Evaluarea Națională 2019, sesiunea iunie — subiectul oficial, rezolvat

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $25-20:5$ este egal cu: a) $1$ b) $21$ c) $5$ d) $24$

Exercițiul 2 · 5 puncte Numărul care reprezintă $10\%$ din $1500$ este egal cu: a) $150$ b) $15$ c) $1650$ d) $300$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mic număr impar din mulțimea $A=\{0,1,2,3,4\}$ este egal cu: a) $0$ b) $3$ c) $1$ d) $2$

Exercițiul 4 · 5 puncte Un pătrat are latura de $10$ cm. Perimetrul acestui pătrat este egal cu: a) $100$ cm b) $10$ cm c) $20$ cm d) $40$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un tetraedru regulat $ABCD$. Dacă aria triunghiului $ABC$ este egală cu $4{\text{cm}}^2$, atunci aria totală a tetraedrului $ABCD$ este egală cu:

a) $8{\text{cm}}^2$ b) $16{\text{cm}}^2$ c) $12{\text{cm}}^2$ d) $20{\text{cm}}^2$

Exercițiul 6 · 5 puncte În diagrama de mai jos sunt înregistrate valorile temperaturilor indicate de un termometru, într-o zi, de la ora $11$, până la ora $19$. Măsurătorile au fost efectuate din oră în oră.

Conform informațiilor din diagramă, temperatura măsurată la ora $18$ a fost mai mică decât temperatura măsurată la ora $14$ cu: a) $4°$C b) $7°$C c) $5°$C d) $3°$C

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată de vârf $V$ și bază $ABCD$.

Numărul muchiilor piramidei patrulatere regulate $VABCD$ este egal cu: a) $8$ b) $4$ c) $6$ d) $5$

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră numerele $a=3\cdot \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)$ și $b=\frac{5}{3}:\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right)$. Media geometrică a numerelor $a$ și $b$ este egală cu: a) $1$ b) $2$ c) $4$ d) $2,5$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mare număr natural nenul $n$, știind că, dacă împărțim numerele $73$, $123$ și $223$ la $n$, obținem resturile $1$, $3$ și, respectiv, $7$, este egal cu: a) $8$ b) $12$ c) $24$ d) $72$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-6$. Graficul funcției $f$ intersectează axa $Oy$ în punctul de coordonate: a) $(0,-6)$ b) $(0,6)$ c) $(-6,0)$ d) $(6,0)$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-6$. Graficul funcției $f$ intersectează axa $Ox$ a sistemului de coordonate $xOy$ în punctul $P$. Numărul real $m$, știind că simetricul punctului $P$ față de punctul $O$ este situat pe graficul funcției $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=mx+9$, este egal cu: a) $-9$ b) $3$ c) $-3$ d) $9$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{x^2-x}{x^2-4x+3}-\frac{3}{x-3}-\frac{x}{x+1}\right):\frac{x-1}{x^2-1}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -1$, $x\ne 1$ și $x\ne 3$. Valoarea expresiei $E(x)$ este egală cu: a) $-1$ b) depinde de $x$ c) $x-1$ d) $1$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă schița unui teren în formă de trapez isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $CD=12\sqrt{2}$ m, $AD=BC=24$ m și $m(\sphericalangle BAD)=45°$. Punctul $M$ este piciorul perpendicularei din $D$ pe dreapta $AB$, $O$ este punctul de intersecție a diagonalelor trapezului $ABCD$ și $E$ este punctul de intersecție a dreptelor $AD$ și $BC$.

Arătați că $AM=12\sqrt{2}$ m.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou trapezul isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $CD=12\sqrt{2}$ m, $AD=BC=24$ m și $m(\sphericalangle BAD)=45°$, ca în figura alăturată. Punctul $M$ este piciorul perpendicularei din $D$ pe dreapta $AB$, $O$ este punctul de intersecție a diagonalelor trapezului $ABCD$ și $E$ este punctul de intersecție a dreptelor $AD$ și $BC$.

Determinați aria triunghiului $AEB$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou trapezul isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $CD=12\sqrt{2}$ m, $AD=BC=24$ m și $m(\sphericalangle BAD)=45°$, ca în figura alăturată. Punctul $M$ este piciorul perpendicularei din $D$ pe dreapta $AB$, $O$ este punctul de intersecție a diagonalelor trapezului $ABCD$, $E$ este punctul de intersecție a dreptelor $AD$ și $BC$, iar $P$ este mijlocul laturii $AB$.

Demonstrați că punctele $P$, $O$ și $E$ sunt coliniare.

Exercițiul 4 · 5 puncte Figura alăturată reprezintă o prismă dreaptă $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu baza pătratul $ABCD$, $AB=4$ cm și $A{A}^{\prime }=2\sqrt{2}$ cm. Punctul $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$.

Arătați că volumul prismei $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este egal cu $32\sqrt{2}{\text{cm}}^3$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou prisma dreaptă $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu baza pătratul $ABCD$, $AB=4$ cm și $A{A}^{\prime }=2\sqrt{2}$ cm, ca în figura alăturată. Punctul $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$.

Calculați lungimea segmentului $D^{\prime }O$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou prisma dreaptă $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu baza pătratul $ABCD$, $AB=4$ cm și $A{A}^{\prime }=2\sqrt{2}$ cm, iar punctul $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că sinusul unghiului dintre dreptele $B{C}^{\prime }$ și $EO$ este egal cu $\frac{2\sqrt{2}}{3}$, unde $E$ este punctul de intersecție a dreptelor $A^{\prime }D$ și $A{D}^{\prime }$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I, în documentul oficial: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p, fără punctaje intermediare. Subiectul al II-lea și Subiectul al III-lea, în documentul oficial: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale. Pe pagină, Subiectele I și al II-lea sunt date ca grile, deci se punctează 5 p sau 0 p.

Subiectul I (30 p)

1. b) $25-20:5=25-4=21$ (întâi împărțirea, apoi scăderea).
2. a) $10\%$ din $1500$ este $\frac{1500}{10}=150$.
3. c) Din mulțimea $A=\{0,1,2,3,4\}$, numerele impare sunt $1$ și $3$; cel mai mic dintre ele este $1$ ($0$, $2$ și $4$ sunt numere pare).
4. d) Perimetrul pătratului $=4\cdot \text{latura}=4\cdot 10=40$ cm.
5. b) Tetraedrul regulat $ABCD$ are $4$ fețe congruente (triunghiuri echilaterale); din aria triunghiului $ABC=4{\text{cm}}^2$ rezultă aria totală $=4\cdot 4=16{\text{cm}}^2$.
6. c) Din diagramă, temperatura la ora $14$ a fost $25°$C, iar la ora $18$ a fost $20°$C; diferența este $25-20=5°$C.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) Piramida patrulateră regulată $VABCD$ are baza $ABCD$ (pătrat, cu $4$ muchii: $AB$, $BC$, $CD$, $DA$) și $4$ muchii laterale: $VA$, $VB$, $VC$, $VD$; în total $4+4=8$ muchii.
2. b) $a=3\cdot \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)=3\cdot \frac{3-2+1}{6}=3\cdot \frac{2}{6}=1$; $b=\frac{5}{3}:\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right)=\frac{5}{3}:\frac{6+3-4}{12}=\frac{5}{3}:\frac{5}{12}=\frac{5}{3}\cdot \frac{12}{5}=4$. Media geometrică $=\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{1\cdot 4}=\sqrt{4}=2$.
3. c) $73=n\cdot c_1+1\Rightarrow n\mid 72$; $123=n\cdot c_2+3\Rightarrow n\mid 120$; $223=n\cdot c_3+7\Rightarrow n\mid 216$. Cel mai mare astfel de $n$ este $\text{c.m.m.d.c.}(72,120,216)=24$, care convine (fiind mai mare decât toate resturile $1$, $3$, $7$).
4. a) $f(0)=2\cdot 0-6=-6$, deci graficul intersectează axa $Oy$ în punctul $(0,-6)$.
5. b) $f(x)=0\Rightarrow 2x-6=0\Rightarrow x=3$, deci $P(3,0)$; simetricul lui $P$ față de $O$ este $S(-3,0)$. Cum $S\in G_g$: $g(-3)=0\Rightarrow -3m+9=0\Rightarrow m=3$.
6. d) $E(x)=\left(\frac{x(x-1)}{(x-1)(x-3)}-\frac{3}{x-3}-\frac{x}{x+1}\right)\cdot \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\left(\frac{x}{x-3}-\frac{3}{x-3}-\frac{x}{x+1}\right)\cdot (x+1)=\left(\frac{x-3}{x-3}-\frac{x}{x+1}\right)\cdot (x+1)=\left(1-\frac{x}{x+1}\right)\cdot (x+1)=\frac{1}{x+1}\cdot (x+1)=1$, pentru orice $x$ real, $x\ne -1$, $x\ne 1$ și $x\ne 3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Triunghiul $ADM$ este dreptunghic în $M$, cu $m(\sphericalangle DAM)=m(\sphericalangle BAD)=45°$, deci $\cos (\sphericalangle DAM)=\frac{AM}{AD}$ (2 p). Cum $\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $AD=24$ m, rezultă $\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{AM}{24}\Rightarrow AM=24\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=12\sqrt{2}$ m (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Fie $M$ și $N$ picioarele perpendicularelor duse din $D$, respectiv din $C$, pe $AB$. Prin simetria trapezului isoscel, proiecția fiecărei laturi oblice pe $AB$ este $AM=NB=12\sqrt{2}$ m, iar $MN=CD$, deci $AB=AM+MN+NB=12\sqrt{2}+CD+12\sqrt{2}=12\sqrt{2}+12\sqrt{2}+12\sqrt{2}=36\sqrt{2}$ m (1 p). Cum $m(\sphericalangle BAD)=45°$ și $ABCD$ este isoscel, rezultă $m(\sphericalangle ABC)=45°$, deci $m(\sphericalangle BAE)=m(\sphericalangle ABE)=45°$ (unde $E$ este intersecția dreptelor $AD$ și $BC$), adică $△ABE$ este dreptunghic isoscel (drept în $E$), deci $d(E,AB)=\frac{AB}{2}=\frac{36\sqrt{2}}{2}=18\sqrt{2}$ m (2 p). Aria triunghiului $AEB=\frac{AB\cdot d(E,AB)}{2}=\frac{36\sqrt{2}\cdot 18\sqrt{2}}{2}=\frac{36\cdot 18\cdot 2}{2}=648{\text{m}}^2$ (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Triunghiurile $ABD$ și $BAC$ au $AB$ latură comună, $AD=BC=24$ m și $m(\sphericalangle DAB)=m(\sphericalangle CBA)=45°$ (unghiurile de bază ale trapezului isoscel), deci $△ABD\equiv △BAC$ (caz LUL); rezultă $\sphericalangle ABD\equiv \sphericalangle BAC$, deci triunghiul $AOB$ este isoscel ($OA=OB$), iar $OP$ (mediana din $O$ către mijlocul $P$ al bazei $AB$) este și înălțime: $OP\perp AB$ (2 p). Triunghiul $ABE$ este isoscel (arătat la cerința anterioară) și $EP$ este mediană din $E$ către mijlocul $P$ al bazei $AB$, deci $EP\perp AB$; cum atât $OP$ cât și $EP$ sunt perpendiculare pe $AB$ prin același punct $P$, rezultă că punctele $P$, $O$ și $E$ sunt coliniare (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Volumul unei prisme drepte cu baza pătrat de latură $AB$ și înălțime $A{A}^{\prime }$ este $V_{ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}=A{B}^2\cdot A{A}^{\prime }$ (2 p). Înlocuind, $V_{ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}=4^2\cdot 2\sqrt{2}=16\cdot 2\sqrt{2}=32\sqrt{2}{\text{cm}}^3$ (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Diagonala pătratului $ABCD$ este $BD=AB\sqrt{2}=4\sqrt{2}$ cm; $O$ fiind mijlocul ei, $DO=\frac{BD}{2}=2\sqrt{2}$ cm (2 p). Muchia $D{D}^{\prime }=A{A}^{\prime }=2\sqrt{2}$ cm este perpendiculară pe planul bazei, deci pe $DO$; triunghiul $D^{\prime }DO$ este dreptunghic în $D$, deci $D^{\prime }O=\sqrt{D{D}^{\prime 2}+D{O}^2}=\sqrt{(2\sqrt{2}{)}^2+(2\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{8+8}=\sqrt{16}=4$ cm (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $B{C}^{\prime }\parallel A{D}^{\prime }$ (diagonale ale unor fețe opuse și congruente ale prismei), deci $m(\sphericalangle (B{C}^{\prime },EO))=m(\sphericalangle (A{D}^{\prime },EO))$ (1 p). $A{D}^{\prime }=D^{\prime }C=\sqrt{A{D}^2+D{D}^{\prime 2}}=\sqrt{4^2+(2\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{16+8}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ cm; $D^{\prime }O$ este mediană în triunghiul isoscel $D^{\prime }AC$ ($D^{\prime }A=D^{\prime }C=2\sqrt{6}$), deci $D^{\prime }O\perp AO$, unde $AO=\frac{AC}{2}=2\sqrt{2}$ cm. Calculăm $OF=\frac{AO\cdot D^{\prime }O}{A{D}^{\prime }}=\frac{2\sqrt{2}\cdot 4}{2\sqrt{6}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$ cm, unde $OF\perp A{D}^{\prime }$, $F\in A{D}^{\prime }$ (2 p). Cum $E$ este mijlocul comun al segmentelor $A^{\prime }D$ și $A{D}^{\prime }$ (diagonalele dreptunghiului $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ se înjumătățesc reciproc), $OE$ este mediană în triunghiul $O{A}^{\prime }D$; triunghiul $AO{A}^{\prime }$ este dreptunghic în $A$ ($A{A}^{\prime }\perp$ planul bazei), deci $O{A}^{\prime }=\sqrt{A{O}^2+A{A}^{\prime 2}}=\sqrt{8+8}=4$ cm, iar cu formula medianei, $O{E}^2=\frac{2\cdot O{A}^{\prime 2}+2\cdot O{D}^2-A^{\prime }{D}^2}{4}=\frac{2\cdot 16+2\cdot 8-24}{4}=6$, deci $OE=\sqrt{6}$ cm. Triunghiul $EOF$ este dreptunghic în $F$, deci $\sin (\sphericalangle (A{D}^{\prime },EO))=\sin (\sphericalangle AEO)=\frac{OF}{OE}=\frac{4\sqrt{3}}{3}:\sqrt{6}=\frac{4\sqrt{3}}{3\sqrt{6}}=\frac{4}{3\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ (2 p).

Examen oficial de Evaluare Națională, Varianta 1, susținut de absolvenții clasei a VIII-a în iunie 2019, publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și al II-lea sunt aduse la formatul grilă: enunțul și răspunsul corect sunt cele din document, iar cele trei variante greșite de la fiecare cerință sunt scrise de noi; cerințele 1 și 4 ale Subiectului al II-lea sunt reformulate din sarcini de construcție (un desen, respectiv o reprezentare grafică), care nu se pot da pe ecran. Subiectul al III-lea este reprodus enunț cu enunț și barem cu barem, cu figurile redesenate după cele din document, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 cerințe, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Documentul de față nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de matematică al Evaluării Naționale pentru absolvenții clasei a VIII-a, anul școlar 2018–2019, sesiunea iunie, Varianta 1 — publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, împreună cu baremul de evaluare și de notare. Enunțurile și rezultatele urmează documentul oficial, iar figurile au fost redesenate după cele din subiect, cu aceeași configurație. Rezolvările, explicațiile și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi, iar punctajul de la Subiectul al II-lea și de la Subiectul al III-lea urmează rând cu rând baremul oficial.

Notă de transparență privind formatul. În 2019 documentul oficial nu era grilă: la Subiectul I se cerea „Pe foaia de examen scrieți numai rezultatele”, iar la Subiectul al II-lea „Pe foaia de examen scrieți rezolvările complete”, punctate pe pași în barem. Pe pagină, cerințele Subiectelor I și al II-lea sunt date ca grile, ca proba să poată fi rezolvată pe ecran: enunțul și răspunsul corect sunt cele din documentul oficial, iar cele trei variante greșite de la fiecare cerință sunt adăugate de noi și nu apar în original. Două cerințe ale Subiectului al II-lea cereau o construcție și au fost reformulate: cerința 1 cerea „Desenați, pe foaia de examen, o piramidă patrulateră regulată de vârf $V$ și bază $ABCD$” (baremul dădea $4$ puncte desenului și $1$ punct notării literelor), iar aici se cere numărul muchiilor piramidei $VABCD$; cerința 4 a) cerea „Reprezentați grafic funcția $f$ într-un sistem de coordonate $xOy$” (baremul dădea $2$ puncte pentru reprezentarea unui punct al graficului, $2$ puncte pentru al doilea punct și $1$ punct pentru trasarea dreptei), iar aici se cere punctul în care graficul funcției $f(x)=2x-6$ taie axa $Oy$. Subiectul al III-lea este reprodus ca atare, enunț și barem.

Structura probei:

Total: 100 de puncte, timp de lucru două ore. Nota se obține împărțind punctajul total la zece.

Harta materiei, pe cele 18 cerințe ale probei de clasa 8:

• Ordinea operațiilor — împărțirea se face înaintea scăderii; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 1)
• Procente — $10\%$ dintr-un număr dat; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 2)
• Numere pare și impare — cel mai mic număr impar dintr-o mulțime finită; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 3)
• Perimetrul pătratului — patru laturi egale, nu latura la pătrat; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 4)
• Tetraedrul regulat — aria totală obținută din aria unei fețe; clasa a VIII-a. (Subiectul I, cerința 5)
• Statistică și diagrame — două valori citite din diagramă și diferența lor; clasele VI–VIII. (Subiectul I, cerința 6)
• Piramida patrulateră regulată — elementele corpului și numărul muchiilor; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 1)
• Media geometrică — două numere date prin expresii cu fracții; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 2)
• Divizibilitate — cel mai mare divizor comun dedus din trei resturi; clasa a VI-a. (Subiectul al II-lea, cerința 3)
• Graficul funcției liniare — punctul în care graficul taie axa $Oy$; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 4)
• Simetricul față de origine — și condiția ca un punct să fie pe un grafic; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 5)
• Fracții algebrice — o expresie care nu depinde de $x$; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 6)
• Trapez isoscel — proiecția laturii oblice, prin cosinusul unghiului de $45^{\circ }$; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 1)
• Triunghi dreptunghic isoscel — aria, după aflarea bazei mari a trapezului; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 2)
• Coliniaritate — două perpendiculare duse pe aceeași dreaptă, prin același punct; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 3)
• Prisma dreaptă cu baza pătrat — volumul, din aria bazei și muchia laterală; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 4)
• Distanțe în spațiu — un segment aflat cu teorema lui Pitagora; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 5)
• Unghiul a două drepte în spațiu — paralelism, linie mijlocie și sinusul unghiului; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 6)

Ce a cerut, de fapt, proba din 2019. La Subiectul I, trei cerințe se pierd din neatenție, nu din necunoaștere: la cerința 1, $(25-20):5=1$ este chiar una dintre variante, deci cine adună sau scade înaintea împărțirii găsește un rezultat „frumos” și se oprește acolo; la cerința 3, $0$ este par, deci cel mai mic număr impar din mulțime este $1$, nu $0$; la cerința 5, tetraedrul regulat are patru fețe congruente, nu trei fețe laterale și o bază deosebită de ele, așa că aria totală este de patru ori aria dată. Subiectul al II-lea cerea rezolvări scrise: la cerința 3 se scade întâi restul ($73-1$, $123-3$, $223-7$) și abia apoi se caută cel mai mare divizor comun, iar baremul cere și verificarea „care convine”, adică $24>7$; la cerința 6, capcana este să crezi că valoarea expresiei depinde de $x$ — după simplificări, $x$ dispare complet. La Subiectul al III-lea, unghiul de $45^{\circ }$ face din triunghiul $ADM$ un triunghi dreptunghic isoscel și dă $AM=12\sqrt{2}$ m; baza mare se obține din trei bucăți egale, $AB=36\sqrt{2}$ m; coliniaritatea punctelor $P$, $O$ și $E$ se demonstrează arătând că prin $P$ trec două perpendiculare pe $AB$, care deci coincid; iar la ultima cerință, paralelismul $B{C}^{\prime }\parallel A{D}^{\prime }$ este singurul pas care mută unghiul într-un triunghi cu care se poate lucra.

Cum se dă ca probă completă:

• Punctaj: 90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.
• Timp de lucru: 2 ore, cronometrate. Reper pentru un elev de a 8-a care se antrenează acasă: cronometrul pornit de la prima cerință. Reper: $25$ de minute pentru Subiectul I, $35$ pentru Subiectul al II-lea, restul pentru Subiectul al III-lea și pentru recitire.
• Materiale: foaie de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator. Rezultatele sunt „curate”: întregi sau expresii de forma $12\sqrt{2}$.
• Redactare: pe pagină, la Subiectele I și al II-lea se alege o singură variantă; în examenul din 2019 se scria rezultatul, respectiv rezolvarea completă. La Subiectul al III-lea se scriu toți pașii, altfel rezultatul corect nu ia punctajul întreg.

Regulile oficiale de notare, de pe baremul probei din 2019: se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare. La Subiectul I: se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie 5 puncte, fie 0 puncte și nu se acordă punctaje intermediare. La Subiectul al II-lea și la Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător și nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem — de aceea, în 2019, Subiectul al II-lea se scria integral, nu se bifa.

Ce se depunctează la Subiectul al III-lea, pe această variantă: $AM=12\sqrt{2}$ m scris direct din „triunghi dreptunghic isoscel”, fără raportul $\cos (\angle DAM)=\frac{AM}{AD}$, pentru care baremul dă $2$ puncte din $5$ (cerința 1); aria triunghiului $AEB$ calculată fără $AB=36\sqrt{2}$ m, punctată separat cu $1$ punct (cerința 2); „punctele sunt coliniare” afirmat fără cele două perpendiculare duse prin $P$ pe $AB$ (cerința 3); volumul scris direct, fără formula ${\mathcal{A}}_{\text{baza˘}}\cdot A{A}^{\prime }$, care valorează $2$ puncte (cerința 4); $D^{\prime }O$ calculat fără justificarea că $D{D}^{\prime }\perp DO$, adică fără să se folosească faptul că prisma este dreaptă (cerința 5); sinusul calculat fără $B{C}^{\prime }\parallel A{D}^{\prime }$, pasul de $1$ punct care mută unghiul (cerința 6).

Interpretarea punctajului: