Evaluarea Națională 2022, modelul oficial — subiectul rezolvat

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Restul împărțirii numărului $24$ la $10$ este egal cu: a) $1$ b) $2$ c) $4$ d) $6$

Exercițiul 2 · 5 puncte Numărul care reprezintă $15\%$ din $200$ este egal cu: a) $15$ b) $30$ c) $150$ d) $200$

Exercițiul 3 · 5 puncte Suma numerelor $-5$, $-4$, $4$ și $6$ este egală cu: a) $0$ b) $1$ c) $11$ d) $19$

Exercițiul 4 · 5 puncte Dintre numerele $\frac{9}{2}$; $4,(5)$; $\frac{81}{20}$ și $4,55$, cel mai mare este: a) $4,55$ b) $\frac{81}{20}$ c) $4,(5)$ d) $\frac{9}{2}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi, Andreea, Mihaela, Radu și Vlad, calculează media geometrică a numerelor reale $a=3+2\sqrt{2}$ și $b=3-2\sqrt{2}$ și obțin rezultatele înregistrate în tabelul următor:

Conform informațiilor din tabel, dintre cei patru elevi, cel care a calculat corect media geometrică este: a) Andreea b) Mihaela c) Radu d) Vlad

Exercițiul 6 · 5 puncte Un spectacol a început la ora $21:45$ și s-a finalizat la ora $23:15$, în aceeași zi. Marian afirmă că: „Spectacolul are o durată de o oră și jumătate.”. Știind că spectacolul nu a avut pauză, afirmația lui Marian este: a) adevărată b) falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$, $D$ și $E$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AB=1$ cm, $BC=2$ cm, $CD=3$ cm și $DE=6$ cm. Mijlocul segmentului $AE$ este punctul:

a) $B$ b) $C$ c) $D$ d) $E$

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, unghiurile $MON$ și $POQ$ sunt opuse la vârf, iar semidreptele $OA$ și $OB$ sunt bisectoarele lor. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu:

a) $60^{\circ }$ b) $90^{\circ }$ c) $120^{\circ }$ d) $180^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$ de bază $BC$. Unghiul $A$ are măsura de $30^{\circ }$ și $AB=4$ cm. Punctul $D$ este mijlocul segmentului $BC$. Distanța de la punctul $D$ la dreapta $AC$ este egală cu:

a) $0,5$ cm b) $1$ cm c) $1,5$ cm d) $2$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat rombul $ABCD$ cu măsura unghiului $BAD$ de $60^{\circ }$ și lungimea segmentului $BD$ egală cu $4$ cm. Perimetrul rombului $ABCD$ este egal cu:

a) $4\sqrt{3}$ cm b) $12$ cm c) $8\sqrt{3}$ cm d) $16$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte Punctele $A$, $B$ și $C$ sunt vârfurile unui triunghi isoscel de bază $BC$, înscris în cercul de centru $O$, iar măsura unghiului $ABC$ este egală cu $70^{\circ }$. Arcul mic $BC$ are măsura egală cu:

a) $140^{\circ }$ b) $80^{\circ }$ c) $70^{\circ }$ d) $40^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte Volumul paralelipipedului dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cu $AB=5$ dm, $BC=6$ dm și înălțimea $A{A}^{\prime }=4$ dm, este egal cu:

a) $30$ dm³ b) $88$ dm³ c) $120$ dm³ d) $148$ dm³

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Radu are o pungă cu bomboane. Dacă împarte bomboanele din pungă în grupe de câte $7$, $14$, respectiv $21$ de bomboane, îi rămân de fiecare dată câte $5$ bomboane. a) (2 p) Este posibil ca Radu să aibă în pungă $61$ de bomboane? Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Determină numărul bomboanelor din pungă, știind că este cel mai mic număr natural de trei cifre care îndeplinește condițiile din enunț.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=(x+1{)}^2-(-x-1{)}^2+x^2+2x+1$, unde $x$ este număr real. a) (2 p) Arată că $E(x)=(x+1{)}^2$, pentru orice număr real $x$. b) (3 p) Arată că $E(x)>x$, pentru orice număr real $x$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2$. a) (2 p) Arată că $f(-1)\cdot f(2019)=2021$. b) (3 p) Determină aria triunghiului delimitat de reprezentarea grafică a funcției $f$ și de axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un triunghi $ABC$ cu $AB=12$ cm, $BC=9$ cm și $AC=15$ cm. Punctul $D$ este simetricul punctului $B$ față de mijlocul segmentului $AC$, punctul $M$ este mijlocul segmentului $CD$ și $N$ este punctul de intersecție a dreptelor $BM$ și $AC$.

a) (2 p) Demonstrează că $BN=2\cdot MN$. b) (3 p) Determină distanța de la punctul $N$ la dreapta $AB$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu măsura unghiului $ACB$ de $15^{\circ }$ și $BC=20$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$ și punctul $N$ aparține dreptei $BC$ astfel încât dreapta $AN$ este perpendiculară pe dreapta $BC$.

a) (2 p) Arată că $MN=5\sqrt{3}$ cm. b) (3 p) Știind că punctul $P$ este simetricul punctului $A$ față de dreapta $BC$ și că punctul $Q$ este simetricul punctului $M$ față de punctul $N$, calculează aria patrulaterului $AMPQ$.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră $VABCD$, cu baza pătratul $ABCD$, cu $AB=8$ cm. Înălțimea $VO$ a piramidei are lungimea egală cu $4\sqrt{3}$ cm, unde $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$.

a) (2 p) Arată că volumul piramidei $VABCD$ este egal cu $\frac{256\sqrt{3}}{3}$ cm³. b) (3 p) Demonstrează că măsura unghiului planelor $(VAD)$ și $(VBC)$ este egală cu $60^{\circ }$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) $24=10\cdot 2+4$, deci restul este $4$.
2. b) $15\%$ din $200$ este $\frac{15}{100}\cdot 200=30$.
3. b) $-5-4+4+6=1$.
4. c) $\frac{9}{2}=4,5$; $\frac{81}{20}=4,05$; $4,55$; $4,(5)=4,555\dots$ — cel mai mare este $4,(5)$.
5. a) $a\cdot b=(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=9-8=1$, deci media geometrică este $\sqrt{1}=1$, rezultat obținut de Andreea.
6. a) De la $21:45$ la $23:15$ trec exact $1$ oră și $30$ de minute, deci afirmația „o oră și jumătate” este adevărată.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) $AE=AB+BC+CD+DE=1+2+3+6=12$ cm, deci mijlocul lui $AE$ este la distanța $6$ cm de $A$: $AB+BC=1+2=3$, plus $CD=3$ dă $AC+CD=6$, deci mijlocul este punctul $D$.
2. d) $OA$ bisectoarea lui $\angle MON$ și $OB$ bisectoarea unghiului opus la vârf $\angle POQ$ sunt semidrepte opuse (bisectoarele a două unghiuri opuse la vârf formează o dreaptă), deci $m(\angle AOB)=180^{\circ }$.
3. b) Aria triunghiului $ABC$ este $\mathcal{A}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot \frac{1}{2}=4$ cm² (cu $AC=AB=4$ cm, triunghi isoscel). Distanța de la $D$ (mijlocul lui $BC$) la $AC$ este jumătate din distanța de la $B$ la $AC$ (căci $C$ este pe dreapta $AC$), adică $\frac{1}{2}\cdot \frac{2\mathcal{A}}{AC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{8}{4}=1$ cm.
4. d) $AB=AD$ (laturi de romb) și $m(\angle BAD)=60^{\circ }$, deci triunghiul $ABD$ este echilateral: $AB=AD=BD=4$ cm. Perimetrul rombului este $4\cdot 4=16$ cm.
5. b) Triunghiul $ABC$ este isoscel cu $AB=AC$, deci $m(\angle ACB)=m(\angle ABC)=70^{\circ }$, iar $m(\angle BAC)=180^{\circ }-70^{\circ }-70^{\circ }=40^{\circ }$. Unghiul înscris $\angle BAC$ subîntinde arcul mic $BC$, deci arcul mic $BC=2\cdot 40^{\circ }=80^{\circ }$.
6. c) $V=AB\cdot BC\cdot A{A}^{\prime }=5\cdot 6\cdot 4=120$ dm³.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Împărțind $61$ la $21$ obținem $61=21\cdot 2+19$ (1 p). Cum restul ar trebui să fie $5$, iar $19\ne 5$, deducem că nu este posibil ca Radu să aibă în pungă $61$ de bomboane (1 p). b) (3 p) Notăm cu $n$ numărul bomboanelor din pungă; conform enunțului, $n-5$ trebuie să fie multiplu comun al numerelor $7$, $14$ și $21$ (1 p). Cel mai mic multiplu comun al numerelor $7$, $14$ și $21$ este $42$, deci $n-5$ este multiplu de $42$ (1 p). Primul multiplu de $42$ pentru care $n$ are trei cifre este $42\cdot 3=126$ (căci $42\cdot 2=84$ ar da $n=89$, număr de două cifre), deci $n=126+5=131$ (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $(-x-1{)}^2=(x+1{)}^2$, deci $(x+1{)}^2-(-x-1{)}^2=0$ (1 p). Rămâne $E(x)=x^2+2x+1=(x+1{)}^2$, pentru orice număr real $x$ (1 p). b) (3 p) $E(x)-x=(x+1{)}^2-x=x^2+2x+1-x=x^2+x+1$ (1 p). Scriem $x^2+x+1={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}$ (1 p). Cum ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2\ge 0$, rezultă $x^2+x+1\ge \frac{3}{4}>0$, deci $E(x)-x>0$, adică $E(x)>x$, pentru orice număr real $x$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(-1)=-1+2=1$ (1 p). $f(2019)=2019+2=2021$, deci $f(-1)\cdot f(2019)=1\cdot 2021=2021$ (1 p). b) (3 p) Graficul lui $f(x)=x+2$ intersectează axa $Ox$ unde $f(x)=0$, adică $x=-2$, deci $A(-2,0)$, și axa $Oy$ în $f(0)=2$, deci $B(0,2)$ (1 p). Astfel $OA=2$ și $OB=2$ (1 p). Aria triunghiului $AOB$ este ${\mathcal{A}}_{AOB}=\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{2\cdot 2}{2}=2$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Cum $D$ este simetricul lui $B$ față de mijlocul lui $AC$, rezultă că $AC$ și $BD$ au același mijloc, deci $ABCD$ este paralelogram, cu $AB\parallel CD$ și $AB=CD$ (1 p). Din $AB\parallel CM$ (unde $M\in CD$) rezultă $△ABN\sim △CMN$, deci $\frac{BN}{MN}=\frac{AB}{CM}=\frac{AB}{AB/2}=2$, adică $BN=2\cdot MN$ (1 p). b) (3 p) Cum $12^2+9^2=144+81=225=15^2$, obținem că triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $B$ (1 p). Din $BN=2\cdot MN$ rezultă $AN=2\cdot NC$ (triunghiuri asemenea cu același raport), iar $AN+NC=AC=15$, deci $AN=\frac{2}{3}\cdot 15=10$ cm (1 p). Fie $T\in AB$ cu $NT\perp AB$; cum $NT\parallel BC$ (ambele perpendiculare pe $AB$), $△ATN\sim △ABC$, de unde $NT=\frac{AN}{AC}\cdot BC=\frac{2}{3}\cdot 9=6$ cm, deci distanța de la $N$ la $AB$ este $6$ cm (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $M$ este mijlocul ipotenuzei $BC$ a triunghiului dreptunghic $ABC$ (drept în $A$), deci $AM=MB=MC=\frac{BC}{2}=10$ cm (1 p). Triunghiul $AMC$ este isoscel ($AM=MC$), cu $m(\angle ACM)=15^{\circ }$, deci $m(\angle MAC)=15^{\circ }$ și $m(\angle AMC)=180^{\circ }-15^{\circ }-15^{\circ }=150^{\circ }$; rezultă $m(\angle AMB)=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }$. În triunghiul dreptunghic $AMN$ (drept în $N$), $MN=AM\cdot \cos 30^{\circ }=10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$ cm (1 p). b) (3 p) Cum $P$ este simetricul lui $A$ față de dreapta $BC$, iar $N\in BC$, segmentul $AP$ este perpendicular pe $BC$ și $N$ este mijlocul lui $AP$; cum $Q$ este simetricul lui $M$ față de $N$, $N$ este și mijlocul lui $MQ$. Diagonalele $AP$ și $MQ$ ale patrulaterului $AMPQ$ se înjumătățesc reciproc și sunt perpendiculare, deci $AMPQ$ este romb (1 p). În triunghiul dreptunghic $AMN$ (drept în $N$), $AN=\sqrt{A{M}^2-M{N}^2}=\sqrt{10^2-(5\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{100-75}=5$ cm, deci $AP=2\cdot AN=10$ cm și $MQ=2\cdot MN=10\sqrt{3}$ cm (1 p). Aria rombului $AMPQ$ este ${\mathcal{A}}_{AMPQ}=\frac{AP\cdot MQ}{2}=\frac{10\cdot 10\sqrt{3}}{2}=50\sqrt{3}$ cm² (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Aria pătratului $ABCD$ este ${\mathcal{A}}_{ABCD}=A{B}^2=8^2=64$ cm² (1 p). $V_{VABCD}=\frac{1}{3}\cdot {\mathcal{A}}_{ABCD}\cdot VO=\frac{1}{3}\cdot 64\cdot 4\sqrt{3}=\frac{256\sqrt{3}}{3}$ cm³ (1 p). b) (3 p) Construim prin $V$ dreapta $d\parallel AD\parallel BC$; fie $S$ mijlocul lui $AD$ și $R$ mijlocul lui $BC$. Cum $VS\perp AD$ și $VR\perp BC$ (triunghiuri isoscele $VAD$, $VBC$), rezultă $VS\perp d$ și $VR\perp d$, deci măsura unghiului dintre planele $(VAD)$ și $(VBC)$ este măsura unghiului $\angle SVR$ (1 p). Distanța de la $O$ la $AD$ este $\frac{AB}{2}=4$ cm, deci $VS=\sqrt{V{O}^2+O{S}^2}=\sqrt{(4\sqrt{3}{)}^2+4^2}=\sqrt{48+16}=8$ cm; analog $VR=8$ cm (1 p). Cum $RS=AB=8$ cm (segmentul dintre mijloacele a două laturi opuse ale pătratului este egal cu latura), triunghiul $VRS$ are $VS=VR=RS=8$ cm, deci este echilateral, de unde $m(\angle SVR)=60^{\circ }$, adică măsura unghiului planelor $(VAD)$ și $(VBC)$ este $60^{\circ }$ (1 p).

Sursa: Ministerul Educației — Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Evaluarea Națională pentru absolvenții clasei a VIII-a, probă scrisă la matematică, modelul de subiect, anul școlar 2021–2022. Enunțurile, datele și baremul urmează documentul oficial; figurile sunt redesenate, iar aranjarea în pagină este a site-ului.

Pentru părinți și profesori

Documentul de față nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect la matematică pentru Evaluarea Națională a absolvenților clasei a VIII-a, anul școlar 2021–2022 — publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE), împreună cu baremul de evaluare și de notare. Modelul nu are număr de variantă și nu se dă la examen: el apare la începutul anului școlar, cu mult înaintea probei scrise, și arată structura, tipurile de cerințe și nivelul la care se face pregătirea. Textul de aici urmează documentul oficial, preluat dintr-o copie publică a lui (pro-matematica.ro): valorile și ordinea variantelor sunt cele de pe subiect, iar figurile au fost redesenate după cele oficiale, cu aceeași configurație. Două lucruri sunt aduse la convenția site-ului, ca să se citească la fel peste tot: punctajul, scris în marginea paginii oficiale („5p”), este trecut aici în dreptul fiecărei cerințe, iar instrucțiunea de la Subiectul al III-lea are adăugată precizarea „Se punctează raționamentul și justificările”. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi, iar punctajul de la Subiectul al III-lea urmează rând cu rând baremul oficial.

Structura probei:

Total: 100 de puncte, timp de lucru două ore. Nota se obține împărțind punctajul total la zece.

Harta materiei, pe cele 18 cerințe:

• Împărțirea cu rest — restul împărțirii la $10$, citit din scrierea $24=10\cdot 2+4$; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 1)
• Procente — un procent dintr-un număr dat; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 2)
• Adunarea numerelor întregi — o sumă în care doi termeni opuși se reduc; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 3)
• Compararea numerelor reale — fracție ordinară, fracție zecimală finită și fracție zecimală periodică, aduse la aceeași formă; clasele VI–VII. (Subiectul I, cerința 4)
• Media geometrică și radicalii — produsul a două numere conjugate, $\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)$; clasa a VII-a. (Subiectul I, cerința 5)
• Calculul cu durate — o afirmație de verificat despre durata unui spectacol; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 6)
• Puncte coliniare și mijlocul unui segment — patru lungimi în lanț pe aceeași dreaptă; clasa a VI-a. (Subiectul al II-lea, cerința 1)
• Unghiuri opuse la vârf și bisectoare — două bisectoare care formează o dreaptă; clasa a VI-a. (Subiectul al II-lea, cerința 2)
• Triunghi isoscel și distanța la o dreaptă — unghiul de $30^{\circ }$, apoi linia mijlocie; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 3)
• Rombul cu un unghi de $60^{\circ }$ — triunghiul echilateral ascuns în jumătatea rombului; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 4)
• Cerc: unghi înscris și arc — arcul mic are măsura dublă față de unghiul înscris care îl subîntinde; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 5)
• Paralelipipedul dreptunghic — volumul, din cele trei dimensiuni; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 6)
• Divizibilitate și cel mai mic multiplu comun — același rest la trei împărțiri, apoi cel mai mic număr de trei cifre; clasele V–VI. (Subiectul al III-lea, cerința 1)
• Expresii algebrice și pătrate perfecte — o identitate, apoi o inegalitate valabilă pentru orice număr real; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 2)
• Funcția liniară — valori ale funcției, intersecțiile graficului cu axele și aria unui triunghi dreptunghic; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 3)
• Paralelogram și triunghiuri asemenea — un raport de $2$ pe două drepte concurente, apoi o distanță la o latură; clasele VII–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 4)
• Mediana pe ipotenuză și simetrii — un romb obținut din două simetrii și aria lui; clasele VII–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 5)
• Piramida patrulateră regulată — volumul, apoi unghiul a două plane a căror muchie comună trece prin vârf; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 6)

Ce a cerut, de fapt, modelul din 2022. La Subiectul I, două cerințe se pierd din citire, nu din calcul: la cerința 4, $\frac{81}{20}$ este $4,05$, nu $4,5$ — cine îl confundă cu $\frac{9}{2}$ pierde comparația din start, iar între $4,55$ și $4,(5)=4,555\dots$ diferența apare abia la a treia zecimală; la cerința 5, cele trei rezultate greșite din tabel sunt exact cele trei confuzii obișnuite — media aritmetică $\frac{a+b}{2}=3$, suma pusă sub radical $\sqrt{a+b}=\sqrt{6}$ și media pătratelor $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}=\sqrt{17}$ —, în timp ce media geometrică cere produsul, iar $\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)=9-8=1$ este o diferență de pătrate. Cerința 6 are doar două variante de răspuns și se rezolvă cu o scădere de ore în care minutele se împrumută din oră: $23:15-21:45$ nu se face pe cifre. Subiectul al II-lea este integral geometrie cu figură: la cerința 2, rezultatul nu depinde de mărimea unghiului — bisectoarele a două unghiuri opuse la vârf sunt semidrepte opuse, deci unghiul lor este alungit; la cerința 3, distanța cerută este de la $D$, mijlocul laturii $BC$, nu de la $B$, iar cine se oprește la distanța de la $B$ obține $2$ cm, adică varianta d); la cerința 4, $BD$ este diagonala mică și, din cauza unghiului de $60^{\circ }$, este egală cu latura, deci perimetrul iese direct, fără radicali; la cerința 5, unghiul de $70^{\circ }$ este cel de la bază și subîntinde arcul $AC$, de $140^{\circ }$ — de aici capcana din varianta a) —, în timp ce arcul mic $BC$ se citește din unghiul $BAC$, de $40^{\circ }$. La Subiectul al III-lea, primele trei probleme cer calcul organizat (o verificare de divizibilitate urmată de un cel mai mic multiplu comun, un pătrat perfect folosit ca să se arate o inegalitate, un grafic citit prin cele două intersecții cu axele), iar ultimele trei sunt geometrie: o asemănare într-un paralelogram, un romb obținut din două simetrii și, cel mai greu pas al probei, unghiul a două plane care se taie după o dreaptă ce nu apare în figură și trebuie construită prin vârful piramidei.

Cum se dă ca probă completă:

• Punctaj: 90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.
• Timp de lucru: 2 ore, cronometrate. Reper: $25$ de minute pentru Subiectul I, $35$ pentru Subiectul al II-lea, restul pentru Subiectul al III-lea și pentru recitire.
• Materiale: foaie de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator. Rezultatele sunt „curate”: întregi, fracții simple sau expresii de forma $5\sqrt{3}$.
• Redactare: la Subiectele I și al II-lea se încercuiește o singură literă; la Subiectul al III-lea se scriu toți pașii, altfel rezultatul corect nu ia punctajul întreg.
• Cui i se potrivește: oricărui elev de clasa 8 care vrea să vadă, încă din prima parte a anului, forma exactă a probei; temele vin din toată gimnaziala, nu doar din programa clasei a 8-a.

Regulile oficiale de notare, de pe baremul probei: se acordă zece puncte din oficiu, iar nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare; la Subiectul I și la Subiectul al II-lea se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie cinci puncte, fie zero puncte și nu se acordă punctaje intermediare; la Subiectul al III-lea, pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător și nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.

Ce se depunctează la Subiectul al III-lea, pe această variantă: răspunsul „nu este posibil” dat fără împărțirea efectivă a lui $61$ la $21$ și fără compararea restului $19$ cu $5$ (cerința 1); inegalitatea $E(x)>x$ scrisă direct din „un pătrat este pozitiv”, fără trecerea prin $x^2+x+1={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}$ (cerința 2); aria triunghiului calculată fără cele două intersecții cu axele, $A(-2,0)$ și $B(0,2)$ (cerința 3); raportul $\frac{BN}{MN}=2$ folosit fără justificarea că $ABCD$ este paralelogram, deci că $AB\parallel CD$ (cerința 4); afirmația că $AMPQ$ este romb fără observația că diagonalele lui se înjumătățesc reciproc și sunt perpendiculare (cerința 5); unghiul celor două plane măsurat fără construirea muchiei comune, dreapta dusă prin $V$ paralel cu $AD$ și cu $BC$ (cerința 6).

Interpretarea punctajului: