Evaluarea Națională 2022, sesiunea de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $4+2\cdot 5$ este egal cu: a) $6$ b) $10$ c) $14$ d) $30$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $a=3\cdot b$ și $b\ne 0$, atunci raportul $\frac{a}{b}$ este egal cu: a) $3$ b) $1$ c) $\frac{1}{3}$ d) $\frac{1}{9}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Știind că $-2+a=2$, atunci numărul $a$ este egal cu: a) $-4$ b) $-1$ c) $0$ d) $4$

Exercițiul 4 · 5 puncte Triplul numărului $\frac{2}{5}$ este egal cu: a) $\frac{2}{15}$ b) $\frac{6}{15}$ c) $1$ d) $\frac{6}{5}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Media aritmetică a numerelor $7\sqrt{3}$ și $21\sqrt{3}$ este egală cu: a) $14\sqrt{3}$ b) $14\sqrt{6}$ c) $28\sqrt{3}$ d) $28\sqrt{6}$

Exercițiul 6 · 5 puncte Trei caiete și două pixuri costă împreună $8$ lei. Afirmația: ,,Șase caiete și patru pixuri, de același fel, costă împreună $12$ lei.", este: a) adevărată b) falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, punctul $C$ este mijlocul segmentului $AB$, punctul $D$ este mijlocul segmentului $AC$, punctul $E$ este mijlocul segmentului $AD$ și $ED=2$ cm. Lungimea segmentului $DB$ este egală cu:

a) $4$ cm b) $8$ cm c) $12$ cm d) $14$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, semidreapta $OC$ este bisectoarea unghiului $AOB$ și semidreapta $OD$ este bisectoarea unghiului $BOC$. Unghiul $COD$ are măsura de $13^{\circ }$. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu:

a) $13^{\circ }$ b) $26^{\circ }$ c) $39^{\circ }$ d) $52^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, punctul $D$ este mijlocul segmentului $BC$ și $AC=CD$. Știind că $AB=2\sqrt{3}$ cm, atunci lungimea segmentului $BC$ este egală cu:

a) $2$ cm b) $2\sqrt{3}$ cm c) $4$ cm d) $4\sqrt{3}$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AB=12$ cm și $CD=8$ cm. Lungimea liniei mijlocii a trapezului $ABCD$ este egală cu:

a) $2$ cm b) $4$ cm c) $10$ cm d) $20$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$, cu $AB=4\sqrt{2}$ cm, înscris într-un cerc de centru $O$. Lungimea cercului este egală cu:

a) $8\sqrt{2}\pi$ cm b) $8\pi$ cm c) $4\sqrt{2}\pi$ cm d) $4\pi$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=4$ cm. Volumul cubului este egal cu:

a) $4\sqrt{3}$ cm³ b) $16\sqrt{2}$ cm³ c) $64$ cm³ d) $96$ cm³

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un excursionist a parcurs un traseu în trei zile. În prima zi a parcurs $60\%$ din lungimea traseului, în a doua zi o treime din distanța parcursă în prima zi, iar în a treia zi a parcurs restul de $64$ km. a) (2 p) Este posibil ca distanța parcursă de excursionist în a doua zi să reprezinte o pătrime din lungimea întregului traseu? Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Determină lungimea traseului parcurs de excursionist în cele trei zile.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=3(x+2{)}^2-2(4x-3-x^2)+7(3x+2)-2$, unde $x$ este număr real. a) (2 p) Arată că $E(x)=5x^2+25x+30$, pentru orice număr real $x$. b) (3 p) Demonstrează că numărul natural $E(n)$ este divizibil cu $10$, pentru orice număr natural $n$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-2$.

a) (2 p) Arată că $f(2)+f(3)=1$. b) (3 p) În sistemul de axe ortogonale $xOy$ se consideră punctul $M(1,1)$. Arată că triunghiul $AMB$ este dreptunghic în $A$, unde $A$ și $B$ sunt punctele de intersecție a reprezentării grafice a funcției $f$ cu axele $Ox$, respectiv $Oy$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic $ABCD$ cu $AB\parallel CD$ și $\angle BAD=90^{\circ }$. Dreptele $AC$ și $BD$ sunt perpendiculare, $BD=10$ cm și $AD=6$ cm.

a) (2 p) Arată că perimetrul triunghiului $DAB$ este egal cu $24$ cm. b) (3 p) Calculează lungimea segmentului $DC$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$ cu $AB=6$ cm și triunghiul echilateral $BPQ$, unde punctele $P$ și $Q$ se află pe dreapta $DC$.

a) (2 p) Calculează lungimea segmentului $AC$. b) (3 p) Arată că aria trapezului $ABQP$ este egală cu $6\left(3+2\sqrt{3}\right)$ cm².

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=3\sqrt{2}$ cm și $BC=C{C}^{\prime }=3$ cm.

a) (2 p) Arată că diagonala $B{D}^{\prime }$ a paralelipipedului este egală cu $6$ cm. b) (3 p) Calculează tangenta unghiului dintre planele $(D^{\prime }AB)$ și $(A^{\prime }B{C}^{\prime })$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) Înmulțirea se efectuează înaintea adunării: $4+2\cdot 5=4+10=14$.
2. a) Din $a=3\cdot b$ rezultă $\frac{a}{b}=3$.
3. d) Din $-2+a=2$ rezultă $a=4$.
4. d) Triplul lui $\frac{2}{5}$ este $3\cdot \frac{2}{5}=\frac{6}{5}$.
5. a) Media aritmetică este $\frac{7\sqrt{3}+21\sqrt{3}}{2}=\frac{28\sqrt{3}}{2}=14\sqrt{3}$.
6. b) Dublând cantitățile (6 caiete și 4 pixuri), costul s-ar dubla la $16$ lei, nu $12$ lei, deci afirmația este falsă.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. c) $E$ fiind mijlocul lui $AD$, $AE=ED=2$ cm, deci $AD=4$ cm; $D$ fiind mijlocul lui $AC$, $AC=2\cdot AD=8$ cm; $C$ fiind mijlocul lui $AB$, $AB=2\cdot AC=16$ cm; $DB=AB-AD=16-4=12$ cm.
2. d) $OD$ bisectoare a unghiului $BOC$ și $m(\angle COD)=13^{\circ }$ dau $m(\angle BOC)=2\cdot 13^{\circ }=26^{\circ }$; $OC$ bisectoare a unghiului $AOB$ dă $m(\angle AOB)=2\cdot m(\angle BOC)=2\cdot 26^{\circ }=52^{\circ }$.
3. c) $D$ mijlocul lui $BC$ și $AC=CD=\frac{BC}{2}$; din teorema lui Pitagora în $△ABC$: $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2\Rightarrow 12+\frac{B{C}^2}{4}=B{C}^2\Rightarrow B{C}^2=16\Rightarrow BC=4$ cm.
4. c) Linia mijlocie $=\frac{AB+CD}{2}=\frac{12+8}{2}=10$ cm.
5. b) Diagonala pătratului $=AB\sqrt{2}=4\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=8$ cm, egală cu diametrul cercului circumscris; lungimea cercului $=\pi \cdot d=8\pi$ cm.
6. c) Volumul cubului $=A{B}^3=4^3=64$ cm³.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Distanța parcursă în a doua zi este $\frac{1}{3}\cdot 60\%=20\%$ din lungimea traseului, adică $\frac{x}{5}$, unde $x$ este lungimea traseului (1 p). Cum $\frac{x}{5}\ne \frac{x}{4}$, rezultă că nu este posibil ca distanța parcursă în a doua zi să reprezinte o pătrime din lungimea traseului (1 p). b) (3 p) Distanța parcursă în a treia zi reprezintă $100\%-60\%-20\%=20\%$ din traseu, deci $\frac{x}{5}=64$ (1 p), de unde $x=320$ (1 p); lungimea traseului parcurs de excursionist în cele trei zile este $320$ km (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $E(x)=3(x+2{)}^2-2(4x-3-x^2)+7(3x+2)-2=3x^2+12x+12-8x+6+2x^2+21x+14-2$ (1 p) $=5x^2+25x+30$, pentru orice număr real $x$ (1 p). b) (3 p) $E(n)=5(n^2+5n+6)=5\left(n(n+5)+6\right)$, pentru orice număr natural $n$ (1 p). Cum $n$ și $n+5$ au parități diferite, produsul $n(n+5)$ este număr natural par, deci $n(n+5)+6$ este număr natural par (1 p). Ultima cifră a lui $E(n)$ este $0$, de unde obținem că $E(n)$ este divizibil cu $10$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(2)=2-2=0$ (1 p), iar $f(3)=3-2=1$, deci $f(2)+f(3)=0+1=1$ (1 p). b) (3 p) Punctele de intersecție ale graficului cu axele sunt $A(2,0)$ și $B(0,-2)$ (1 p). Calculăm pătratele lungimilor laturilor triunghiului $AMB$: $A{M}^2=(2-1{)}^2+(0-1{)}^2=2$, $A{B}^2=2^2+2^2=8$ și $M{B}^2=1^2+(1+2{)}^2=10$ (1 p). Cum $A{M}^2+A{B}^2=M{B}^2$, din reciproca teoremei lui Pitagora rezultă că triunghiul $AMB$ este dreptunghic în $A$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Triunghiul $DAB$ este dreptunghic în $A$ (căci $\angle BAD=90^{\circ }$), deci $AB=\sqrt{B{D}^2-A{D}^2}=\sqrt{100-36}=8$ cm (1 p). Perimetrul triunghiului $DAB$ este $AB+BD+DA=8+10+6=24$ cm (1 p). b) (3 p) $O$ este piciorul perpendicularei din $A$ pe $BD$ (deoarece $AC\perp BD$ trece prin $O$); în triunghiul dreptunghic $DAB$, $BO=\frac{A{B}^2}{BD}=\frac{64}{10}=6,4$ cm (1 p). Cum $CD\parallel AB$, triunghiurile $DOC$ și $BOA$ sunt asemenea, deci $\frac{DC}{BA}=\frac{DO}{BO}$, unde $DO=BD-BO=10-6,4=3,6$ cm (1 p). Rezultă $DC=BA\cdot \frac{DO}{BO}=8\cdot \frac{3,6}{6,4}=4,5$ cm (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $B$ (unghi al pătratului), cu $AB=BC=6$ cm (1 p), deci $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{36+36}=6\sqrt{2}$ cm (1 p). b) (3 p) În triunghiul echilateral $BPQ$, $BC$ este înălțimea din $B$ pe $PQ$ (căci $BC\perp DC$ în pătrat, iar $P$ și $Q$ pe dreapta $DC$), deci $C$ este mijlocul lui $PQ$, deci $BC=\frac{PQ\sqrt{3}}{2}$, de unde $PQ=\frac{2\cdot BC}{\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$ cm (1 p). Trapezul $ABQP$ are bazele $AB=6$ cm și $PQ=4\sqrt{3}$ cm, iar înălțimea este $BC=6$ cm (1 p), deci ${\mathcal{A}}_{ABQP}=\frac{(AB+PQ)\cdot BC}{2}=\frac{(6+4\sqrt{3})\cdot 6}{2}=18+12\sqrt{3}=6\left(3+2\sqrt{3}\right)$ cm² (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) În triunghiul dreptunghic $ABD$, $BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{18+9}=3\sqrt{3}$ cm (1 p). În triunghiul $D{D}^{\prime }B$ dreptunghic în $D$, $B{D}^{\prime }=\sqrt{B{D}^2+D{D}^{\prime 2}}=\sqrt{27+9}=6$ cm (1 p). b) (3 p) Planele $(D^{\prime }AB)$ și $(A^{\prime }B{C}^{\prime })$ se intersectează după dreapta $B{C}^{\prime }$; construind $A^{\prime }O\perp B{C}^{\prime }$ în $(A^{\prime }B{C}^{\prime })$ și $O{O}^{\prime }\perp B{C}^{\prime }$ în $(D^{\prime }AB)$, unde $O$, $O^{\prime }$ sunt mijloacele segmentelor $B{C}^{\prime }$, respectiv $A{D}^{\prime }$, unghiul dintre plane este $\angle A^{\prime }O{O}^{\prime }$ (1 p). $O{O}^{\prime }$ este congruent și paralel cu $AB$ (segment ce unește mijloacele diagonalelor a două fețe opuse), deci $O{O}^{\prime }=3\sqrt{2}$ cm, iar, $O^{\prime }$ fiind și mijlocul diagonalei $A^{\prime }D$ a dreptunghiului $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$, $A^{\prime }{O}^{\prime }=\frac{A^{\prime }D}{2}=\frac{\sqrt{9+9}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ cm (1 p). În triunghiul dreptunghic $A^{\prime }O{O}^{\prime }$ (dreptunghic în $O^{\prime }$), $\mathrm{tg}\left(\angle A^{\prime }O{O}^{\prime }\right)=\frac{A^{\prime }{O}^{\prime }}{O{O}^{\prime }}=\frac{3\sqrt{2}/2}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$ (1 p).

Sursa: Ministerul Educației — Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Evaluarea Națională pentru absolvenții clasei a VIII-a, probă scrisă la matematică, sesiunea de rezervă, anul școlar 2021–2022, Varianta 1. Enunțurile, datele și baremul urmează documentul oficial; figurile sunt redesenate, iar aranjarea în pagină este a site-ului.

Pentru părinți și profesori

Documentul de față nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de matematică al Evaluării Naționale pentru absolvenții clasei a VIII-a, anul școlar 2021–2022, sesiunea de rezervă, Varianta 1 — publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE), împreună cu baremul de evaluare și de notare. Sesiunea de rezervă este cea pregătită pentru absolvenții care nu pot susține proba în sesiunea obișnuită, din motive medicale sau din alte situații prevăzute de metodologie: subiectul este altul, dar are aceeași structură și același nivel ca proba principală. Antetul documentului poartă doar anul școlar și numărul variantei, nu și ziua în care s-a dat proba — de aceea nicio dată nu apare mai jos. Enunțurile urmează documentul oficial: valorile și ordinea variantelor sunt cele de pe subiect, iar figurile au fost redesenate după cele oficiale, cu aceeași configurație. Două lucruri sunt aduse la convenția site-ului, ca să se citească la fel peste tot: măsura unghiului se scrie $m(\angle AOB)$ acolo unde documentul folosește simbolul $\sphericalangle$, iar instrucțiunile subiectelor sunt formulate la persoana a doua singular („Încercuiește”, „Scrie”), ca în restul testelor de aici. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi, iar punctajul de la Subiectul al III-lea urmează rând cu rând baremul oficial.

Structura probei:

Total: 100 de puncte, timp de lucru două ore. Nota se obține împărțind punctajul total la zece.

Harta materiei, pe cele 18 cerințe:

• Ordinea operațiilor — înmulțirea se efectuează înaintea adunării, deși e scrisă a doua; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 1)
• Rapoarte — raportul a două numere despre care se știe că unul este triplul celuilalt; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 2)
• Ecuație cu numere întregi — o necunoscută izolată printr-o adunare; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 3)
• Fracții ordinare — triplul unei fracții, adică înmulțirea numărătorului; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 4)
• Media aritmetică cu radicali — doi termeni cu același radical, deci factor comun; clasa a VII-a. (Subiectul I, cerința 5)
• Proporționalitate directă — o afirmație de verificat, cu două variante de răspuns; clasele VI–VII. (Subiectul I, cerința 6)
• Segmente și mijloc — trei mijloace luate unul după altul pe aceeași dreaptă; clasa a VI-a. (Subiectul al II-lea, cerința 1)
• Unghiuri și bisectoare — două bisectoare suprapuse, deci o dublare repetată; clasa a VI-a. (Subiectul al II-lea, cerința 2)
• Triunghi dreptunghic și mijlocul ipotenuzei — o catetă scrisă în funcție de ipotenuză, apoi Pitagora; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 3)
• Linia mijlocie a trapezului — semisuma bazelor; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 4)
• Pătrat înscris în cerc — diagonala pătratului este diametrul, apoi lungimea cercului; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 5)
• Cubul — volumul, din muchie; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 6)
• Procente și ecuație — procent luat din procent, apoi restul traseului; clasele VI–VII. (Subiectul al III-lea, cerința 1)
• Calcul algebric și divizibilitate — desfacerea parantezelor, apoi paritatea unui produs; clasele VII–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 2)
• Funcția liniară — intersecțiile graficului cu axele și un unghi drept de justificat; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 3)
• Trapez dreptunghic cu diagonale perpendiculare — teorema catetei, apoi asemănare; clasele VII–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 4)
• Pătrat și triunghi echilateral — înălțimea triunghiului echilateral, apoi aria unui trapez; clasele VII–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 5)
• Paralelipiped dreptunghic — diagonala corpului și unghiul dintre două plane; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 6)

Ce a cerut, de fapt, proba de rezervă din 2022. Subiectul I este scurt la calcul și lung la citit: cerința 1 se pierde dacă aduni întâi, pentru că atât $6$ (numai $4+2$), cât și $30$ (adică $(4+2)\cdot 5$) sunt scrise între variante; cerința 4 cere triplul unei fracții, iar $\frac{6}{15}$ apare exact pentru cel care înmulțește cu $3$ și numitorul — o fracție egală cu cea de la care a plecat; cerința 5 este o medie aritmetică, nu o sumă, iar variantele cu $\sqrt{6}$ sunt pentru cine adună radicalii între ei, în loc să dea factor comun; cerința 6 are numai două variante de răspuns, adevărată sau falsă, și se rezolvă observând că $6$ caiete și $4$ pixuri înseamnă exact dublul comenzii din enunț, deci $16$ lei, nu $12$. Subiectul al II-lea este integral geometrie cu figură, fiecare cerință în doi pași: la cerința 1 mijloacele se iau unul după altul, iar segmentul cerut este $DB=AB-AD$, nu $AB-AC$ — de acolo vin $8$ și $14$ din listă; la cerința 2 bisectoarele sunt două, așa că unghiul mare este de patru ori cel mic, iar $26^{\circ }$ este doar rezultatul primei dublări; la cerința 3 egalitatea $AC=CD$ înseamnă $AC=\frac{BC}{2}$, iar teorema lui Pitagora devine o ecuație în $BC$; la cerința 5 diametrul cercului este diagonala pătratului, nu latura lui. La Subiectul al III-lea, cerința 1 cere o comparație explicită între $\frac{x}{5}$ și $\frac{x}{4}$, cerința 2 cere divizibilitatea cu $10$, adică factorul $5$ și paritatea parantezei, cerința 3 se sprijină pe două triunghiuri dreptunghice isoscele care dau două unghiuri de $45^{\circ }$, cerința 4 folosește perpendicularitatea diagonalelor ca să aplice teorema catetei, iar cerința 6 cere unghiul a două plane, care se construiește cu două perpendiculare pe muchia lor comună, $B{C}^{\prime }$.

Cum se dă ca probă completă:

• Punctaj: 90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.
• Timp de lucru: 2 ore, cronometrate. Reper pentru un elev de clasa 8: $25$ de minute pentru Subiectul I, $35$ pentru Subiectul al II-lea, restul pentru Subiectul al III-lea și pentru recitire.
• Materiale: foaie de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator. Rezultatele sunt „curate”: numere întregi, zecimale scurte ($6,4$ și $4,5$ la cerința 4 a Subiectului al III-lea) sau expresii de forma $6\sqrt{2}$.
• Redactare: la Subiectele I și al II-lea se încercuiește o singură literă; la Subiectul al III-lea se scriu toți pașii, altfel rezultatul corect nu ia punctajul întreg.

Regulile oficiale de notare, de pe baremul probei: se acordă zece puncte din oficiu, iar nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare; la Subiectul I și la Subiectul al II-lea se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie cinci puncte, fie zero puncte și nu se acordă punctaje intermediare; la Subiectul al III-lea, pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător și nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.

Ce se depunctează la Subiectul al III-lea, pe această variantă: răspunsul „nu este posibil” dat fără compararea lui $\frac{x}{5}$ cu $\frac{x}{4}$ (cerința 1); divizibilitatea cu $10$ scoasă numai din factorul $5$, fără paritatea lui $n(n+5)+6$ (cerința 2); „triunghiul $AMB$ este dreptunghic” citit din desen, fără cele două unghiuri de $45^{\circ }$ (cerința 3); valoarea $DC=4,5$ cm scrisă fără asemănarea $△DOC\sim △BOA$ și fără paralelismul din care vine ea (cerința 4); lungimea $PQ=4\sqrt{3}$ cm folosită fără justificarea că $BC$ este înălțimea triunghiului echilateral $BPQ$ (cerința 5); tangenta calculată fără construcția unghiului dintre plane, adică fără cele două drepte perpendiculare pe $B{C}^{\prime }$ (cerința 6).

Interpretarea punctajului:

Un elev de a 8-a poate folosi harta materiei de mai sus ca listă de recapitulare: fiecare rând spune ce capitol se ascunde în spatele cerinței și din ce clasă vine.