul taie axa $Ox$; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 5)
• Fracții algebrice — diferență de pătrate, factor comun, împărțirea fracțiilor; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 6)
• Aria dreptunghiului și hectarul — transformarea ${\text{m}}^2\to$ ha; clasele VI–VII. (Subiectul al III-lea, cerința 1)
• Congruență și triunghi isoscel — cazul cateta–catetă, în dreptunghi; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 2)
• Unghiul a două drepte — unghiuri complementare pe o dreaptă; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 3)
• Apotema piramidei — Pitagora în triunghiul isoscel al feței; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 4)
• Aria laterală a piramidei — perimetrul bazei și apotema, apoi un consum; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 5)
• Unghiul a două plane — muchia comună paralelă cu laturile opuse ale bazei; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 6)

Ce a cerut, de fapt, proba din 2015. Subiectul I e de citire atentă, nu de calcul greu: cerința 1 pică dacă se face întâi scăderea, cerința 3 cere să știi că paranteza dreaptă include capătul $5$, iar cerința 5 se rezolvă observând că fața $ABFE$ a cubului e pătrat, deci muchiile din $B$ fac unghi drept. La Subiectul al II-lea, cerința 2 se pierde ușor luând și $120$ printre „numerele de două cifre”, iar cerința 3 e capcana clasică a procentelor: cele $30\%$ se iau din suma totală ($x+35$), nu din cei $35$ de lei ai zilei a doua. Subiectul al III-lea are un fir continuu: aceeași figură ține primele trei cerințe (teren dreptunghiular, congruență, unghi drept), iar următoarele trei se sprijină una pe alta — apotema $VM=6$ dm calculată la cerința 4 e folosită în aria laterală de la cerința 5, iar triunghiul echilateral $VMN$ de la cerința 6 se închide cu $\sin 60^{\circ }$.

Cum se dă ca probă completă:

• Punctaj: 90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.
• Timp de lucru: 2 ore, cronometrate. Reper pentru un elev de a 8-a care se antrenează acasă: cronometrul pornit de la prima cerință. Reper: $25$ de minute pentru Subiectul I, $35$ pentru Subiectul al II-lea, restul pentru Subiectul al III-lea și pentru recitire.
• Materiale: foaie de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator. Rezultatele sunt „curate”: întregi, zecimale simple sau expresii cu $\sqrt{3}$.
• Redactare: la Subiectul al III-lea se scriu toți pașii, altfel rezultatul corect nu ia punctajul întreg. Pe formatul din 2015, la Subiectul al II-lea se scria tot rezolvarea completă — de aceea ghidajul de aici urmează liniile baremului oficial, nu o strategie de grilă.

Regulile oficiale de notare, de pe baremul probei: se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total obținut pentru lucrare; la Subiectul I se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie 5 puncte, fie 0 puncte și nu se acordă punctaje intermediare; la Subiectul al II-lea și la Subiectul al III-lea, pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător și nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem. La cerința 2 a Subiectului al II-lea, baremul adaugă explicit că se acordă punctajul maxim și în cazul în care candidații au luat în considerare și multiplii negativi de două cifre, iar media aritmetică este calculată corect.

Ce se depunctează la Subiectul al III-lea, pe această variantă: aria lăsată în metri pătrați, fără transformarea în hectare, la cerința 1; egalitatea $MN=NB$ afirmată fără cazul de congruență și fără cele două perechi de catete egale, la cerința 2; măsura de $90^{\circ }$ scrisă fără trecerea prin unghiurile complementare din triunghiul dreptunghic $MND$, la cerința 3; $VM=6$ dm obținut fără să se spună de ce $VM\perp AD$ (mediana din vârful triunghiului isoscel), la cerința 4; folosirea înălțimii piramidei în locul apotemei la aria laterală, la cerința 5; unghiul planelor luat între alte două semidrepte decât cele perpendiculare pe muchia comună, la cerința 6.

Interpretarea punctajului: