Evaluarea Națională 2022, sesiunea iunie — subiectul oficial, rezolvat

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $10+10:10$ este egal cu: a) $2$ b) $9$ c) $10$ d) $11$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $b\ne 0$ și $\frac{a}{2}=\frac{10}{b}$, atunci $a\cdot b$ este egal cu: a) $2$ b) $5$ c) $10$ d) $20$

Exercițiul 3 · 5 puncte Opusul numărului $5$ este: a) $-5$ b) $-\frac{1}{5}$ c) $\frac{1}{5}$ d) $5$

Exercițiul 4 · 5 puncte Transformând numărul $1,3$ în fracție ordinară se obține: a) $\frac{1}{3}$ b) $\frac{13}{10}$ c) $\frac{4}{3}$ d) $\frac{13}{9}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi, Ana, George, Radu și Elena, au calculat produsul numerelor $x=2\sqrt{2}$ și $y=\frac{1}{2\sqrt{2}}$, iar rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de: a) Ana b) George c) Radu d) Elena

Exercițiul 6 · 5 puncte Andrei are $28$ de ani, iar Cătălina are $13$ ani. Andrei afirmă: „Peste doi ani voi avea dublul vârstei pe care o va avea Cătălina.”. Afirmația lui Andrei este: a) adevărată b) falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat segmentul $AB$ cu lungimea de $10$ cm. Punctul $A$ este mijlocul segmentului $CB$, iar punctul $B$ este mijlocul segmentului $CD$. Lungimea segmentului $CD$ este egală cu:

a) $10$ cm b) $20$ cm c) $30$ cm d) $40$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile opuse la vârf $AOC$ și $BOD$. Măsura unghiului $AOC$ este egală cu $60^{\circ }$. Măsura unghiului $BOD$ este egală cu:

a) $30^{\circ }$ b) $60^{\circ }$ c) $90^{\circ }$ d) $120^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat rombul $ABCD$ cu $AB=BD=12$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $CD$ și dreapta $BM$ intersectează dreapta $AC$ în punctul $G$. Lungimea segmentului $AG$ este egală cu:

a) $12\sqrt{3}$ cm b) $10\sqrt{3}$ cm c) $9\sqrt{3}$ cm d) $8\sqrt{3}$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat trapezul $ABCD$ cu bazele $AB$ și $CD$, în care măsura unghiului $BAD$ este egală cu $90^{\circ }$, $AD=DC=5$ cm și $AB=10$ cm. Măsura unghiului $ABC$ este egală cu:

a) $30^{\circ }$ b) $45^{\circ }$ c) $60^{\circ }$ d) $90^{\circ }$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și diametru $BC=10$ cm. Punctul $A$ aparține cercului astfel încât măsura arcului mic $AC$ este de $120^{\circ }$. Lungimea segmentului $AB$ este egală cu:

a) $5$ cm b) $5\sqrt{2}$ cm c) $5\sqrt{3}$ cm d) $10$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCDEFGH$ cu $AB=4$ cm, $BC=3$ cm și $AE=12$ cm. Lungimea diagonalei $AG$ a paralelipipedului este egală cu:

a) $5$ cm b) $13$ cm c) $14$ cm d) $19$ cm

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Ana, Maria și Vlad au în total $396$ de timbre. Ana are cu $25$ de timbre mai multe decât Maria și cu $16$ timbre mai puține decât Vlad. a) (2 p) Poate avea Ana $132$ de timbre? Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Determină numărul de timbre pe care le are Vlad.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=(x+1{)}^2+2(x-1{)}^2-3(x^2-1)$, unde $x$ este număr real. a) (2 p) Arată că $E(x)=6-2x$, pentru orice număr real $x$. b) (3 p) Determină mulțimea numerelor reale $x$, pentru care $E(x)<x$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-1$. a) (2 p) Arată că $f(0)+f(1)=-1$. b) (3 p) Știind că $A$ și $B$ sunt punctele de intersecție a reprezentării grafice a funcției $f$ cu axele $Ox$, respectiv $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$, iar punctul $C$ este mijlocul segmentului $AB$, calculează aria triunghiului $OBC$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate punctele $A$, $B$, $C$, $D$ și $E$ astfel încât $AB=4$ cm, $AC=8$ cm, $AD=10$ cm și $AE=20$ cm. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu măsura unghiului $DAE$ și $\angle CAD=30^{\circ }$.

a) (2 p) Arată că aria triunghiului $CAD$ este egală cu $20$ cm². b) (3 p) Demonstrează că $CE=2\cdot BD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $\angle ABC=45^{\circ }$ și $AD=CD=10$ cm. Paralela prin $D$ la dreapta $BC$ intersectează dreapta $AB$ în punctul $R$. Dreptele $AD$ și $BC$ se intersectează în punctul $T$ și $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $TR$ și $AC$.

a) (2 p) Arată că punctul $R$ este mijlocul segmentului $AB$. b) (3 p) Calculează lungimea segmentului $TO$.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDEF$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$ și $AB=AD=10$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$.

a) (2 p) Arată că volumul prismei $ABCDEF$ este egal cu $250\sqrt{3}$ cm³. b) (3 p) Demonstrează că distanța de la punctul $B$ la planul $(EMC)$ este egală cu $2\sqrt{5}$ cm.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. d) Împărțirea se efectuează înaintea adunării: $10+10:10=10+1=11$.
2. d) Din $\frac{a}{2}=\frac{10}{b}$ rezultă $a\cdot b=2\cdot 10=20$.
3. a) Opusul lui $5$ este $-5$.
4. b) $1,3=1+\frac{3}{10}=\frac{13}{10}$.
5. c) $x\cdot y=2\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{2}}=1$, rezultat obținut de Radu.
6. a) Peste doi ani, Andrei va avea $30$ de ani, iar Cătălina $15$ ani; cum $30=2\cdot 15$, afirmația este adevărată.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. d) $A$ fiind mijlocul lui $CB$, $CA=AB=10$ cm, deci $CB=20$ cm; $B$ fiind mijlocul lui $CD$, $BD=CB=20$ cm, deci $CD=CB+BD=40$ cm.
2. b) Unghiurile opuse la vârf sunt congruente, deci $m(\angle BOD)=m(\angle AOC)=60^{\circ }$.
3. d) Din $AB=AD=BD=12$ cm rezultă că triunghiul $ABD$ este echilateral, deci $AO=\sqrt{A{B}^2-B{O}^2}=\sqrt{144-36}=6\sqrt{3}$ cm și $AC=2\cdot AO=12\sqrt{3}$ cm. În triunghiul $BCD$, segmentul $BM$ este mediană ($M$ fiind mijlocul lui $CD$), iar $CO$ este tot mediană ($O$ fiind mijlocul lui $BD$); punctul lor de intersecție $G$ este așadar centrul de greutate, deci $CG=\frac{2}{3}\cdot CO=\frac{AC}{3}$, de unde $AG=AC-CG=\frac{2}{3}\cdot AC=8\sqrt{3}$ cm.
4. b) Fie $N\in AB$ cu $CN\perp AB$. Cum $m(\angle DAB)=90^{\circ }$ și $DC\parallel AB$, patrulaterul $ADCN$ este dreptunghi, deci $AN=DC=5$ cm și $CN=AD=5$ cm; atunci $NB=AB-AN=10-5=5$ cm. Triunghiul $CNB$ este dreptunghic în $N$ cu catetele egale ($CN=NB=5$ cm), deci este dreptunghic isoscel și $m(\angle ABC)=45^{\circ }$.
5. a) $BC$ fiind diametru, unghiul $BAC$ este înscris în semicerc, deci $m(\angle BAC)=90^{\circ }$. Unghiul înscris $ABC$ subîntinde arcul mic $AC$, de $120^{\circ }$, deci $m(\angle ABC)=60^{\circ }$ și $m(\angle ACB)=30^{\circ }$. În triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cateta $AB$ se opune unghiului de $30^{\circ }$, deci $AB=\frac{BC}{2}=5$ cm.
6. b) Diagonala paralelipipedului: $AG=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2+A{E}^2}=\sqrt{16+9+144}=\sqrt{169}=13$ cm.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Dacă Ana ar avea $132$ de timbre, atunci Maria ar avea $132-25=107$ timbre și Vlad ar avea $132+16=148$ de timbre (1 p). Deoarece $132+107+148=387\ne 396$, deducem că nu este posibil ca Ana să aibă $132$ de timbre (1 p). b) (3 p) Notăm cu $x$ numărul de timbre pe care le are Vlad; atunci Ana are $x-16$ timbre, iar Maria are $(x-16)-25=x-41$ timbre (1 p). Din $x+(x-16)+(x-41)=396$ obținem $3x-57=396$ (1 p), deci $x=151$ (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $E(x)=(x+1{)}^2+2(x-1{)}^2-3(x^2-1)=x^2+2x+1+2x^2-4x+2-3x^2+3$ (1 p) $=6-2x$, pentru orice număr real $x$ (1 p). b) (3 p) $6-2x<x$ **(1 p)** $\Rightarrow 3x>6$ (1 p) $\Rightarrow x>2$, deci $x\in (2,+\infty )$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=-1$ (1 p), iar $f(1)=0$, deci $f(0)+f(1)=-1+0=-1$ (1 p). b) (3 p) Punctele de intersecție ale graficului cu axele sunt $A(1,0)$ și $B(0,-1)$ (1 p). Aria triunghiului $AOB$ este ${\mathcal{A}}_{AOB}=\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{1\cdot 1}{2}=\frac{1}{2}$ (1 p). Punctul $C$ este mijlocul lui $AB$, deci ${\mathcal{A}}_{OBC}=\frac{1}{2}\cdot {\mathcal{A}}_{AOB}=\frac{1}{4}$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $\angle CAD=30^{\circ }$, deci distanța de la $C$ la dreapta $AD$ este $d(C,AD)=AC\cdot \sin 30^{\circ }=8\cdot \frac{1}{2}=4$ cm (1 p). Aria triunghiului $CAD$ este ${\mathcal{A}}_{CAD}=\frac{AD\cdot d(C,AD)}{2}=\frac{10\cdot 4}{2}=20$ cm² (1 p). b) (3 p) $\angle BAD=\angle BAC+\angle CAD$ și $\angle CAE=\angle CAD+\angle DAE$; cum $\angle BAC=\angle DAE$, rezultă $\angle BAD=\angle CAE$ (1 p). Din $\frac{AB}{AC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ și $\frac{AD}{AE}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$, cu unghiul $\angle BAD=\angle CAE$ cuprins între laturile proporționale, rezultă $△BAD\sim △CAE$ (caz L.U.L.) (1 p). Din asemănare, $\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}$, de unde $CE=2\cdot BD$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Din $CD\parallel AB$ și $DR\parallel CB$ rezultă că $BCDR$ este paralelogram, deci $BR=CD=10$ cm (1 p). Cum $\angle DAR=90^{\circ }$ și $\angle ARD=45^{\circ }$ (unghi corespunzător lui $\angle ABC$), triunghiul $ADR$ este dreptunghic isoscel cu $AD=AR=10$ cm; cum $AR=RB$, punctul $R$ este mijlocul segmentului $AB$ (1 p). b) (3 p) Din $CD\parallel AB$ cu $CD=\frac{AB}{2}$, segmentul $CD$ este linie mijlocie în triunghiul $TAB$, deci $C$ este mijlocul laturii $TB$, iar $D$ este mijlocul laturii $TA$ (1 p). Triunghiul $TAR$ este dreptunghic în $A$, cu $TA=2\cdot AD=20$ cm și $AR=\frac{AB}{2}=10$ cm, deci $TR=\sqrt{T{A}^2+A{R}^2}=\sqrt{400+100}=10\sqrt{5}$ cm (1 p). În triunghiul $TAB$, segmentul $TR$ este mediană ($R$ fiind mijlocul lui $AB$), iar $AC$ este tot mediană ($C$ fiind mijlocul lui $TB$); ele se taie în $O$, deci $O$ este centrul de greutate al triunghiului $TAB$ și $TO=\frac{2}{3}\cdot TR=\frac{20\sqrt{5}}{3}$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Aria triunghiului echilateral $ABC$ cu latura $10$ cm este ${\mathcal{A}}_{ABC}=25\sqrt{3}$ cm² (1 p). Volumul prismei este $V_{ABCDEF}={\mathcal{A}}_{ABC}\cdot AD=25\sqrt{3}\cdot 10=250\sqrt{3}$ cm³ (1 p). b) (3 p) $CM\perp AB$ (mediană și înălțime în triunghiul echilateral) și $CM\perp AD$ (muchie laterală perpendiculară pe bază), deci $CM\perp (BAD)$ (planul feței $ABED$), de unde $BP\perp CM$, unde $P\in EM$ (1 p). Cum $BP\perp EM$ și $BP\perp CM$, cu $EM\cap CM=\{M\}$, rezultă $BP\perp (EMC)$ (1 p). Din triunghiul dreptunghic $BEM$ (dreptunghic în $B$, cu $MB=5$ cm și $BE=AD=10$ cm, deci $EM=\sqrt{M{B}^2+B{E}^2}=5\sqrt{5}$ cm), distanța $d(B,(EMC))=BP=\frac{MB\cdot BE}{EM}=\frac{5\cdot 10}{5\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$ cm (1 p).

Examen oficial de Evaluare Națională, Varianta 2, susținut de absolvenții clasei a VIII-a în iunie 2022, publicat de Ministerul Educației prin CNPEE, cu enunțurile și baremul după documentul oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 cerințe, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Documentul de față nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de matematică al Evaluării Naționale pentru absolvenții clasei a VIII-a, anul școlar 2021–2022, sesiunea din iunie 2022, Varianta 2 — publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, împreună cu baremul de evaluare și de notare. Enunțurile urmează documentul oficial: valorile și ordinea variantelor sunt cele de pe subiect, iar figurile au fost redesenate după cele oficiale, cu aceeași configurație. Două lucruri sunt aduse la convenția site-ului, ca să se citească la fel peste tot: unghiurile se notează cu $\angle$ acolo unde documentul folosește simbolul $\sphericalangle$, iar instrucțiunea Subiectului al III-lea este formulată la persoana a doua singular („Scrie rezolvările complete”), ca în restul testelor de aici. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi, iar punctajul de la Subiectul al III-lea urmează rând cu rând baremul oficial.

Structura probei:

Total: 100 de puncte, timp de lucru două ore. Nota se obține împărțind punctajul total la zece.

Harta materiei, pe cele 18 cerințe:

• Ordinea operațiilor — împărțirea se face înaintea adunării; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 1)
• Proporții — produsul mezilor este egal cu produsul extremilor; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 2)
• Opusul unui număr — numărul de semn contrar, nu inversul; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 3)
• Fracții zecimale și ordinare — scrierea lui $1,3$ ca fracție cu numitorul $10$; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 4)
• Radicali — produsul dintre un număr și inversul lui; clasa a VII-a. (Subiectul I, cerința 5)
• Probleme cu vârste — verificarea unei afirmații despre vârste peste doi ani; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 6)
• Segmente și mijloc — două mijloace înlănțuite pe aceeași dreaptă; clasa a VI-a. (Subiectul al II-lea, cerința 1)
• Unghiuri opuse la vârf — unghiuri congruente formate de două drepte concurente; clasa a VI-a. (Subiectul al II-lea, cerința 2)
• Romb și centru de greutate — două mediane într-un triunghi format de o diagonală; clasele VII–VIII. (Subiectul al II-lea, cerința 3)
• Trapez dreptunghic — unghiul de la baza mare, dintr-un triunghi dreptunghic isoscel; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 4)
• Cerc: arce și unghiuri înscrise — un triunghi cu ipotenuza diametru și un unghi de $30^{\circ }$; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 5)
• Paralelipipedul dreptunghic — diagonala aflată din cele trei dimensiuni; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 6)
• Probleme rezolvate cu ecuații — trei numere legate prin diferențe, cu o verificare și o ecuație; clasele VI–VII. (Subiectul al III-lea, cerința 1)
• Calcul algebric și inecuații — formule de calcul prescurtat, apoi o inecuație de gradul întâi; clasele VII–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 2)
• Funcția liniară — intersecțiile graficului cu axele și aria unui triunghi tăiat de mediană; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 3)
• Triunghiuri asemenea — aria dintr-un unghi de $30^{\circ }$, apoi cazul de asemănare L.U.L.; clasele VII–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 4)
• Trapez, linie mijlocie și centru de greutate — un paralelogram construit, apoi mediana unui triunghi; clasele VII–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 5)
• Prisma triunghiulară dreaptă — volumul și distanța de la un vârf la un plan; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 6)

Ce a cerut, de fapt, proba din 2022. La Subiectul I, trei cerințe se joacă pe noțiuni vecine, nu pe calcul: cerința 3 cere opusul lui $5$, iar variantele $-\frac{1}{5}$ și $\frac{1}{5}$ sunt puse acolo exact pentru cine confundă opusul cu inversul; cerința 4 cere fracția ordinară a lui $1,3$, iar $\frac{4}{3}$ și $\frac{13}{9}$ vin din regula fracțiilor periodice, aplicată unui număr la care virgula se oprește după o cifră; cerința 5 se rezolvă fără niciun calcul cu radicali, pentru că $y=\frac{1}{2\sqrt{2}}$ este chiar inversul lui $x=2\sqrt{2}$, iar produsul dintre un număr și inversul lui este $1$. La Subiectul al II-lea, cerința 1 înlănțuie două mijloace — $A$ este mijlocul lui $CB$, iar $B$ este mijlocul lui $CD$ —, așa că $CD$ ajunge de patru ori cât $AB$, nu de două ori. Cerința 3 cere doi pași, nu unul: din $AB=BD$ rezultă că triunghiul $ABD$ este echilateral, iar punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $BCD$, pentru că $BM$ și $CO$ sunt amândouă mediane; de aici $AG=\frac{2}{3}\cdot AC$. Cerința 5 se rezolvă din unghiul înscris care subîntinde arcul de $120^{\circ }$, nu din calcule cu radicali. La Subiectul al III-lea, primele trei probleme cer calcul organizat, iar ultimele trei sunt geometrie: un caz de asemănare L.U.L. scris complet, un centru de greutate obținut după un paralelogram și o linie mijlocie și, la final, un lanț de perpendiculare în spațiu.

Cum se dă ca probă completă:

• Punctaj: 90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.
• Timp de lucru: 2 ore, cronometrate. Reper: $25$ de minute pentru Subiectul I, $35$ pentru Subiectul al II-lea, restul pentru Subiectul al III-lea și pentru recitire.
• Materiale: foaie de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator. Rezultatele sunt „curate”: întregi, fracții simple sau expresii de forma $10\sqrt{5}$.
• Redactare: la Subiectele I și al II-lea se încercuiește o singură literă; la Subiectul al III-lea se scriu toți pașii, altfel rezultatul corect nu ia punctajul întreg.
• Cui se potrivește: unui elev de clasa 8 care a parcurs materia; la începutul clasei a 8-a poate fi dată ca probă de diagnostic, subiect cu subiect, nu într-o singură ședință.

Regulile oficiale de notare, de pe baremul probei: se acordă zece puncte din oficiu, iar nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare; la Subiectul I și la Subiectul al II-lea se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie cinci puncte, fie zero puncte și nu se acordă punctaje intermediare; la Subiectul al III-lea, pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător și nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.

Ce se depunctează la Subiectul al III-lea, pe această variantă: răspunsul „nu este posibil” dat fără suma $132+107+148=387$, care arată de ce (cerința 1); rezultatul $x>2$ scris fără trecerea prin $6-2x<x$ și $3x>6$ (cerința 2); aria ${\mathcal{A}}_{OBC}=\frac{1}{4}$ dată fără observația că $OC$ este mediană, deci taie triunghiul $AOB$ în două arii egale (cerința 3); concluzia $CE=2\cdot BD$ fără cazul de asemănare L.U.L. justificat prin cele două rapoarte egale și prin unghiul cuprins între laturile proporționale (cerința 4); formula $TO=\frac{2}{3}\cdot TR$ folosită fără să se arate că $O$ este centrul de greutate al triunghiului $TAB$ (cerința 5); „distanța este $BP$” fără lanțul $CM\perp (BAD)\Rightarrow BP\perp CM\Rightarrow BP\perp (EMC)$ (cerința 6).

Interpretarea punctajului: