Evaluarea Națională 2024, sesiunea iunie — subiectul oficial, rezolvat

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $8+14:2$ este: a) $22$ b) $15$ c) $11$ d) $6$

Exercițiul 2 · 5 puncte Un album costă $200$ lei. După o reducere cu $20\%$, prețul albumului este: a) $20$ lei b) $40$ lei c) $160$ lei d) $180$ lei

Exercițiul 3 · 5 puncte Intervalele $I=(-\infty ,6]$ și $J=(4,+\infty )$. Intersecția $I\cap J$ este: a) $(-\infty ,4]$ b) $[4,6)$ c) $(6,+\infty )$ d) $(4,6]$

Exercițiul 4 · 5 puncte Cel mai mare număr din mulțimea $A=\{5,(024);5,(24);5,2(4);5,24\}$ este: a) $5,(024)$ b) $5,(24)$ c) $5,2(4)$ d) $5,24$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi, Alin, Ioana, Dana și Vlad, calculează suma numerelor reale $a$ și $b$ pentru care $|a+3|+|b-4|=0$. Rezultatele obținute au fost: Alin — $-7$, Ioana — $-1$, Dana — $1$, Vlad — $7$. Rezultatul corect a fost obținut de: a) Alin b) Ioana c) Dana d) Vlad

Exercițiul 6 · 5 puncte Afirmația „Numărul $1$ este soluția ecuației $2x+3=4x+1$." este: a) adevărată b) falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Punctele $A$, $B$, $C$, $D$ sunt coliniare, distincte, în această ordine, astfel încât $BC=4$ cm, $AD=4\cdot BC$, iar $AB=CD$. Lungimea segmentului $AB$ este egală cu:

a) $4$ cm b) $6$ cm c) $8$ cm d) $12$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte Triunghiul isoscel $ABC$, cu $AB=AC$, are măsura unghiului $C$ egală cu $40^{\circ }$. Punctele $B$, $A$, $D$ sunt coliniare, în această ordine. Măsura unghiului $CAD$ este egală cu:

a) $40^{\circ }$ b) $60^{\circ }$ c) $80^{\circ }$ d) $100^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte Triunghiul $ABC$ are măsura unghiului $A$ egală cu $43^{\circ }$, iar măsura unghiului $C$ egală cu $51^{\circ }$. Punctele $M$, $N$, $P$ aparțin laturilor $AC$, $AB$, respectiv $BC$, astfel încât $MN\parallel BC$ și $MP\parallel AB$. Măsura unghiului $NMP$ este egală cu:

a) $43^{\circ }$ b) $51^{\circ }$ c) $86^{\circ }$ d) $94^{\circ }$

Exercițiul 4 · 5 puncte Paralelogramul $ABCD$, cu $M$ mijlocul laturii $AB$, are aria triunghiului $ACM$ egală cu $10$ cm². Aria paralelogramului $ABCD$ este egală cu:

a) $10$ cm² b) $20$ cm² c) $30$ cm² d) $40$ cm²

Exercițiul 5 · 5 puncte Cercul de centru $O$ are raza egală cu $6$ cm. Punctele $A$, $B$, $C$ aparțin cercului, astfel încât $AC$ este diametru, iar măsura unghiului $BAC$ este egală cu $30^{\circ }$. Lungimea coardei $BC$ este egală cu:

a) $6$ cm b) $6\sqrt{3}$ cm c) $12$ cm d) $8\sqrt{3}$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte Cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Unghiul dreptelor $AC$ și $A{D}^{\prime }$ are măsura:

a) $45^{\circ }$ b) $60^{\circ }$ c) $90^{\circ }$ d) $120^{\circ }$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Dacă elevii unei clase se așază câte $2$ în bancă în laboratorul de fizică, rămân $3$ elevi în picioare. Dacă se așază câte $4$ în bancă, rămân $5$ bănci libere și o bancă cu un singur elev. a) (2 p) Verifică dacă pot fi $30$ de elevi în această clasă. Justifică răspunsul. b) (3 p) Determină numărul băncilor din laborator.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{1}{x^2-3x+2}+\frac{1}{x-1}\right)\cdot (x^2-4)$, unde $x$ este număr real, $x\ne 1$, $x\ne 2$. a) (2 p) Arată că $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$, pentru orice număr real $x$. b) (3 p) Determină numerele întregi $n$, $n\ne 1$, $n\ne 2$, pentru care $N=\frac{5}{E(n)}$ este număr natural.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-1$.

a) (2 p) Arată că $f(0)+f(1)=0$. b) (3 p) Graficul funcției $f$ intersectează axele $Ox$, $Oy$ în punctele $A$, respectiv $B$. Determină distanța de la punctul $C\left(-\frac{1}{2},0\right)$ la dreapta $AB$.

Exercițiul 4 · 5 puncte Triunghiul isoscel $ABC$, cu $AB=AC$. Înălțimea din $A$ intersectează $BC$ în punctul $D$, cu $AD=BC$. Înălțimea din $B$ intersectează $AC$ în punctul $E$. Înălțimile $AD$ și $BE$ se intersectează în punctul $H$.

a) (2 p) Arată că măsurile unghiurilor $DAC$ și $EBC$ sunt egale. b) (3 p) Demonstrează că $AH=3\cdot HD$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Cercul de centru $O$, cu $CD$ diametru. Punctul $B$ aparține cercului, astfel încât $BO\perp CD$. Punctul $M$ aparține arcului mic $BC$, iar dreptele $DM$ și $BO$ se intersectează în punctul $N$, cu $DN=2\cdot MN$ și $MN=4$ cm.

a) (2 p) Arată că măsura unghiului $CMD$ este $90^{\circ }$. b) (3 p) Calculează aria triunghiului $DON$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Prisma dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ are baza triunghiul echilateral $ABC$, cu $AB=12$ cm și $A{A}^{\prime }=3\sqrt{3}$ cm. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$.

a) (2 p) Arată că aria laterală a prismei este egală cu $108\sqrt{3}$ cm². b) (3 p) Determină distanța de la punctul $M$ la planul $(A^{\prime }{B}^{\prime }C)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $8+14:2=8+7=15$ (împărțirea se efectuează înaintea adunării).
2. c) Reducerea este $\frac{20}{100}\cdot 200=40$ lei, deci prețul final este $200-40=160$ lei.
3. d) $I=(-\infty ,6]$ și $J=(4,+\infty )$ au în comun exact valorile mai mari decât $4$ și cel mult egale cu $6$, deci $I\cap J=(4,6]$.
4. c) Scrise ca zecimale: $5,(024)\approx 5,024024$; $5,(24)\approx 5,242424$; $5,2(4)\approx 5,244444$; $5,24=5,24$. Cel mai mare este $5,2(4)$.
5. c) Din $|a+3|+|b-4|=0$ (sumă de module nule) rezultă $a+3=0$ și $b-4=0$, deci $a=-3$, $b=4$, iar $a+b=1$ — rezultatul corect a fost obținut de Dana.
6. a) Pentru $x=1$: $2\cdot 1+3=5$ și $4\cdot 1+1=5$, deci $1$ este într-adevăr soluția ecuației — afirmația este adevărată.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. b) Notăm $AB=CD=x$. Cum $A$, $B$, $C$, $D$ sunt coliniare în această ordine, $AD=AB+BC+CD=2x+4$. Din $AD=4\cdot BC=16$ cm, rezultă $2x+4=16$, deci $x=6$ cm.
2. c) Triunghiul $ABC$ fiind isoscel cu $AB=AC$, $m(\angle ABC)=m(\angle ACB)=40^{\circ }$, deci $m(\angle BAC)=180^{\circ }-2\cdot 40^{\circ }=100^{\circ }$. Cum $B$, $A$, $D$ sunt coliniare, unghiurile $BAC$ și $CAD$ sunt suplementare, deci $m(\angle CAD)=180^{\circ }-100^{\circ }=80^{\circ }$.
3. c) Din $MN\parallel BC$ și $MP\parallel AB$ rezultă că patrulaterul $BNMP$ este paralelogram, deci unghiurile opuse sunt egale: $m(\angle NMP)=m(\angle NBP)=m(\angle ABC)=180^{\circ }-43^{\circ }-51^{\circ }=86^{\circ }$.
4. d) Fie $h$ distanța dintre dreptele $AB$ și $CD$. Aria triunghiului $ACM$ este $\frac{1}{2}\cdot AM\cdot h=\frac{1}{2}\cdot \frac{AB}{2}\cdot h=\frac{AB\cdot h}{4}$, adică sfertul ariei paralelogramului (${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot h$). Din ${\mathcal{A}}_{ACM}=10$ cm², rezultă ${\mathcal{A}}_{ABCD}=4\cdot 10=40$ cm².
5. a) $AC$ fiind diametru, $m(\angle ABC)=90^{\circ }$ (unghi înscris ce subîntinde diametrul). În triunghiul dreptunghic $ABC$, cu $m(\angle BAC)=30^{\circ }$, cateta opusă este $BC=AC\cdot \sin 30^{\circ }=12\cdot \frac{1}{2}=6$ cm ($AC=2\cdot 6=12$ cm, diametrul).
6. b) Notând cu $a$ muchia cubului, segmentele $AC$, $A{D}^{\prime }$ și $C{D}^{\prime }$ sunt diagonale ale unor fețe pătrate cu aceeași latură, deci $AC=A{D}^{\prime }=C{D}^{\prime }=a\sqrt{2}$. Triunghiul $AC{D}^{\prime }$ este atunci echilateral, iar unghiul dintre dreptele $AC$ și $A{D}^{\prime }$ este unghiul $CA{D}^{\prime }$ al acestui triunghi, adică $60^{\circ }$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Dacă elevii se așază câte $2$ în bancă, rămân $3$ în picioare, deci numărul elevilor este de forma $2b+3$, unde $b$ este numărul băncilor (1 p). Pentru $30$ de elevi ar trebui ca $2b+3=30$, adică $2b=27$; cum $27$ este impar, nu există un număr natural $b$ pentru care egalitatea să aibă loc, deci nu pot fi $30$ de elevi (1 p). b) (3 p) Notăm cu $a$ numărul elevilor și cu $b$ numărul băncilor. Din prima condiție, $a=2b+3$ (1 p). Din a doua condiție (așezați câte $4$, rămân $5$ bănci libere și o bancă cu un singur elev), numărul băncilor ocupate integral este $b-6$, deci $a=4(b-6)+1$ (1 p). Egalând, $2b+3=4(b-6)+1=4b-23$, deci $2b=26$, adică $b=13$ (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $x^2-3x+2=x^2-2x-x+2=x(x-2)-(x-2)$ (1 p) $=(x-2)(x-1)=(x-1)(x-2)$, egalitate valabilă pentru orice $x$ real (1 p). b) (3 p) Folosind identitatea de la a), $E(x)=\left(\frac{1}{(x-1)(x-2)}+\frac{1}{x-1}\right)\cdot (x^2-4)=\frac{1+(x-2)}{(x-1)(x-2)}\cdot (x^2-4)=\frac{x-1}{(x-1)(x-2)}\cdot (x-2)(x+2)$ (1 p). Simplificând, $E(x)=\frac{1}{x-2}\cdot (x-2)(x+2)=x+2$, pentru orice $x\ne 1$, $x\ne 2$ (1 p). Atunci $N=\frac{5}{n+2}$ este număr natural doar dacă $n+2$ este divizor natural nenul al lui $5$, deci $n+2\in \{1,5\}$, de unde $n=-1$ sau $n=3$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(0)=2\cdot 0-1=-1$ (1 p). $f(1)=2\cdot 1-1=1$, deci $f(0)+f(1)=-1+1=0$ (1 p). b) (3 p) Graficul intersectează axa $Ox$ în $A\left(\frac{1}{2},0\right)$ (din $f(x)=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}$) și axa $Oy$ în $B(0,-1)$ (din $f(0)=-1$) (1 p). Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$, cu $OA=\frac{1}{2}$ și $OB=1$, deci $AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ (1 p). Punctul $C\left(-\frac{1}{2},0\right)$ se află pe axa $Ox$, la fel ca $A$, cu $AC=\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)=1$; distanța cerută se obține scriind aria în două feluri: aria triunghiului $ACB$ este $\frac{1}{2}\cdot AC\cdot OB=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}$, iar totodată $\frac{1}{2}\cdot AB\cdot d(C,AB)=\frac{1}{2}$, deci $d(C,AB)=\frac{1}{AB}=\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $AD$ fiind înălțime în triunghiul dreptunghic $ADC$ (dreptunghic în $D$), $m(\angle DAC)+m(\angle ACD)=90^{\circ }$ (1 p). Analog, $BE$ fiind înălțime în triunghiul dreptunghic $BEC$ (dreptunghic în $E$), $m(\angle EBC)+m(\angle BCE)=90^{\circ }$; cum $\angle ACD$ și $\angle BCE$ sunt același unghi $\angle ACB$, rezultă $m(\angle DAC)=m(\angle EBC)$ (1 p). b) (3 p) Triunghiul $ABC$ fiind isoscel cu $AB=AC$ și $AD\perp BC$, înălțimea $AD$ este și mediană, deci $BD=DC=\frac{BC}{2}$; cum $AD=BC$ (dat), rezultă $BD=DC=\frac{AD}{2}$ (1 p). Triunghiurile $HBD$ și $CAD$ sunt asemenea (unghiul $HDB=$ unghiul $CDA=90^{\circ }$, iar unghiul $HBD=$ unghiul $CAD$, din a)), de unde $\frac{HD}{CD}=\frac{BD}{AD}$ (1 p). Rezultă $HD=\frac{CD\cdot BD}{AD}=\frac{\frac{AD}{2}\cdot \frac{AD}{2}}{AD}=\frac{AD}{4}$, deci $AH=AD-HD=AD-\frac{AD}{4}=\frac{3AD}{4}=3\cdot HD$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) $CD$ fiind diametru, arcul $CD$ (nemarcat de $M$) are măsura $180^{\circ }$ (1 p). Unghiul $CMD$ este unghi înscris ce subîntinde acest arc, deci $m(\angle CMD)=\frac{1}{2}\cdot 180^{\circ }=90^{\circ }$ (1 p). b) (3 p) $N$ fiind pe $BO$, cu $BO\perp CD$, triunghiul $DON$ este dreptunghic în $O$; cum triunghiul $DMC$ este dreptunghic în $M$ (din a)) și cele două triunghiuri au unghiul din $D$ comun (căci $N\in DM$ și $O\in DC$), rezultă $\cos (\angle ODN)=\frac{OD}{DN}=\cos (\angle MDC)=\frac{DM}{DC}$, deci $\frac{OD}{DN}=\frac{DM}{DC}$ (1 p). Din $DN=2\cdot MN=8$ cm și $DM=DN+MN=12$ cm, iar $OD=r$ (rază) și $DC=2r$ (diametru), ecuația devine $\frac{r}{8}=\frac{12}{2r}$, adică $2r^2=96$, deci $r^2=48$, iar $OD=r=4\sqrt{3}$ cm (1 p). Triunghiul $DON$ fiind dreptunghic în $O$, $ON=\sqrt{D{N}^2-O{D}^2}=\sqrt{64-48}=\sqrt{16}=4$ cm, deci ${\mathcal{A}}_{DON}=\frac{ON\cdot OD}{2}=\frac{4\cdot 4\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$ cm² (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Aria feței laterale $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ este ${\mathcal{A}}_{AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }}=AB\cdot A{A}^{\prime }=12\cdot 3\sqrt{3}=36\sqrt{3}$ cm² (1 p). Prisma fiind dreaptă, cele trei fețe laterale sunt dreptunghiuri congruente, deci aria laterală este ${\mathcal{A}}_{lat}=3\cdot 36\sqrt{3}=108\sqrt{3}$ cm² (1 p). b) (3 p) Fie $N$ mijlocul lui $A^{\prime }{B}^{\prime }$. Cum $A^{\prime }C$ și $B^{\prime }C$ sunt diagonale ale dreptunghiurilor congruente $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$, respectiv $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ (cu $AC=BC$, laturi ale triunghiului echilateral, și aceeași înălțime $A{A}^{\prime }=B{B}^{\prime }$), rezultă $A^{\prime }C=B^{\prime }C$, deci triunghiul $A^{\prime }{B}^{\prime }C$ este isoscel, iar $CN\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$ (mediana din vârf, în triunghi isoscel, este și înălțime); totodată, $M$ și $N$ fiind mijloacele laturilor paralele $AB$ și $A^{\prime }{B}^{\prime }$ ale dreptunghiului $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, $MN\parallel A{A}^{\prime }$, deci $MN\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$, iar cum $A^{\prime }{B}^{\prime }$ este perpendiculară pe $CN$ și pe $MN$ (două drepte concurente în $N$, din planul $(CMN)$), rezultă $A^{\prime }{B}^{\prime }\perp (CMN)$ (1 p). Fie $P$ piciorul perpendicularei din $M$ pe $CN$; cum $A^{\prime }{B}^{\prime }\perp (CMN)$, rezultă $A^{\prime }{B}^{\prime }\perp MP$, deci $MP$ este perpendiculară pe două drepte concurente ($CN$ și $A^{\prime }{B}^{\prime }$) din planul $(A^{\prime }{B}^{\prime }C)$, adică $MP\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }C)$, deci $d(M,(A^{\prime }{B}^{\prime }C))=MP$. Triunghiul $MNC$ este dreptunghic în $M$ (căci $MN\perp$ planul bazei $ABC$, deci $MN\perp MC$), cu $MN=A{A}^{\prime }=3\sqrt{3}$ cm și $MC=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ cm (înălțime în triunghiul echilateral $ABC$), deci $CN=\sqrt{M{N}^2+M{C}^2}=\sqrt{27+108}=\sqrt{135}=3\sqrt{15}$ cm (1 p). Din echivalarea ariei triunghiului $MNC$ în două moduri, $\frac{MN\cdot MC}{2}=\frac{CN\cdot MP}{2}$, rezultă $MP=\frac{MN\cdot MC}{CN}=\frac{3\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{3}}{3\sqrt{15}}=\frac{54}{3\sqrt{15}}=\frac{18}{\sqrt{15}}=\frac{18\sqrt{15}}{15}=\frac{6\sqrt{15}}{5}$ cm (1 p).

Examen oficial de Evaluare Națională, Varianta 7, susținut de absolvenții clasei a VIII-a în iunie 2024, publicat de Ministerul Educației prin CNPEE, cu enunțurile și baremul după documentul oficial, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 cerințe, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Documentul de față nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de matematică al Evaluării Naționale pentru absolvenții clasei a VIII-a, anul școlar 2023–2024, sesiunea din iunie 2024, Varianta 7 — publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, împreună cu baremul de evaluare și de notare. Este proba dată, la finalul clasei 8, de toți absolvenții din țară în aceeași zi și la aceeași oră. Enunțurile urmează documentul oficial: valorile și ordinea variantelor sunt cele de pe subiect, iar figurile au fost redesenate după cele oficiale, cu aceeași configurație. Două lucruri sunt aduse la convenția site-ului, ca să se citească la fel peste tot: măsura unghiului se scrie $m(\angle ABC)$ acolo unde documentul folosește simbolul $\sphericalangle$, iar instrucțiunile subiectelor sunt formulate la persoana a doua singular („Scrie”), ca în restul testelor de aici. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi, iar punctajul de la Subiectul al III-lea urmează rând cu rând baremul oficial.

Structura probei:

Total: 100 de puncte, timp de lucru două ore. Nota se obține împărțind punctajul total la zece.

Harta materiei, pe cele 18 cerințe:

• Ordinea operațiilor — împărțirea se face înaintea adunării; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 1)
• Procente: reducerea unui preț — $20\%$ dintr-o sumă, apoi scăderea; clasele VI–VII. (Subiectul I, cerința 2)
• Intervale de numere reale — intersecția a două intervale, cu grijă la capete; clasa a VIII-a. (Subiectul I, cerința 3)
• Fracții zecimale periodice — compararea a patru scrieri aproape identice; clasa a VII-a. (Subiectul I, cerința 4)
• Modulul unui număr real — o sumă de două module egală cu zero; clasa a VII-a. (Subiectul I, cerința 5)
• Ecuație de gradul întâi — verificarea unei soluții prin înlocuire; clasa a VII-a. (Subiectul I, cerința 6)
• Segmente pe o dreaptă — patru puncte coliniare și o sumă de lungimi; clasa a VI-a. (Subiectul al II-lea, cerința 1)
• Unghi exterior într-un triunghi isoscel — suplementul unghiului de la vârf; clasa a VI-a. (Subiectul al II-lea, cerința 2)
• Paralelogram format din două paralele — unghiuri opuse congruente; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 3)
• Arii: triunghi și paralelogram — un triunghi ridicat pe jumătate de latură; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 4)
• Unghi înscris în semicerc — cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 5)
• Cubul: unghiul a două diagonale de fețe — un triunghi echilateral ascuns în spațiu; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 6)
• Problemă cu bănci și elevi — două condiții, o paritate și o ecuație; clasele VI–VII. (Subiectul al III-lea, cerința 1)
• Fracții algebrice — descompunere prin grupare, simplificare, divizorii lui $5$; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 2)
• Funcția liniară — intersecțiile cu axele și distanța de la un punct la o dreaptă; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 3)
• Triunghi isoscel și ortocentru — unghiuri complementare, asemănare, raportul $AH=3\cdot HD$; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 4)
• Cerc: unghi înscris și arie — două triunghiuri dreptunghice cu același unghi în $D$; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 5)
• Prisma dreaptă — arie laterală și distanța de la un punct la un plan; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 6)

Ce a cerut, de fapt, proba din 2024. La Subiectul I, trei cerințe se pierd din neatenție, nu din necunoaștere: cerința 3 se joacă exact pe capetele intervalelor — $4$ nu aparține lui $J=(4,+\infty )$, dar $6$ aparține lui $I=(-\infty ,6]$, iar varianta $[4,6)$ inversează tocmai aceste două capete; cerința 4 cere compararea lui $5,(24)=5,2424\dots$ cu $5,2(4)=5,2444\dots$, unde diferența apare abia la a treia zecimală; cerința 5 pornește de la o sumă de module egală cu zero, deci fiecare modul este zero — de unde $a=-3$ (nu $3$) și $b=4$. Subiectul al II-lea este integral geometrie și se rezolvă în doi pași scurți fiecare, dacă figura e citită corect: la cerința 1 punctele împart segmentul $AD$ în trei bucăți, dintre care cele două margini sunt egale; la cerința 3, patrulaterul $BNMP$ este paralelogram, iar unghiul cerut este opus unghiului $B$, nu alăturat lui; la cerința 6, dreptele $AC$ și $A{D}^{\prime }$ sunt două diagonale de fețe care, împreună cu $C{D}^{\prime }$, formează un triunghi echilateral — de aici unghiul de $60^{\circ }$, fără nicio formulă. La Subiectul al III-lea, capcanele sunt de justificare: paritatea lui $27$ la prima problemă, condiția ca $n+2$ să fie divizor natural al lui $5$ la a doua, și trecerea prin plan (nu prin dreaptă) la ultima.

Cum se dă ca probă completă:

• Punctaj: 90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.
• Timp de lucru: 2 ore, cronometrate. Reper: $25$ de minute pentru Subiectul I, $35$ pentru Subiectul al II-lea, restul pentru Subiectul al III-lea și pentru recitire.
• Materiale: foaie de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator. Rezultatele sunt „curate”: întregi, fracții simple sau expresii de forma $4\sqrt{3}$.
• Redactare: la Subiectele I și al II-lea se încercuiește o singură literă; la Subiectul al III-lea se scriu toți pașii, altfel rezultatul corect nu ia punctajul întreg. Un elev de a 8-a pierde aici, de regulă, mai multe puncte pe justificări nescrise decât pe calcule greșite.

Regulile oficiale de notare, de pe baremul probei: se acordă zece puncte din oficiu, iar nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare; la Subiectul I și la Subiectul al II-lea se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie cinci puncte, fie zero puncte și nu se acordă punctaje intermediare; la Subiectul al III-lea, pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător și nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.

Ce se depunctează la Subiectul al III-lea, pe această variantă: concluzia „nu pot fi $30$ de elevi” scrisă fără argumentul că $27$ este impar (cerința 1); valorile $n=-1$ și $n=3$ date fără condiția ca $n+2$ să fie divizor natural al lui $5$, adică fără excluderea lui $n+2\in \{-1,-5\}$ (cerința 2); distanța de la $C$ la $AB$ luată drept ordonată sau catetă, fără egalarea celor două scrieri ale ariei triunghiului $ACB$ (cerința 3); relația $AH=3\cdot HD$ scoasă din figură, fără asemănarea $△BHD\sim △ACD$ (cerința 4); raza obținută fără justificarea egalității $\frac{OD}{ND}=\frac{MD}{CD}$, care vine din unghiul comun din $D$ (cerința 5); „$MP$ este distanța căutată” fără $A^{\prime }{B}^{\prime }\perp (CMN)$ (cerința 6).

Interpretarea punctajului: