Evaluarea Națională 2024, modelul oficial — subiectul rezolvat

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $3+2\cdot 5$ este egal cu: a) $25$ b) $13$ c) $10$ d) $1$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{x}{2}=\frac{3}{4}$, atunci $4\cdot x$ este egal cu: a) $\frac{3}{2}$ b) $\frac{8}{3}$ c) $6$ d) $12$

Exercițiul 3 · 5 puncte Soluția ecuației $2-x=2$ este numărul: a) $-4$ b) $0$ c) $2$ d) $4$

Exercițiul 4 · 5 puncte Cel mai mic element al mulțimii $A=\left\{\frac{1}{9},\frac{1}{99},\frac{1}{999},\frac{1}{9999}\right\}$ este: a) $\frac{1}{9}$ b) $\frac{1}{99}$ c) $\frac{1}{999}$ d) $\frac{1}{9999}$

Exercițiul 5 · 5 puncte Patru elevi, Andra, Marius, Ioana și David, au calculat produsul numerelor $a=\sqrt{5}$ și $b=\sqrt{20}$. Rezultatele obținute au fost: Andra — $10$, Marius — $5$, Ioana — $2\sqrt{5}$, David — $\sqrt{10}$. Rezultatul corect a fost obținut de către: a) Andra b) Marius c) Ioana d) David

Exercițiul 6 · 5 puncte Alina afirmă că: „În intervalul de numere reale $[-3,2]$ sunt $7$ numere întregi.” Afirmația Alinei este: a) adevărată b) falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare $A$, $B$, $C$ și $D$, în această ordine, astfel încât $AB=BC=CD$, iar lungimea segmentului $CD$ este egală cu $10$ cm. Lungimea segmentului $AD$ este egală cu:

a) $30$ cm b) $20$ cm c) $15$ cm d) $10$ cm

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile opuse la vârf $AOB$ și $COD$, cu punctele $A$, $O$ și $D$ coliniare. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu $50^{\circ }$ și $OM$ este bisectoarea unghiului $AOB$. Măsura unghiului $DOM$ este egală cu:

a) $25^{\circ }$ b) $50^{\circ }$ c) $130^{\circ }$ d) $155^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$ cu $AB=AC$ și $m(\angle BAC)=50^{\circ }$. Punctul $D$ aparține segmentului $AC$, astfel încât $BD=BC$. Măsura unghiului $BDC$ este egală cu:

a) $50^{\circ }$ b) $65^{\circ }$ c) $115^{\circ }$ d) $130^{\circ }$

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ cu $AB=10$ cm și $BC=6$ cm. Perimetrul paralelogramului $ABCD$ este egal cu:

a) $16$ cm b) $24$ cm c) $32$ cm d) $40$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$. Punctele $A$ și $B$ aparțin cercului, astfel încât măsura unghiului $AOB$ este de $60^{\circ }$ și $AB=10$ cm. Lungimea cercului este egală cu:

a) $10\pi$ cm b) $20\pi$ cm c) $100\pi$ cm d) $200\pi$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un con circular drept cu secțiunea axială triunghiul dreptunghic $VAB$. Înălțimea conului are lungimea egală cu $2\sqrt{2}$ cm. Aria bazei conului este egală cu:

a) $8$ cm² b) $16$ cm² c) $8\pi$ cm² d) $16\pi$ cm²

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte Mihai a cheltuit o sumă de bani în patru zile. În prima zi a cheltuit $20\%$ din întreaga sumă, în a doua zi $30\%$ din suma rămasă, în a treia zi cu $20$ de lei mai mult decât a doua zi, iar în a patra zi a cheltuit ultimii $44$ de lei. a) (2 p) Verifică dacă Mihai a cheltuit în a doua zi un sfert din întreaga sumă de bani. Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Determină suma de bani cheltuită de Mihai, în total, în cele patru zile.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{x}{9+3x}-\frac{2}{x+3}+\frac{3}{x^2+3x}\right):\left(\frac{x}{3}+\frac{3}{x}-2\right)$, unde $x$ este un număr real, $x\ne -3$, $x\ne 0$ și $x\ne 3$. a) (2 p) Arată că $\frac{x}{9+3x}-\frac{2}{x+3}+\frac{3}{x^2+3x}=\frac{(x-3{)}^2}{3x(x+3)}$, pentru orice număr real $x$, $x\ne -3$ și $x\ne 0$. b) (3 p) Determină numărul natural $n$ pentru care $5\cdot E(n)$ este număr natural.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2$.

a) (2 p) Arată că $2023\cdot f(-2)=0$. b) (3 p) Punctele $A$ și $B$ sunt punctele de intersecție a reprezentării geometrice a graficului funcției $f$ cu axele $Ox$, respectiv $Oy$, ale sistemului de axe ortogonale $xOy$, iar punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$. Arată că punctele $N$, $O$ și $M$ sunt coliniare, unde $N(3,-3)$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=12$ cm și $BC=9$ cm. Punctul $E$ aparține segmentului $AC$, astfel încât $AE=10$ cm. Prin $E$ se duc dreptele $QN$ și $PM$ paralele cu dreptele $AB$, respectiv $BC$. Punctele $M$, $N$, $P$ și $Q$ aparțin segmentelor $AB$, $BC$, $CD$ și respectiv $AD$.

a) (2 p) Arată că $AC=15$ cm. b) (3 p) Arată că aria patrulaterului $AMEQ$ este de patru ori mai mare decât aria patrulaterului $CNEP$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $B$, cu $AB=2\sqrt{2}$ cm, $BC=2\sqrt{6}$ cm și triunghiul dreptunghic isoscel $AEB$ cu $AE=EB$. Punctele $E$ și $C$ sunt de aceeași parte a dreptei $AB$.

a) (2 p) Arată că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $2\sqrt{2}\left(3+\sqrt{3}\right)$ cm. b) (3 p) Calculează distanța de la punctul $E$ la dreapta $AC$.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=A{A}^{\prime }=4$ cm și $BC=2$ cm.

a) (2 p) Arată că aria totală a paralelipipedului dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este egală cu $64$ cm². b) (3 p) Arată că dreapta $NP$ este paralelă cu planul $(AC{D}^{\prime })$, unde punctul $N$ este proiecția punctului $C^{\prime }$ pe dreapta $B^{\prime }{D}^{\prime }$ și punctul $P$ este proiecția punctului $C^{\prime }$ pe dreapta $C{B}^{\prime }$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. b) $3+2\cdot 5=3+10=13$ (înmulțirea se efectuează înaintea adunării).
2. c) Din $\frac{x}{2}=\frac{3}{4}$ rezultă $x=\frac{3}{2}$, deci $4\cdot x=4\cdot \frac{3}{2}=6$.
3. b) $2-x=2\Rightarrow x=0$.
4. d) Dintre fracțiile $\frac{1}{9},\frac{1}{99},\frac{1}{999},\frac{1}{9999}$, cu numărător comun $1$, cea mai mică este cea cu numitorul cel mai mare, adică $\frac{1}{9999}$.
5. a) $a\cdot b=\sqrt{5}\cdot \sqrt{20}=\sqrt{100}=10$ — rezultatul corect a fost obținut de Andra.
6. b) Numerele întregi din $[-3,2]$ sunt $-3,-2,-1,0,1,2$, adică $6$ numere, nu $7$ — afirmația Alinei este falsă.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) $AB=BC=CD=10$ cm, deci $AD=AB+BC+CD=3\cdot 10=30$ cm.
2. d) $OM$ fiind bisectoarea unghiului $AOB$ ($50^{\circ }$), $m(\angle AOM)=m(\angle MOB)=25^{\circ }$. Cum $A$, $O$, $D$ sunt coliniare, $m(\angle DOM)=180^{\circ }-m(\angle AOM)=180^{\circ }-25^{\circ }=155^{\circ }$.
3. b) Triunghiul $ABC$ isoscel cu $AB=AC$ și $m(\angle BAC)=50^{\circ }$, deci $m(\angle ABC)=m(\angle ACB)=\frac{180^{\circ }-50^{\circ }}{2}=65^{\circ }$. Cum $BD=BC$, triunghiul $BDC$ este isoscel, cu $m(\angle BDC)=m(\angle BCD)=m(\angle ACB)=65^{\circ }$.
4. c) Perimetrul paralelogramului $ABCD$ este $2\cdot (AB+BC)=2\cdot (10+6)=32$ cm.
5. b) Triunghiul $AOB$ are $OA=OB=r$ (rază) și $m(\angle AOB)=60^{\circ }$, deci este echilateral: $AB=r=10$ cm. Lungimea cercului este $2\pi r=20\pi$ cm.
6. c) Secțiunea axială fiind triunghiul dreptunghic $VAB$ (dreptunghic în $V$), înălțimea conului este egală cu raza bazei: $h=r=2\sqrt{2}$ cm. Aria bazei este $\pi r^2=\pi \cdot {\left(2\sqrt{2}\right)}^2=8\pi$ cm².

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Notăm cu $x$ suma totală. În a doua zi, Mihai cheltuiește $30\%$ din suma rămasă după prima zi ($80\%$ din $x$), adică $\frac{30}{100}\cdot \frac{80}{100}x=\frac{24}{100}x=\frac{6}{25}x$ (1 p). Cum $\frac{6}{25}=\frac{24}{100}\ne \frac{25}{100}=\frac{1}{4}$, Mihai nu a cheltuit în a doua zi un sfert din întreaga sumă de bani (1 p). b) (3 p) Zilele $1$, $2$, $3$ însumează $\frac{1}{5}x+\frac{6}{25}x+\left(\frac{6}{25}x+20\right)=\frac{5}{25}x+\frac{6}{25}x+\frac{6}{25}x+20=\frac{17}{25}x+20$ (1 p). Cum toată suma este $x$, iar în a patra zi cheltuie ultimii $44$ lei, rezultă $\frac{17}{25}x+20+44=x$, adică $\frac{17}{25}x+64=x$ (1 p). Deci $x-\frac{17}{25}x=64\Rightarrow \frac{8}{25}x=64\Rightarrow x=200$ lei (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $9+3x=3(x+3)$ și $x^2+3x=x(x+3)$, deci numitorul comun este $3x(x+3)$ (1 p). Aducând la acest numitor: $\frac{x}{3(x+3)}-\frac{2}{x+3}+\frac{3}{x(x+3)}=\frac{x^2-6x+9}{3x(x+3)}=\frac{(x-3{)}^2}{3x(x+3)}$, pentru orice $x$ real, $x\ne -3$, $x\ne 0$ (1 p). b) (3 p) Al doilea factor: $\frac{x}{3}+\frac{3}{x}-2=\frac{x^2-6x+9}{3x}=\frac{(x-3{)}^2}{3x}$ (1 p). Atunci $E(x)=\frac{(x-3{)}^2}{3x(x+3)}:\frac{(x-3{)}^2}{3x}=\frac{1}{x+3}$, pentru $x\ne -3,0,3$ (1 p). Deci $5\cdot E(n)=\frac{5}{n+3}$ este număr natural doar dacă $n+3$ este divizor natural nenul al lui $5$: $n+3\in \{1,5\}$; cum $n$ este natural (deci $n\ge 0$) și $n\ne 3$, rezultă $n=2$ (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(-2)=-2+2=0$ (1 p), deci $2023\cdot f(-2)=2023\cdot 0=0$ (1 p). b) (3 p) Graficul intersectează $Ox$ în $A(-2,0)$ (din $f(x)=0$) și $Oy$ în $B(0,2)$ (din $f(0)=2$) (1 p). Mijlocul segmentului $AB$ este $M\left(\frac{-2+0}{2},\frac{0+2}{2}\right)=M(-1,1)$, deci dreapta $OM$ are ecuația $y=-x$ (1 p). Punctul $N(3,-3)$ verifică $-3=-3$, deci $N$ aparține dreptei $OM$, adică punctele $N$, $O$ și $M$ sunt coliniare (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) Triunghiul $ABC$ dreptunghic în $B$: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{225}$ (1 p) $=15$ cm (1 p). b) (3 p) Din $AE=10$ cm și $AC=15$ cm, rezultă $EC=5$ cm, deci $\frac{AE}{EC}=2$ (1 p). Cum $QN\parallel BC$ și $PM\parallel AB$, triunghiurile $AME$ și $CPE$ sunt asemenea ($AM\parallel PC$, unghiuri opuse la vârf în $E$), cu raportul $\frac{AE}{EC}=2$, deci $\frac{AM}{CP}=\frac{ME}{PE}=2$ (1 p). Cum $AMEQ$ și $CNEP$ sunt dreptunghiuri, $\frac{{\mathcal{A}}_{AMEQ}}{{\mathcal{A}}_{CNEP}}=\frac{AM\cdot ME}{CP\cdot PE}=2\cdot 2=4$, deci aria $AMEQ$ este de patru ori mai mare decât aria $CNEP$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Triunghiul $ABC$ dreptunghic în $B$: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{8+24}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$ cm (1 p). Perimetrul este $AB+BC+AC=2\sqrt{2}+2\sqrt{6}+4\sqrt{2}=6\sqrt{2}+2\sqrt{6}=2\sqrt{2}\left(3+\sqrt{3}\right)$ cm (1 p). b) (3 p) Triunghiul $AEB$ fiind dreptunghic isoscel cu ipotenuza $AB=2\sqrt{2}$ cm, catetele sunt $AE=EB=\frac{AB}{\sqrt{2}}=2$ cm, iar înălțimea din $E$ pe $AB$ (care este și mediană) are lungimea $\frac{AB}{2}=\sqrt{2}$ cm (1 p). Ariile: ${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{AB\cdot BC}{2}=\frac{2\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{6}}{2}=4\sqrt{3}$ cm², ${\mathcal{A}}_{AEB}=\frac{AE\cdot EB}{2}=2$ cm²; cum înălțimea din $E$ pe dreapta $BC$ are tot lungimea $\sqrt{2}$ cm, ${\mathcal{A}}_{BEC}=\frac{BC\cdot \sqrt{2}}{2}=2\sqrt{3}$ cm², deci ${\mathcal{A}}_{AEC}={\mathcal{A}}_{ABC}-{\mathcal{A}}_{AEB}-{\mathcal{A}}_{BEC}=4\sqrt{3}-2-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}-2$ cm² (1 p). Notând cu $d$ distanța de la $E$ la $AC$, din ${\mathcal{A}}_{AEC}=\frac{AC\cdot d}{2}$ rezultă $d=\frac{2\left(2\sqrt{3}-2\right)}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) Aria totală este ${\mathcal{A}}_t=2\left(AB\cdot BC+BC\cdot A{A}^{\prime }+A{A}^{\prime }\cdot AB\right)=2\left(4\cdot 2+2\cdot 4+4\cdot 4\right)$ (1 p) $=2\cdot 32=64$ cm² (1 p). b) (3 p) Triunghiul $B^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este dreptunghic în $C^{\prime }$ (laturi $B^{\prime }{C}^{\prime }=2$ cm, $C^{\prime }{D}^{\prime }=4$ cm ale feței superioare), cu ipotenuza $B^{\prime }{D}^{\prime }=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$ cm; $N$ fiind piciorul înălțimii din $C^{\prime }$, $B^{\prime }N=\frac{{\left(B^{\prime }{C}^{\prime }\right)}^2}{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ (1 p). Triunghiul $B^{\prime }C{C}^{\prime }$ este dreptunghic în $C^{\prime }$ (laturi $C{C}^{\prime }=4$ cm, $C^{\prime }{B}^{\prime }=2$ cm), cu ipotenuza $C{B}^{\prime }=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$ cm; $P$ fiind piciorul înălțimii din $C^{\prime }$, $B^{\prime }P=\frac{{\left(C^{\prime }{B}^{\prime }\right)}^2}{C{B}^{\prime }}=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$, deci $B^{\prime }N=B^{\prime }P$ (1 p). Din $\frac{B^{\prime }N}{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{B^{\prime }P}{B^{\prime }C}=\frac{1}{5}$, rezultă $NP\parallel D^{\prime }C$ (reciproca teoremei fundamentale a asemănării, în triunghiul $B^{\prime }{D}^{\prime }C$); cum $D^{\prime }C\subset \left(AC{D}^{\prime }\right)$ și $N\notin \left(AC{D}^{\prime }\right)$, obținem $NP\parallel \left(AC{D}^{\prime }\right)$ (1 p).

Sursa: Ministerul Educației — Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Evaluarea Națională pentru absolvenții clasei a VIII-a, probă scrisă la matematică, modelul de subiect, anul școlar 2023–2024. Enunțurile, datele și baremul urmează documentul oficial; figurile sunt redesenate, iar aranjarea în pagină este a site-ului.

Pentru părinți și profesori

Documentul de față nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect la matematică pentru Evaluarea Națională a absolvenților clasei a VIII-a, anul școlar 2023–2024 — publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE), la începutul anului școlar, împreună cu baremul de evaluare și de notare. Modelul nu are număr de variantă și nu se dă la examen: el arată structura probei, tipurile de cerințe și nivelul la care se face pregătirea. Enunțurile urmează documentul oficial: valorile și ordinea variantelor sunt cele de pe subiect, iar figurile au fost redesenate după cele oficiale, cu aceeași configurație. Trei lucruri sunt aduse la convenția site-ului, ca să se citească la fel peste tot: măsura unghiului se scrie $m(\angle BAC)$ acolo unde documentul folosește simbolul $\sphericalangle$; instrucțiunea de la Subiectul al III-lea este formulată la persoana a doua singular („Scrie rezolvările complete”), cu precizarea „Se punctează raționamentul și justificările”; iar tabelul cu rezultatele celor patru elevi, de la cerința 5 a Subiectului I, este scris pe un rând, ca să încapă pe telefon. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi, iar punctajul de la Subiectul al III-lea urmează rând cu rând baremul oficial.

Structura probei:

Total: 100 de puncte, timp de lucru două ore. Nota se obține împărțind punctajul total la zece.

Harta materiei, pe cele 18 cerințe:

• Ordinea operațiilor — înmulțirea se face înaintea adunării, deși e scrisă a doua; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 1)
• Rapoarte și proporții — o necunoscută aflată dintr-o egalitate de rapoarte, apoi înmulțită cu $4$; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 2)
• Ecuație de gradul întâi — o necunoscută, cu soluția $0$; clasele VI–VII. (Subiectul I, cerința 3)
• Compararea fracțiilor — patru fracții cu același numărător și numitori diferiți; clasa a V-a. (Subiectul I, cerința 4)
• Radicali: produsul — $\sqrt{5}\cdot \sqrt{20}$, cu rezultat întreg; clasa a VII-a. (Subiectul I, cerința 5)
• Intervale de numere reale — numerele întregi dintr-un interval închis la ambele capete; clasa a VIII-a. (Subiectul I, cerința 6)
• Segmente congruente pe aceeași dreaptă — trei segmente egale, în lanț; clasa a VI-a. (Subiectul al II-lea, cerința 1)
• Unghiuri opuse la vârf și bisectoare — un unghi suplementar cu jumătatea altuia; clasa a VI-a. (Subiectul al II-lea, cerința 2)
• Triunghi isoscel — două triunghiuri isoscele care împart același unghi de la bază; clasele VI–VII. (Subiectul al II-lea, cerința 3)
• Paralelogram: perimetrul — laturile opuse sunt congruente; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 4)
• Cerc: unghi la centru și lungimea cercului — două raze și un unghi de $60^{\circ }$; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 5)
• Conul circular drept — secțiune axială dreptunghică și aria bazei; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 6)
• Procente succesive și ecuație — un procent luat din rest, apoi o ecuație; clasele VI–VII. (Subiectul al III-lea, cerința 1)
• Fracții algebrice — numitor comun, pătrat perfect, împărțire de fracții și divizori; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 2)
• Funcția liniară și coliniaritatea — intersecțiile cu axele și mijlocul unui segment, în reper cartezian; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 3)
• Dreptunghi și asemănare — raportul ariilor a două dreptunghiuri asemenea; clasele VII–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 4)
• Distanța de la un punct la o dreaptă — aria unui triunghi scrisă în două feluri; clasele VII–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 5)
• Paralelipipedul dreptunghic — aria totală și o dreaptă paralelă cu un plan; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 6)

Ce a cerut, de fapt, modelul din 2024. La Subiectul I, patru cerințe din șase sunt capcane de citire, nu de calcul: la cerința 1, $\left(3+2\right)\cdot 5=25$ este chiar varianta a) din grilă, deci cine calculează de la stânga la dreapta găsește un răspuns care există; la cerința 2 se cere $4\cdot x$, nu $x$ — iar $\frac{3}{2}$, adică valoarea lui $x$, este pusă în grilă ca variantă a), și tot acolo stă $\frac{8}{3}$, rezultatul lui $2:\frac{3}{4}$; la cerința 4, numărătorul comun $1$ răstoarnă comparația, deci cel mai mic element este cel cu numitorul cel mai mare, nu $\frac{1}{9}$; la cerința 5, $5$ iese din $\sqrt{5+20}$, iar $2\sqrt{5}$ este chiar $\sqrt{20}$, adică unul dintre factori, nu produsul lor. Cerința 6 se închide numărând: intervalul $\left[-3,2\right]$ are amândouă capetele incluse, deci conține $6$ numere întregi, nu $7$. La Subiectul al II-lea, totul se sprijină pe o singură observație pe fiecare figură: la cerința 2, unghiul cerut se sprijină pe jumătatea unghiului $AOB$, nu pe el întreg — altfel iese $180^{\circ }-50^{\circ }=130^{\circ }$, tot o variantă din grilă; la cerința 3, $115^{\circ }$ este suplementul răspunsului, adică unghiul $BDA$; la cerința 5, triunghiul format de cele două raze și de coardă este echilateral, deci raza este chiar $10$ cm, iar $100\pi$ măsoară aria discului, nu lungimea cercului; la cerința 6, secțiunea axială fiind dreptunghică în vârf, înălțimea este egală cu raza, iar ${\left(2\sqrt{2}\right)}^2=8$, nu $16$. La Subiectul al III-lea, primele trei probleme cer calcul organizat — un procent luat din rest, o expresie algebrică ce se simplifică până la $\frac{1}{x+3}$ și o coliniaritate în reper cartezian — iar ultimele trei sunt geometrie: un raport de arii care este pătratul raportului de asemănare, o distanță obținută scriind aria aceluiași triunghi în două feluri și o dreaptă paralelă cu un plan, într-un paralelipiped.

Cum se dă ca probă completă:

• Punctaj: 90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.
• Timp de lucru: 2 ore, cronometrate, exact ca la proba scrisă. Reper: $25$ de minute pentru Subiectul I, $35$ pentru Subiectul al II-lea, restul pentru Subiectul al III-lea și pentru recitire.
• Materiale: foaie de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator. Rezultatele sunt „curate”: întregi, fracții simple sau expresii de forma $4\sqrt{2}$ și $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$.
• Redactare: la Subiectele I și al II-lea se încercuiește o singură literă; la Subiectul al III-lea se scriu toți pașii, altfel rezultatul corect nu ia punctajul întreg.
• Cui i se potrivește: oricărui elev de clasa 8 care vrea să vadă, din toamnă, forma exactă a probei; temele vin din toată gimnaziala, nu doar din programa de a 8-a.

Regulile oficiale de notare, de pe baremul modelului: se acordă zece puncte din oficiu, iar nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare; la Subiectul I și la Subiectul al II-lea se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie cinci puncte, fie zero puncte și nu se acordă punctaje intermediare; la Subiectul al III-lea, pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător și nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.

Ce se depunctează la Subiectul al III-lea, pe această variantă: răspunsul „nu a cheltuit un sfert” dat fără compararea scrisă a lui $\frac{24}{100}$ cu $\frac{25}{100}$ (cerința 1); valoarea $n=2$ scrisă fără respingerea celuilalt caz, $n+3=1$, care ar da $n=-2$, număr care nu este natural (cerința 2); coliniaritatea afirmată fără calculul coordonatelor mijlocului $M$ (cerința 3); raportul $4$ scris fără justificarea că $AMEQ$ și $CNEP$ sunt dreptunghiuri și fără asemănarea triunghiurilor $AME$ și $CPE$ (cerința 4); aria triunghiului $AEC$ luată direct, fără scăderea celorlalte două arii și fără observația că $BE$ este bisectoarea unghiului $ABC$, care dă $EM=EN$ (cerința 5); paralelismul $NP\parallel D^{\prime }C$ afirmat fără egalitatea rapoartelor $\frac{B^{\prime }N}{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{B^{\prime }P}{B^{\prime }C}$ și fără precizarea că $D^{\prime }C$ este conținută în planul $\left(AC{D}^{\prime }\right)$ (cerința 6).

Interpretarea punctajului:

Modelul se dă cel mai bine devreme: un elev de a 8-a care îl rezolvă în toamnă știe, din prima, la ce nivel se face pregătirea și care sunt capitolele rămase în urmă.