Evaluarea Națională 2022, simularea națională — subiectul oficial, rezolvat

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $6-18:2$ este egal cu: a) $-6$ b) $-3$ c) $0$ d) $12$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$, atunci rezultatul calculului $2b-3a$ este egal cu: a) $-5$ b) $-1$ c) $0$ d) $5$

Exercițiul 3 · 5 puncte Soluția ecuației $x+6=2$ este numărul întreg: a) $-8$ b) $-4$ c) $4$ d) $8$

Exercițiul 4 · 5 puncte Dintre numerele ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2$, ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3$, ${\left(\frac{1}{2}\right)}^4$ și ${\left(\frac{1}{2}\right)}^5$, cel mai mic este numărul: a) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2$ b) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3$ c) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^4$ d) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^5$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi, Elena, Alina, Paul și Adi, au calculat media aritmetică a numerelor $a=3-2\sqrt{2}$ și $b=3+2\sqrt{2}$. Rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de: a) Elena b) Alina c) Paul d) Adi

Exercițiul 6 · 5 puncte Numărul real $x$ verifică relațiile $2\le x<5$. Ioana afirmă: „Numărul real $x$ aparține intervalului $[2,5)$”. Afirmația Ioanei este: a) adevărată b) falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată, $A$ și $B$ sunt puncte distincte, punctul $C$ se află pe segmentul $AB$, astfel încât $AB=3\cdot AC$, iar $AC=2$ cm. Lungimea segmentului $BC$ este egală cu:

a) $2$ cm b) $4$ cm c) $6$ cm d) $8$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată, unghiurile $AOB$ și $BOC$ sunt adiacente complementare. Semidreapta $OD$ este bisectoarea unghiului $BOC$, iar măsura unghiului $AOD$ este de $55^{\circ }$. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu:

a) $55^{\circ }$ b) $35^{\circ }$ c) $20^{\circ }$ d) $15^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$ cu $AB=4$ cm. Semidreapta $BM$ este bisectoarea unghiului $ABC$, $M\in AC$ și $BM=MC$. Lungimea segmentului $BC$ este egală cu:

a) $2$ cm b) $4$ cm c) $8$ cm d) $12$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AB=4$ cm și $CD=8$ cm. Lungimea liniei mijlocii a trapezului $ABCD$ este egală cu:

a) $4$ cm b) $6$ cm c) $8$ cm d) $12$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ se află pe cercul de centru $O$, $AB$ este diametru, măsura arcului mic $AC$ este egală cu $60^{\circ }$ și dreptele $CD$ și $AB$ sunt perpendiculare. Măsura unghiului $ACD$ este egală cu:

a) $30^{\circ }$ b) $45^{\circ }$ c) $60^{\circ }$ d) $90^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un tetraedru regulat $VABC$ cu $AB=4$ cm. Suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului regulat $VABC$ este egală cu:

a) $12$ cm b) $16$ cm c) $20$ cm d) $24$ cm

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Suma a două numere naturale $a$ și $b$ este egală cu $42$. Cel mai mare divizor comun al numerelor $a$ și $b$ este $7$. a) (2 p) Numerele $14$ și $28$ îndeplinesc condițiile din enunț? Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Determină numerele naturale $a$ și $b$, $a<b$, care îndeplinesc condițiile din enunț.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=(2x+1{)}^2-(2x+3)(2x-3)+(2x-3{)}^2$, unde $x$ este număr real. a) (2 p) Arată că $E(x)=4x^2-8x+19$, pentru orice număr real $x$. b) (3 p) Determină cel mai mare număr natural $A$, știind că $E(x)\ge A$, pentru orice număr real $x$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Prețul unui obiect este $500$ de lei. După o ieftinire cu $12\%$ din prețul obiectului, urmată de o ieftinire cu $p\%$ din noul preț, obiectul costă $330$ de lei. a) (2 p) Arată că, după prima ieftinire, obiectul costă $440$ de lei. b) (3 p) Determină numărul $p$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$ și triunghiul echilateral $CDE$ cu $EC=6$ cm. Dreptele $EC$ și $AB$ se intersectează în punctul $P$.

a) (2 p) Arată că $CP=4\sqrt{3}$ cm. b) (3 p) Arată că distanța de la punctul $P$ la dreapta $AE$ este egală cu $\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{3}\right)$ cm.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$. Punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$, $AG=4$ cm, $BG=3$ cm și dreptele $AG$ și $BG$ sunt perpendiculare.

a) (2 p) Arată că perimetrul triunghiului $ABG$ este egal cu $12$ cm. b) (3 p) Determină lungimea segmentului $BC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată $SABCD$ cu baza pătratul $ABCD$, $m(\angle SAC)=45^{\circ }$ și $AB=12$ cm. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $BC$, respectiv $SD$, iar $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$.

a) (2 p) Arată că $SC=12$ cm. b) (3 p) Calculează lungimea segmentului $MN$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $18:2=9$, deci $6-18:2=6-9=-3$.
2. c) Din $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$ rezultă $3a=2b$, deci $2b-3a=0$.
3. b) $x+6=2\Rightarrow x=2-6=-4$.
4. d) Cum $\frac{1}{2}<1$, puterile scad pe măsură ce exponentul crește; cel mai mic este cel cu exponentul cel mai mare, ${\left(\frac{1}{2}\right)}^5$.
5. c) Media aritmetică $\frac{a+b}{2}=\frac{(3-2\sqrt{2})+(3+2\sqrt{2})}{2}=\frac{6}{2}=3$, rezultat obținut de Paul.
6. a) $2\le x<5$ este exact scrierea intervalului $[2,5)$, deci afirmația Ioanei este adevărată.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) $AB=3\cdot AC=3\cdot 2=6$ cm, deci $BC=AB-AC=6-2=4$ cm.
2. c) Fie $m(\angle AOB)=x$; cum $AOB$ și $BOC$ sunt complementare, $m(\angle BOC)=90-x$, iar $OD$ bisectoare dă $m(\angle BOD)=\frac{90-x}{2}$. Din $m(\angle AOD)=x+\frac{90-x}{2}=55$ rezultă $x+90=110$, deci $x=20$.
3. c) Notăm $m(\angle ABM)=m(\angle MBC)=\beta$; din $BM=MC$, triunghiul $BMC$ este isoscel cu $m(\angle MCB)=\beta$. În triunghiul $ABC$: $90+2\beta +\beta =180\Rightarrow \beta =30$, deci $m(\angle ACB)=30^{\circ }$. În triunghiul dreptunghic $ABC$, $\sin (\angle ACB)=\frac{AB}{BC}\Rightarrow BC=\frac{4}{\sin 30^{\circ }}=8$ cm.
4. b) Linia mijlocie a trapezului $=\frac{AB+CD}{2}=\frac{4+8}{2}=6$ cm.
5. a) $AB$ diametru $\Rightarrow m(\angle ACB)=90^{\circ }$; arcul mic $AC=60^{\circ }\Rightarrow m(\angle ABC)=30^{\circ }$ (unghi înscris, jumătate din arc), deci $m(\angle BAC)=60^{\circ }$. Cum $CD\perp AB$, folosind unghiurile complementare din triunghiurile dreptunghice formate, rezultă $m(\angle ACD)=30^{\circ }$.
6. d) Tetraedrul regulat are $6$ muchii egale, toate de $4$ cm, deci suma $=6\cdot 4=24$ cm.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) $14+28=42$, deci suma este respectată (1 p). Însă $\text{c.m.m.d.c.}(14,28)=14\ne 7$, deci numerele $14$ și $28$ nu îndeplinesc condițiile din enunț (1 p). b) (3 p) Cum $\text{c.m.m.d.c.}(a,b)=7$, scriem $a=7k$, $b=7p$, cu $k,p$ numere naturale, $\text{c.m.m.d.c.}(k,p)=1$, $k<p$ (1 p). Din $7k+7p=42$ obținem $k+p=6$; singura pereche cu $\text{c.m.m.d.c.}(k,p)=1$ și $k<p$ este $k=1$, $p=5$ (perechea $k=2,p=4$ are $\text{c.m.m.d.c.}=2$, iar $k=p=3$ nu respectă $k<p$) (1 p). Rezultă $a=7\cdot 1=7$ și $b=7\cdot 5=35$ (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $(2x+1{)}^2=4x^2+4x+1$, $(2x+3)(2x-3)=4x^2-9$, $(2x-3{)}^2=4x^2-12x+9$ (1 p). Atunci $E(x)=(4x^2+4x+1)-(4x^2-9)+(4x^2-12x+9)=4x^2-8x+19$, pentru orice număr real $x$ (1 p). b) (3 p) $E(x)=4x^2-8x+19=4(x-1{)}^2+15$ (1 p). Cum $(x-1{)}^2\ge 0$ pentru orice $x$ real, rezultă $E(x)\ge 15$, pentru orice număr real $x$ (1 p). Cum $A$ este cel mai mare număr natural pentru care $E(x)\ge A$, oricare ar fi $x$ real (minimul lui $E$ este exact $15$, atins la $x=1$), rezultă $A=15$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $12\%$ din $500$ este $500\cdot \frac{12}{100}=60$ de lei (1 p). Prețul după prima ieftinire este $500-60=440$ de lei (1 p). b) (3 p) După a doua ieftinire, prețul este $440-440\cdot \frac{p}{100}=330$ (1 p). Rezultă $440\cdot \frac{p}{100}=440-330=110$ (1 p), deci $p=\frac{110\cdot 100}{440}=25$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $CD\parallel AB$ și $EC$ este secantă, deci $m(\angle BPC)=m(\angle DCE)=60^{\circ }$ (unghiuri corespondente) (1 p). Triunghiul $BPC$ este dreptunghic în $B$ (căci $BC\perp AB$), cu $BC=6$ cm; din $\sin (\angle BPC)=\frac{BC}{CP}$ obținem $CP=\frac{6}{\sin 60^{\circ }}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{3}$ cm (1 p). b) (3 p) $m(\angle ADE)=m(\angle ADC)+m(\angle CDE)=90^{\circ }+60^{\circ }=150^{\circ }$; cum $AD=DE=6$ cm (laturi ale pătratului, respectiv triunghiului echilateral), triunghiul $ADE$ este isoscel, cu unghiurile de la bază $m(\angle DAE)=m(\angle DEA)=\frac{180-150}{2}=15^{\circ }$ (1 p). Rezultă $m(\angle AEP)=m(\angle DEC)-m(\angle DEA)=60-15=45^{\circ }$ (1 p). Cu $EP=EC+CP=6+4\sqrt{3}$ cm, distanța de la $P$ la dreapta $AE$ este $PQ=EP\cdot \sin 45^{\circ }=(6+4\sqrt{3})\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{3}\right)$ cm (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Triunghiul $AGB$ este dreptunghic în $G$ (căci $AG\perp BG$), deci $AB=\sqrt{A{G}^2+B{G}^2}=\sqrt{16+9}=5$ cm (1 p). Perimetrul triunghiului $ABG$ este $AG+BG+AB=4+3+5=12$ cm (1 p). b) (3 p) Fie $P$ intersecția dreptei $AG$ cu $BC$; cum $AP$ este mediană, $P$ este mijlocul lui $BC$, iar centrul de greutate împarte mediana în raport $2:1$ de la vârf, deci $GP=\frac{AG}{2}=2$ cm (1 p). Triunghiul $PGB$ este dreptunghic în $G$, cu $BG=3$ cm și $GP=2$ cm, deci $BP=\sqrt{B{G}^2+G{P}^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$ cm (1 p). Cum $P$ este mijlocul lui $BC$, rezultă $BC=2\cdot BP=2\sqrt{13}$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) $AC$ este diagonala pătratului $ABCD$ cu latura $12$ cm, deci $AC=12\sqrt{2}$ cm (1 p). Cum $SA=SC$ (muchii laterale, piramidă regulată) și $m(\angle SAC)=45^{\circ }$, rezultă $m(\angle SCA)=45^{\circ }$, deci triunghiul $SAC$ este dreptunghic isoscel în $S$; din $S{A}^2+S{C}^2=A{C}^2$ cu $SA=SC$ obținem $2\cdot S{C}^2=(12\sqrt{2}{)}^2=288$, deci $SC=12$ cm (1 p). b) (3 p) Fie $P$ mijlocul lui $SA$. $NP$ este linie mijlocie în triunghiul $SAD$, deci $NP\parallel AD$ și $NP=\frac{AD}{2}=6$ cm; cum $BM$ (jumătate din $BC$) are aceeași lungime cu $NP$ (ambele egale cu jumătate din $AD$, adică $6$ cm) și aceeași direcție cu $AD$, patrulaterul $BMNP$ este paralelogram, deci $MN=BP$ (1 p). Triunghiul $SAB$ are $SA=SB=AB=12$ cm (toate muchiile egale), deci este echilateral, iar $BP$ (cu $P$ mijlocul lui $SA$) este mediană și înălțime în acest triunghi (1 p). Înălțimea triunghiului echilateral cu latura $12$ cm este $\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ cm, deci $MN=BP=6\sqrt{3}$ cm (1 p).

Sursa: Ministerul Educației — Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Evaluarea Națională pentru absolvenții clasei a VIII-a, probă scrisă la matematică, simularea națională, anul școlar 2021–2022. Enunțurile, datele și baremul urmează documentul oficial; figurile sunt redesenate, iar aranjarea în pagină este a site-ului.

Pentru părinți și profesori

Acesta nu este un test scris de noi. Este subiectul oficial al simulării naționale pentru Evaluarea Națională la matematică, clasa a VIII-a, anul școlar 2021–2022 — proba de antrenament pe care o dau în școli, în aceeași perioadă, elevii de a 8-a din toată țara, cu subiect și barem întocmite de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Simularea nu este examenul: ea se dă la mijlocul anului, ca repetiție. Ca toate simulările, documentul nu poartă număr de variantă și nu poartă nicio dată: pe fiecare pagină scrie doar „Simulare” și anul școlar, iar acestea sunt singurele semne care o identifică — de aceea nu se afirmă aici nici luna, nici ziua probei. Enunțurile urmează documentul publicat: valorile și ordinea variantelor sunt cele de pe subiect, iar figurile au fost redesenate după cele oficiale, cu aceeași configurație. Două lucruri sunt aduse la convenția site-ului, ca să se citească la fel peste tot: măsura unghiului se scrie $m(\angle AOB)$ acolo unde documentul pune doar simbolul de unghi, iar instrucțiunile subiectelor sunt formulate la persoana a doua singular. Rezolvările, explicațiile și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi, iar punctajul de la Subiectul al III-lea urmează rând cu rând baremul oficial.

Structura probei:

Total: 100 de puncte, timp de lucru două ore. Nota se obține împărțind punctajul total la zece.

Harta materiei, pe cele 18 cerințe:

• Ordinea operațiilor — împărțirea se face înaintea scăderii; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 1)
• Rapoarte și proporții — proporția dă direct valoarea expresiei $2b-3a$, fără să afli $a$ și $b$; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 2)
• Ecuație de gradul întâi — necunoscuta se izolează dintr-o singură scădere, cu rezultat negativ; clasele VI–VII. (Subiectul I, cerința 3)
• Puteri cu bază subunitară — cum se compară puterile unui număr cuprins între $0$ și $1$; clasele VI–VII. (Subiectul I, cerința 4)
• Media aritmetică și radicali — media a două numere conjugate, în care radicalul se reduce; clasa a VII-a. (Subiectul I, cerința 5)
• Intervale de numere reale — o dublă inegalitate scrisă ca interval; clasa a VIII-a. (Subiectul I, cerința 6)
• Segmente pe o dreaptă — un punct care împarte segmentul într-un raport dat; clasa a VI-a. (Subiectul al II-lea, cerința 1)
• Unghiuri adiacente complementare și bisectoare — o ecuație scrisă direct din figură; clasa a VI-a. (Subiectul al II-lea, cerința 2)
• Triunghi dreptunghic, bisectoare și triunghi isoscel — cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$, jumătate din ipotenuză; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 3)
• Trapez: linia mijlocie — media aritmetică a celor două baze; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 4)
• Cerc: unghi înscris și coardă perpendiculară pe diametru — două arce egale de o parte și de alta a diametrului; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 5)
• Tetraedrul regulat — cele șase muchii congruente și suma lor; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 6)
• Divizibilitate și c.m.m.d.c. — două numere cu suma dată și cu divizor comun dat; clasa a VI-a. (Subiectul al III-lea, cerința 1)
• Formule de calcul prescurtat — o expresie restrânsă la un pătrat, apoi valoarea ei minimă; clasele VII–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 2)
• Procente succesive — două ieftiniri, a doua calculată din noul preț; clasele VI–VII. (Subiectul al III-lea, cerința 3)
• Pătrat, triunghi echilateral și distanță punct–dreaptă — unghiuri corespondente, apoi un triunghi isoscel cu unghiul de $150^{\circ }$; clasele VII–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 4)
• Centrul de greutate al triunghiului — mediana împărțită în raportul $2:1$ și teorema lui Pitagora; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 5)
• Piramida patrulateră regulată — un triunghi dreptunghic isoscel în vârf, apoi linie mijlocie și paralelogram în spațiu; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 6)

Ce a cerut, de fapt, proba din 2022. La Subiectul I, jumătate dintre cerințe se pierd din citire, nu din calcul: la cerința 1, varianta $-6$ este exact rezultatul lui $(6-18):2$, adică al scăderii făcute înaintea împărțirii; la cerința 2 se cere valoarea expresiei $2b-3a$, nu $a$ și $b$ separat — înmulțirea încrucișată dă $3a=2b$ dintr-un pas, deci diferența este $0$; la cerința 4, baza $\frac{1}{2}$ este subunitară, așa că puterile scad pe măsură ce exponentul crește, iar cine aplică regula de la baze supraunitare alege ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2$; la cerința 5, cele două numere sunt conjugate, iar rezultatul $6$ din tabel este suma lor, nu media, în timp ce $1$ este produsul $9-8$. Subiectul al II-lea este integral geometrie cu figură și se închide în doi pași scurți, dacă figura e citită corect: la cerința 1, $AB=3\cdot AC$ înseamnă că $BC=AB-AC=4$ cm, iar varianta $6$ cm este chiar $AB$; la cerința 2, unghiul $AOD$ nu este jumătate din $AOC$, ci $AOB$ plus jumătate din $BOC$; la cerința 3, egalitatea $BM=MC$ face triunghiul $BMC$ isoscel, de unde unghiul $C$ are $30^{\circ }$, iar ipotenuza este dublul catetei $AB$; la cerința 5, perpendicularitatea $CD\perp AB$ face din diametru mediatoarea coardei $CD$, deci arcul $AD$ are tot $60^{\circ }$, iar unghiul înscris $ACD$ este jumătatea lui; la cerința 6, tetraedrul regulat are $6$ muchii, nu $4$ — varianta $16$ cm numără doar patru. La Subiectul al III-lea, capcanele sunt de justificare: cerința 1 a) cere motivul respingerii, nu doar un „nu”; cerința 2 b) cere cel mai mare număr natural $A$, deci trebuie arătat că minimul $15$ chiar se atinge; cerința 3 b) calculează a doua ieftinire din $440$ de lei, nu din $500$; cerința 4 b) pornește de la unghiul $ADE$ de $150^{\circ }$, nu de $90^{\circ }$; cerința 5 b) folosește $GP=\frac{AG}{2}$, nu $GP=2\cdot AG$; cerința 6 b) nu calculează $MN$ direct, ci prin paralelogramul $BMNP$.

Ce lipsește față de proba din iunie. Fiind o simulare dată la mijlocul anului, subiectul acoperă doar partea de programă de clasa 8 parcursă până atunci, iar asta se vede: geometria în spațiu apare de două ori, dar numai cu lungimi — nicio cerință nu cere aria sau volumul unui corp. Nu apare nicio cerință despre funcția liniară și reprezentarea ei grafică, niciuna despre probabilități și niciuna de citire a unei diagrame, deși la Evaluarea Națională din iunie astfel de cerințe sunt obișnuite. Pentru un elev de a 8-a asta înseamnă că o simulare bine scrisă nu este încă o probă completă: după ea rămân de învățat corpurile geometrice și de recitit funcțiile.

Cum se dă ca probă completă:

• Punctaj: 90 de puncte din cele 18 cerințe + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte. Nota se obține împărțind punctajul total la $10$.
• Timp de lucru: 2 ore, cronometrate. Reper: $25$ de minute pentru Subiectul I, $35$ pentru Subiectul al II-lea, restul pentru Subiectul al III-lea și pentru recitire.
• Materiale: foaie de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator. Rezultatele sunt „curate”: numere întregi, fracții simple sau expresii de forma $4\sqrt{3}$, $2\sqrt{13}$ și $6\sqrt{3}$.
• Redactare: la Subiectele I și al II-lea se încercuiește o singură literă; la Subiectul al III-lea se scriu toți pașii, altfel rezultatul corect nu ia punctajul întreg.

Regulile oficiale de notare, de pe baremul probei: se acordă zece puncte din oficiu, iar nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare; la Subiectul I și la Subiectul al II-lea se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie cinci puncte, fie zero puncte și nu se acordă punctaje intermediare; la Subiectul al III-lea, pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător și nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.

Ce se depunctează la Subiectul al III-lea, pe această variantă: concluzia „nu se poate” dată fără $\text{c.m.m.d.c.}(14,28)=14$ scris explicit, pe care baremul îl punctează separat de concluzie, iar la subpunctul b) perechea $k=1$, $p=5$ dată fără condițiile $\text{c.m.m.d.c.}(k,p)=1$ și $k<p$, care sunt chiar cele care elimină $k=2$, $p=4$ (cerința 1); inegalitatea $E(x)\ge 15$ scrisă fără forma restrânsă $(2x-2{)}^2+15$, din care vine, și valoarea $A=15$ dată fără observația că minimul se atinge efectiv (cerința 2); numărul $p$ aflat dintr-o ecuație scrisă pe prețul inițial, nu pe cel de $440$ de lei (cerința 3); $CP=4\sqrt{3}$ obținut fără egalitatea de unghiuri $m(\angle DCE)=m(\angle BPC)$, care vine din $CD\parallel AB$, iar la subpunctul b) lungimea $EP=6+4\sqrt{3}$ folosită fără unghiul $AEP$ de $45^{\circ }$ (cerința 4); $GP=2$ cm scris fără mediana $AP$ și fără raportul $2:1$ (cerința 5); egalitatea $MN=BP$ afirmată fără paralelogramul $BMNP$, adică fără $NP\parallel MB$ și $NP=MB$ (cerința 6).

Interpretarea punctajului: