Evaluarea Națională 2020, sesiunea iunie — subiectul oficial, rezolvat

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $60-20:2$ este egal cu: a) $40$ b) $20$ c) $50$ d) $70$

Exercițiul 2 · 5 puncte Numărul care reprezintă $\frac{1}{4}$ din $120$ este egal cu: a) $30$ b) $60$ c) $480$ d) $20$

Exercițiul 3 · 5 puncte Cel mai mic număr natural din intervalul $I=[10,20]$ este egal cu: a) $20$ b) $0$ c) $11$ d) $10$

Exercițiul 4 · 5 puncte Pătratul $MNPQ$ are latura de $5$ cm. Aria pătratului $MNPQ$ este egală cu: a) $20{\text{cm}}^2$ b) $25{\text{cm}}^2$ c) $10{\text{cm}}^2$ d) $100{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Unghiul dreptelor $BC$ și $D{D}^{\prime }$ are măsura de: a) $45°$ b) $90°$ c) $60°$ d) $30°$

Exercițiul 6 · 5 puncte Într-un depozit sunt în total $100$ kg de fructe. Repartiția procentuală a tipurilor de fructe din depozit este reprezentată în diagrama de mai jos.

Conform informațiilor din diagramă, cantitatea de gutui din acest depozit este de: a) $35$ kg b) $15$ kg c) $20$ kg d) $30$ kg

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Se consideră cubul $ABCDEFGH$, ca în figura alăturată.

Numărul muchiilor cubului $ABCDEFGH$ este egal cu: a) $8$ b) $6$ c) $12$ d) $24$

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră numerele raționale $a=\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\right):\frac{1}{12}$ și $b=3\cdot \left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)$. Media aritmetică a numerelor $a$ și $b$ este egală cu: a) $1$ b) $2$ c) $3$ d) $4$

Exercițiul 3 · 5 puncte Ana și Mihai au economisit, împreună, $140$ de lei, iar $30\%$ din suma economisită de Ana reprezintă două cincimi din suma economisită de Mihai. Suma economisită de Ana este egală cu: a) $60$ lei b) $90$ lei c) $70$ lei d) $80$ lei

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră numărul real $x=3^{47}:3^{45}-2^{40}:2^{38}$. Valoarea numărului $x$ este egală cu: a) $5$ b) $13$ c) $1$ d) $-5$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră numerele reale $x=3^{47}:3^{45}-2^{40}:2^{38}$ și $y=\left(\frac{1}{\sqrt{5}}+\sqrt{5}\right)\cdot \sqrt{5}+\left(\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right):\frac{1}{3\sqrt{3}}$, precum și numărul natural $N=y-\frac{x+1}{2}$. Cel mai mic număr natural de două cifre care este divizibil cu $N$ este egal cu: a) $9$ b) $18$ c) $27$ d) $10$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=(2x+1{)}^2-3(x-1{)}^2-(x-1)(x+1)-6(x+1)$, unde $x$ este număr real. Mulțimea numerelor naturale $n$ pentru care $E(n)\le -1$ este egală cu: a) $\{0,1\}$ b) $\{0\}$ c) $\{1,2\}$ d) $\{0,1,2\}$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un paralelogram $ABCD$ cu $AB=13$ cm, $BC=10$ cm și $m(\angle BAD)<90°$. Se consideră punctul $E$ astfel încât $DE\parallel AC$, $DE<AC$ și segmentele $BC$ și $CE$ sunt congruente.

Arătați că perimetrul paralelogramului $ABCD$ este egal cu $46$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou paralelogramul $ABCD$ cu $AB=13$ cm, $BC=10$ cm și $m(\angle BAD)<90°$, ca în figura alăturată. Punctul $E$ este astfel încât $DE\parallel AC$, $DE<AC$ și segmentele $BC$ și $CE$ sunt congruente.

Demonstrați că segmentele $AB$ și $AE$ sunt congruente.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou paralelogramul $ABCD$ cu $AB=13$ cm, $BC=10$ cm și $m(\angle BAD)<90°$, ca în figura alăturată. Punctul $E$ este astfel încât $DE\parallel AC$, $DE<AC$ și segmentele $BC$ și $CE$ sunt congruente.

Demonstrați că, dacă măsura unghiului $BCE$ este de $60°$, atunci aria patrulaterului $ABCE$ este egală cu $60+25\sqrt{3}{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi $ABCD$ cu $AB=24$ cm și $BC=10$ cm. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, iar dreapta $EO$ este perpendiculară pe planul $(ABC)$. Punctele $M$, $N$ și $P$ sunt mijloacele segmentelor $AB$, $AD$, respectiv $AE$.

Arătați că aria dreptunghiului $ABCD$ este egală cu $240{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=24$ cm și $BC=10$ cm, ca în figura alăturată. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, dreapta $EO$ este perpendiculară pe planul $(ABC)$, iar punctele $M$, $N$ și $P$ sunt mijloacele segmentelor $AB$, $AD$, respectiv $AE$.

Demonstrați că planele $(MNP)$ și $(BDE)$ sunt paralele.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=24$ cm și $BC=10$ cm, punctul $O$ intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, dreapta $EO$ perpendiculară pe planul $(ABC)$, iar $M$, $N$, $P$ mijloacele segmentelor $AB$, $AD$, respectiv $AE$, ca în figura alăturată.

Arătați că distanța dintre planele $(MNP)$ și $(BDE)$ este egală cu $\frac{60}{13}$ cm.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I, în documentul oficial: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p, fără punctaje intermediare. Subiectul al II-lea și Subiectul al III-lea, în documentul oficial: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale. Pe pagină, Subiectele I și al II-lea sunt date ca grile, deci se punctează 5 p sau 0 p.

Subiectul I (30 p)

1. c) $60-20:2=60-10=50$ (întâi împărțirea, apoi scăderea).
2. a) $\frac{1}{4}$ din $120$ este $\frac{120}{4}=30$.
3. d) Intervalul $I=[10,20]$ este închis la ambele capete, deci $10$ îi aparține; cel mai mic număr natural din $I$ este $10$.
4. b) Aria pătratului $={\text{latura}}^2=5^2=25{\text{cm}}^2$.
5. b) Într-un paralelipiped dreptunghic, muchia laterală $D{D}^{\prime }$ este perpendiculară pe planul bazei $ABCD$, deci pe orice dreaptă din acest plan, inclusiv pe $BC$; unghiul dreptelor $BC$ și $D{D}^{\prime }$ are măsura de $90°$.
6. c) Din diagramă, gutuile reprezintă $20\%$ din total, adică $\frac{20}{100}\cdot 100=20$ kg.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) Cubul $ABCDEFGH$ are $12$ muchii: patru pe baza $ABCD$, patru pe baza $EFGH$ și patru laterale. (În documentul oficial, cerința era „Desenați, pe foaia de examen, un cub $ABCDEFGH$", cu $4$ puncte pentru desen și $1$ punct pentru notarea vârfurilor.)
2. b) $a=\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\right):\frac{1}{12}=\frac{1}{4}\cdot \frac{12}{1}=3$; $b=3\cdot \left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)=3\cdot \frac{4-3+1}{6}=3\cdot \frac{2}{6}=1$. Media aritmetică este $m_a=\frac{a+b}{2}=\frac{3+1}{2}=2$.
3. d) Notăm cu $x$ suma economisită de Ana; atunci $\frac{30}{100}\cdot x=\frac{2}{5}(140-x)$, de unde $3x=560-4x$, deci $7x=560$ și $x=80$: Ana a economisit $80$ de lei.
4. a) $x=3^{47}:3^{45}-2^{40}:2^{38}=3^{47-45}-2^{40-38}=3^2-2^2=9-4=5$.
5. b) $y=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \sqrt{5}+\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}+\left(\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\cdot 3\sqrt{3}=1+5+9-3=12$; cu $x=5$, obținem $N=y-\frac{x+1}{2}=12-\frac{6}{2}=12-3=9$, iar cel mai mic număr natural de două cifre divizibil cu $9$ este $18$ (numărul $9$ are o singură cifră).
6. a) $E(x)=4x^2+4x+1-3\left(x^2-2x+1\right)-\left(x^2-1\right)-6x-6=4x^2+4x+1-3x^2+6x-3-x^2+1-6x-6=4x-7$, pentru orice număr real $x$. Atunci $4n-7\le -1\iff n\le \frac{3}{2}$ și, cum $n$ este număr natural, obținem $n=0$ sau $n=1$, deci mulțimea căutată este $\{0,1\}$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte $ABCD$ este paralelogram, deci laturile opuse sunt congruente și perimetrul se calculează cu $P_{ABCD}=2(AB+BC)$ (3 p). Înlocuind, $P_{ABCD}=2(13+10)=2\cdot 23=46$ cm (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $BC\equiv CE$ (din ipoteză) și $AD\equiv BC$ (laturi opuse în paralelogramul $ABCD$), deci $AD\equiv CE$ și, cum $DE\parallel AC$, obținem că $ACED$ este trapez isoscel, deci $AE\equiv CD$ (3 p). $AB\equiv CD$ (laturi opuse în paralelogramul $ABCD$), deci $AB\equiv AE$ (2 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte Triunghiul $BCE$ este isoscel, cu $BC\equiv CE$ și $m(\angle BCE)=60°$, deci este echilateral, cu latura de $10$ cm, și are aria $\frac{B{C}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{10^2\sqrt{3}}{4}=25\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (2 p). Din $AB\equiv AE$ și $BC\equiv CE$ rezultă că $AC$ este mediatoarea segmentului $BE$; notând cu $F$ punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BE$, avem $BF=\frac{BE}{2}=5$ cm, deci $AF=\sqrt{A{B}^2-B{F}^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$ cm, de unde ${\mathcal{A}}_{△ABE}=\frac{BE\cdot AF}{2}=\frac{10\cdot 12}{2}=60{\text{cm}}^2$ și ${\mathcal{A}}_{ABCE}={\mathcal{A}}_{△ABE}+{\mathcal{A}}_{△BCE}=60+25\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte $ABCD$ este dreptunghi, deci aria se calculează cu ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot BC$ (3 p). Înlocuind, ${\mathcal{A}}_{ABCD}=24\cdot 10=240{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$, respectiv $AD$, deci $MN$ este linie mijlocie în triunghiul $ABD$; $M$ și $P$ sunt mijloacele laturilor $AB$, respectiv $AE$, deci $MP$ este linie mijlocie în triunghiul $ABE$ (2 p). Rezultă $MN\parallel BD$ și $MP\parallel BE$; cum $MN\cap MP=\{M\}$ și $BD\cap BE=\{B\}$, obținem $(MNP)\parallel (BDE)$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Fie $T\in BD$ astfel încât $AT\perp BD$, cu $AT\subset (ABC)$. Cum $EO\perp (ABC)$, rezultă $EO\perp AT$ și, cum $BD\cap EO=\{O\}$, obținem $AT\perp (BDE)$; deoarece $(MNP)\parallel (BDE)$, avem și $AT\perp (MNP)$, deci $d((MNP),(BDE))=TS$, unde $\{S\}=MN\cap AT$ (3 p). $N$ este mijlocul segmentului $AD$ și $NS\parallel BD$, deci $NS$ este linie mijlocie în triunghiul $ATD$, de unde $TS=\frac{AT}{2}$; cum $BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{576+100}=\sqrt{676}=26$ cm și $AT=\frac{AD\cdot AB}{BD}=\frac{10\cdot 24}{26}=\frac{120}{13}$ cm, obținem $TS=\frac{60}{13}$ cm (2 p).

Examen oficial de Evaluare Națională, Varianta 1, susținut de absolvenții clasei a VIII-a pe 17 iunie 2020, publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Subiectele I și al II-lea sunt aduse la formatul grilă: enunțul și răspunsul corect sunt cele din document, iar cele trei variante greșite de la fiecare cerință sunt scrise de noi; cerința 1 a Subiectului al II-lea este reformulată din sarcina de desen a documentului, iar cerințele 4 a) și 4 b) ale aceluiași subiect sunt numerotate aici ca două cerințe separate. Subiectul al III-lea este reprodus enunț cu enunț și barem cu barem, cu figurile redesenate după cele din document, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 cerințe, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Documentul de față nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de matematică al Evaluării Naționale pentru absolvenții clasei a VIII-a, anul școlar 2019–2020, sesiunea iunie, Varianta 1 — publicat de Ministerul Educației și Cercetării prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, împreună cu baremul de evaluare și de notare. Proba s-a susținut pe 17 iunie 2020, după un semestru în care școala s-a ținut de acasă, cu programă restrânsă. Enunțurile și rezultatele urmează documentul oficial, iar figurile au fost redesenate după cele din subiect, cu aceeași configurație. Rezolvările, explicațiile și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi, iar punctajul de la Subiectul al II-lea și de la Subiectul al III-lea urmează rând cu rând baremul oficial.

Notă de transparență privind formatul. În 2020 documentul oficial nu era grilă: la Subiectul I se cerea „Pe foaia de examen scrieți numai rezultatele", iar la Subiectul al II-lea „Pe foaia de examen scrieți rezolvările complete", punctate pe pași în barem. Pe pagină, cerințele Subiectelor I și al II-lea sunt date ca grile, ca proba să poată fi rezolvată pe ecran: enunțul și răspunsul corect sunt cele din documentul oficial, iar cele trei variante greșite de la fiecare cerință sunt adăugate de noi și nu apar în original. O cerință a Subiectului al II-lea cerea o construcție și a fost reformulată: cerința 1 cerea „Desenați, pe foaia de examen, un cub $ABCDEFGH$" (baremul dădea $4$ puncte desenului și $1$ punct notării literelor), iar aici se cere numărul muchiilor cubului $ABCDEFGH$. Tot la Subiectul al II-lea, cerința oficială 4 avea două subpuncte, a) și b), fiecare de câte $5$ puncte; pe pagină ele au devenit cerințele 4 și 5, iar cerința oficială 5 a devenit cerința 6 — o renumerotare, fără nicio schimbare de enunț sau de valori. Subiectul al III-lea este reprodus ca atare, enunț și barem.

Structura probei:

Total: 100 de puncte, timp de lucru două ore. Nota se obține împărțind punctajul total la zece.

Harta materiei, pe cele 18 cerințe ale probei de clasa 8:

• Ordinea operațiilor — împărțirea se face înaintea scăderii; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 1)
• Fracție dintr-un număr — un sfert din $120$; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 2)
• Intervale de numere reale — cel mai mic număr natural dintr-un interval închis; clasa a VIII-a. (Subiectul I, cerința 3)
• Aria pătratului — latura la pătrat, nu perimetrul; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 4)
• Unghiul a două drepte în spațiu — muchia laterală a paralelipipedului, perpendiculară pe planul bazei; clasa a VIII-a. (Subiectul I, cerința 5)
• Diagramă de bare cu procente — procentul citit din diagramă, aplicat la cantitatea totală; clasele VI–VIII. (Subiectul I, cerința 6)
• Cubul — elementele corpului și numărul muchiilor; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 1)
• Media aritmetică — două numere raționale date prin expresii cu fracții; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 2)
• Procente într-o problemă cu două necunoscute — o ecuație de gradul I; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 3)
• Puteri cu aceeași bază — împărțirea puterilor și diferența exponenților; clasele VI–VII. (Subiectul al II-lea, cerința 4)
• Operații cu radicali și divizibilitate — calculul lui $y$, apoi cel mai mic multiplu de două cifre; clasele VII–VIII. (Subiectul al II-lea, cerința 5)
• Formule de calcul prescurtat — o expresie care se reduce la gradul I și o inecuație în mulțimea numerelor naturale; clasele VII–VIII. (Subiectul al II-lea, cerința 6)
• Perimetrul paralelogramului — laturi opuse congruente; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 1)
• Trapezul isoscel — diagonalele congruente, deduse din laturile neparalele congruente; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 2)
• Triunghiul echilateral și mediatoarea — aria unui patrulater descompus în două triunghiuri; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 3)
• Aria dreptunghiului — produsul dimensiunilor; clasele V–VI. (Subiectul al III-lea, cerința 4)
• Plane paralele — două linii mijlocii concurente și criteriul de paralelism a două plane; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 5)
• Distanța dintre două plane paralele — perpendiculara pe plan, linia mijlocie și înălțimea din unghiul drept; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 6)

Ce a cerut, de fapt, proba din 2020. La Subiectul I, jumătate dintre cerințe se pierd din neatenție, nu din necunoaștere: la cerința 1, $(60-20):2=20$ este chiar una dintre variante, deci cine scade înaintea împărțirii găsește un rezultat „frumos" și se oprește acolo; la cerința 3, intervalul $I=[10,20]$ este închis la ambele capete, deci $10$ face parte din el, iar răspunsul nu este $11$; la cerința 4 se cere aria, nu perimetrul, deci $5^2$, nu $4\cdot 5$; la cerința 6, cantitatea de gutui iese egală cu procentul doar pentru că totalul este exact $100$ kg — orice alt total ar fi cerut o înmulțire. Subiectul al II-lea cerea rezolvări scrise: la cerința 3 se scrie ecuația $\frac{30}{100}x=\frac{2}{5}(140-x)$ înainte de orice calcul, iar baremul dă $3$ puncte din $5$ tocmai pe punerea ei în pagină; la cerința despre $E(x)$, capcana este să crezi că expresia rămâne de gradul al doilea — după desfacerea parantezelor, termenii în $x^2$ se anulează și rămâne $4x-7$, o expresie de gradul I. La Subiectul al III-lea, pasul care deschide problema de geometrie plană este observația că $ACED$ este trapez isoscel (laturile neparalele $AD$ și $CE$ sunt congruente), de unde diagonalele $AE$ și $CD$ sunt congruente; la ultima cerință, întreaga rezolvare stă pe faptul că $AT\perp (BDE)$, iar distanța cerută este jumătate din înălțimea $AT$ a triunghiului dreptunghic $ABD$.

Cum se dă ca probă completă:

• Punctaj: 90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.
• Timp de lucru: 2 ore, cronometrate. Reper pentru un elev de a 8-a care se antrenează acasă: cronometrul pornit de la prima cerință, $25$ de minute pentru Subiectul I, $35$ pentru Subiectul al II-lea, restul pentru Subiectul al III-lea și pentru recitire.
• Materiale: foaie de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator. Rezultatele sunt „curate": întregi sau expresii de forma $25\sqrt{3}$ și $\frac{60}{13}$.
• Redactare: pe pagină, la Subiectele I și al II-lea se alege o singură variantă; în examenul din 2020 se scria rezultatul, respectiv rezolvarea completă. La Subiectul al III-lea se scriu toți pașii, altfel rezultatul corect nu ia punctajul întreg.

Regulile oficiale de notare, de pe baremul probei din 2020: se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare. La Subiectul I: se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie 5 puncte, fie 0 puncte și nu se acordă punctaje intermediare. La Subiectul al II-lea și la Subiectul al III-lea, grupate împreună în baremul din 2020: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător și nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem — de aceea, în 2020, Subiectul al II-lea se scria integral, nu se bifa. Din 2021, gruparea s-a mutat: Subiectul I și Subiectul al II-lea se punctează amândouă doar pe rezultat.

Ce se depunctează la Subiectul al III-lea, pe această variantă: perimetrul scris direct ca $46$ cm, fără formula $P_{ABCD}=2(AB+BC)$, pentru care baremul dă $3$ puncte din $5$ (cerința 1); concluzia $AB\equiv AE$ afirmată fără lanțul $BC\equiv CE$, $AD\equiv BC$, $ACED$ trapez isoscel, care valorează $3$ puncte (cerința 2); aria triunghiului echilateral $BCE$, punctată separat cu $2$ puncte, fără de care restul de $3$ puncte nu se acordă (cerința 3); aria dreptunghiului scrisă direct, fără formula ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot BC$, care valorează $3$ puncte (cerința 4); paralelismul planelor afirmat fără cele două linii mijlocii, numite explicit, care valorează $2$ puncte (cerința 5); distanța calculată fără justificarea $AT\perp (BDE)$, pasul de $3$ puncte al ultimei cerințe (cerința 6).

Interpretarea punctajului: