Evaluarea Națională 2016, sesiunea iunie — subiectul oficial, rezolvat

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $10\cdot 5-50$ este egal cu: a) $-450$ b) $0$ c) $100$ d) $-40$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{a}{16}=\frac{7}{8}$, atunci numărul $a$ este egal cu: a) $14$ b) $112$ c) $3,5$ d) $9$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mare număr natural care aparține intervalului $(2,6]$ este egal cu: a) $5$ b) $7$ c) $6$ d) $2$

Exercițiul 4 · 5 puncte Pătratul $ABCD$ are latura de $3$ cm. Perimetrul acestui pătrat este egal cu: a) $9\text{cm}$ b) $6\text{cm}$ c) $15\text{cm}$ d) $12\text{cm}$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCDEFGH$. Măsura unghiului determinat de dreptele $AB$ și $AD$ este egală cu:

a) $180°$ b) $90°$ c) $45°$ d) $60°$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos este prezentată repartiția notelor obținute la un test la matematică, de elevii unei clase a VIII-a dintr-o școală:

Conform tabelului, numărul elevilor care au obținut nota $5$ la acest test este egal cu: a) $3$ b) $6$ c) $7$ d) $1$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se consideră un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ca în figura alăturată (enunțul original cerea desenarea acestuia pe foaia de examen).

Numărul muchiilor paralelipipedului dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este egal cu: a) $12$ b) $6$ c) $24$ d) $8$

Exercițiul 2 · 5 puncte Știind că $x=\sqrt{3}$ și $y=\frac{1}{\sqrt{3}}$, valoarea expresiei $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$ este egală cu: a) $3$ b) $\frac{10}{3}$ c) $\frac{3}{10}$ d) $\frac{1}{3}$

Exercițiul 3 · 5 puncte În vacanță, Mihai a economisit o sumă de bani. După ce a cheltuit două cincimi din această sumă, lui Mihai i-au mai rămas $72$ de lei. Suma de bani pe care a economisit-o Mihai în vacanță este egală cu: a) $180$ de lei b) $90$ de lei c) $100$ de lei d) $120$ de lei

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2$. Punctul care aparține graficului funcției $f$ este: a) $(1,2)$ b) $(2,1)$ c) $(1,3)$ d) $(3,1)$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2$. Aria triunghiului determinat de graficul funcției $f$ și axele sistemului de coordonate $xOy$ este egală cu: a) $2$ b) $4$ c) $8$ d) $1$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(1+\frac{1}{x-2}-\frac{2}{x+2}\right):\frac{1}{x^2-4}-x(x-1)$, unde $x$ este număr real, $x\ne -2$ și $x\ne 2$. Valoarea expresiei $E(x)$ este egală cu: a) $1$ b) depinde de $x$ c) $2$ d) $x-2$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Figura alăturată este schița unui teren. Triunghiul $ABC$ este echilateral cu $AB=18$ m și punctul $D$ este situat pe dreapta $BC$ astfel încât triunghiul $ACD$ este obtuzunghic, cu $CD=9$ m. Punctul $E$ este situat pe segmentul $AD$, astfel încât $\sphericalangle ACE\equiv \sphericalangle DCE$.

Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $81\sqrt{3}{\text{m}}^2$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou schița terenului din figura alăturată: triunghiul $ABC$ este echilateral cu $AB=18$ m și punctul $D$ este situat pe dreapta $BC$ astfel încât triunghiul $ACD$ este obtuzunghic, cu $CD=9$ m. Punctul $E$ este situat pe segmentul $AD$, astfel încât $\sphericalangle ACE\equiv \sphericalangle DCE$.

Demonstrați că dreptele $EC$ și $AB$ sunt paralele.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou schița terenului din figura alăturată: triunghiul $ABC$ este echilateral cu $AB=18$ m și punctul $D$ este situat pe dreapta $BC$ astfel încât triunghiul $ACD$ este obtuzunghic, cu $CD=9$ m. Punctul $E$ este situat pe segmentul $AD$, astfel încât $\sphericalangle ACE\equiv \sphericalangle DCE$.

Arătați că triunghiul $EAC$ are perimetrul egal cu $6\left(4+\sqrt{7}\right)$ m.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o prismă dreaptă $ABCDEF$, cu baza triunghi echilateral, $AB=10$ cm și $AD=10\sqrt{3}$ cm. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $AD$, respectiv $BE$.

Arătați că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $30$ cm.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou prisma dreaptă $ABCDEF$ din figura alăturată, cu baza triunghi echilateral, $AB=10$ cm și $AD=10\sqrt{3}$ cm. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $AD$, respectiv $BE$.

Arătați că aria laterală a prismei este mai mică decât $525{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou prisma dreaptă $ABCDEF$ din figura alăturată, cu baza triunghi echilateral, $AB=10$ cm și $AD=10\sqrt{3}$ cm. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $AD$, respectiv $BE$.

Demonstrați că planele $(CMN)$ și $(FMN)$ sunt perpendiculare.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I, în documentul oficial: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p, fără punctaje intermediare. Subiectul al II-lea și Subiectul al III-lea, în documentul oficial: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale. Pe pagină, Subiectele I și al II-lea sunt date ca grile, deci se punctează 5 p sau 0 p.

Subiectul I (30 p)

1. b) $10\cdot 5-50=50-50=0$ (întâi înmulțirea, apoi scăderea).
2. a) Din $\frac{a}{16}=\frac{7}{8}$, prin înmulțire încrucișată: $8a=16\cdot 7=112$, deci $a=14$.
3. c) Intervalul $(2,6]$ conține toate numerele reale mai mari strict decât $2$ și mai mici sau egale cu $6$; cel mai mare număr natural din interval este $6$.
4. d) Perimetrul pătratului $=4\cdot \text{latura}=4\cdot 3=12$ cm.
5. b) $AB$ și $AD$ sunt două muchii alăturate ale feței $ABCD$ (pătrat), deci unghiul dintre ele este $90°$.
6. a) Din tabel: notei $5$ îi corespund $3$ elevi.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) Paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ are $12$ muchii ($4$ pe baza inferioară, $4$ pe baza superioară și $4$ laterale).
2. b) $\frac{x}{y}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3$ și $\frac{y}{x}=\frac{1}{3}$, deci $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=3+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}$.
3. d) Notând cu $x$ suma economisită: $\frac{3}{5}x=72\Rightarrow x=72\cdot \frac{5}{3}=120$ de lei.
4. c) $f(1)=1+2=3$, deci punctul $(1,3)$ aparține graficului funcției $f$.
5. a) $f(0)=2\Rightarrow N(0,2)$ (intersecția cu $Oy$) și $f(x)=0\Rightarrow x=-2\Rightarrow M(-2,0)$ (intersecția cu $Ox$); triunghiul $MON$ este dreptunghic în $O$, deci ${\mathcal{A}}_{MON}=\frac{OM\cdot ON}{2}=\frac{2\cdot 2}{2}=2$.
6. c) $1+\frac{1}{x-2}-\frac{2}{x+2}=\frac{x^2-x+2}{(x-2)(x+2)}$; cum $x^2-4=(x-2)(x+2)$, obținem $E(x)=\frac{x^2-x+2}{(x-2)(x+2)}\cdot (x-2)(x+2)-x(x-1)=x^2-x+2-x^2+x=2$, pentru orice $x$ număr real, $x\ne -2$ și $x\ne 2$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte ${\mathcal{A}}_{△ABC}=\frac{A{B}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{18^2\sqrt{3}}{4}$ (2 p) $=\frac{324\sqrt{3}}{4}=81\sqrt{3}{\text{m}}^2$ (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Cum $B$, $C$, $D$ sunt coliniare, $\sphericalangle ACB$ și $\sphericalangle ACD$ sunt suplementare; $m(\sphericalangle ACB)=60°$ (triunghi echilateral), deci $m(\sphericalangle ACD)=120°\Rightarrow m(\sphericalangle ACE)=60°$ (2 p). Cum $\sphericalangle ACE\equiv \sphericalangle BAC$ (ambele $60°$) și unghiurile $\sphericalangle ACE$ și $\sphericalangle BAC$ sunt alterne interne față de secanta $AC$, obținem $EC\parallel AB$ (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $AM=9\sqrt{3}$ m, unde $M$ este mijlocul laturii $BC$ și, cum triunghiul $AMD$ este dreptunghic în $M$ (cu $MD=MC+CD=9+9=18$ m), obținem $AD=\sqrt{A{M}^2+M{D}^2}=\sqrt{243+324}=\sqrt{567}=9\sqrt{7}$ m (2 p). Cum $EC\parallel AB$, din asemănarea triunghiurilor $DEC$ și $DAB$: $\frac{DE}{DA}=\frac{EC}{AB}=\frac{DC}{DB}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}\Rightarrow EC=6$ m, $DE=3\sqrt{7}$ m, de unde $AE=9\sqrt{7}-3\sqrt{7}=6\sqrt{7}$ m și $P_{△EAC}=AE+AC+CE=6\sqrt{7}+18+6=24+6\sqrt{7}=6(4+\sqrt{7})$ m (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $P_{△ABC}=3AB=$ (2 p) $=3\cdot 10=30$ cm (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte ${\mathcal{A}}_{lateral\breve{a}}=P_{△ABC}\cdot AD=30\cdot 10\sqrt{3}=300\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (3 p). Cum $300\sqrt{3}<525\iff 4\sqrt{3}<7\iff 48<49$, obținem ${\mathcal{A}}_{lateral\breve{a}}<525{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Triunghiurile $FMN$ și $CMN$ sunt isoscele, deci $FO\perp MN$ și $CO\perp MN$, unde $O$ este mijlocul segmentului $MN$ (2 p). Cum $(CMN)\cap (FMN)=MN$, $CO\perp MN$ și $CO\subset (CMN)$, $FO\perp MN$ și $FO\subset (FMN)$, deci $m(\sphericalangle ((CMN),(FMN)))=m(\sphericalangle (CO,FO))$ (1 p). $FO=CO=5\sqrt{6}$ cm, iar $F{O}^2+C{O}^2=150+150=300=F{C}^2$ (întrucât $FC=AD=10\sqrt{3}$ cm), deci $m(\sphericalangle COF)=90°$, adică $m(\sphericalangle ((CMN),(FMN)))=90°$, de unde $(CMN)\perp (FMN)$ (2 p).

Examen oficial de Evaluare Națională, Varianta 7, susținut de absolvenții clasei a VIII-a în iunie 2016, publicat de Ministerul Educației Naționale și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și al II-lea sunt aduse la formatul grilă: enunțul și răspunsul corect sunt cele din document, iar cele trei variante greșite de la fiecare cerință sunt scrise de noi; cerințele 1 și 4 ale Subiectului al II-lea sunt reformulate din sarcini de construcție (un desen, respectiv o reprezentare grafică), care nu se pot da pe ecran. Subiectul al III-lea este reprodus enunț cu enunț și barem cu barem, cu figurile redesenate după cele din document, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 cerințe, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Documentul de față nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de matematică al Evaluării Naționale pentru absolvenții clasei a VIII-a, anul școlar 2015–2016, sesiunea din iunie 2016, Varianta 7 — publicat de Ministerul Educației Naționale și Cercetării Științifice prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, împreună cu baremul de evaluare și de notare. Enunțurile și rezultatele corecte urmează documentul oficial, iar figurile au fost redesenate după cele din subiect, cu aceeași configurație. Rezolvările, explicațiile și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; punctajul urmează rând cu rând baremul oficial, inclusiv la Subiectul al II-lea, unde baremul din 2016 dă descompunerea pe puncte a fiecărei rezolvări.

Notă de transparență privind formatul. În 2016 formatul examenului era altul decât cel de azi: Subiectul I cerea numai rezultatul („Pe foaia de examen scrieți numai rezultatele”), iar Subiectul al II-lea cerea rezolvarea completă („Pe foaia de examen scrieți rezolvările complete”). Ca proba să poată fi dată pe ecran, la fiecare cerință a Subiectelor I și al II-lea am adăugat trei variante greșite; enunțul și răspunsul corect sunt cele din document, dar cele trei variante greșite nu apar în documentul oficial — sunt ale noastre. Două cerințe ale Subiectului al II-lea cereau o construcție, care nu se poate face pe ecran, și au fost reformulate păstrând obiectul din enunț: cerința 1 din document („Desenați, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$” — baremul dădea 4 puncte desenului și 1 punct notării) întreabă aici, în exercițiul 1 de pe pagină, câte muchii are paralelipipedul; cerința 4 a) din document („Reprezentați grafic funcția $f$ într-un sistem de coordonate $xOy$” — baremul dădea 2 p pentru un punct al graficului, 2 p pentru al doilea punct și 1 p pentru trasare) întreabă aici, în exercițiul 4 de pe pagină, care punct aparține graficului funcției $f(x)=x+2$. Diagrama cu bare de la Subiectul I, cerința 6, e redată ca tabel, cu valorile din document (verificate pe pagina randată a PDF-ului oficial), cu mențiunea că în tabel nu apar coloanele notelor $1$ și $2$, ambele cu $0$ elevi. Subiectul al III-lea este reprodus ca atare, enunț și barem.

Structura probei:

Total: 100 de puncte, timp de lucru două ore. Nota se obține împărțind punctajul total la zece.

Harta materiei, pe cele 18 cerințe date la clasa 8 în iunie 2016:

• Ordinea operațiilor — înmulțirea se face înaintea scăderii; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 1)
• Rapoarte și proporții — un număr aflat dintr-o egalitate de rapoarte; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 2)
• Intervale de numere reale — un capăt exclus și unul inclus, în același interval; clasa a VIII-a. (Subiectul I, cerința 3)
• Perimetrul pătratului — patru laturi egale, nu latura la pătrat; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 4)
• Unghiuri în cub — două muchii ale aceleiași fețe, cu vârf comun; clasa a VIII-a. (Subiectul I, cerința 5)
• Statistică — citirea unei diagrame cu bare, pe note; clasele VI–VIII. (Subiectul I, cerința 6)
• Paralelipipedul dreptunghic — muchii, vârfuri, fețe; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 1)
• Calcul cu radicali — raportul a două numere inverse, $\sqrt{3}$ și $\frac{1}{\sqrt{3}}$; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 2)
• Fracții dintr-o sumă — restul de trei cincimi, nu partea cheltuită; clasele V–VI. (Subiectul al II-lea, cerința 3)
• Funcția liniară: puncte pe grafic — condiția ca $(a,b)$ să fie pe grafic; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 4)
• Aria unui triunghi din grafic — intersecțiile dreptei cu axele; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 5)
• Fracții algebrice — același numitor, diferență de pătrate, împărțire; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 6)
• Aria triunghiului echilateral — formula cu $\sqrt{3}$, pe un teren de $18$ m latura; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 1)
• Unghiuri alterne interne — bisectoare și paralelism; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 2)
• Asemănare și teorema lui Pitagora — un perimetru cu radical; clasele VII–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 3)
• Perimetrul triunghiului echilateral — baza unei prisme drepte; clasele VI–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 4)
• Aria laterală a prismei — comparare cu un număr, prin ridicare la pătrat; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 5)
• Plane perpendiculare — unghiul a două plane și reciproca teoremei lui Pitagora; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 6)

Ce a cerut, de fapt, proba din 2016. Subiectul I se pierde din neatenție, nu din necunoaștere: cerința 1 dă $-450$ dacă se face întâi scăderea, iar cerința 3 cere să citești amândouă parantezele intervalului $(2,6]$ — cea rotundă îl scoate pe $2$, cea dreaptă îl păstrează pe $6$. La Subiectul al II-lea, cerința 2 cere ca $\frac{x}{y}$ să se calculeze prin răsturnarea numitorului ($\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3$), nu ca produs; cerința 3 e capcana fracțiilor: cei $72$ de lei rămași sunt restul, adică $\frac{3}{5}$ din sumă, nu cele două cincimi cheltuite; cerința 5 cere ambele intersecții cu axele, nu una singură. Subiectul al III-lea are două fire care se sprijină pe ele însele: la teren, paralelismul $EC\parallel AB$ demonstrat la cerința 2 este exact ce dă asemănarea de la cerința 3, iar la prismă perimetrul de $30$ cm de la cerința 4 intră direct în aria laterală de la cerința 5, care se închide cu o comparație prin ridicare la pătrat ($48<49$), nu cu aproximări zecimale.

Cum se dă ca probă completă:

• Punctaj: 90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.
• Timp de lucru: 2 ore, cronometrate. Reper: $25$ de minute pentru Subiectul I, $35$ pentru Subiectul al II-lea, restul pentru Subiectul al III-lea și pentru recitire.
• Materiale: foaie de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator. Rezultatele sunt „curate”: întregi, fracții simple sau expresii cu $\sqrt{3}$ și $\sqrt{7}$.
• Redactare: la Subiectul al III-lea se scriu toți pașii, altfel rezultatul corect nu ia punctajul întreg. Pe formatul din 2016, la Subiectul al II-lea se scria tot rezolvarea completă — de aceea ghidajul de aici urmează liniile baremului oficial, nu o strategie de grilă.

Regulile oficiale de notare, de pe baremul probei: se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total obținut pentru lucrare; la Subiectul I se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie 5 puncte, fie 0 puncte și nu se acordă punctaje intermediare; la Subiectul al II-lea și la Subiectul al III-lea, pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător și nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.

Ce se depunctează la Subiectul al III-lea, pe această variantă, pentru un elev de clasa a 8-a: aria terenului lăsată la $\frac{324\sqrt{3}}{4}$, nesimplificată, sau scrisă fără unitatea ${\text{m}}^2$, la cerința 1; paralelismul $EC\parallel AB$ afirmat fără să se spună că $\sphericalangle ACE$ și $\sphericalangle BAC$ sunt alterne interne față de secanta $AC$, la cerința 2; asemănarea folosită fără raportul $\frac{DC}{DB}=\frac{9}{27}$ (cu $DB=BC+CD=27$ m) sau $AD$ scris fără triunghiul dreptunghic $AMD$, la cerința 3; perimetrul dat fără unitatea de măsură, la cerința 4; comparația $300\sqrt{3}<525$ făcută cu valori aproximative, în locul echivalenței $4\sqrt{3}<7\iff 48<49$, la cerința 5; unghiul celor două plane luat între alte semidrepte decât $CO$ și $FO$, singurele perpendiculare pe muchia comună $MN$, la cerința 6.

Interpretarea punctajului: