Evaluarea Națională 2021, sesiunea iunie — subiectul oficial, rezolvat

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Dintre numerele $15$, $17$, $25$ și $30$, numărul divizibil cu $10$ este: a) $15$ b) $17$ c) $25$ d) $30$

Exercițiul 2 · 5 puncte Un obiect costă $100$ de lei. După o scumpire cu $10\%$, noul preț al obiectului este egal cu: a) $10$ lei b) $90$ de lei c) $100$ de lei d) $110$ lei

Exercițiul 3 · 5 puncte Temperaturile aerului măsurate de Maria, într-o zi, la ora $8:00$ și la ora $12:00$, sunt înregistrate în tabelul de mai jos.

Conform informațiilor din tabel, temperatura măsurată la ora $12:00$ este mai mare decât temperatura măsurată la ora $8:00$ cu: a) $8^{\circ }$C b) $2^{\circ }$C c) $-2^{\circ }$C d) $-8^{\circ }$C

Exercițiul 4 · 5 puncte Fracția subunitară din mulțimea $A=\left\{\frac{44}{10},\frac{5}{4},\frac{4}{5},4\right\}$ este: a) $\frac{4}{5}$ b) $\frac{5}{4}$ c) $4$ d) $\frac{44}{10}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Rezultatul calculului $2\sqrt{2}-6\sqrt{2}+3\sqrt{2}$ este egal cu: a) $11\sqrt{2}$ b) $-4\sqrt{2}$ c) $-\sqrt{6}$ d) $-\sqrt{2}$

Exercițiul 6 · 5 puncte Bunica lui Andrei are în curte $10$ găini și de două ori mai multe rațe. Andrei afirmă că: „Bunica are în curte $10$ găini și $20$ de rațe.”. Afirmația lui Andrei este: a) adevărată b) falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate punctele distincte $A$, $B$, $C$ și $D$. Punctul $B$ este mijlocul segmentului $AC$ și punctul $C$ este mijlocul segmentului $AD$. Valoarea raportului $\frac{BD}{AB}$ este egală cu:

a) $3$ b) $2$ c) $0,75$ d) $0,50$

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile $AOB$ și $BOC$, adiacente suplementare, semidreapta $OD$ este bisectoarea unghiului $AOB$ și măsura unghiului $BOC$ este de $40^{\circ }$. Măsura unghiului $BOD$ este egală cu:

a) $70^{\circ }$ b) $60^{\circ }$ c) $40^{\circ }$ d) $30^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=4$ cm și $AC=6$ cm. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AC$. Lungimea segmentului $BM$ este egală cu:

a) $3$ cm b) $4$ cm c) $5$ cm d) $6$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$, cu $AB=6$ cm și $BC=3$ cm. Bisectoarea unghiului $BAD$ intersectează latura $DC$ în punctul $P$. Măsura unghiului $APB$ este egală cu:

a) $135^{\circ }$ b) $90^{\circ }$ c) $60^{\circ }$ d) $45^{\circ }$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și raza de $2$ cm, unde $AB$ și $CD$ sunt diametre perpendiculare. Distanța de la punctul $C$ la dreapta $AD$ este egală cu:

a) $2$ cm b) $2\sqrt{2}$ cm c) $2\sqrt{3}$ cm d) $4$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată $VABCD$, cu baza $ABCD$ și $VA=AB=4$ cm. Aria laterală a piramidei $VABCD$ este egală cu:

a) $16$ cm² b) $16\sqrt{2}$ cm² c) $16\sqrt{3}$ cm² d) $32$ cm²

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un turist a parcurs un traseu în trei zile. În a doua zi a parcurs cu $6$ km mai puțin decât în prima zi, iar în a treia zi $50\%$ din distanța parcursă în primele două zile. a) (2 p) Este posibil ca distanța parcursă de turist în primele două zile să reprezinte $50\%$ din lungimea întregului traseu? Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Știind că turistul a parcurs în a treia zi $9$ km, determină lungimea traseului parcurs în prima zi.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=(2x-1{)}^2-(2x-4)(x+2)+(x+3{)}^2$, unde $x$ este număr real. a) (2 p) Arată că $E(x)=3x^2+2x+18$, pentru orice număr real $x$. b) (3 p) Demonstrează că numărul natural $A=E(n)+n$ este multiplu de $6$, pentru orice număr natural $n$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-2$. a) (2 p) Arată că $f(3)-f(-3)=6$. b) (3 p) În sistemul de axe ortogonale $xOy$, determină distanța de la punctul $C(-2,0)$ la reprezentarea grafică a funcției $f$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$, cu $AB=3$ cm și înălțimea $AD$, unde punctul $D$ se află pe latura $BC$. Punctul $M$ aparține laturii $AB$, astfel încât $AM=1$ cm. Paralela prin punctul $M$ la dreapta $AC$ intersectează dreapta $AD$ în punctul $Q$ și dreapta $BC$ în punctul $P$.

a) (2 p) Arată că perimetrul triunghiului $BMP$ este egal cu $6$ cm. b) (3 p) Determină lungimea segmentului $PQ$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră trapezul isoscel $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, măsura unghiului $ADC$ este egală cu $120^{\circ }$ și $AD=DC=6$ cm. Dreapta $MP$ este mediatoarea segmentului $BC$, unde punctul $M$ aparține dreptei $AB$ și punctul $P$ aparține dreptei $BC$.

a) (2 p) Arată că $AB=12$ cm. b) (3 p) Demonstrează că dreptele $DM$ și $MP$ sunt perpendiculare.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cu $AB=6\sqrt{2}$ cm.

a) (2 p) Arată că volumul cubului $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este egal cu $432\sqrt{2}$ cm³. b) (3 p) Determină distanța de la punctul $O$ la planul $(BD{D}^{\prime })$, unde $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $A{D}^{\prime }$ și $A^{\prime }D$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. d) Dintre $15$, $17$, $25$, $30$, doar $30$ este divizibil cu $10$.
2. d) Scumpire cu $10\%$: $100+100\cdot 0,1=110$ lei.
3. a) $5-(-3)=8^{\circ }$C.
4. a) Fracție subunitară (mai mică decât $1$): $\frac{4}{5}=0,8<1$; celelalte sunt supraunitare sau egale cu $4$.
5. d) $2\sqrt{2}-6\sqrt{2}+3\sqrt{2}=(2-6+3)\sqrt{2}=-\sqrt{2}$.
6. a) Rațele sunt de două ori mai multe decât găinile: $2\cdot 10=20$, deci afirmația este adevărată.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) $B$ mijlocul lui $AC$: $AB=BC$; $C$ mijlocul lui $AD$: $AC=CD$. Notând $AB=t$, obținem $AC=2t$, $CD=2t$, deci $AD=4t$ și $BD=BC+CD=t+2t=3t$; $\frac{BD}{AB}=3$.
2. a) Unghiurile $AOB$ și $BOC$ sunt suplementare: $m(\angle AOB)=180^{\circ }-40^{\circ }=140^{\circ }$; $OD$ fiind bisectoarea lui $\angle AOB$, $m(\angle BOD)=\frac{140^{\circ }}{2}=70^{\circ }$.
3. c) Punctul $M$ fiind mijlocul catetei $AC$, avem $AM=\frac{AC}{2}=3$ cm. Triunghiul $ABM$ este dreptunghic în $A$, deci $BM=\sqrt{A{B}^2+A{M}^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$ cm.
4. b) În triunghiul $ADP$, dreptunghic în $D$, bisectoarea dă $m(\angle DAP)=45^{\circ }$, deci $m(\angle DPA)=45^{\circ }$ și $DP=AD=BC=3$ cm. Atunci $PC=DC-DP=6-3=3$ cm $=BC$, deci și triunghiul $BCP$ este dreptunghic isoscel, cu $m(\angle BPC)=45^{\circ }$. Cum $D$, $P$, $C$ sunt coliniare, $m(\angle APB)=180^{\circ }-45^{\circ }-45^{\circ }=90^{\circ }$.
5. b) Punctele $C$ și $D$ sunt capetele unui diametru, deci unghiul $CAD$ este înscris în semicerc și $m(\angle CAD)=90^{\circ }$; prin urmare $CA\perp AD$, iar distanța de la $C$ la dreapta $AD$ este chiar segmentul $CA$. În triunghiul $COA$, dreptunghic în $O$ (diametrele sunt perpendiculare), cu $OC=OA=2$ cm, obținem $CA=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$ cm.
6. c) Toate muchiile laterale sunt egale cu $4$ cm (ca $VA$), deci fiecare față laterală este triunghi echilateral cu latura $4$; aria unei fețe este $4\sqrt{3}$ cm², iar aria laterală totală (4 fețe) este $16\sqrt{3}$ cm².

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Dacă distanța parcursă de turist în primele două zile ar reprezenta $50\%$ din lungimea întregului traseu, atunci în a treia zi turistul ar parcurge $50\%$ din $50\%$ din lungimea traseului (1 p). În a treia zi turistul ar parcurge $25\%$ din lungimea întregului traseu, deci nu este posibil ca distanța parcursă în primele două zile să reprezinte $50\%$ din traseu (1 p). b) (3 p) În primele două zile turistul a parcurs $2\cdot 9=18$ km (dublul distanței din a treia zi) (1 p). Notând cu $x$ distanța parcursă în prima zi, avem $x+(x-6)=18$ (1 p), deci $x=12$ km (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $E(x)=(4x^2-4x+1)-(2x^2-8)+(x^2+6x+9)$ (1 p) $=3x^2+2x+18$, pentru orice număr real $x$ (1 p). b) (3 p) $A=E(n)+n=3n^2+2n+18+n=3n^2+3n+18=3(n^2+n+6)$ (1 p). $n^2+n+6=n(n+1)+6$ (1 p). $n(n+1)$ este produsul a două numere naturale consecutive, deci este par; astfel $n(n+1)+6$ este număr par, adică de forma $2k$, deci $A=3\cdot 2k=6k$, multiplu de $6$, pentru orice număr natural $n$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(3)=3-2=1$ (1 p). $f(-3)=-3-2=-5$, deci $f(3)-f(-3)=1-(-5)=6$ (1 p). b) (3 p) Punctele de intersecție ale graficului cu axele sunt $A(2,0)$ și $B(0,-2)$ (1 p). Aria triunghiului $ABC$ se scrie în două feluri: ${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{AC\cdot OB}{2}=\frac{d(C,AB)\cdot AB}{2}$; cum $AC=4$ și $OB=2$, obținem ${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{4\cdot 2}{2}=4$ (1 p). Cum $AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$, rezultă $d(C,AB)=\frac{2\cdot 4}{2\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $MP\parallel AC$, deci triunghiul $BMP$ este asemenea cu triunghiul echilateral $BAC$ (cu $M\in BA$, $P\in BC$), deci $BMP$ este de asemenea echilateral (1 p). $BM=AB-AM=3-1=2$ cm, deci perimetrul $△BMP=3\cdot BM=3\cdot 2=6$ cm (1 p). b) (3 p) $AD$ este mediană (și înălțime) în triunghiul echilateral $ABC$, deci $D$ este mijlocul lui $BC$ și $BD=1,5$ cm (1 p). Triunghiul $DPQ$ este dreptunghic în $D$, cu $m(\angle PQD)=30^{\circ }$ (unghi corespunzător unghiului de $30^{\circ }$ din triunghiul echilateral), deci $PQ=2\cdot DP$ (1 p). $DP=BP-BD=2-1,5=0,5$ cm (căci $BP=BM=2$, din echilateralul $BMP$), deci $PQ=2\cdot 0,5=1$ cm (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Fie $E$, $F$ picioarele perpendicularelor din $D$, respectiv $C$, pe dreapta $AB$; din trapezul isoscel cu $m(\angle ADC)=120^{\circ }$, rezultă $m(\angle DAB)=60^{\circ }$, deci $AE=BF=AD\cdot \cos 60^{\circ }=6\cdot 0,5=3$ cm (1 p). $DCFE$ este dreptunghi, deci $EF=DC=6$ cm, de unde $AB=AE+EF+FB=3+6+3=12$ cm (1 p). b) (3 p) $M$ fiind pe mediatoarea lui $BC$, $MB=MC$; cum $m(\angle MBC)=m(\angle ABC)=60^{\circ }$ (unghi de bază al trapezului isoscel), triunghiul $MBC$ este echilateral (isoscel cu un unghi de bază $60^{\circ }$), deci $m(\angle BMP)=30^{\circ }$ (mediatoarea $MP$ este și bisectoare în triunghiul echilateral) și $MB=BC=AD=6$ cm (1 p). Triunghiul $AMD$ are $AM=AB-MB=12-6=6=AD$ și $m(\angle DAM)=60^{\circ }$, deci este echilateral, cu $m(\angle AMD)=60^{\circ }$ (1 p). Cum $A$, $M$, $B$ sunt coliniare, $m(\angle AMD)+m(\angle DMP)+m(\angle PMB)=180^{\circ }$, deci $m(\angle DMP)=180^{\circ }-60^{\circ }-30^{\circ }=90^{\circ }$, adică $DM\perp MP$ (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Volumul cubului este $V=A{B}^3$ (1 p) $=(6\sqrt{2}{)}^3=216\cdot 2\sqrt{2}=432\sqrt{2}$ cm³ (1 p). b) (3 p) Fie $Q=AC\cap BD$ (centrul bazei). Punctul $O$ este centrul feței $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$, adică mijlocul segmentului $A{D}^{\prime }$; din $AQ\perp BD$ (diagonalele pătratului sunt perpendiculare) și $AQ\perp D{D}^{\prime }$ (căci $D{D}^{\prime }\perp (ABC)$), rezultă $AQ\perp (BD{D}^{\prime })$, deci distanța de la $A$ la planul $(BD{D}^{\prime })$ este $AQ$ (1 p). $AQ$ este jumătate din diagonala bazei: $AC=AB\sqrt{2}=6\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=12$ cm, deci $AQ=6$ cm (1 p). Cum $O$ este mijlocul segmentului $A{D}^{\prime }$, iar $D^{\prime }$ aparține planului $(BD{D}^{\prime })$, distanța de la $O$ la plan este jumătate din distanța de la $A$ la plan: $d(O,(BD{D}^{\prime }))=\frac{AQ}{2}=\frac{6}{2}=3$ cm (1 p).

Examen oficial de Evaluare Națională, Varianta 3, susținut de absolvenții clasei a VIII-a în iunie 2021, publicat de Ministerul Educației prin CNPEE, cu enunțurile și baremul după documentul oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 cerințe, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Documentul de față nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de matematică al Evaluării Naționale pentru absolvenții clasei a VIII-a, anul școlar 2020–2021, sesiunea din iunie 2021, Varianta 3 — publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, împreună cu baremul de evaluare și de notare. Enunțurile urmează documentul oficial: valorile, formulările și ordinea variantelor de răspuns sunt cele de pe subiect, iar figurile au fost redesenate după cele oficiale, cu aceeași configurație. Ce s-a adus la convenția site-ului ține doar de formă, ca să se citească la fel peste tot: punctajul, scris pe foaia oficială în marginea din stânga („5p”), apare aici ca etichetă a fiecărei cerințe; variantele de răspuns stau pe un singur rând; iar în rezolvări măsura unghiului se scrie $m(\angle AOB)$. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi, iar punctajul de la Subiectul al III-lea urmează rând cu rând baremul oficial.

Structura probei:

Total: 100 de puncte, timp de lucru două ore. Nota se obține împărțind punctajul total la zece.

Harta materiei, pe cele 18 cerințe:

• Divizibilitate — criteriul de divizibilitate cu $10$, aplicat pe patru numere; clasa a V-a. (Subiectul I, cerința 1)
• Procente — prețul după o scumpire cu $10\%$; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 2)
• Numere întregi — diferența a două temperaturi, una negativă; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 3)
• Fracții subunitare — comparația cu $1$ a patru numere dintr-o mulțime; clasa a V-a. (Subiectul I, cerința 4)
• Radicali — reducerea termenilor asemenea cu $\sqrt{2}$; clasa a VII-a. (Subiectul I, cerința 5)
• Raționament cu „de două ori mai multe” — verificarea unei afirmații; clasa a V-a. (Subiectul I, cerința 6)
• Segmente și mijloc — două mijloace unul după altul pe aceeași dreaptă, apoi un raport; clasa a VI-a. (Subiectul al II-lea, cerința 1)
• Unghiuri adiacente suplementare și bisectoare — jumătatea unghiului rămas; clasa a VI-a. (Subiectul al II-lea, cerința 2)
• Teorema lui Pitagora — un segment dus până la mijlocul unei catete; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 3)
• Dreptunghi și bisectoare — două triunghiuri dreptunghice isoscele și unghiul dintre ele; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 4)
• Cerc cu diametre perpendiculare — o distanță de la un punct la o dreaptă, citită din unghiul înscris în semicerc; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 5)
• Piramida patrulateră regulată — aria laterală când fețele sunt triunghiuri echilaterale; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 6)
• Procente și ecuație — $50\%$ din $50\%$, apoi o ecuație de gradul întâi; clasele VI–VII. (Subiectul al III-lea, cerința 1)
• Calcul algebric și divizibilitate — formule de calcul prescurtat, apoi un multiplu de $6$; clasele VII–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 2)
• Funcția liniară — intersecțiile cu axele și o distanță aflată din arie; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 3)
• Triunghi echilateral și paralele — un triunghi asemenea, apoi unghiul de $30^{\circ }$; clasele VII–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 4)
• Trapez isoscel și mediatoare — două triunghiuri echilaterale care dau o perpendicularitate; clasele VII–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 5)
• Cub: volum și distanță la un plan — linie mijlocie și dreaptă perpendiculară pe plan; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 6)

Ce a cerut, de fapt, proba din 2021. La Subiectul I, capcanele sunt de citire, nu de calcul: la cerința 2, varianta $90$ de lei este prețul după o ieftinire cu $10\%$, iar varianta $10$ lei este doar creșterea, nu prețul nou; la cerința 3 se scade un număr negativ, $5-(-3)=8$, iar cine adună obține $2$, altă variantă din grilă; la cerința 5 se adună doar coeficienții, $2-6+3=-1$, în timp ce varianta $-\sqrt{6}$ vine din adunarea numerelor de sub radical, iar $-4\sqrt{2}$ este calculul oprit după primii doi termeni; cerința 6 are doar două variante de răspuns. Subiectul al II-lea se rezolvă scurt, dacă figura este citită corect: la cerința 1, punctul $C$ este mijlocul lui $AD$, deci $CD=AC=2\cdot AB$, iar segmentul $AD$ se compune din patru bucăți egale cu $AB$ — raportul cerut este $\frac{BD}{AB}=3$, în timp ce varianta $0,75$ este raportul $\frac{BD}{AD}$; la cerința 4, bisectoarea unghiului drept face $45^{\circ }$, iar $DP=AD=3$ cm și $PC=BC=3$ cm dau două triunghiuri dreptunghice isoscele de o parte și de alta a unghiului $APB$; la cerința 5, $CD$ este diametru, deci unghiul $CAD$ este drept și distanța cerută este chiar segmentul $CA$; la cerința 6, $VA=AB$ face fiecare față laterală triunghi echilateral, deci aria laterală se calculează fără apotemă. La Subiectul al III-lea, primele trei probleme cer calcul organizat — procente, formule de calcul prescurtat, o arie scrisă în două feluri —, iar ultimele trei sunt geometrie: o asemănare într-un triunghi echilateral, o perpendicularitate scoasă din două triunghiuri echilaterale și o distanță de la un punct la un plan, în cub.

Cum se dă ca probă completă:

• Punctaj: 90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.
• Timp de lucru: 2 ore, cronometrate. Reper: $25$ de minute pentru Subiectul I, $35$ pentru Subiectul al II-lea, restul pentru Subiectul al III-lea și pentru recitire.
• Materiale: foaie de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator. Rezultatele sunt „curate”: întregi, fracții simple sau expresii de forma $2\sqrt{2}$.
• Redactare: la Subiectele I și al II-lea se încercuiește o singură literă; la Subiectul al III-lea se scriu toți pașii, altfel rezultatul corect nu ia punctajul întreg.

Regulile oficiale de notare, de pe baremul probei: se acordă zece puncte din oficiu, iar nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare; la Subiectul I și la Subiectul al II-lea se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie cinci puncte, fie zero puncte și nu se acordă punctaje intermediare; la Subiectul al III-lea, pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător și nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.

Ce se depunctează la Subiectul al III-lea, pe această variantă: răspunsul „nu este posibil” dat fără cei $25\%$ din care se vede că suma celor trei zile ar fi $75\%$, nu întregul traseu (cerința 1); concluzia că $A$ este multiplu de $6$ fără observația că $n(n+1)$ este produsul a două numere consecutive, deci par (cerința 2); distanța de la $C$ la grafic scrisă direct, fără aria triunghiului $ABC$ calculată în două feluri (cerința 3); egalitatea $PQ=2\cdot DP$ folosită fără unghiul de $30^{\circ }$ din triunghiul $DPQ$ (cerința 4); „triunghiul $MBC$ este echilateral” fără $MB=MC$ din mediatoare și fără unghiul de bază de $60^{\circ }$ (cerința 5); distanța de la $O$ la plan luată fără perpendicularitatea $AQ\perp (BD{D}^{\prime })$ (cerința 6).

Interpretarea punctajului:

Proba este exact cea dată în clasa 8 în vara lui 2021, așa că un elev de a 8-a o poate folosi ca repetiție generală, cu cronometrul pornit.