Evaluarea Națională 2023, modelul oficial — subiectul rezolvat

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $64-56:8$ este egal cu: a) $0$ b) $1$ c) $56$ d) $57$

Exercițiul 2 · 5 puncte Știind că $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}$, atunci rezultatul calculului $4a-3b$ este egal cu: a) $0$ b) $1$ c) $7$ d) $12$

Exercițiul 3 · 5 puncte Suma numerelor întregi din intervalul $\left[-2022,2022\right]$ este egală cu: a) $-2022$ b) $-2021$ c) $0$ d) $2022$

Exercițiul 4 · 5 puncte În tabelul de mai jos este prezentată situația notelor obținute de elevii claselor a VIII-a dintr-o școală, la un test de matematică:

Media notelor obținute de elevii claselor a VIII-a din această școală la testul de matematică este egală cu: a) $6,00$ b) $7,60$ c) $7,90$ d) $8,60$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi, Ioana, Mara, Petrică și Ștefan, au calculat produsul numerelor $a=\left|\sqrt{2}-\sqrt{3}\right|$ și $b=\left|\sqrt{3}+\sqrt{2}\right|$, iar rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de: a) Ioana b) Mara c) Petrică d) Ștefan

Exercițiul 6 · 5 puncte O mașină se deplasează în intervalul orar $12:56-14:26$ cu o viteză medie de $80$ km/h. Mihai afirmă că, în acest interval de timp, mașina a parcurs o distanță egală cu $200$ km. Afirmația lui Mihai este: a) adevărată b) falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AB=7$ cm și $BC=9$ cm. Știind că punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$, iar punctul $N$ este mijlocul segmentului $BC$, lungimea segmentului $MN$ este egală cu:

a) $8$ cm b) $11,5$ cm c) $12,5$ cm d) $16$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile opuse la vârf $AOC$ și $BOD$. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu $120^{\circ }$. Măsura unghiului $BOD$ este egală cu:

a) $30^{\circ }$ b) $60^{\circ }$ c) $90^{\circ }$ d) $120^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $BC=6$ cm și măsura unghiului $B$ egală cu $60^{\circ }$. Lungimea segmentului $AB$ este egală cu:

a) $2\sqrt{3}$ cm b) $3$ cm c) $3\sqrt{2}$ cm d) $3\sqrt{3}$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$, cu $AD=BD$ și cu măsura unghiului $DAB$ egală cu $45^{\circ }$. Măsura unghiului $CBD$ este egală cu:

a) $135^{\circ }$ b) $90^{\circ }$ c) $60^{\circ }$ d) $45^{\circ }$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $AMB$, cu $AB=8\sqrt{2}$ cm, înscris într-un cerc care are raza egală cu $8$ cm. Măsura unghiului $AMB$ este egală cu:

a) $15^{\circ }$ b) $30^{\circ }$ c) $45^{\circ }$ d) $60^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un con circular drept care are secțiunea axială un triunghi echilateral cu înălțimea egală cu $6$ cm. Generatoarea conului are lungimea egală cu:

a) $2\sqrt{3}$ cm b) $4\sqrt{3}$ cm c) $6$ cm d) $12$ cm

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Un excursionist a parcurs un traseu în trei zile. În prima zi a parcurs $30\%$ din lungimea traseului, în a doua zi o treime din distanța parcursă în prima zi, iar în a treia zi a parcurs restul de $72$ km. a) (2 p) Este posibil ca distanța parcursă de excursionist în a doua zi să reprezinte o pătrime din lungimea întregului traseu? Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Determină lungimea traseului parcurs de excursionist în cele trei zile.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{2}{x-2}+\frac{x}{x+2}\right):\frac{x^2+4}{x^2-x-2}$, unde $x\in \mathbb{R}\setminus \left\{-2,-1,2\right\}$. a) (2 p) Arată că $E(x)=\frac{x+1}{x+2}$, pentru orice $x\in \mathbb{R}\setminus \left\{-2,-1,2\right\}$. b) (3 p) Determină numerele întregi $a$ pentru care $E(a)\in \mathbb{Z}$.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2$. a) (2 p) Rezolvă ecuația $3\cdot f(x)=-4-2x$. b) (3 p) Știind că $A$ și $B$ sunt punctele de intersecție a reprezentării grafice a funcției $f$ cu axele $Ox$, respectiv $Oy$, ale sistemului de axe ortogonale $xOy$, iar punctul $C$ este simetricul punctului $A$ față de punctul $B$, determină coordonatele punctului $C$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$ cu $AB=4$ cm și triunghiul echilateral $ABP$.

a) (2 p) Arată că măsura unghiului $DPB$ este egală cu $45^{\circ }$. b) (3 p) Demonstrează că $AM=4\left(2-\sqrt{3}\right)$ cm, unde $\left\{M\right\}=AB\cap PD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AB=6$ cm și $CD=4$ cm. Punctele $R$, $S$ și $T$ sunt mijloacele laturilor $AD$, $AB$, respectiv $BC$.

a) (2 p) Arată că lungimea segmentului $RT$ este egală cu $5$ cm. b) (3 p) Arată că aria patrulaterului $DRST$ este egală cu jumătate din aria trapezului $ABCD$.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $D^{\prime }{C}^{\prime }=6$ cm.

a) (2 p) Arată că volumul cubului $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este egal cu $216$ cm³. b) (3 p) Demonstrează că dreapta $O{O}^{\prime }$ este perpendiculară pe planul $\left(A^{\prime }{D}^{\prime }C\right)$, unde $\left\{O\right\}=AC\cap BD$ și $\left\{O^{\prime }\right\}=B{C}^{\prime }\cap B^{\prime }C$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. d) $64-56:8=64-7=57$.
2. a) Din $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}$ rezultă $4a=3b$, deci $4a-3b=0$.
3. c) Numerele întregi din $\left[-2022,2022\right]$ se grupează în perechi opuse ($-2022$ cu $2022$ etc.) plus $0$, deci suma este $0$.
4. b) Numărul total de elevi este $6+9+12+15+12+6=60$. Suma notelor este $5\cdot 6+6\cdot 9+7\cdot 12+8\cdot 15+9\cdot 12+10\cdot 6=30+54+84+120+108+60=456$. Media este $456:60=7,60$.
5. c) $a=\left|\sqrt{2}-\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}-\sqrt{2}$ (căci $\sqrt{3}>\sqrt{2}$) și $b=\sqrt{3}+\sqrt{2}$. Produsul $ab=\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)=3-2=1$, valoare obținută de Petrică.
6. b) Intervalul orar $12:56-14:26$ reprezintă $1$ oră și $30$ de minute, adică $1,5$ ore. Distanța parcursă este $80\cdot 1,5=120$ km $\ne 200$ km, deci afirmația lui Mihai este falsă.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) $MN=MB+BN=\frac{AB}{2}+\frac{BC}{2}=3,5+4,5=8$ cm.
2. b) Unghiurile $AOB$ și $BOD$ sunt suplementare (formate de aceeași parte a dreptei $AD$ până la $B$, semidreptele $OA$ și $OD$ fiind opuse), deci $m\left(\angle BOD\right)=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$.
3. b) În triunghiul dreptunghic $ABC$, $AB=BC\cdot \cos B=6\cdot \cos 60^{\circ }=6\cdot \frac{1}{2}=3$ cm.
4. b) Triunghiul $ABD$ este isoscel, cu $AD=BD$, deci $m\left(\angle DAB\right)=m\left(\angle DBA\right)=45^{\circ }$. Cum $AD\parallel BC$, rezultă $m\left(\angle DAB\right)+m\left(\angle ABC\right)=180^{\circ }$, deci $m\left(\angle ABC\right)=135^{\circ }$. Atunci $m\left(\angle CBD\right)=m\left(\angle ABC\right)-m\left(\angle ABD\right)=135^{\circ }-45^{\circ }=90^{\circ }$.
5. c) Fie $O$ centrul cercului; $OA=OB=8$ cm. Cum $8^2+8^2=128={\left(8\sqrt{2}\right)}^2=A{B}^2$, din reciproca teoremei lui Pitagora triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$, deci $m\left(\angle AOB\right)=90^{\circ }$. Unghiul înscris $AMB$ se sprijină pe același arc $AB$, deci este jumătate din unghiul la centru: $m\left(\angle AMB\right)=45^{\circ }$.
6. b) Secțiunea axială este un triunghi echilateral cu înălțimea $6$ cm, deci latura este $\ell =\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{3}$ cm; aceasta este chiar diametrul bazei conului, deci raza este $R=2\sqrt{3}$ cm, iar înălțimea conului este $h=6$ cm. Generatoarea este $G=\sqrt{R^2+h^2}=\sqrt{12+36}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$ cm.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Notăm cu $x$ lungimea traseului. Distanța parcursă în a doua zi este $\frac{1}{3}\cdot 30\%\cdot x=10\%\cdot x=\frac{x}{10}$ (1 p). Cum $\frac{x}{10}\ne \frac{x}{4}$, obținem că nu este posibil ca distanța parcursă de excursionist în a doua zi să reprezinte o pătrime din lungimea traseului (1 p). b) (3 p) $\frac{30}{100}x+\frac{x}{10}+72=x$ (1 p). Aducând la același numitor și înmulțind cu $10$: $4x+720=10x$ (1 p). Rezultă $6x=720$, deci $x=120$ km (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $E(x)=\left(\frac{2}{x-2}+\frac{x}{x+2}\right):\frac{x^2+4}{x^2-x-2}=\frac{2\left(x+2\right)+x\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}:\frac{x^2+4}{x^2-x-2}=\frac{x^2+4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$ (1 p). Cum $x^2-x-2=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$, $E(x)=\frac{x^2+4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\cdot \frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{x^2+4}=\frac{x+1}{x+2}$, pentru orice $x\in \mathbb{R}\setminus \left\{-2,-1,2\right\}$ (1 p). b) (3 p) $E(a)=\frac{a+1}{a+2}=1-\frac{1}{a+2}$ (1 p). Pentru ca $E(a)\in \mathbb{Z}$, trebuie ca $\left(a+2\right)\mid 1$, deci $a+2\in \left\{-1,1\right\}$ (1 p). Obținem $a=-1$, care nu convine (exclus din domeniu), și $a=-3$, care convine (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $3\cdot f(x)=-4-2x$ devine $3\left(x+2\right)=-4-2x$, adică $3x+6=-4-2x$ (1 p). Rezultă $5x=-10$, deci $x=-2$ (1 p). b) (3 p) $A\left(-2,0\right)$ și $B\left(0,2\right)$ sunt punctele de intersecție a graficului funcției $f$ cu axele $Ox$, respectiv $Oy$ (1 p). $B$ este mijlocul segmentului $AC$, deci $x_C=2x_B-x_A=2\cdot 0-\left(-2\right)=2$ (1 p), iar $y_C=2y_B-y_A=2\cdot 2-0=4$, deci $C\left(2,4\right)$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $m\left(\angle PAD\right)=m\left(\angle PAB\right)+m\left(\angle BAD\right)=60^{\circ }+90^{\circ }=150^{\circ }$; cum $AP=AD$, triunghiul $APD$ este isoscel, deci $m\left(\angle ADP\right)=m\left(\angle APD\right)=\frac{180^{\circ }-150^{\circ }}{2}=15^{\circ }$ (1 p). Atunci $m\left(\angle DPB\right)=m\left(\angle APB\right)-m\left(\angle APD\right)=60^{\circ }-15^{\circ }=45^{\circ }$ (1 p). b) (3 p) Fie $Q$ mijlocul lui $AB$; în triunghiul echilateral $APB$, $PQ\perp AB$, deci $PQ=2\sqrt{3}$ cm și $AQ=2$ cm (1 p). Cum $PQ\perp AB$ și $AD\perp AB$ (unghi de pătrat), rezultă $PQ\parallel AD$, deci triunghiurile $DAM$ și $PQM$ sunt asemenea, cu $\frac{AM}{QM}=\frac{AD}{PQ}=\frac{4}{2\sqrt{3}}$ (1 p). Din $AQ=AM+MQ=2$ obținem $AM=\frac{AD}{AD+PQ}\cdot AQ=\frac{4}{4+2\sqrt{3}}\cdot 2=4\left(2-\sqrt{3}\right)$ cm (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $R$ și $T$ fiind mijloacele laturilor neparalele $AD$ și $BC$, $RT$ este linie mijlocie în trapezul $ABCD$ (1 p), deci $RT=\frac{AB+CD}{2}=\frac{6+4}{2}=5$ cm (1 p). b) (3 p) Fie $DQ\perp AB$, $Q\in AB$; distanța dintre dreptele paralele $AB$ și $RT$ este $\frac{DQ}{2}$ (linia mijlocie $RT$ este la jumătatea înălțimii trapezului) (1 p). Patrulaterul $DRST$ se descompune în triunghiurile $DRT$ și $RST$, ambele cu baza $RT$ și înălțimi ce însumează exact $DQ$ (înălțimea trapezului), deci aria$\left(DRST\right)=\frac{RT\cdot DQ}{2}$ (1 p). Cum aria$\left(ABCD\right)=\frac{\left(AB+CD\right)\cdot DQ}{2}=RT\cdot DQ$, rezultă aria$\left(DRST\right)=\frac{\text{aria}\left(ABCD\right)}{2}$ (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Aria bazei este ${\mathcal{A}}_{ABCD}=D^{\prime }{C}^{\prime 2}=6^2=36$ cm² (1 p). Volumul cubului este $V={\mathcal{A}}_{ABCD}\cdot D^{\prime }{C}^{\prime }=36\cdot 6=216$ cm³ (1 p). b) (3 p) $O$ este mijlocul diagonalei $AC$, iar $O^{\prime }$ este mijlocul diagonalei $B^{\prime }C$ (a feței $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$); în triunghiul $A{B}^{\prime }C$, $O{O}^{\prime }$ unește mijloacele laturilor $AC$ și $B^{\prime }C$, deci $O{O}^{\prime }$ este linie mijlocie, de unde $O{O}^{\prime }\parallel A{B}^{\prime }$ (1 p). În pătratul $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, diagonalele $A{B}^{\prime }$ și $A^{\prime }B$ sunt perpendiculare, deci $A{B}^{\prime }\perp A^{\prime }B$; cum $A^{\prime }{D}^{\prime }\perp$ planul $\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right)$ (fiind muchie perpendiculară pe două laturi ale acestei fețe), rezultă și $A{B}^{\prime }\perp A^{\prime }{D}^{\prime }$. Dreptele $A^{\prime }B$ și $A^{\prime }{D}^{\prime }$ sunt concurente în $A^{\prime }$ și sunt conținute în planul $\left(A^{\prime }{D}^{\prime }C\right)$, deci $A{B}^{\prime }\perp \left(A^{\prime }{D}^{\prime }C\right)$ (1 p). Din $O{O}^{\prime }\parallel A{B}^{\prime }$ și $A{B}^{\prime }\perp \left(A^{\prime }{D}^{\prime }C\right)$, rezultă $O{O}^{\prime }\perp \left(A^{\prime }{D}^{\prime }C\right)$ (1 p).

Sursa: Ministerul Educației — Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Evaluarea Națională pentru absolvenții clasei a VIII-a, probă scrisă la matematică, modelul de subiect, anul școlar 2022–2023. Enunțurile, datele și baremul urmează documentul oficial; figurile sunt redesenate, iar aranjarea în pagină este a site-ului.

Pentru părinți și profesori

Documentul de față nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect la matematică pentru Evaluarea Națională a absolvenților clasei a VIII-a, anul școlar 2022–2023, publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE), împreună cu baremul de evaluare și de notare. Modelul nu este examen și nu se dă în școli: el apare la începutul anului școlar și arată structura probei, tipurile de cerințe și nivelul la care se face pregătirea. Enunțurile urmează documentul oficial: valorile și ordinea variantelor sunt cele de pe subiect, iar figurile au fost redesenate după cele oficiale, cu aceeași configurație — inclusiv punctele $M$, $R$, $S$, $T$, $O$ și $O^{\prime }$, care sunt marcate și în figurile documentului. Două lucruri sunt aduse la convenția site-ului, ca să se citească la fel peste tot: punctajul, scris în marginea paginii oficiale („5p”), este trecut aici în dreptul fiecărei cerințe, iar măsura unghiului se scrie $m\left(\angle DPB\right)$ acolo unde baremul oficial folosește simbolul $\sphericalangle$. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi, iar punctajul de la Subiectul al III-lea urmează rând cu rând baremul oficial.

Structura probei:

Total: 100 de puncte, timp de lucru două ore. Nota se obține împărțind punctajul total la zece.

Harta materiei, pe cele 18 cerințe:

• Ordinea operațiilor — împărțirea se face înaintea scăderii, chiar dacă este scrisă la urmă; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 1)
• Rapoarte și proporții — proporția derivată $4a=3b$, citită dintr-o egalitate de rapoarte; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 2)
• Numere întregi și intervale — suma numerelor întregi dintr-un interval simetric față de zero; clasele VI–VII. (Subiectul I, cerința 3)
• Media aritmetică ponderată — media notelor citită dintr-un tabel de frecvențe; clasele VII–VIII. (Subiectul I, cerința 4)
• Modul și produs de radicali — $\left|\sqrt{2}-\sqrt{3}\right|\cdot \left|\sqrt{3}+\sqrt{2}\right|$, cu doi factori conjugați; clasa a VII-a. (Subiectul I, cerința 5)
• Viteză medie, timp, distanță — un interval orar transformat în ore și o afirmație de verificat; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 6)
• Segmente și mijloace — mijloacele a două segmente alăturate pe aceeași dreaptă; clasa a VI-a. (Subiectul al II-lea, cerința 1)
• Unghiuri opuse la vârf și adiacente suplementare — un unghi obținut prin scădere din $180^{\circ }$; clasa a VI-a. (Subiectul al II-lea, cerința 2)
• Triunghi dreptunghic cu unghi de $60^{\circ }$ — cateta care se opune unghiului de $30^{\circ }$; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 3)
• Paralelogram și triunghi isoscel — un unghi de paralelogram desfăcut de diagonală; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 4)
• Cerc: unghi la centru și unghi înscris — o coardă de $8\sqrt{2}$ cm într-un cerc de rază $8$ cm; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 5)
• Conul circular drept — secțiunea axială echilaterală, cu înălțimea dată; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 6)
• Procente și ecuație — un traseu în trei zile, dintre care una dată în kilometri; clasele VI–VII. (Subiectul al III-lea, cerința 1)
• Fracții algebrice — o expresie adusă la $\frac{x+1}{x+2}$, apoi valorile întregi ale ei; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 2)
• Funcția liniară — o ecuație, intersecțiile cu axele și un simetric față de un punct; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 3)
• Pătrat și triunghi echilateral — un unghi de $45^{\circ }$ și un segment scris cu radical; clasele VII–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 4)
• Trapez și linie mijlocie — semisuma bazelor, apoi o arie scrisă în două feluri; clasele VII–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 5)
• Cub: volum și perpendicularitate pe plan — o linie mijlocie dusă în spațiu; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 6)

Ce a cerut, de fapt, modelul din 2023. La Subiectul I, capcanele sunt de citire, nu de calcul. Cerința 1 pedepsește mersul de la stânga la dreapta: $\left(64-56\right):8=1$ este chiar varianta b) a grilei, în timp ce împărțirea făcută la timp dă $64-7=57$. Cerința 4 cere media ponderată: suma $5\cdot 6+6\cdot 9+7\cdot 12+8\cdot 15+9\cdot 12+10\cdot 6=456$ se împarte la $60$, numărul total de elevi, nu la $6$, numărul notelor din tabel. Cerința 5 se joacă pe modul: din $\sqrt{2}<\sqrt{3}$ rezultă $\left|\sqrt{2}-\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}-\sqrt{2}$, iar produsul conjugatelor este $3-2=1$; cine nu schimbă semnul obține $-1$ (răspunsul Ioanei), iar cine ridică la pătrat unul dintre factori obține $5-2\sqrt{6}$ sau $5+2\sqrt{6}$ (răspunsurile Marei și al lui Ștefan) — toate trei sunt scrise în tabel, ca să fie alese. Cerința 6 cere transformarea intervalului $12:56-14:26$ în $1,5$ ore: $80\cdot 1,5=120$ km, deci afirmația din enunț este falsă. La Subiectul al II-lea, totul se sprijină pe citirea figurii: la cerința 1, $11,5$ cm este $MC$ și $12,5$ cm este $AN$ — segmente care se confundă ușor cu $MN$, iar $16$ cm este chiar $AC$; la cerința 2, unghiurile $AOB$ și $BOD$ sunt adiacente suplementare, nu opuse la vârf, deci se scade din $180^{\circ }$; la cerința 3, $AB$ se opune unghiului $C$, de $30^{\circ }$, deci este jumătate din ipotenuză, iar $3\sqrt{3}$ cm este cealaltă catetă; la cerința 5, egalitatea $8^2+8^2={\left(8\sqrt{2}\right)}^2$ arată, prin reciproca teoremei lui Pitagora, că unghiul la centru este drept, iar unghiul înscris este jumătate din el; la cerința 6, generatoarea este latura triunghiului echilateral din secțiune, deci $6$ cm (varianta c) este înălțimea deja dată, iar $2\sqrt{3}$ cm (varianta a) este raza bazei. La Subiectul al III-lea, primele trei probleme cer calcul organizat — un procent luat din alt procent, o fracție algebrică simplificată, un simetric față de un punct — iar ultimele trei sunt geometrie: un unghi de $15^{\circ }$ ascuns într-un triunghi isoscel cu unghiul de $150^{\circ }$, o arie scrisă în două feluri cu ajutorul liniei mijlocii și o perpendicularitate în cub, obținută dintr-o linie mijlocie.

Cum se dă ca probă completă:

• Punctaj: 90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.
• Timp de lucru: 2 ore, cronometrate, exact ca la proba scrisă de clasa 8. Reper: $25$ de minute pentru Subiectul I, $35$ pentru Subiectul al II-lea, restul pentru Subiectul al III-lea și pentru recitire.
• Materiale: foaie de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator. Rezultatele sunt „curate”: întregi, fracții simple sau expresii de forma $4\sqrt{3}$ și $4\left(2-\sqrt{3}\right)$.
• Redactare: la Subiectele I și al II-lea se încercuiește o singură literă; la Subiectul al III-lea se scriu toți pașii, altfel rezultatul corect nu ia punctajul întreg.
• Cui i se potrivește: oricărui elev de a 8-a care vrea să vadă, încă de la începutul anului, forma exactă a probei; temele vin din toată gimnaziala, nu doar din programa ultimului an.

Regulile oficiale de notare, de pe baremul modelului: se acordă zece puncte din oficiu, iar nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare; la Subiectul I și la Subiectul al II-lea se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie cinci puncte, fie zero puncte și nu se acordă punctaje intermediare; la Subiectul al III-lea, pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător și nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.

Ce se depunctează la Subiectul al III-lea, pe această variantă: răspunsul „nu este posibil” dat fără comparația scrisă dintre $\frac{x}{10}$ și $\frac{x}{4}$ (cerința 1); valoarea $a=-3$ scrisă fără să se arate că $a+2$ divide pe $1$ și fără eliminarea lui $a=-1$, exclus din domeniu (cerința 2); coordonatele lui $C$ scrise fără justificarea că $B$ este mijlocul segmentului $AC$ (cerința 3); $AM$ scris fără raportul de asemănare $\frac{AM}{MQ}=\frac{AD}{PQ}$, adică fără paralela $PQ\parallel AD$ (cerința 4); egalitatea de arii afirmată fără descompunerea patrulaterului $DRST$ în triunghiurile $DRT$ și $RST$ (cerința 5); concluzia $O{O}^{\prime }\perp \left(A^{\prime }{D}^{\prime }C\right)$ dată fără cele două perpendiculare concurente din plan, $A^{\prime }B$ și $A^{\prime }{D}^{\prime }$ (cerința 6).

Interpretarea punctajului:

Modelul se dă cel mai bine devreme: un elev din clasa a VIII-a care îl rezolvă în toamnă știe, din prima, la ce nivel se face pregătirea și ce capitole are rămase în urmă.